数字信号处理第六章7常用模拟低通滤波器特性

K
c N
2N 1
其中：
sk
ca
sin
2N
(2k
1)
jcb
cos
2N
(2k
1)
k 1,2,..., N
2020/4/11
数字信号处理
5）滤波器的设计步骤:
确定技术指标： p 1 s 2
归一化：
p
p p
1
s
s p
根据技术指标求出滤波器阶数N及 ：
N
ch 1 (k11 )
ch
1 s
其中：k11
1、由幅度平方函数 Ha ( j) 2确定模拟滤波 器的系统函数 Ha (s)
Ha(
j)
2
Ha(
j)
H
* a
(
j)
h(t)是实函数
Ha ( j)Ha ( j)
Ha (s)Ha (s) s j
将左半平面的的极点归 Ha (s)
将以虚轴为对称轴的对称
零点的任一半作为Ha (s) 的零点，虚轴上的零点一
H
an
(s)
1
3.8637s
7.4641s2
1 9.1416s3
7.4641s4
3.8637s5
s6
c’) 去归一化
Ha
(s)
H an
s c
s6
2.716s5
3.691s4
0.1209 3.179s3 1.825s2
0.121s
0.1209
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数字信号处理
4）将 Ha (s)展成部分分式形式:
CN (x)
ch( Nch 1x)
x 1
单调增加
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数字信号处理
1）幅度函数特点：
Ha ( j)
1
1
2CN2
c
0 – N为奇数 Ha ( j0) 1
– N为偶数 Ha ( j0) 1/ 1 2
c Ha ( j) 1/ 1 2
c 通带内：在1和 1/ 1 2 间等波纹起伏
c p
100.11
1
1 2N
0.7032
rad / s
用通带技术指标，使阻带特性较好，改善混迭失真
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数字信号处理
b) 求出极点（左半平面）
s e j
1 2
22kN1
k
c
k 1,2,...,6
c) 构造系统函数 或者
Ha (s) 6 6c
(s sk )
k 1
b’) 由N = 6，直接查表得
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
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数字信号处理
1
1
2
1
a
1 2
1 N
1 N
b
1 2
1 N
1 N
k
ca
sin
2N
(2k
1)
k
cb
cos
2N
(2k
1)
sk k jk k 1, 2,..., 2N
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数字信号处理
4）滤波器的系统函数：
Ha(s) N K
(s sk )
k 1
1
1
s jc
2N
Butterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：
sk
1
(1)2N
jc
ej
1 2
22kN1
c
k 1,2,...,2N
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数字信号处理
• 极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点
• 极点间的角度间隔为 / N rad
• 极点不落在虚轴上 • N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点
(2k
1)
或者由N和1 ，直接查表得 Han (s)
去归一化
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Ha (s)
数H字信a号n 处 理sp
k 1,2,..., N
例：用双线性变换法设计Chebyshev数字低通滤波
器，要求在频率低于 0.2 rad的通带内幅度特性 下降小于1dB。在频率 0.3 到 之间的阻带内，
率低于 0.2 rad的通带内幅度特性下降小于1dB。 在频率 0.3 到 之间的阻带内，衰减大于15dB。
分别用冲激响应不变法和双线性变换法。
1、用冲激响应不变法设计
1）由数字滤波器的技术指标：
p 0.2 rad 1 1dB s 0.3 rad 2 15dB
2）得模拟滤波器的技术指标：选T = 1 s
数字信号处理
4）将 Ha (s)变换成Butterworth数字滤波器：
H (z)
Ha (s)
s
2 T
1 1
z 1 z 1
1 (11.268z1
0.7051z2 )
1 (11.010z1
0.358z2 )
(1
0.9044
z
1
1
0.2155z
2
)
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数字信号处理
3、Chebyshev低通逼近
0.7662
rad / s
用阻带技术指标，使通带特性较好，因无混迭问题
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数字信号处理
b) 求出极点（左半平面）
s e j
1 2
22kN1
k
c
k 1,2,...,6
c) 构造系统函数
Ha (s) 6 6c
(s sk )
k 1
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数字信号处理
2020/4/11
N
ch1
1
100.12 1
ch1
s c
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数字信号处理
s 为阻带截止频率
阻带衰减越大 所需阶数越高
3）幅度平方特性的极点分布：
H
a
(
j)
2 s
/
j
Ha (s)H a (s)
1
1
2CN2
s jc
sk k jk k 1, 2,..., 2N
2 k
(ca)2
k2 (cb)2
或者由N，直接查表得 Han (s)
去归一化
s
Ha
(s)
H an
c
其中技术指标 c 给出或由下式求出：
c p
100.11
1
1 2N
阻带指标有富裕
或 10 1 c
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0.1 2
1 2N
s
数字信号处理
通带指标有富裕
例：设计Butterworth数字低通滤波器，要求在频
c Ha ( j) 2 1/ 2 1 3dB 3dB不变性
c 通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小
c 过渡带及阻带内快速单调减小
当
（阻带截止频率）时，衰减
st
2
为阻带
最小衰减
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数字信号处理
2）幅度平方特性的极点分布：
H
a
(
j)
2 s
/
j
Ha (s)H a (s)
例：已知幅度平方函数：
Ha(
j)
2
16(25 2 )2 (49 2 )(36
2
)
，求系统函数H
a
(
s)
解：Ha (s)Ha (s)
Ha
(
j)
2 2
s2
16(25 s2 )2 (49 s2 )(36 s2 )
极点：s 7, s 6 零点： s j5（二阶）
Ha (s) 的极点：s 7, s 6 零点： s j5
2
1.019
rad
/s
2 15dB
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数字信号处理
3）设计Butterworth模拟低通滤波器
a）确定参数
sp s / p 1.568 ksp
100.11 100.1 2
1 1
0.092
N lg ksp / lg sp 5.306 取N 6
c
s
100.1 2
1
1 2N
半归 Ha (s)
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数字信号处理
由 Ha ( j) 2 确定Ha (s)的方法
由幅度平方函数得象限对称的s平面函数 将Ha (s)Ha (s) 因式分解，得到各零极点 对比Ha ( j)和 Ha (s)，确定增益常数 由零极点及增益常数，得Ha (s)
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数字信号处理
c 通带外：迅速单调下降趋向0
2020/4/11
数字信号处理
2）Chebyshev滤波器的三个参量：
c：通带截止频率，给定
：表征通带内波纹大小
1
20lg
Ha ( j) max Ha ( j) min
20lg
1 2
2 100.11 1 由通带衰减决定
N：滤波器阶数，等于通带内最大最小值的总数
八、常用模拟低通滤波器特性
将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术 指标，设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器
模拟滤波器
– 巴特沃斯 Butterworth 滤波器 – 切比雪夫 Chebyshev 滤波器 – 椭圆 Ellipse 滤波器 – 贝塞尔 Bessel 滤波器
2020/4/11
数字信号处理
2020/4/11
数字信号处理
2020/4/11
数字信号处理
2、用双线性变换法设计
1）由数字滤波器的技术指标：
p 0.2 rad 1 1dB s 0.3 rad 2 15dB
2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：
选T 1s
p
2 tg p
T2
0.65
rad
/s
1 1dB
s
2 T
tg s
设增益常数为K0
Ha
(s)
K0(s2 (s 7)(s
25) 6)
由Ha (s) s0 Ha ( j) 0，得K0 4
4(s2 25)
4s2 100
Ha (s)
2020/4/11
(s
7)(s
数字6信) 号处理s2
13s
42
2、Butterworth 低通逼近
幅度平方函数：
Ha(
j)
2
0.3646
b
1 2
1 N
1 N
1.0644
sk
c
a
sin
2N
(2k
1)
jcb
cos
2N
(2k
1)
0.0907 j0.6390 k 1,4 0.2189 j0.2647 k 2,3
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c) 构造系统函数
2020/4/11
p p /T 0.2 rad / s 1 1dB s s /T 0.3 rad / s 2 15dB
数字信号处理
3）设计Butterworth模拟低通滤波器
a）确定参数
sp s / p 1.5
100.11 1 ksp 100.12 1 0.092
N lg ksp / lg sp 5.884 取N 6
1
1 c
2N
N为滤波器的阶数
c 为通带截止频率 当 Ha ( jc ) 2 1/ 2时
1 20lg
Ha ( j0) Ha ( jc )
3dB
称 c为Butterworth低通滤波器的3分贝带宽
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数字信号处理
1）幅度函数特点：
Ha ( j) 2
1
2N
1
c
0 Ha ( j) 2 1
100.12 1 100.11 1
2 100.11 1
2020/4/11
数字信号处理
求出归一化系统函数： Han (s)
1
N
2N1 (s sk )
其中极点由下式求出：
1
1
2
1
k 1
a
1 2
1 N
1 N
b
1 2
1 N
1 N
sk
c
a
sin
2N
(2k
1)
jcb
cos
2N
N
100.11 1 100.12 1
s
令 sp
2020/4/11
p
ksp
100.11 1 100.12 1
数字信号处理
则：N lg ksp
lg sp
求出归一化系统函数： Han (s) N 1
其中极点：
(s sk )
k 1
s ej
1 2
22kN1
k
c
k 1,2,..., N
3）设计Chebyshev模拟低通滤波器
a）确定参数
c p 0.65 rad / s
100.11 1 0.5088
N
ch 1
1
100.12 1 3.0141
ch 1
s c
取N 4
2020/4/11
数字信号处理
b) 求左半平面极点
1
1
2
1
4.1702
a
1 2
1 N
1 N
2020/4/11
数字信号处理
幅度平方函数：
Ha(
j)
2
1
1 2CN2
( c
)
0 1 ，表示通带波纹大小， 越大，波纹越大
c ：截止频率，不一定为3dB带宽 N：滤波器的阶数 CN (x) ：N阶Chebyshev多项式
2020/4/11
数字信号处理
cos(N cos1 x) x 1 等波纹幅度特性
2020/4/11
数字信号处理
3）滤波器的系统函数：
Ha (s) N cN
(s sk )
k 1
s ej
1 2
22kN1
k
c
k 1,2,..., N
c cr 1 rad / s 为归一化系统的系统函数 Han (s)
去归一化，得
2020/4/11
Ha (s) Han (s)
数字信号处理
Ha (s)
N k 1
s
Ak sk
变换成Butterworth数字滤波器：
H (z)
N TAk k1 1 eskT z 1
0.2871 0.4466z1
2.1428 1.1454z1
1 0.1297z1 0.6949z2 11.0691z1 0.3699z2
1.8558 0.6304z1 1 0.9972z1 0.2570z2
s cr s c
H
an
cr s c
4）滤波器的设计步骤：
确定技术指标：p 1 s 2 根据技术指标求出滤波器阶数N：
由 1 20lg Ha ( jp )
得：1
p c
2N
100.11
2N
同理：1
s c
100.12
Ha(
j p )
2
1
1 p c
2N
p s
衰减大于15dB。
1）由数字滤波器的技术指标：
p 0.2 rad 1 1dB s 0.3 rad 2 15dB
2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：
选T 1s
2020/4/11
p
2 tg p
T2
0.65
rad
/s
s
2 tg s
T2
1.019 rad / s
数字信号处理
1 1dB 2 15dB