二次函数中考复习课件

2 b 4ac b 2 a x 2 2a 4a
b 4ac b2 a x . 2a 4a
2
这个结果通常称为求顶 点坐标公式.
2、二次函数的图象及性质
y 0
(0,c)
(0,c)
y
b 4ac b 2 2a , 4a
y
O
x y
O
b2-4ac=0
与x轴有唯一个 交点 ( b ,0)
2a
x y来自百度文库
O
有两个相等的 解 b x1=x2=
2a
b2-4ac＜0
与x轴没有 交点
没有实数根 x
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有 三种情况: 2 – 4ac > 0 △ = b (1)有两个交点 (2)有一个交点 △= b2 – 4ac= 0 (3)没有交点 △= b2 – 4ac< 0
4、求抛物线的解析式
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 2+bx+c(a≠0) y=ax ________________ 一般式 2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设 y=a(x-h)2+k(a≠0) 抛物线解析式为_______________
顶点式
3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) (x2,0),通常设解析式为_____________
b 4ac b 2 当x 时, y最大值为 2a 4a
1 25 （ ， - ） 二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是__________ 2 4 1 x= 2 对称轴是_________ 。
—
1 x= — y 2
增减性: 1 当 x 时,y随x的增大而减小
x (3,0)
(-2,0) 0
a=-2,b=4,c=0
5、抛物线的平移法则 注：平移前后的两条抛 a
物线的二次函数
不变
练习 ⑴二次函数y=2x2的图象向下 平移 3 个单位可得 到y=2x2-3的图象； 二次函数y=2x2的图象向右 平移 3 个单位可得到 y=2(x-3)2的图象。 ⑵二次函数y=2x2的图象先向左 平移1 个单位， 再向 上 平移 2 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的 图象。
二次函数复习
二次函数一般考点：
1、二次函数的定义 2、二次函数的图象及性质 3、求二次函数的解析式 4、a，b，c符号的确定 5、抛物线的平移法则 6、二次函数与一元二次方程的关系 7、二次函数（求最值）的综合运用
1、二次函数的概念
3 1、y=-x² ，y x 3 ， y=100-5x² ，y=3x² -2x³ +5, x
2
其中是二次函数的有____个。
2，函数 y (m m 2) x
2
m2 2
当m取何值时，
（1）它是二次函数？ （2）它是反比例函数？ 2 2 （1）若是二次函数，则 m 2 2 且m m 2 0
∴当 m 2 时，是二次函数。
2 2 m 2 1 （2）若是反比例函数，则 且 m m2 0
∴当 m 1 时，是反比例函数。
函数y=ax² +bx+c的顶点式
y ax2 bx c
c 2 b a x x a a
2 b b 2 b 2 c a x x a 2a 2a a
(2)解:∵抛物线与x轴相交时 x2-2x-8=0
c
A P B x
解方程得:x1=4, x2=-2 ∴AB=|4-(-2)|=6 而P点坐标是(1,-9),PC=|-9|=9
S=1/2 AB×PC=
7、二次函数的综合运用
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x23x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点 到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物 线的解析式.
2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平 移4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物 线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.
分析:
(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0)
(2) 新抛物线向右平移5个单位, 再向上平移4个单位即得原抛物线 答案:y=-x2+6x-5
最值:
2 1 当 x 时,y随x的增大而增大 2 1 25 x 当 时,y有最 小值,是 2 4
25 1 （—，-— 4） 2
函数值y的正负性: 当 x<-2或x>3 时,y>0 当 x=-2或x=3 时,y=0
当 -2<x<3
时,y<0
练习
1 2 1、二次函数y= 2 x +2x+1写成顶点式为： 1 y= 2 (x+2)2-1 x=-2 ，顶点为______ (-2，-1) __________，对称轴为_____
交点式或两根式
1、根据下列条件，求二次函数的解析式。
(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
2、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值 是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图 象经过点（3，-6）。求a、b、c。
左加右减，上加下减
引申：y=2(x+3)2-4
y=2(x+1)2+2
６、二次函数与一元二次方程的关系
判别式： b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c （a≠0） 图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的根
有两个不同的 解x=x1，x=x2
与x轴有两个不 b2-4ac＞0 同的交点 （x1 ，0） （x2 ，0）
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
a>0,开口向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
b 4ac b 2 当x 时, y最小值为 2a 4a
x
b 4ac b 2 2a , 4a
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
△决定抛物线与x轴的交点：△＞０时抛物线与x轴有两个交点 △＝０时抛物线与x轴有一个交点 2 △= b -4ac △＜０时抛物线与x轴没有交点
△
例2:如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图像开口向上， 图像经过点（－1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴. （1）问：给出五个结论：①a>0；②b>0;③c>0；④ a+b+c=0; ⑤abc<0； ⑥2a+b>0; ⑦a-b+c<1. 其中正确的结论的序号是 （ ①④ ⑥
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同 a=1或-1 又 顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, 顶点为(1,5)或(1,-5) 所以其解析式为: (1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5 展开成一般式即可.
2、已知二次函数y= 0 。 顶点在y轴上，则b=___
1 2 2 x +bx-5的图象的
3、a，b，c符号的确定
a决定开口方向和大小：a＞０时开口向上， a
a＜０时开口向下
a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧 a、b异号时对称轴在y轴右侧 a,b b＝０时对称轴是y轴
c
c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴 c＝０时抛物线过原点 c＜０时抛物线交于y轴的负半轴
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
△= b2 –
4ac ≥0
例2:已知抛物线y=x2-2x-8， （1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点； （2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、 B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。
(1)证明:∵△=22-4
y ×
(-8)=36>0
∴该抛物线与x轴一定有两个交点