第3章：有限单元法的一般原理

第3章 有限单元法的一般原理
选择单元位移模式
第01篇 有限单元法基本理论
在用有限元法进行结构分析中，就研究方法而言一般有三 种。第一种是选择结点位移作为基本未知量，在选择适当的位 移函数的基础上，进行单元的力学特性分析，进而建立单元的 刚度矩阵和总体刚度矩阵，然后解方程组求出结点位移，再由 结点位移求得应力，这种方法称为位移法；第二种是选择结点 力作为基本未知量，解出结点力后，再计算结点位移和应力， 这种方法称为力法；第三种是取一部分结点位移和一部分结点 力作为基本位置，称为混合法。由于位移法比较简单，易于实 现计算自动化，所以大多采用位移法。
（1）自然离散问题单元；
自然离散问题单元有杆单元、梁单元。对于杆系结构（二力杆）的 离散化，通常采用自然离散的形式，即把结构的杆作为单元，称为 杆单元。有限个杆单元之间，利用有限个结点相互铰接（桁架情 况），以传递负荷。 x
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备注：桁架问题（杆单元问题）需要两个坐标系来描述。固定的整体坐标系XY或 XYZ： （1）描述每个节点的位置，使用角度记录每个杆件（单元）的方向；施 加约束及载荷；（3）表示问题的解。单元坐标系用来描述杆件的轴向效应。杆 单元LINK每个节点只有平动自由度。
当采用位移法时，物体和结构离散化之后，就可把单元中 的一些物理量如位移、应变和应力等由结点位移来表示。对单 元中位移
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的分布一般采用能逼近原函数的近似函数予以描述。通常，有限 法中我们将位移表示为坐标变量的简单函数，这种函数称为位移 模式或位移函数。它反映了单元的位移形态并决定着单元的力学 特性。由于这种函数关系在解题前是未知的，而在单元分析时又 必须用到，为此可以事先假定一个函数，人为规定位移分量为坐 标的某种函数。为保证选择的位移函数使有限元收敛于真实解， 位移函数必须满足以下4个条件 (a)位移函数必须包含单元的常量应变：弹性体的应变可以分为与 坐标无关的常量应变及随坐标变化的当量应变。当单元尺寸逐渐 缩小时，单元的应变将趋于常量，因此在位移函数中必须包含有 常量应变。 (b)位移函数必须包含单元的刚体位移。所谓刚体位移是指弹性体 不发生应变时的位移，这是弹性体可能发生的一种基本的位移。 因此，单元的位移函数既要能够描述单元自身的应变，又要能够 描述单元的刚体位移。
(3) 单元数目应根据精度要求和计算机容量来确定。在保证精度 的前提下，力求采用较少的单元。为此，当划分单元：应 充分利用结构的特点，如对称性、循环对称性等，从原结构 中取出一部分进行分析；采用密不同的网格剖分，对应力 变化急剧的区域可分细一些，应力变化平缓的区域可以分粗 一些；对于大型复杂结构，可以采用分步计算的方法，即 先用比较均匀的粗网格计算一次，然后根据计算结果，在局 部区域再细分单元，进行第二次计算，或者采用子结构法；
第3章 有限单元法的一般原理 3.1.1 有限元法的基本要素
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构成有限元系统的3个基本要素是节点、单元和自由度。
（1）节点（Node）：节点是构成有限元系统的基本对象，也就是 这个工程系统中的最基本点，它包含了坐标位置以及具有物理意义 的自由度信息。 （2）单元（Element）：单元是由节点与节点相连而成，是构成有 限元系统的基础。一个有限元系统必须有至少一个以上的单元。单 元与单元之间由各节点相互连接，在具有不同特性的材料和不同的 具体结构当中，可选用不同种类的单元，单元中包含了物理对象的 各种特性。因此单元的选择极为重要，决定求解效率和精度。 （3）自由度(DOF,Degree of Freemdom）：包括系统的自由度和 节点自由度。在分析中需要对整个系统的自由度进行适当的约束,系 统中每个节点都有各自的节点坐标系和对应的节点自由度，不同单 元上的节点具有不同的自由度。
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（4）空间问题单元
在空间问题中，采用的是空间单元，常用的有四面体单元和六 面体单元。如4结点四面体单元、8结点六面体单元、20结点六面体 单元，如图所示。
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用单元划分有限元网格应遵循的原则
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第3章 有限单元法的一般原理 3.1.3 单元特性分析
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在位移法有限元中，首先要针对所选定的单元类型选择一简 单多项式函数近似表达单元内各位移分量的分布规律，并把单 元内任意点的位移分量写成统一形式的结点位移插值函数形式， 从而通过单元结点位移，表达出单元内任意点的位移、应变和 应力。其次，利用虚功原理或变分原理建立单元结点力与结点 位移之间的特性关系，称为单元有限元方程。该方程可用矩阵形 式表示为： [F]e=[K]e[]e
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（4）不要把不同材料特性的区域划在同一单元里。如平面问题中 物体厚度突变位置；不同材料的过渡结合区等。 3.3.4 施加约束 任何结构都有其承载基础，承载基础是一个固定不动的实体， 它不仅承受结构传来的载荷，而且约束了结构的方向位移。施加 约束就是在将结构物理模型转化为有限元模型时对承载基础的表 达，目的是防止结构有限元模型产生刚体位移。有限元中实施约 束就是客观地对与承载基础的结点实施方向约束，并将其方向位 移置为0或某个值，即所谓的约束边界条件。如下图3－1所示， 对于结点1与2有，u1=v1=u2=v2=0 2 3 5
u ( x, y ) 1 2 x 3 y
v( x, y ) 4 5 x 6 y
很显然，3节点三角形单元内任意一点的位移是坐标变量的线性函 数。有限项多项式的选取得原则应考虑以下几点： （1）位移函数的项数与单元节点数相同，即广义坐标的个数应与 单元结点自由度数相等。如3结点三角形单元有6个自由度（结点位 移），因此位移函数有三项，广义坐标个数应取6个，即两个方向 的位移u,v各取三项多项式。
整个结构的非结点载荷的移置按单元进行，即将各单元所受的非结点外载荷分别移置到各单元相应 的结点上；然后，在公共结点处应用力的叠加原理，便可求出整个结构的结点载荷列阵。因此这里 只需介绍单元载荷移置问题。 单元载荷移置所遵循的原则是能量等效原则，即单元的实际载荷与移置后的结点载荷在相应的虚位 移上所做的功相等。 单元载荷移置后的等效结点载荷的计算，原则上必须根据能量等效原则推导出的载荷移置公式来计 算，即所谓载荷移置普遍公式化，这种方法适用于各种类型的单元。由于普遍公式化其表达公式 与单元位移函数模式有关（也可说是与单元形函数有关），故在后面单元分析时再予以介绍。但当 单元位移函数（或单元形函数）为线性函数时，如平面3结点三角形单元，载荷移置的普遍公式化 就简化成一种最简单的移置方法，即所谓的直接法，当然这种方法只适用于具有线性位移函数的单 元。为了便于对这两种载荷移置方法进行对比分析，在后面单元分析时一并介绍
P
1

4
P
图3－1 施加约束
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3.3.5 非结点载荷等效移置
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在有限元分析中,认为单元与单元之间仅通过结点相互联系。因 此，在结构离散化过程中，如果外载荷不是直接作用在结点上，那 么就需要将非结点载荷向结点等效移置。也就是把作用在结构上的 真实外载荷理想化为作用在结点上的集中载荷。这个过程称为非结 点载荷向结点的移置。移置到结点后的载荷称为等效结点载荷。 单元非节点载荷等效移置与单元位移函数模式有关（也可说是 与单元形函数有关），故在后面单元分析时再予以介绍。
第3章 有限单元法的一般原理 3.1 有限元法的解题思想
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有限单元法的基本思想是将一个连续的求解域离 散化，即将连续体划分为有限个具有规则形状的微小 块体，把每个微小块体称为单元，两相邻单元之间只 通过若干点相互连接，每个连接点称为结点，再把作 用于各单元上的外载荷按照虚功原理进行载荷移置， 即转化成单元的等效结点载荷【结构离散】；在单元 体内假设近似解的模式，用有限个结点上的未知参数 表征单元的特性【单元特性析】；然后用适当的方法， 将各个单元的关系式组合成包含这些未知数的方程组 【整体分析】 ，求解这个方程组，得出各结点的未知 参数，利用插值函数求出近似解【求解】。
[注：角标e表示单元element之意]
式中：[F]—单元结点载荷列阵；[K]—单元刚度矩阵；[]—单元结点位移列阵
单元刚度矩阵[K]反映了单元结点力与单元结点位移之间的 特性关系。不难看出，建立单元刚度矩阵[K]是单元分析的核心， 也是单元分析的主要任务，事实上也是整个有限元分析中的关 键性步骤。
(1) 任一单元的顶点必须同时也是相邻单元的顶点，而不能是相 邻单元的内点；单元之间互不重叠，也没有间隙。
(2) 同一单元的各边长（或各顶角）不应相差太大，亦即单元划 分中不应出现太大的钝角或过小的锐角。否则在计算中会出 现较大的误差。为使整个求解区域计算结果的精度大体一致， 当划分单元时其大小尽量不要相差太悬殊；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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(c)位移函数在单元内部必须是连续函数，即单元内部的连续性。
(d)位移函数应使相邻单元间的位移协调，即单元边界的连续性。 即在交界面上满足变形协调条件，变形后既不开裂，也不重叠， 从而保证了整个结构的位移连续。
上述4个条件是有限元解收敛于真实解的充分条件，即当结构 的单元划分得越来越精细时，近似的数值解将收敛于真实解。 以这样的位移函数构成的单元称为协调元。在有限元法中，有些 单元的位移函数只满足前3项条件，并不满足单元边界连续性要 求，实践证明，它们的有限元解也可能收敛于真实解，因此前3 项条件是有限元解收敛于真实解的必要条件。显然假定的位移函 数它在结点上的值应等于结点位移；
（2）平面问题单元；
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在弹性平面问题中，常用的单元有：3结点三角形单元、4结 点矩形单元、6结点三角形单元、4结点任意四边形单元、8结点 曲边四边形单元，如图所示
（3）轴对称问题单元； 对于轴对称问题，一般采用环单元。最常用的是3结点三角形 环单元和4结点四边形环单元。同样，为模拟曲线边界及提高插值 函数精度，还可以采用更多结点的环单元，如8结点四边形环单元。 如图所示
3.3.2 单元类型
单元是具有单元特性的，如单元结构、单元结点数、结点 自由度数、单元刚度矩阵等，不同的单元有不同的单元特性。
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设置不同单元类型的目的主要是用于求解不同工程问题，同时也兼 顾求解精度。到目前为止，共设计开发了百余种单元，机械工程问 题中设计的单元大致可以分为：
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3.1.2 结构离散化
结构离散化是有限单元法分析的基本前提，也是有 限单元法解解题的重要步骤。 3.3.1 结构离散化的主要任务是：
（1）选择合适的单元类型，把结构分割成有限个单元； （2）把结构边界上的约束，用适当的结点约束来代替； （3）把作用在结构上的非结点载荷等效地移置为结点载荷；
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单元中的位移模式一般采用以广义坐标为待定系数的有限项 多项式作为近似函数。因为多项式的数学处理比较容易，尤其便于 微分与积分运算。另外任意阶次的多项式可以近似地表示真实解。 当然，只有无限次的多项式才与真实解相对应。但为了实用，通常 只取有限次多项式来近似。如3结点三角形单元位移函数的广义坐 标表示为：
备注：梁单元BEAM通常要承受横向载荷的作用，这种荷载会引起弯曲。框架是各 构件用焊接或螺栓刚接起来的结构，因此每个节点有平动位移和转角。框架单元 也需要两个参照坐标系，即整体坐标系和单元坐标系。
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平面杆系结构
空间杆系结构
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