高等数学中数列极限的几种求法

n
[4] 陈文灯. 数学复习指南[M]. 北京：世界图书出版社，2005.
Several Method of Obtaining the Sequence Limit ZHOU Lin [Abstract] It is well known, the limit discusses including the sequence limit, the limit of function two kinds. But I onlyask the limit from the sequence limit in view of the sequence limit primary distortion, to change into the known limit, twowith the primary transformation clamp the theorem, the conclusion principle, the definite integral law, the monotonousprinciple, series expansion, rip the sincere this formula and so on several kinds to ask the law to narrate sequence limit several kinds to ask the law. [Key words] sequence limit; primary distortion; variable replace
第 28 卷 第 11 期 2008 年 11 月
湖北广播电视大学学报
Journal of HuBei TV University
Vol.28, No.11 November. 2008, 159～160
高等数学中数列极限的几种求法
周 林
（连云港广播电视大学，江苏 连云港 222006）
[内容提要] 本文针对高等数学中数列极限的初等变形求极限、利用变量替换、两边夹定理、归结原则、定 积分法、单调原理、级数展开式、Stolz 公式等来讲述数列极限的几种求法。 [关键词] 数列极限；初等变形；变量替换 [中图分类号] O17 [文献标识码] A [文章编号] 1008-7427（2008）11-0159-02 极限是《高等数学》教学的重要环节，极限论是分析学 的基础， 极限问题是分析学的困难问题之一。 极限的基本思 想自始至终对解决分析学中面临的问题起关键作用， 数列极 限又是极限的基础。 同时涉及数列极限的问题有很多， 包括 极限的求法、给定数列极限的证明、极限的存在等。以下从 几个方面来谈一谈数列极限的几种求法。 1．利用四则运算法则求极限 设 {a n }、 {bn } 为收敛数列，则 {a n + bn } ， {a n − bn }， 若 lim a n = a ，求极限 lim a1 + 2a 2 + " na n 2
a − a n 存在或为 ∞ ， − ∞ 时，有 a a − an lim n +1 lim n = lim n +1 n→∞ b n→∞ b n→∞ b − b n +1 n n n +1 − bn
5．利用极限定义求极限 当数列不单调时可以考虑用极限定义求极限。解题程序是先 根据数列极限的唯一性求出极限，然后再证明极限的存在性。 例 4 设 a1 = 2 ， a
n →∞
⎜ ⎝
⎟ n⎠
3
解：有泰勒公式知： sin x = x − x + ο ( x3 ), ( x → 0) ， 3! 令 x = 1 ，得： n 2 ⎛1 − n sin 1 ⎞ = 1 + ο (1), (n → ∞) ⎜ ⎟ n n ⎠ 3! ⎝ 故： lim n 2 ⎛1 − n sin 1 ⎞ = 1 为所求。
1
[参考文献]
[1] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京：高等教育出
版社，1993.
[2] 孙涛 . 数学分析经典习题解析 [M]. 北京：高等教育出版社， 2004. [3] 华东师范大学数学系. 数学分析（上册，第三版）[M]. 北京：
高等教育出版社，2001.
n n n 例 6 若 a,b,c>0,求极限 lim ⎛ a + b + c ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ n →∞ 3 ⎝ ⎠
n →∞ n →∞ n →∞
n→∞
⎧ a n ⎫ 也是收敛数列，并且 ⎛ an lim⎜ ⎨ ⎬ n →∞⎜ b b ⎩ n⎭ ⎝ n
an 。 ⎞ lim n →∞ ⎟ = ⎟ lim b n ⎠
n →∞
调有界； ②设 {a n }的极限存在， 记为 lim a n = a 代入给定的 a n
n→∞
n +1
=2+
1 ， n ≥ 1 ，求 lim a n n →∞ an
[收稿日期]2008-08-02
160
湖北广播电视大学学报 解：考虑 ⎛ n a + n b + n c ⎞
ln ⎜ ⎜ ⎝ 3
x x x
第 11 期
⎛ n a + n b + n c ⎞， ⎟ ⎟ ⎟ = xln ⎜ ⎜ ⎟ 3 ⎠ ⎝ ⎠
n
⎧ ⎛na+nb+nc⎞ = ⎛ n a + n b + n c ⎞⎫ ⎪ ⎪ = lim ⎜ lim exp ⎨ x ln ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎬ n →∞ ⎜ n →∞ 3 3 ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎭ ⎩
n
⎛ ln abc ⎞ = 3 abc exp ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠
9．用级数展开式 级数是一个无穷序列的和的形式， 其部分和就是一个数 列。有时为了方便可将数列极限看作是某个级数的部分和， 这样能更方便、更简捷地求出数列的极限。 例7 求极限 lim n 2 ⎛1 − n sin 1 ⎞
n→∞ n→∞
当 n > N 0 时， 有 a n ≤ c n ≤ bn ， 则 lim c n = a 。 在某自然数 N 0 ，
n→∞
利用迫敛性求极限， 一般通过放大或缩小分母来找出两 边数列的通项。 例1
1 1 ⎞ 求 lim⎛ ⎜1 + + 2 ⎟ n→∞ n n ⎠ ⎝
n
界，并求出极限。 证：令 a n = 2 + 2 + " + 2 ，易知数列 {a n }是递增的。 现用数学归纳法来证明数列 {a n }是有界的。 显然 a1 = 2 < 2 ，假设 a n < 2 ，则有
{a n ⋅ bn } 也 都 是 收 敛 数 列 ， 而 lim(a
n →∞
n
± bn ) = lim a n ± lim bn ，
n→∞ n→∞
a 1 lim a n ＝ 2 2 n→∞
lim(a n ⋅ bn ) = lim a n ⋅ lim bn ， 若 再 有 bn ≠ 0 及 lim bn ≠ 0 ， 则
x
1 ⎞ ，即 解 ： 令 lim a n = a ， 则 lim a = lim⎛ ⎜2 + ⎟ n +1 n →∞ n →∞ n→∞ ⎜ an ⎟ ⎝ ⎠ 1 所以 a ≥ 2 ， 故 a =1+ 2 。 a = 2 + ⇒ a = 1 ± 2 因为 a n ≥ 2 ，
以 下 证 明 lim a n 存 在 。 对 任 意 的 ε > 0 ， n →∞
an − a = ⎛ 2 + 1 ⎞ − ⎛ 2 + 1 ⎞ = 1 − 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ an −1 ⎠ ⎝ a ⎠ an −1 a ⎝
a n −1 − a a ⋅ a n −1 < a n −1 − a 4 < an−2 − a 42 <"< a1 − a 4 n −1
a
⎛ a + b + c ⎞= ln lim xln ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ lim n →∞ 3 ⎝ ⎠ n→∞
4．利用单调有界定理求极限 任何有界的单调数列一定有极限。此类问题的解题程 序： ①直接对通项进行分析或用数学归纳法验证数列 {a n }单
的表达式中，则该试变为 a 的代数方程，解之即得该数列 的极限。 例 3 证明数列 2 , 2 + 2 , " 2 + 2 + " + 2 , " 单调有
2．利用迫敛性定理求极限 设 {a n } 、 {bn } 为收敛数列，且 lim a n = lim bn = a ，若存
n →∞
n →∞
例2
n
解：令 An = a1 + 2a 2 + " na n ， Bn = n ，则 {Bn } 严格递增 趋于 ∞ ，由 Stolz 定理 2
2
lim
n→∞
An A − An = (n + 1)a n +1 ＝ lim n + 1 a ＝ = lim n +1 lim n +1 n →∞ 2n + 1 n→∞ Bn n →∞ Bn +1 − Bn (n + 1)2 − n 2
n
n→∞ 时，有
2 an +1 = 2 + a n
a =2+a
2
即 a = −1(舍去） ， a = 2 。所以应有
lim 2 + 2 + " + 2 = 2
n →∞
1 1 ⎞ 故 lim⎛ ⎜1 + + 2 ⎟ = e n →∞ n n ⎠ ⎝
n
3．利用 Stolz 公式求极限 设 {a n }是趋于零的数列， {bn } 严格递减趋于零，则当
n →∞
n
1 ， 1 + x2
⎜ ⎝
⎟ n⎠
6
f (x k ) =
1 ⎛k⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝n⎠
2
，由定积分的定义：
1 1 ⎞ ⎛ 1 + 2 +" 2 ⎟ lim n⎜ 2 n 2 n →∞ 2n ⎠ = lim 1 ∑ ⎝ n +1 n + 2 n→∞
n
k =1
在学习数列极限的理论时， 只有不断总结， 不断完善知 识理论和结构，才能在解题思路中有所发现，有所创新。本 文列举的九种求数列极限的方法是有限的， 还有更多更好的 解题方法和思路，需要我们进一步去总结。
1 ⎛k⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝n⎠
2
π 1 1 =∫ dx = arctan x 0 = 01 + x 2 4 8．利用数列的极限和函数的极限等值（归结原则） 数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可微、可 积等优良性质， 有时我们可以借助于函数的这些性质将数列 极限转化为函数极限，从而使问题得到简化。
x
nБайду номын сангаас∞
6．利用柯西收敛准则求极限 数列 {a n }收敛的充条件是： 对任给正数 ε ， 总存在某一 自然数 N ，使得 n, m > N 时，都有 a m − a n < ε 与数列 极限的 ε- N 定义比较，柯西收敛准则把原来的 αn 与 α 的关 系换成了 αn 与 αm 的关系，此时无须借助数列以外的数 α， 只要根据数列本身的特征就可以鉴别它的敛散性。 7．利用定积分概念求极限 定积分的概念是通过极限来定义的。 那么反过来， 如果 已知某个定积分存在， 并且可以很容易的计算出来， 此时可 以利用定积分的概念求相应的极限。 1 1 1 ⎞ 例 5 求极限 lim n⎛ + 2 +" 2 ⎟ ⎜ 2 2 n→∞ 2n ⎠ ⎝ n +1 n + 2 1 n 1 1 1 ⎞ 解： ⎛ 1 lim n⎜ 2 + 2 + " 2 ⎟ = lim ∑ 2 2 n→∞ 2n ⎠ n →∞ n k =1 ⎝ n +1 n + 2 ⎛k⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝n⎠ 令 1 = Δx ，当 n → ∞ 时，Δx → 0 ，x = k ， f (x ) = k
n n 2 n n
从而对一切 n ，有 a n < 2 。即数列 {a n } 是有界的。由单 调有界定理， 数列 {a n }有极限， 记为 a ， 由于 运用数列极限的四则运算法则，当
又 lim⎛1 + 1 ⎞ = e ，且 ⎜ ⎟ n→∞
⎝ n⎠
n n −1 ⎡⎛ 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎛ lim⎜1 + = lim ⎢⎜1 + ⎜1 + ⎟⎥ = e ⎟ ⎟ n→∞ n → ∞ n −1⎠ n −1⎠ ⎝ n − 1 ⎠⎦ ⎝ ⎥ ⎢⎝ ⎣
a n +1 = 2 + a n < 2 + 2 = 2
解：由
1⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ n + 1⎞ ⎛ n +1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ < ⎜1 + + 2 ⎟ = ⎜1 + 2 ⎟ < ⎜1 + 2 ⎟ = ⎜1 + ⎟ n⎠ ⎝ n n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ n −1⎠ ⎝ n −1⎠ ⎝
(
x
a + x b + x c − ln 3 ，利用 1 x
)
洛必达法则，有：
＝
2 −1 <ε 4 n −1
（当 n
足够大） 由极限定义可得 lim(a n − a ) = 0 ，故 lim a n = a = 1 + a
n →∞
alna + x b ln b + x c ln c ⎛ 1 ⎞ 1 ⎜ − 2 ⎟ = ln abc ，故： x a+xb+xc ⎝ x ⎠ 3 lim x →∞ 1 − 2 x