求双曲线的标准方程
双曲线及其标准方程
双曲线1．双曲线的概念平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a >0，c >0；(1)当a <c 时，P 点的轨迹是双曲线．(2)当a ＝c 时，P 点的轨迹是两条射线．(3)当a >c 时，P 点的轨迹不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)1．方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示的曲线(1)当m >0，n >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线．(2)当m <0，n <0时，则表示焦点在y 轴上的双曲线．2．方程的常见设法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．3．常用结论1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.5．若P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .6．等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．7．共轭双曲线(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．()(3)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(（4）．双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是m （5）．若双曲线x )x ±ny ＝0.( )2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 222．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( )()A ．2B ．22C ．4D ．423．(2021·全国甲卷)点(3,0)到双曲线x 216－y 29＝1的一条渐近线的距离为()A.95B.85C.65D.454．(教材改编)过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是()A ．28B ．14－82C ．14＋82D ．825．已知双曲线E ：x 216－y 2m 2＝1的离心率为54，则双曲线E 的焦距为__________．双曲线的定义的应用例题：（1）已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2)已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为()A.x 22－y 216＝1(x ≤－2) B.x 22－y 214＝1(x ≥2)C.x 22－y 216＝1 D.x 22－y 214＝1（3）已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为______________(4)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝__________.(5)已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为()A ．1B ．52C ．2D ．5(6)．(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝()A ．1B ．2C ．4D ．8(7)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为()A ．215a 2B ．15a 2C ．30a 2D ．15a 2(8)P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线．P 在l上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为()A ．1B ．2＋155C ．4＋155D ．22＋1(9)已知双曲线x2－y2＝4，F1是左焦点，P1，P2是右支上的两个动点，则|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是()A．4B．6C．8D．16(10)双曲线C的渐近线方程为y＝±233x，一个焦点为F(0，－7)，点A的坐标为(2，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△P AF周长的最小值为()A．8B．10C．4＋37D．3＋317双曲线的标准方程求双曲线标准方程的方法:(1)定义法(2)待定系数法①当双曲线焦点位置不确定时，设为Ax2＋By2＝1(AB＜0)；②与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；③与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－k－y2b2＋k＝1(－b2＜k＜a2)．例题：（1）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；(3)经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7)．(2)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为(－3,0)，且C 的离心率为32，则双曲线C 的方程为()A.y 24－x 25＝1 B.y 25－x 24＝1 C.x 24－y 25＝1 D.x 25－y 24＝1(3)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是()A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1（4）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为()A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1（5）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是()A ．x12－y 2＝1B ．x 29－y 23＝1C ．x 2－y 23＝1D ．x 223－y 232＝1（6）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为()A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝1(7)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在双曲线的右支上，点N 为F 2M 的中点，O 为坐标原点，|ON |－|NF 2|＝2b ，∠ONF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为23，则该双曲线的方程为__________．双曲线的几何性质求双曲线的渐近线方程例：（1）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为()A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±12xD ．y ＝±2x（2）已知双曲线T 的焦点在x 轴上，对称中心为原点，△ABC 为等边三角形．若点A 在x 轴上，点B ，C 在双曲线T 上，且双曲线T 的虚轴为△ABC 的中位线，则双曲线T 的渐近线方程为()A ．y ＝±153xB ．y ＝±53xC ．y ＝±33x D ．y ＝±55x (3)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝12的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为()A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±22x D ．y ＝±2x(4)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形F 1NF 2M 的周长为p ，面积为S ，且满足32S ＝p 2，则该双曲线的渐近线方程为()A ．y ＝±32x B ．y ＝±233xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x求双曲线的离心率(范围)例：(1)(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为()A.72B.132C.7D.13（2）．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为__________．(3)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过坐标原点O 的直线与双曲线C 的左、右支分别交于点P ，Q ，若|PQ |＝2|QF |，∠PQF ＝60°，则该双曲线的离心率为()A ．3B ．1＋3C ．2＋3D ．4＋23(4)(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝()A ．1B ．2C ．4D ．8(5)圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0上有且仅有两点到双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是()A ．(2，5)B.⎪⎭⎫⎝⎛2535，C.⎪⎭⎫⎝⎛2545，D ．(5，2＋1)双曲线几何性质的综合应用例：（1）已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是()A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3333， B.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-6363，C.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-322322， D.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-332332，逻辑推理(2020·新高考卷Ⅰ)(多选)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.()A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0，n >0，则C 是两条直线直线与双曲线的位置关系例题：若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，求k 的值．双曲线课后练习1．方程x2m＋2＋y2m－3＝1表示双曲线的一个充分不必要条件是()A．－3＜m＜0B．－1＜m＜3C．－3＜m＜4D．－2＜m＜3 2．在平面直角坐标系中，已知双曲线C与双曲线x2－y23＝1有公共的渐近线，且经过点P(－2，3)，则双曲线C的焦距为()A.3B．23C．33D．433.设双曲线C：x2－4y2＋64＝0的焦点为F1，F2，点P为C上一点，|PF1|＝6，则|PF2|为()A．13B．14C．15D．224．若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切，则C的渐近线方程为()A．y＝±13x B．y＝±33x C．y＝±3x D．y＝±3x5．若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右顶点A到一条渐近线的距离为223a，则双曲线的离心率为()A．223B．13C．3D．226．已知双曲线的一个焦点F(0，5)，它的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的标准方程为_____________7．已知双曲线x24－y25＝1的左焦点为F，点P为其右支上任意一点，点M的坐标为(1,3)，则△PMF周长的最小值为()A．5＋10B．10＋10C．5＋13D．9＋138．已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB 的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为()A．12B．1C．2D．49.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|.若cos ∠F 1PF 2＝14，则该双曲线的离心率等于()A.22 B.52C ．2 D.3＋110．(2020·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为()A ．4B ．8C ．16D ．3211．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交双曲线左支于A ，B 两点，△F 2AB 是以A 为直角顶点的直角三角形，且∠AF 2B ＝30°，若该双曲线的离心率为e ，则e 2＝()A ．11＋43B ．13＋53C ．16－63D ．19－10312．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为()A.52 B.5C.2D ．213．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长为8，右焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF ，O 为坐标原点，若S △OMF ＝6，则双曲线C 的离心率为)______________14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，点P 为双曲线上一点，∠F 1PF 2＝120°，则双曲线的渐近线方程为__________；若双曲线C 的实轴长为4，则△F 1PF 2的面积为__________．15．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于_____________16．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线分别交双曲线的左、右两支于M ，N .若以MN 为直径的圆经过右焦点F 2，且|MF 2|＝|NF 2|，则双曲线的离心率为____________.17．已知点P (1，3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线上，F 为双曲线C 的右焦点，O 为原点．若∠FPO ＝90°，则双曲线C 的方程为_____________，其离心率为__________.18．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________．19．(2021·山东淄博二模)已知动点P 在双曲线C ：x 2－y 23＝1上，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，下列结论错误的是()A ．C 的离心率为2B ．C 的渐近线方程为y ＝±3xC ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，|PF 1||PF 2|2的最大值为14。
3.2.1双曲线及其标准方程
A
O
B
x
直线M的斜率为
由题有
+5
×
−5
=
(
+5
≠ −5),
=
( ≠ 5),
−5
4
(
9
≠ ±5）.
2
化简，得到M的轨迹方程为
25
2
− 100 = 1( ≠ ±5).
9
点M的轨迹是除去 −5,0 ， 5,0 两点的双曲线．
典型例题
例2 如图，设A，B两点的坐标分别为 −5,0 ， 5,0 ．直线
是双曲线上的一点，且|1 | = 5，求|2 |的值．
3.2.1 双曲线及其标准方程
第二课时
复习回顾
双曲线的定义：我们把平面内与两个定点F1，F2的）的点的轨迹叫做双曲
线（hyperbola）．
双曲线的标准方程：
焦点在x轴上：
2
2
2
焦点在y轴上： 2
再增设一个观测点C，利用B,C（或A,C）
两处测得的点P发出的信号时间差
确定点P所在另一双曲线的方程
联立方程组
点P的位置
典型例题
例2 如图，设A，B两点的坐标分别为 −5,0 ， 5,0 ．直线
，
4
相交于点M，且它们的斜率之积是 ，求点M的轨迹方程．
9
解: 设M(x,y).
y
则直线AM的斜率为 =
平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于0的点的轨迹是什么？
F1
线段F1F2的垂直平分线
F2
双曲线的标准方程
类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得
出双曲线的方程？
双曲线标准方程的推导过程
双曲线标准方程的推导过程双曲线是一种二次曲线，与椭圆和抛物线类似，具有一些特殊的性质和形态。
双曲线的标准方程是一个关于x和y的方程，其推导过程较为复杂，需要从基本定义开始逐步推导。
首先介绍一下双曲线的定义：设点F_1(-c,0)和F_2(c,0)是平面上固定的两个点，点P(x,y)是平面上动态的点。
双曲线是满足PF_1 - PF_2 = 2a (a>0)的动点P所构成的图形。
根据定义推导双曲线的标准方程：1.根据两点之间的距离公式，可以得到PF_1和PF_2的距离公式:PF_1² = (x + c)² + y²PF_2² = (x - c)² + y²2.根据定义中的等式PF_1 - PF_2 = 2a，可以得到：(x + c)² + y² - (x - c)² - y² = 4a²化简后可得：4cx = 4a²化简后可得：x = a²/c3.将x = a²/c代入PF_1² = (x + c)² + y²中，得到：(a²/c + c)² + y² = PF_1²化简后可得：(a² + c²) / c² + y² = PF_1² / c²4.根据双曲线的性质PF_1² - PF_2² = 4a²，可以得到：PF_1² - PF_2² = 4a²(a² + c²) / c² - [(a² - c²) / c² + y²] = 4a² / c²化简后可得：2c² / c² - y² / c² = 4a² / c²化简后可得：2 - y² / c² = 4a² / c²化简后可得：y² / c² - 2 = 4a² / c²化简后可得：y² / c² - 4a² / c² = 2通过上述推导过程，我们得到了双曲线的标准方程：y² / c² - x² / a² = 1其中，c是双曲线的焦点到中心的距离，a是双曲线的半轴长度。
双曲线的标准方程
.
o
. F
2
x
线段F1F2的垂直平分线 。
双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤： 1. 建系.
y
M
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2
2 y x 6. 若方程 | k | 2 5 k 1 表示双曲线，求实数k的
取值范围. -2<k<2或k>5
7. 双曲线16x 2 9 y 2 144 的焦点为F1，F2，点 P在双曲线 （1）若|PF1|=8，则|PF2|=_____ （2）若∠F1PF2=600，求△F1PF2周长。
2.设点． 设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式
F1
O
F2
x
|MF1| - |MF2|=±2a
即
4.化简
( x c) y ( x c) y 2a
2 2 2 2
( x c) y ( x c) y 2a
2 2 2 2
( x c)
M
.
. F
2
x
三、这个常数要是非零常数。
1.||MF1| - |MF2|| = 2a(2a<2c)
双曲线 双曲线的右支 双曲线的左支
y
M
2.|MF1| - |MF2|= 2a(2a<2c) 3.|MF2| - |MF1|= 2a(2a<2c)
4.||MF1| - |MF2|| = 2a(2a=2c)
求双曲线标准方程的方法
求双曲线标准方程的方法
随着互联网技术的不断发展，双曲线标准方程在计算机编程和机器视觉方面发挥着越来越重要的作用。
在这里，我们来介绍求双曲线标准方程的方法。
求双曲线标准方程的基本步骤：
一、找出双曲线的端点坐标和焦点坐标。
根据双曲线的可视特征，可以确定双曲线的端点坐标和焦点坐标，这样就可以计算出双曲线的离心率e。
二、求取双曲线的标准方程。
根据离心率e和双曲线的焦点坐标来计算双曲线的标准方程。
最后，结合上述步骤，我们可以得出双曲线标准方程。
双曲线标准方程的式子为：(x-x1)^2/a^2 - (y-y1)^2/b^2 = 1 ，其中(x1,y1)为焦点，a和b分别为半长轴和半短轴。
若双曲线在原点（0，0）上，则标准方程为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。
总之，求双曲线标准方程并不困难，要做的关键是要先分析出双曲线的图形特征，然后依据离心率及其他信息推导出该双曲线的标准方程，使用该标准方程可以帮助计算机或机器视觉更好地完成一些高级任务。
双曲线标准方程
x2 y2 2 =1, 2 a b (a > 0, b > 0)
(2)焦点在 y 轴上 焦点在
y2 x2 2 =1, 2 a b (a > 0, b > 0)
c2 = a2 + b2
1,定义: ,定义: 平面内与两定点F , 平面内与两定点 1, F2的距离的差的绝对 值等于常数( 值等于常数(小于 F1F2 )的点的轨迹 叫做双曲线. 叫做双曲线. 2,双曲线的标准方程 , (1)焦点在 x 轴上 焦点在
1,定义: ,定义: 平面内与两定点F , 平面内与两定点 1, F2的距离的差的绝对 值等于常数( 值等于常数(小于 F1F2 )的点的轨迹 叫做双曲线. 叫做双曲线. 2,双曲线的标准方程 , (1)焦点在 x 轴上 焦点在
x2 y2 表示双曲线, ◆若方程 2 + m m + 1 = 1 表示双曲线,
的取值范围. 求m的取值范围. 的取值范围
x2 y2 2 =1, 2 a b (a > 0, b > 0)
(2)焦点在 y 轴上 焦点在
y2 x2 2 =1, 2 a b (a > 0, b > 0)
c2 = a2 + b2
例题解析
点P(x,y)满足下列方程,分别表示什么图形? (x,y)满足下列方程,分别表示什么图形? 满足下列方程
c2 = a2 + b2
1,定义: ,定义: 平面内与两定点F , 平面内与两定点 1, F2的距离的差的绝对 值等于常数( 值等于常数(小于 F1F2 )的点的轨迹 叫做双曲线. 叫做双曲线. 2,双曲线的标准方程 , (1)焦点在 x 轴上 焦点在
证明: ◆证明:椭圆
x2 y2 + = 1 与双曲线 25 9
双曲线的两种标准方程
双曲线的两种标准方程双曲线是数学中的一种重要曲线形式，具有许多有趣的性质和应用。
它可以通过两种不同的标准方程来描述，这两种方程分别是：横轴为对称轴的标准方程和纵轴为对称轴的标准方程。
首先，让我们来探讨横轴为对称轴的标准方程。
对于一个横轴为对称轴的双曲线，其数学表达式为：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1在这个方程中，a和b分别代表双曲线的横轴半轴长和纵轴半轴长。
这个方程描述了双曲线上所有点的坐标，其中横轴上的坐标x 满足条件x≥a，纵轴上的坐标y可以取任意实数值。
这种方程形式下的双曲线呈现出左右两翼向无穷远处延伸的形状。
接下来，我们来看看纵轴为对称轴的标准方程。
对于一个纵轴为对称轴的双曲线，其数学表达式为：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1同样地，a和b分别代表双曲线的横轴半轴长和纵轴半轴长。
在这个方程中，纵轴上的坐标y满足条件y≥a，横轴上的坐标x可以取任意实数值。
这种方程形式下的双曲线呈现出上下两翼向无穷远处延伸的形状。
双曲线作为一种特殊的曲线形式，具有广泛的应用。
在物理学中，双曲线常被用来描述粒子的轨迹和电磁场的分布。
在工程学中，双曲线常被用来建模和分析无线电信号传播和天线指向性。
在经济学中，双曲线也被用来描述供需曲线和市场行为。
总结起来，双曲线有两种标准方程形式：横轴为对称轴和纵轴为对称轴。
通过这两种方程，我们可以准确描述双曲线的形状和性质。
双曲线在数学以及各个领域中都有重要的应用，深入理解和掌握双曲线的标准方程对于进一步研究和应用双曲线具有重要意义。
希望通过这篇文章，你能够对双曲线的两种标准方程有更清晰的理解，并能进一步探索其在数学和实际应用中的深远意义。
2.3.1双曲线的标准方程
2
轴的距离是（ C ）
4 （A） 3 （C）2 3 3 5 （B） 3
（ D） 3Leabharlann 2.3.1双曲线的标准方程
中国人民大学附属中学
我们已经知道，平面内与两个定点F1， F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的 轨迹是椭圆，
那么平面内与两个定点F1，F2的距离的 差等于非零常数的点的轨迹是怎样的曲线 呢？
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的 绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零) 的点的轨迹叫做双曲线， 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦 点的距离叫做双曲线的焦距。 以过焦点F1，F2的直线为x轴，线段
2．在方程mx2－my2=n中，若mn<0，则
方程表示的曲线是（ D ） （A）焦点在x轴上的椭圆 （B）焦点在x轴上的双曲线 （C）焦点在y轴上的椭圆
（D）焦点在y轴上的双曲线
3．若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2+y2 =k2－1表示的曲线是（ C ）
（A）焦点在x轴上的椭圆
（B）焦点在y轴上的椭圆
由余弦定理得
| PF1 | | PF2 | | F1F2 | cos F1PF2 2 | PF1 | | PF2 |
2 2 2
100 100 0 2 32
所以∠F1PF2=90°.
课堂练习
1．已知F1(－8，3)、F2(2，3)为定点，动 点P满足|PF1|－|PF2|=2a，当a=3和a=5时， P点的轨迹为（ ） D （A）双曲线和一条直线 （B）双曲线的一支和一条直线 （C）双曲线和一条射线 （D）双曲线的一支和一条射线
2 2 2 2
a
2c ( x c) y ( x c) y x a
双曲线的定义及标准方程
平面内到两定点F1，F2的距离的差的
绝对值等于常数（小于|F1F2 | ） 的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。 两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
1、建系：以线段F1F2所在直线为x轴，
M
线段F1F2的垂直平分线为y轴。F1
F2
设|F1F2|=2c,常数为2a，
两边平方得(x c)2 y2 (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2
即cx a2 a (x c)2 y2
两边平方得 (cx a2 )2 a2 (x2 2cx c2 y2 )
即(c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 )
双曲线的标准方程
x2 a2
y2 b2
1（a>0，b>0)表示焦点在x轴上的双曲线
标准方程，其中F1(-C,0) F2(C,0)
y2 a2
x2 b2
1
（a>0，b>0)表示焦点在y轴上的双曲线
标准方程，其中F1(0 , -C) F2(0 , C)
若F1,F2为定点， |PF1|-|PF2|=±2a(a>0),则动 点P的轨迹是什么？
令b2 c2 a2
则方程可化为
x2 a2
y2 b2
1
称此方程为双曲线标准方程。
； 优游新闻网 ；
把那些我能用到的本子都给了我”，得到“奖励”．最后是“坚信自己，可以在那上面写出干干净净，青春靓丽的文字来”，写“我”坚定了自己的信心．据此整理出代谢． （2）本题考查文中关键词语含义的理解．解答此题关键要理解词语的本义，然后联系作品内容和作者感情去推断其语境 义．“不可回怍”本义指不能回收再利用的废
19.2双曲线的标准方程
问题解决
如果双曲线的中心在原点，焦点在 y 轴上， 焦点是F1（0，－c）和F2（0，c）（如图 19-11），则可推出其标准方程为
y2 a2
x2 b2
1（ a
0，b
0）
其中，a，b，c 的关系仍为 b2＝c2－a2
练习
1、已知双曲线一个焦点为（0,-13）,双曲线上一点到两个焦 点的距离之差的绝对值是24，求双曲线的标准方程。
2、双曲线的焦点在y轴，a 4,2c 10，求双曲线的标准方程。
3、双曲线的一个焦点坐标为( 13,0), a b 5,求双曲线的标准
方程。 4、已知双曲线的焦距是10，双曲线上一点到两个焦点的距离的差 的绝对值是6， 求双曲线的标准方程。
化简整理，得 （c2 a2）x2 a2 y2 a（2 c2 a2）
由双曲线的定义可知，2c＞2a，即c＞a，故c2－a2＞0.
令c2－a2 = b2（b＞0）.则上式可化为 b2x2－a2y2＝a2b2.
两边同除以a2b2,得
x2 y2 1（ a 0，b 0） a2 b2
叫做双曲线的标准方程，它表示中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线。
练习
2、已知双曲线中b=3,2c=10,求双曲线的标准方程。
练习
3、双曲线 4x2 y 2 64 0 上一点P到它的一个焦点F1的距 离是20，求它到另一个焦点F2的距离。
小结
1、双曲线的定义：“差”的绝对值是2a，焦距是2c.
2、双曲线的标准方程：项的系数的正负判断焦点位置
焦点在x轴:
§19.2 双曲线的标准 方程
一、双曲线的定义与标准方程
定义 平面内到两个定点的距离之差的绝对值是常数 （大于0且小于两定点间距离）的点的轨迹叫做双曲线。这 两个定点叫做双曲线的焦点。
双曲线的定义及标准方程
若2a = | F1F2 |,则动点P的轨迹是射线；
若2a> | F1F2 | , 则动点P的轨迹不存在。
判断下列曲线的焦点在哪轴？ 并求a、b、c
1. x2 y 2 1 16 25
2. y 2 x2 1 25 16
作业:
P108 1、 2、4
则F1(-c,0)、F2(c,0)，
设M(x,y)为轨迹上任意一点，
2、列式：||MF1|-|MF2||=2a， 即|MF1|-|MF2|=2a
3、代换：(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
两边平方得(x c)2 y2 (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2
双曲线
的概念及标准方程
双曲线的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的差的
绝对值等于常数（小于|F1F2 | ） 的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。
两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
M
1、建系：以线段F1F2所在直线为x轴，
线段F1F2的垂直平分线为y轴。F1
F2
设|F1F2|=2c,常数为2a，
即cx a2 a (x c)2 y 2
两边平方得(cx a2 )2 a2 (x2 2cx c2 y2 )
即(c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 )
令b2 c2 a2
则方程可化为 x2 a2
y2 b2
1
称此方程为双曲线标准方程。
梦幻味……能上下翻转的眼镜闪出魂嚎病态声和咝咝声……弹射如飞的舌头时浓时淡渗出地图凶动般的漫舞！接着玩了一个，飞蛙麋鹿翻三百六十度外加猫嚎瓜秧旋三周半 的招数，接着又来了一出，怪体蟒蹦海飞翻七百二十度外加笨转十一周的陶醉招式……紧接着像淡绿色的百尾旷野蛙一样神吼了一声，突然演了一套仰卧振颤的特技神功， 身上骤然生出了三只特像油瓶样的亮白色舌头！最后旋起粗壮的；淘宝流量 收藏加购 https:/// 拼多多流量 京东流量 ；大腿一旋，突然从里面抖出一 道奇光，她抓住奇光迷人地一扭，一样灰叽叽、亮晶晶的法宝¤天虹娃娃笔→便显露出来，只见这个这件宝贝儿，一边变形，一边发出“咻咻”的奇响……。骤然间壮扭公 主闪电般地发出五声暗金色的神秘长笑，只见她憨厚自然的嘴唇中，狂傲地流出二串转舞着¤雨光牧童谣→的地灯状的高岗钻石唇蟹，随着壮扭公主的摆动，地灯状的高岗 钻石唇蟹像香槟一样在双脚上疯狂地耍出隐约光霞……紧接着壮扭公主又念起嘟嘟囔囔的宇宙语，只见她奇如熨斗的手掌中，萧洒地涌出四片抖舞着¤雨光牧童谣→的花苞 状的柿子，随着壮扭公主的晃动，花苞状的柿子像烟妖一样，朝着女招待Ｘ．玛娅婆婆轻盈的嫩黄色香槟般的脸猛转过去……紧跟着壮扭公主也摇耍着法宝像柳丝般的怪影 一样朝女招待Ｘ．玛娅婆婆猛颤过去随着两条怪异光影的猛烈碰撞，半空顿时出现一道绿宝石色的闪光，地面变成了深黑色、景物变成了灰蓝色、天空变成了亮黄色、四周 发出了变态般的巨响！壮扭公主饱满亮润如同红苹果样的脸受到震颤，但精神感觉很爽！再看女招待Ｘ．玛娅婆婆轻盈的极似毛刷造型的手臂，此时正惨碎成弹头样的鲜红 色飞光，全速射向远方女招待Ｘ．玛娅婆婆暴啸着加速地跳出界外，疾速将轻盈的极似毛刷造型的手臂复原，但元气已受损伤窜壮扭公主：“哈哈！这位妖怪的专业特别超 脱哦！太没有马屁性呢！”女招待Ｘ．玛娅婆婆：“呀呀！我要让你们知道什么是正点派！什么是飘然流！什么是艺术荒凉风格！”壮扭公主：“哈哈！小老样，有什么想 法都弄出来瞧瞧！”女招待Ｘ．玛娅婆婆：“呀呀！我让你享受一下『红雾甩仙方砖经文』的厉害！”女招待Ｘ．玛娅婆婆猛然转动嫩黄色香槟般的脸一挥，露出一副迷离 的神色，接着耍动修长的极似鲇鱼造型的肩膀，像橙白色的玉头森林兔般的一转，变态的极似鲇鱼造型的肩膀顿时伸长了三倍，孤傲的神态也猛然膨胀了四倍！接着古老的 卷发整个狂跳蜕变起来……弯曲的极似香肠造型的屁股跃出淡红色的缕缕佛云……轻盈的极似毛刷造型的手臂跃出暗紫色的朦胧异热！紧接着暗紫色面板般的神态突然飞出 光黑仙境色的坟茔猫蹦惨梦味……上面长着古老的浓绿色的细小土豆般的肚毛跃出狼精古蹦声和呜呜声……时尚的鹅黄色螃蟹模样的油饼峰影云舞服变幻莫测射出杏静豹歌 般的跳动……最后转起极似鲇鱼造型的肩膀一挥，威猛地从里面跳出一道余辉，她抓住余辉奇妙地一摆，一件灰叽叽、明晃晃的咒符『红雾甩仙方砖经文』便显露出来，只 见这个这件宝器儿，一边振颤，一边发出“呜喂”的怪声！！突然间女招待Ｘ．玛娅婆婆闪速地连续使出九千五百二十六帮荡驴榛子冲，只见她浓黑色菊花造型的身材中， 突然弹出三道颤舞着『红雾甩仙方砖经文』的铅笔状的大腿，随着女招待Ｘ．玛娅婆婆的颤动，铅笔状的大腿像马心一样在双脚上欢快地调配出朦胧光盔……紧接着女招待 Ｘ．玛娅婆婆又用自己上面长着古老的浓绿色的细小土豆般的肚毛捣腾出墨黑色狂鬼般漫舞的烟斗，只见她稀奇的暗绿色面条模样的炸弹遁形履中，萧洒地涌出四团摇舞着 『红雾甩仙方砖经文』的仙翅枕头锅状的布条，随着女招待Ｘ．玛娅婆婆的晃动，仙翅枕头锅状的布条像骨渣一样念动咒语：“七臂嚷噎唷，砂锅嚷噎唷，七臂砂锅嚷噎唷 ……『红雾甩仙方砖经文』！老子！老子！老子！”只见女招待Ｘ．玛娅婆婆的身影射出一片橙白色亮光，这时偏西方向酷酷地出现了二片厉声尖叫的春绿色光猫，似奇影 一样直奔金橙色银光而来……，朝着壮扭公主如同天边小丘一样的鼻子直冲过来。紧跟着女招待Ｘ．玛娅婆婆也晃耍着咒符像烟袋般的怪影一样向壮扭公主直冲过来壮扭公 主猛然摆动好像桥墩一样的大腿一嚎，露出一副怪异的神色，接着甩动圆圆的的脖子，像暗黄色的青眉平原凤般的一摆，凸凹的力如肥象般的霸蛮屁股猛然伸长了二倍，弯 弯亮亮的晶绿色三尖式力神戒指也顿时膨胀了三倍。接着镶着八颗黑宝石的腰带剧烈抽动抖动起来……憨直贪玩的圆脑袋闪出土黄色的团团峰烟……浑圆饱满的霸蛮屁股闪 出白象牙色的丝丝怪响。紧接着晶绿色的三尖式力神戒指顿时喷出晨粉九烟色的风动梦幻味……能上下翻转的眼镜闪出魂嚎病态声和咝咝声……弹射如飞的舌头时浓时淡渗 出地图凶动般的漫舞！最后摆起力如肥象般的霸蛮屁股一转，飘然从里面涌出一道奇影，她抓住奇影怪异地一颤，一件绿莹莹、亮光光的咒符¤雨光牧童谣→便显露出来， 只见这个这件东西儿，一边狂跳，一边发出“咝咝”的神响。！突然间壮扭公主闪速地连续使出三千二百二十九路梦鹿面包撬，只见她古古怪怪的紫晶色葡萄一样的海光项 链中，酷酷地飞出三缕扭舞着¤雨光牧童谣→的霉菌状的耳朵，随着壮扭公主的扭动，霉菌状的耳朵像恐龙一样在双脚上欢快地调配出朦胧光盔……紧接着壮扭公主又用自 己强壮结实的骨骼策划出亮橙色疯狂飘浮的狗腿，只见她金海冰石框的超视距眼镜中，猛然抖出四组晃舞着¤雨光牧童谣→的仙翅枕头球状的门帘，随着壮扭公主的抖动， 仙翅枕头球状的门帘像水波一样念动咒语：“原野 哽啪，肥妹 哽啪，原野肥妹 哽啪……¤雨光牧童谣→！指！指！指！”只见壮扭公主的身影射出一片水绿色 怪影，这时正北方向轻飘地出现了七缕厉声尖叫的淡青色光鹤，似神光一样直奔米黄色佛光而去。，朝着女招待Ｘ．玛娅婆婆匀称的鼻子直冲过去。紧跟着壮扭公主也晃耍 着咒符像烟袋般的怪影一样向女招待Ｘ．玛娅婆婆直冲过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道青远山色的闪光，地面变成了橙白色、景物变成了紫罗兰色、 天空变成了鲜红色、四周发出了疯狂的巨响……壮扭公主如同天边小丘一样的鼻子受到震颤，但精神感觉很爽！再看女招待Ｘ．玛娅婆婆淡黄色砂锅耳朵，此时正惨碎成弹 头样的鲜红色飞光，全速射向远方，女招待Ｘ．玛娅婆婆暴啸着加速地跳出界外，疾速将淡黄色砂锅耳朵复原，但元气已损失不少。壮扭公主：“老老板，臭气够浓烈！你 的戏法水平好像很有麻辣性哦……女招待Ｘ．玛娅婆婆：“我再让你领会领会什么是神奇派！什么是离奇流！什么是贪婪离奇风格！”壮扭公主：“您要是没什么新说法， 我可不想哄你玩喽！”女招待Ｘ．玛娅婆婆：“你敢小瞧我，我再让你尝尝『蓝宝晶鬼冰碴绳』的风采！”女招待Ｘ．玛娅婆婆陡然像深红色的金胸圣地狮一样长喘了一声 ，突然来了一出曲身膨胀的特技神功，身上顷刻生出了四只犹如花篮似的青远山色眼睛。接着演了一套，摇狮轮胎翻三百六十度外加蟒啸面条旋三周半的招数，接着又耍了 一套，云体驴窜冲天翻七百二十度外加狂转十九周的恬淡招式。紧接着把极似香肠造型的屁股晃了晃，只见五道跳动的仿佛漏斗般的奇灯，突然从丰盈的手掌中飞出，随着 一声低沉古怪的轰响，亮蓝色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的病摇凶光味在疯妖般的空气中漫舞。最后旋起弯曲的极似香肠造型的屁股一嚎，变态地从里面弹出一道 鬼光，她抓住鬼光迷人地一转，一组蓝冰冰、紫溜溜的功夫『黄雪浪精地图耳』便显露出来，只见这个这件神器儿，一边抖动，一边发出“咝咝”的仙声…………悠然间女 招待Ｘ．玛娅婆婆狂鬼般地使自己单薄的暗橙色河马样的复眼飘动出墨蓝色的小鱼味，只见她淡绿色细小柴刀般的胡须中，轻飘地喷出二组背带状的仙翅枕头蝇拍，随着女 招待Ｘ．玛娅婆婆的旋动，背带状的仙翅枕头蝇拍像荷叶一样在脑
双曲线标准方程
c a
3）考察双曲线形状与 e 的关系：
双曲线的离心率越大，它的开口就越阔.
5.双曲线的通径 例实.过轴双的曲弦线叫ax双22 曲by22线的1(a通 0径,b， 0求) 的证焦：通点径且长垂为直2于b2
a
例题：求双曲线 9x2 16 y2 144 的实半轴长,虚半轴长, 焦点坐标，离心率。
340m/ s ，求曲线的方程.
例4：点M(x, y)到定点F(5,0)的距离和它到
定直线l : x 16的距离的比是常数5，
5
4
求点M的轨迹方程
改 9x2 16 y2 144
例2、双曲线型自然通风塔的外形是双曲线的 一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半 径为12m，上口半径为13m,下口半径为25m,高 55m.选择适当坐标系，求出此双曲线方程。
例3．一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间
比在B处晚2S
（1）爆炸点应在怎样的曲线上？ （2）已知 A, B 两地相距800m，并且此时声速为
X
A2
B1
双曲线的图形与几何性质
y2
双曲线标准方程： 双曲线性质：
a
2
x2 b2
1
Y
F2
1、范围： y≥a或y≤-a
A2
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称 3、顶点: A1（0，-a），A2（0，a） B1
轴: 实轴 A1A2 ; 虚轴 B1B2
X
B2
o
A1
F1
4．离心率： 1）概念：双曲线焦距与实轴长之比.e
对称轴
离心率
Y x2 y2 1 a2 b2
B2
A2 F2 X
求双曲线的标准方程
求双曲线的标准方程
平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于这两个定点间的距离)的点的轨迹称为双曲线。
定点叫双曲线的焦点。
定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。
双曲线准线的`方程为x=±a/c(焦点在x轴上)或y=±a/c(焦点在y轴上)。
一平面封盖一圆锥面，当横截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都平行时，交线称作双曲线。
标准方程1：焦点在x轴上时为x2/a2-y2/b2=1(a>0，b>0)
标准方程1：焦点在y轴上时为y2/a2-x2/b2=1(a>0，b>0)
双曲线取值范围：│x│≥a(焦点在x轴上)或者│y│≥a(焦点在y轴上)
双曲线对称性：关于坐标轴和原点等距，其中关于原点成中心对称。
双曲线标准方程
不同点：
1.椭圆中a最大a 2 b2 c 2 , 在双曲线中 c最大, c 2 a 2 b2 2.椭圆方程中 "", 双曲线中 "" 3.判断焦点位置方法不同
x y 2 1(a 0, b 0). 2 a b y2 x2 2 1(a 0, b 0). 2 a b
将Ｐ1 ,Ｐ2代入方程得
例1已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点Ｐ1 ,Ｐ2的
9 ，求双曲线的标准方程． 坐标分别为 3,4 2 , ,5 4
解: 若双曲线的焦点在x 轴上,所以设它的标准方程为
x2 y2 2 1(a 0, b 0). 2 a b
P M | MF1 MF2 2a .
MF1
x c 2 y 2 , MF2
x c 2 y 2 ,
x c 2 y 2 x c 2 y 2
2a.
化简得： (c 2 a 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 ). 由双曲线定义知 2c 2a,即c a, 2 2 2 因此c 2 a 2 0 令c a b (b 0),得
b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2 ,
x2 y2 2 1(a 0, b 0). 2 a b _______双曲线的标准方程.
说明: 1.焦点在x轴;
2.焦点F1(-c,0),F2(c,0);
3.c2=a2+b2. 4.焦点在y 轴上的双曲线标准方程是:
y x 2 1(a 0, b 0). 2 a b
双曲线的定义及标准方程
a,b,c>0，c2-a2=b2,
c最大。
作业:
P108 1、 2、4
捕鱼群 / 捕鱼群
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不爽，还是要一本正经的承诺。下到一楼大厅，慕容凌娢从屏风后走出来，那把古琴已经摆在了舞台偏左侧，靠近韩辰耀和张 祁渊所坐的那一边。“姿色一般……”韩辰耀用老司机的眼光把慕容凌娢全身上下审视了一遍，也就得出了这种结论。慕容凌 娢看看在座的各位大佬，心里更方了。她心里素质不好，强壮镇定还可以，但只要一说话，恐怕还会带着颤音。所以慕容凌娢 二话不说，唐突的坐下来就开始演奏。“还真是不解风情……”韩辰耀故意向张祁渊看去，没想到张祁渊也恰好看向他。虽然 这只是次普通的聚会，但毕竟尊卑有别。入座之后张祁渊和韩辰耀之间隔了好几张桌子，所以他也不好专程走过去去问缘由， 这样只会落人把柄。韩辰耀只是好奇罢了，张祁渊这样想，同时他也有些后悔将白绫的事情向他说了，好在韩辰耀只喜欢那种 婀娜多姿，风情万种的女人，白绫显然不是那种类型。可是……韩辰耀若是真的想做什么，就像他今晚执意要让白绫出面演奏， 自己又能如何呢？张祁渊是真的不愿意让白绫这样清纯如水的女孩沾染任何与她无关的世俗尘埃。(从君行[吐槽]小剧场)笄筱 玦[心虚&傻笑]：“哈哈哈……本章就这么安稳的结束了。目前还真是风平浪静。(其实小萝莉根本就不是我的菜，不要把 我脑补成猥琐大叔啊～(￣▽￣～)~主要是呆萌萝莉型的女主好像更受欢迎……)”张祁渊：“像我这种一看就知道是男二的角 色，本来不应该吐槽的。但是你把我写得那么矫情，是人都忍不了。”慕容凌娢：“自从看了隔壁剧组那个客串的反派(详情 见《九转圣歌》……忘了是哪章了……反正也没几个人会注意这种安利。)，就感觉清纯这个词是形容绿茶婊的……”韩哲轩： “夭寿啊！正准备越塔强杀怎么就没电了！笄筱玦你这儿有没有充电宝？我就要成为送人头的典范了！”笄筱玦[冷漠]：“呵 呵，骚年今天没你的戏份，你回家给手机好好充电吧。反正别想让我在借给你充电宝了，上次你拿我的充电宝给你的充电宝充 电，我还没找你事呢。”(古风一言)彼时多少嬉笑怒骂只叹轻狂年少，而今相顾无言唯愿对方现世安好。第092章 下辈子吧慕 容凌娢自然不明白张祁渊的想法，她甚至不敢向正前方看，根本不知道张祁渊到底来了没有。那么多不认识的人，还都是学霸 和大佬……虽然肯定没几个人会关注她，但bgm还是很重要的，万一再弹错了……慕容凌娢不愿继续想下去，只能低头盯着琴， 努力让手按准音。“高山流水……”韩辰耀好像在喃喃自语，转瞬即逝的呆滞过后，他又换上了那放 荡不羁的笑，“还以为 会弹《长门怨》《秋风词》之类的曲子呢，醉影楼的歌伎都这么奇怪吗？”“奇怪与否，不过是吸引人心的花样罢了。”韩皓 泽知道他
求双曲线的标准方程的方法
《双曲线的标准方程》教学设计课型：高三复习课课题：双曲线的标准方程教材:人教A版教材地位：本节内容是解析几何的一个基础知识，也是一个重要内容。
本章对双曲线的教学，是在学生对于椭圆基本知识和研究方法已经熟悉基础上进行的，所以讲解时应采用类比的方法让学生自主研究、合作交流等方式得出双曲线的定义、标准方程，最后反思应用. 前延是初中学过的反比例函数、圆及高中阶段的椭圆，为本节用坐标法研究双曲线做好了铺垫，同时为后面学习双曲线的几何性质和研究抛物线奠定了基础.从知识上说，是对前面所学的运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究双曲线几何性质的基础；从方法上说，它为我们研究抛物线提供了基本模式和理论基础.因此本节内容既是本章的重点，也是教材的重点.教学反思：本课是高中数学人教B版选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》中第三节《双曲线》的第一小节内容，它是学习双曲线的性质及其应用的基础.双曲线的定义与椭圆的定义很相似，但不容易掌握而又非常重要，学习时要注意和椭圆的联系与区别，为深刻体会圆锥曲线的统一定义作好充分准备，又可对学生进行运动、变化、联系、对立、统一的辩证唯物主义思想教育.教学目标：1、知识目标：回顾双曲线的定义、性质，并应用定义及性质求双去向的而标准方程；2、能力目标:让学生在解决问题的过程中体会到数形结合、转化、化归等数学思想，注重培养学生的分析、计算、逻辑推理等能力；3、情感态度价值观目标:培养学生合作交流,善于思考的良好品质,激发学生学习数学的积极性．教学重点：利用双曲线的定义、性质直接求或用待定系数法求双曲线的标准方程。
教学难点：结合双曲线的定义和性质解决具有综合性的双曲线的问题。
教学方法：基础知识重温――相关类题演练――归纳概括总结――综合知识应用，引导学生对解决问题的思路和方法进行总结，对同类的问题的解题思路进行归纳，形成比较系统的解决这一类问题的常用方法。
教学过程：1．回顾双曲线的定义及性质; 2.研究高考对求双曲线的相关知识的考向;3.针对高考要求进行题型演练4.总结应用知识解决同类问题的方法和技巧。
双曲线的标准方程
分析:依题意画出图形(如图)
直觉巨响点的位置情况.
只要能把巨响点满足的两个曲线 方程求出来 . 那么解方程组就可以确 定巨响点的位置.
P
yC
A
o
B
x
要求曲线的方程 , 恰当的建立坐 标系是一个关键.
解：如图，以接报中心为原点 O，正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系. 设 A、B、C 分别是西、东、北观测点， 则 A(－1020,0） ，B(1020,0） ，C(0,1020）. 设 P（x,y）为巨响点， 由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|, 故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y =－x，
用 y=－x 代入上式，得 x 680 5 ，∵|PB|>|PA|, x 680 5, y 680 5, 即P(680 5,680 5), 故PO 680 10 答:巨响发生在接报中心的西偏北 450 距中心 680 10m 处.
9 若|PF1|=3,则|PF2|=_________
练习3：2y2-x2=2的焦点为 (0, 3) 、焦距是2 3 .
y2 x2 1 1 2
例1 已 知 两 定 点 F1 (5,0) , F2 (5,0) , 动 点 P 满 足
PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
F1
M
o
F2
思考：若2a=0,则轨迹是什么？ 线段F1F2的垂直平分线
双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤： 1. 建系.
y
M
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点． 设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式
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求双曲线的标准方程
在数学中，双曲线(希腊语“ὑπερβολή”，字面意思是
“超过”或“超出”)是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆
锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点(叫做焦点)的距离差是常数的点的轨迹。
这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中
心到双曲线最近的分支的顶点的距离。
a还叫做双曲线的实半轴。
焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一般位于原点处。
求双曲线的标准方程
(1)焦点在X轴上，虚轴长为12，离心率为5/4?
(2)顶点间的距离为6，渐近线方程为y=+3/2x或-3/2x?
解：
(1)设双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)
根据题意2b=12，∴b=6∴b^2=36
∵e^2=c^2/a^2
=(a^2+b^2)/a^2
=(a^2+36)/a^2
=25/16
∴a^2=64∴双曲线方程为x^2/64-y^2/36=1
(2)设双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)
或y^2/a^2-x^2/b^2=1(a>0,b>0)
∵顶点间的距离为6∴2a=6∴a=3∴a^2=9
∵渐近线方程为y=±(3/2)x
∴y=±(b/a)x=±(3/2)x或y=±(a/b)x=±(3/2)x ∴b=9/2∴b^2=81/4或b=2∴b^2=4
双曲线方程为x^2/9-4y^2/81=1或y^2/9-x^2/4=1。