初中几何辅助线——圆常用辅助线

习 学
分 分 结论 2.圆外角的度数等于它所截两条弧的度数之差的一半.
分
满 满 满 结论 3.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题.
例 6 如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，P 为 AC 延长线上一点，且 AC = PC，
习 PB 的延长线交⊙O 于 D，求证：AC = DC
习 ∵CF 为⊙O 的直径 学 ∴CD⊥FD
习A
学C
D
O
习 学
分又∵CD⊥AB
分 分 E F
满 ∴AB∥DF
满
满 B
∴ AD BF
∴AD = BF
习 ∵OE⊥BC O 为圆心 学 ∴CE = BE 分∴OE = 1 BF
2
满 ∴OE = 1 AD 2
CO = FO
习
学
分
满
习 学 分 满
题型 9.圆上有四点时，常构造圆内接四边形.
习 学 分
满
满
题型 5.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：
⑴连结过弧中点的半径
习 ⑵连结等弧所对的弦 学 ⑶连结等弧所对的圆心角 分 满
习 学 分 满
习 学 分 满
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分
满 满 满 例 5 如图，已知 D、E 分别为半径 OA、OB 的中点，C 为弧 AB 的中点，求证：
⊙O1、⊙O2 于 A、C、D、B.求证：AC = BD
证明：过 O1 作 O1M⊥AB 于 M,过 O2 作 O2N⊥AB 于 N，则 O1M∥O2N
习 ∴ O1M O1P O2 N O2 P
学 ∵O1P = O2P 分∴O1M = O2N 满 ∴AC = BD
习 A
MC
分学 O1
P
O2 DN B
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分 满
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分 满
例 8 如图，△ABC 内接于⊙O，直线 AD 平分∠FAC，交⊙O 于 E，交 BC 的延长
线于 D，求证：AB·AC = AD·AE
习 证明：连结 BE
习E
学 ∵∠1 =∠3 ∠2 =∠1
分 满
∵CM⊥OA、DN⊥OB、OC = OD
∴Rt△COM≌Rt△DON
习 ∴∠COA = ∠DOB
习
学 ∴
学
分 分 （二）连结 AC、OC、OD、BD
满 满 ∵M、N 分别是 AO、BO 的中点
∴AC = OC
BD = OD
习 学 分 满
∵OC = OD
习 ∴AC = BD 学 ∴
习 学
分题型 3.有弦中点时常连弦心距
习
学 证明：连结 AD
学D
分∵AB 为⊙O 的直径 满 ∴∠ADP = 90o
分B
满O A
C
∵AC = PC
习 学 分 满P
∴AC = CD = 1 AP 2
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分
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满 满 题型 6.有垂直弦时也常作直径所对的圆周角.
分 满
题型 7.有等弧时常作辅助线有以下几种：
⑴作等弧所对的弦
习 ⑵作等弧所对的圆心角
习
学 ⑶作等弧所对的圆周角
学
分
分
满 满 题型 8.有弦中点时，常构造三角形中位线
习 学 分 满
例 7 已知，如图，在⊙O 中，AB⊥CD，OE⊥BC 于 E，求证：OE = 1 AD 2
证明：作直径 CF，连结 DF、BF
分 满
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分 满
题型 1.圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）
习 习 这一辅助线，一是利用垂径定理得到平分弦的条件，二是构造直角三角形，利
习
学 用勾股定理解题.
学
学
分
分
分
满 满 满 例 1 如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C、D 二点.
CD = CE
证明：连结 OC
习 ∵C 为弧 AB 的中点
习O
学 ∴ AB BC
学D E
分∴∠AOC =∠BOC
分A
B
C
满
满 ∵D、E 分别为 OA、OB 的中点，且 AO = BO
∴OD = OE = 1 AO = 1 BO
2
2
又∵OC = OC
习 学 分 满
∴△ODC≌△OEC
习 习 ∴CD = CE 学 学 结论 1.圆内角的度数等于它所对的弧与它对顶角所对的弧的度数之和的一半.
分
满
满
习 学 分 满
例 3 如图，已知 M、N 分别是⊙O 的弦 AB、CD 的中点,AB = CD，求证：∠AMN
= ∠CNM
习 证明：连结 OM、ON
习A
C
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习
学 学 ∵O 为圆心，M、N 分别是弦 AB、CD 的中点
M
N
学
分∴OM⊥AB
ON⊥CD
分 分 O
B
D
满 ∵AB = CD
满
满
∴OM = ON
习 求证：
习
学
学C
D
分证明：（一）连结 OC、OD
分A
满 满 ∵M、N 分别是 AO、BO 的中点 ∴OM = 1 AO、ON = 1 BO
MO N
B
2
2
习 学 分 满
∵OA = OB
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分 满 ∴OM = ON
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∴∠OMN = ∠ONM
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分
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满 满 ∵∠AMN = 90o－∠OMN
分 满
∠CNM = 90o－∠ONM
∴∠AMN =∠CNM
习
习
习
学 学 题型 4.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.
学
分
分
分
满 满 满 例 4 如图，已知⊙O1 与⊙O2 为等圆，P 为 O1、O2 的中点，过 P 的直线分别交
学F
O
3
A
1
2
分∴∠3 =∠2
分B
C
D
满 满 ∵四边形 ACBE 为圆内接四边形
∴∠ACD =∠E
习 学 分 满
∴△ABE∽△ADC
∴ AE AB AC AD
学习 ∴AB·AC = AD·AE
习 学
分 分 题型 10.两圆相交时，常连结两圆的公共弦
满
满
习 学 分 满
例 9 如图，⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B，过 A 的直线分别交⊙O1、⊙O2 于 C、D，
求证：AC = BD
证明:过 O 作 OE⊥AB 于 E
O
∵O 为圆心，OE⊥AB
习 ∴AE = BE CE = DE 学 ∴AC = BD 分
习 A C E D B 学 分
习 学 分
满 满 满 题型 2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.
例 2 如图，已知 AB 是⊙O 的直径，M、N 分别是 AO、BO 的中点，CM⊥AB,DN⊥AB，