第三讲：计量分析方法

第三讲：计量分析方法

一、回归分析

●回归的本质

英国著名遗传学家弗朗西斯·高尔顿（Si r Francis

Galton,1822-1911）在子女与父母相像程度遗传学研究

方面，取得了重要进展。高尔顿的学生卡尔·皮尔逊（Karl

Pearson,1857-1936）在继续这一遗传学研究的过程中，

测量了1078个父亲及其成年儿子的身高。

在高个子人群中，下一代的平均身高会低于高个

子本代的平均身高；而在矮个子人群中，下一代的平均

身高则会超过本代的平均身高，也就是人的身高存在一种趋势，即向整个人群平均身高靠拢的趋势。高尔顿将变量向均值靠拢的趋势称为“回归”

◇回归的本质：用X来推断Y（利用样本数据来估计未知参数向量β），

而非“预测”Y。

＊能否进行经济预测？

● 理论回归模型

◇ 简单回归模型：一元线性回归

＊最小二乘法（OLS ）： εββ++=x y 10

y ：因变量、被解释变量、响应变量，等

x ：自变量、解释变量、控制变量，等

ε（μ）：误差项、残差项、扰动项，等，观察不到的因素。 最小二乘方法是选择β的值，使得残差平方和达到最小。

()

=--=

∑∑2

102

i

i

x Y

ββε

()

∑--2

10min

i

x Y

ββ

◇ 参数估计

对0β 和1β

求一阶偏导数，并令其=0.，可得：

1

β

=()()()∑∑---2

x x Y Y x x i

i

i

=

∑∑--2

2

x

n x

Y x n Y x i

i

i

0β

=x Y 1β

-

残差(

)x Y Y Y 10ββε

+-=-=

残差平方和（RSS ） (

)[]

2

102

+-=x

Y ββε

计算顺序：

①求0β 和1β ：1β

=2013

=0.65， 0β =0.3

②求估计值和残差：i Y =0β +1β

i x =0.3+0.65i x

i ε

=i y -i Y ==

2

3.22

s

1.15

2

β s =()

005

.10676

696469615.1=-⨯⨯

*

0β s =3.163 2

1

β s =0575

.0676

69615.1=-

*1

β s =0.240

③求决定系数2

R ：相关系数r 的平方， 102

≤≤R

2

R

=

()()∑∑--22

Y Y

Y

Y i

i

=()()

∑∑∑---2

2

2

Y Y Y Y i

i

i

ε

=

∑∑--2

22

2

Y

n Y

Y

n Y i

i

=786.075

.1045.875

.8*431775.8*47.3142

2

==

--

◇ 线性回归模型基本假定：

① 线性关系 ② 随机样本

③ 全秩（Full Rank ）：在变量之间不存在完全线性关系 ④ ()0=x E ε， 零条件均值

()0,=εx Cov ，ε与解释变量无关

⑤ ()2

σε=x Var ， 同方差性

()()0,,==j

i

j i E Cov εεε

ε，ε

的协方差等于零，无自相关

⑥ ε~()2

,0σN ，ε服从正态分布。

⑦ x 为外生变量（固定值）

◇非线性方程的线性转换 ①指数函数：β

αX

Y =，两边取对数， x y βα+=

②指数函数：X Y βα⨯=，两边取对数，bX y +=α ③分数函数：X Y β

α+=，设X x 1=，x y βα+= ④分数函数：X

Y βα+=

1

，设Y

x 1=

，X y βα+=

⑤半对数函数：X Y l og βα+=，设X x l o g =，x y βα+= ⑥2次函数：2

x x Y γβα++=，设2

X Z =，Z X y γβα++=

⑦柯布-道格拉斯函数：γ

βαY X Z =，两边取对数，

⑧逻辑函数：x

x

e

e

Y βαβα+++=1，设Y

Y y -=1l og

⑨逻辑函数：x

e

Y βαγ

++=1，设

⎪⎭

⎫

⎝⎛-=1l og Y y γ，

◇ 多元回归模型

εββββ+++++=k k x x x y 22110

＊自由度修正调整决定系数2R ，有可能为负

=()()

()

∑∑----1/122n Y Y k n i i

ε

● 检验

◇ t 检验，t 值或t 统计量

2

β s ，2

β s

非正规分布，而是 t 分布

＊虚拟假设、对立假设

虚拟假设 0H ：00=β， 0H ：01=β 对立假设 1H ：00≠β， 1H ：01≠β ＊单侧经验、双侧检验

＊自由度=1--k n

＊显著性水平： 1%：*** ； 5%：**； 10%：*