布丰投针实验原理

布丰投针实验原理

在张远南先生的著作《偶然中的必然》里，有关于“布丰投针实验”的故事。为了增加阅读的趣味性，我稍微做了一点改动。

1777年的一天，法国科学家布丰的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。

试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针。然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交，以及相交的次数告诉我。

客人们不知布丰先生要玩什么把戏，只好客随主意，一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把它捡起来再扔。而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的有704次。总次数2212与相交次数704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似值！”

客人们一片哗然，议论纷纷，大家全都感到莫名其妙：“圆周率π？这可跟投针半点也不沾边呀！”

布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“诸位，这里用的是概率的原理，如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到π的更精确的近似值呢。”

那么，“布丰投针实验”的依据究竟是什么呢？下面就是书中简单而巧妙的证明。为了便于理解，我把证明过程说得稍微详细一点。

假设那组平行线的间距等于d。如果把一个直径为d的铁丝圆圈，扔到平行线组上，因为它的周长等于πd，所以，不论怎样扔，每个圆圈都会与平行线有两个交点。因此，如果扔下的次数为n，交点的总数为m，必定有m＝2n。

还用那组平行线，不过这回把圆圈剪开拉直，变成长度为πd的直铁丝。显然，直铁丝与平行线相交的情形要比圆圈复杂，最多可能有4个交点，也可能有3个、2个、1个交点，也可能不相交，没有交点。不过，由于圆圈和直铁丝的长度相同，根据概率学的“机会均等原理”，当圆圈和直铁丝投掷的次数较多并且相等时，它们与平行线组的交点总数可望也是一样的。这就是说，如果直铁丝扔下的次数为n，与平行线组的交点总数m也应该大致为2n。

现在讨论铁丝长度为b的一般情况。这种铁丝与平行线组的交点总数m，应当与长度b成正比，因而有m＝kb，式中k是比例系数。为了求出k，回到前面直铁丝的特殊情形，此时b＝πd，m＝2n。由于m＝kb，所以kb＝2n，而b＝πd，也就是kπd＝2n，

这里改用约等号，是因为“机会均等原理”毕竟只是一种或然推断而已。在上面的故事中，布丰有意让针长b恰好等于平行线间距离d的一半，即d＝2b。

才使他很快就能算出结果。客人们万万想不到，π竟然会出现在这种与圆毫不相干的场合，然而，投针实验能够得到圆周率的近似值，却是千真万确的事实。这，正是数学的奥妙之处。