旋转在解题中的妙用
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到 了△ 删
一
１ 如图 ５０是等边￣ＡＢ ． ， ￣ Ｃ内
点 ， 知 Ａ０ 已 Ｂ一 １ ５， Ｂ Ｃ １。 ０
图４
＝１５， ２ 。求以 Ｏ Ｏ ０ ２ Ａ、 Ｂ、 （为边构成的三角形 的各角的度
数．
二 、 求 角的 度 数上 在
【 ２ 如 图 ２ 正方形 ＡＢ Ｄ 中有一 点 Ｐ， Ａ＝ 例 】 ， Ｃ Ｐ ａＰ ， Ｂ＝２ ， Ｃ ａ 求 Ａ Ｂ的度数． ａ Ｐ ＝３ ， Ｐ 分 析 ： 知 条 件 Ｐ Ｐ Ｐ 的 已 Ａ、 Ｂ、 Ｃ 长是 边 ， 所求 的结论 是角 ， 由图形不 可 直 接得 出结 论 ． 果 旋 转 图 中 的 三 如 角形 ， 改变 图形 的位 置 ， 利用 特殊 图 形， 寻找解题思路 ． 可以把△ＡＢ Ｐ绕 着点 Ｂ按顺 时 针方向旋转 ９ 。得 ＡＣ Ｑ， Ｏ， Ｂ 连接 Ｐ Ｑ， 则△ Ｐ Ｑ是 等 腰 直角 三 角 形 ， Ｂ
线 段 Ｃ 的 中点 ， 证 ： Ｂ ＝２ Ｄ Ｅ Ｅ 求 ＡＦ Ａ ．
Ｃ
【 ３ 如 图 ３ 尸是等边＆Ａ Ｃ内一点 ， Ａ一２ 例 】 ， Ｂ Ｐ ，
图７
图８
Ｐ Ｂ＝２／ ， Ｃ ， ， Ｐ ＝４求△ＡＢ ５ ｃ的边长．
分析 ： 已知条 件 中三 条线段 Ｐ Ｐ Ｐ Ａ、 Ｂ、 Ｃ不 是一 个 三角形的三条边 ， 条件不好直接用 ， 如果把△Ｂ Ｐ旋转 ， Ｃ
中学 教 学 参考
教学 时空
旋 转 在 解 题 中 的 妙 用
江 苏南京 市九龙 中学（ １ ０ ５ 朱 定兰 ２０３ ）
图形与变换是《 数学课程标 准》 里的规定 内容 ， 图形 的变换是平 面几何的重要组成部 分 ， 种版本 的新教材 各 对该部分知识都给予了足够的关注． “ 图形的平移、何变换 中的基本 变换 ， 旋转 的两个基本 要素是： 旋转中心和旋转角． 中心对称是旋转的特殊情况． 旋转在解题中的作用是不可代替 的 ， 常常能巧妙地 解决 问题 ， 它也是初 中数学 的难 点之一 ， 文举 例说 但 本 明旋转在解题中的妙用．
知 ， ＡＤＰ一 ３ 。 ／ ０．
图 ３
所以 Ａ ＝９。在 Ｒ ＡＡＣ 中 ， ＤＣ ０． ｔ Ｄ 由勾股 定理得
、
在 分 析旋 转 变 换 中
Ａ一 Ｃ
丽
一 ２
【 １ 如 图 １ △Ａ Ｃ和△Ｃ Ｅ均 为 等边 三 角 例 】 ， Ｂ Ｄ 形 ， Ｂ、 、 且 Ｃ Ｄ在一条直线上 ， 析图 中哪两个 三角形 可 分 以通过怎样的旋转得到？ 分 析 ：由 题 意 ，可 证 得
Ｐ ｌ ５， Ｑ一２ ￣ 。 Ｑ 一４ 。Ｐ Ｂ ４ａ 又 因为 在 △ Ｃ Ｐ 中 ， ：９ Ｑ Ｐ ａ Ｐ ２ 一８ ａ ＝Ｐ ， Ｑ ＋Ｃ ａ＋口 一９ 所 以 Ｐ Ｃ ９。那 么 Ｂ Ｃ １５． Ｑ 一 ０， Ｑ 一 ３。 因为 △ＡＢ △ Ｃ Ｑ， Ｐ Ｂ 所 以 ＡＰ Ｂ＝１ ５． ３。 三 、 求 线段 的长 度 上 在
—
Ｄ
Ｐ 在 △Ｐ Ｄ 中 ， Ｄ＜ Ｃ Ｂ， Ｃ Ｐ Ｄ十 【 习】 练
ＰＣ， 以 Ｐ 所 Ａ＜ＰＢ＋ＰＣ ．
所 以 ， △ＡＣ 按 逆 时 针 方 把 Ｄ
图１
向旋转 ６ 。 到了△Ｂ Ｅ； ＡＢ Ｍ 按顺 时针方 向旋 转 ０得 Ｃ 把 Ｃ ６。 到了ＡＡ Ｎ； ０得 Ｃ 把△ＤＣ 按顺 时针方 向旋转 ６ 。 Ｎ ０得
图５ 图６
２ 如图 ６ 已知 正方形 Ａ Ｃ 的对 角线 交 于点 Ｏ， ． ， Ｂ Ｄ （Ｅ ＿ ｌ， ） Ｊ ０ 分别交 Ａ Ｂ Ｆ Ｂ、 Ｃ于 Ｅ、 若 ＡＢ＝８ 求 四边形 Ｆ ，
０ Ｂ Ｅ Ｆ的 面 积 ； ＡＥ ， Ｆ ２求 Ｅ 的长 ． 若 一６ Ｃ ＝ ， Ｆ
３ 如 图 ７ Ｅ是正方形 Ａ Ｃ 的边 Ｃ 的中点 ， ． ， Ｂ Ｄ Ｄ Ｆ是
一
解 ： △Ｂ Ｐ绕 着点 Ｃ逆 时 把 Ｃ 针方 向旋 转 ６。得 到 ＡＡ Ｄ， ０， Ｃ 则 △Ｐ Ｄ是等边三角形 ， 以 Ｐ Ｃ 所 Ｄ一
４ＡＤ— Ｐ ， Ｂ一 ２ ３ 在 △ Ｐ √． ＡＤ 中 ，
ＰＤ ＡＤ２ ＡＰ 一 ＋ ．
Ｂ Ｃ
又根据 等边 三角形 得性质 可
４ 如 图 ８ 已知 ＡＡＢ ． ， Ｃ中 ， ／ＡＣ Ｂ＝９ 。 为 ＡＢ 的 Ｏ， Ｍ
中点 ， Ｐ ＭＱ＝９ 。求证 ： ＝ＡＰ ＋Ｂ ２ ０， Ｐ 。 Ｑ． （ 责任编辑 金 铃）
可使条件相对集 中， 构成新的图形 ， 出／ＡＢ 得 ｋ Ｃ的边长．
９ ２ 学教学参考 ‘ 上句 ’ 。 。 。总第 。期 ・
△ ＡＣＤ △ Ｂ Ｅ（ ＡＳ） 继 而 可 Ｃ Ｓ ， 证 得 △ ＢＣ Ｍ △ ＡＣＮ（ Ａ） ＡＳ ， 还 可 证 得 △ ＤＣ』 △ Ｅａ ＼ ，
（ Ａ） Ｓ ．
四 、 判 别 大小 关 系上 在
【 ４ 如图 ４ Ｐ是等边ＡＡＢ 例 】 ， Ｃ内任 意一点 ， 判断
Ｐ Ａ与 Ｐ Ｂ＋Ｐ Ｃ的大小关系 ， 并说 明理 由． 解 ： △ＡＢ 把 Ｐ按 逆 时针方 向 旋转 ６。 得 到△ＡＣ 则 ＡＡＰ ０， Ｄ， Ｄ 为等边三角形 ， 以‘ Ｄ＝Ｐ Ｃ 所 Ｐ Ａ， Ｄ
一
１ 如图 ５０是等边￣ＡＢ ． ， ￣ Ｃ内
点 ， 知 Ａ０ 已 Ｂ一 １ ５， Ｂ Ｃ １。 ０
图４
＝１５， ２ 。求以 Ｏ Ｏ ０ ２ Ａ、 Ｂ、 （为边构成的三角形 的各角的度
数．
二 、 求 角的 度 数上 在
【 ２ 如 图 ２ 正方形 ＡＢ Ｄ 中有一 点 Ｐ， Ａ＝ 例 】 ， Ｃ Ｐ ａＰ ， Ｂ＝２ ， Ｃ ａ 求 Ａ Ｂ的度数． ａ Ｐ ＝３ ， Ｐ 分 析 ： 知 条 件 Ｐ Ｐ Ｐ 的 已 Ａ、 Ｂ、 Ｃ 长是 边 ， 所求 的结论 是角 ， 由图形不 可 直 接得 出结 论 ． 果 旋 转 图 中 的 三 如 角形 ， 改变 图形 的位 置 ， 利用 特殊 图 形， 寻找解题思路 ． 可以把△ＡＢ Ｐ绕 着点 Ｂ按顺 时 针方向旋转 ９ 。得 ＡＣ Ｑ， Ｏ， Ｂ 连接 Ｐ Ｑ， 则△ Ｐ Ｑ是 等 腰 直角 三 角 形 ， Ｂ
线 段 Ｃ 的 中点 ， 证 ： Ｂ ＝２ Ｄ Ｅ Ｅ 求 ＡＦ Ａ ．
Ｃ
【 ３ 如 图 ３ 尸是等边＆Ａ Ｃ内一点 ， Ａ一２ 例 】 ， Ｂ Ｐ ，
图７
图８
Ｐ Ｂ＝２／ ， Ｃ ， ， Ｐ ＝４求△ＡＢ ５ ｃ的边长．
分析 ： 已知条 件 中三 条线段 Ｐ Ｐ Ｐ Ａ、 Ｂ、 Ｃ不 是一 个 三角形的三条边 ， 条件不好直接用 ， 如果把△Ｂ Ｐ旋转 ， Ｃ
中学 教 学 参考
教学 时空
旋 转 在 解 题 中 的 妙 用
江 苏南京 市九龙 中学（ １ ０ ５ 朱 定兰 ２０３ ）
图形与变换是《 数学课程标 准》 里的规定 内容 ， 图形 的变换是平 面几何的重要组成部 分 ， 种版本 的新教材 各 对该部分知识都给予了足够的关注． “ 图形的平移、何变换 中的基本 变换 ， 旋转 的两个基本 要素是： 旋转中心和旋转角． 中心对称是旋转的特殊情况． 旋转在解题中的作用是不可代替 的 ， 常常能巧妙地 解决 问题 ， 它也是初 中数学 的难 点之一 ， 文举 例说 但 本 明旋转在解题中的妙用．
知 ， ＡＤＰ一 ３ 。 ／ ０．
图 ３
所以 Ａ ＝９。在 Ｒ ＡＡＣ 中 ， ＤＣ ０． ｔ Ｄ 由勾股 定理得
、
在 分 析旋 转 变 换 中
Ａ一 Ｃ
丽
一 ２
【 １ 如 图 １ △Ａ Ｃ和△Ｃ Ｅ均 为 等边 三 角 例 】 ， Ｂ Ｄ 形 ， Ｂ、 、 且 Ｃ Ｄ在一条直线上 ， 析图 中哪两个 三角形 可 分 以通过怎样的旋转得到？ 分 析 ：由 题 意 ，可 证 得
Ｐ ｌ ５， Ｑ一２ ￣ 。 Ｑ 一４ 。Ｐ Ｂ ４ａ 又 因为 在 △ Ｃ Ｐ 中 ， ：９ Ｑ Ｐ ａ Ｐ ２ 一８ ａ ＝Ｐ ， Ｑ ＋Ｃ ａ＋口 一９ 所 以 Ｐ Ｃ ９。那 么 Ｂ Ｃ １５． Ｑ 一 ０， Ｑ 一 ３。 因为 △ＡＢ △ Ｃ Ｑ， Ｐ Ｂ 所 以 ＡＰ Ｂ＝１ ５． ３。 三 、 求 线段 的长 度 上 在
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Ｄ
Ｐ 在 △Ｐ Ｄ 中 ， Ｄ＜ Ｃ Ｂ， Ｃ Ｐ Ｄ十 【 习】 练
ＰＣ， 以 Ｐ 所 Ａ＜ＰＢ＋ＰＣ ．
所 以 ， △ＡＣ 按 逆 时 针 方 把 Ｄ
图１
向旋转 ６ 。 到了△Ｂ Ｅ； ＡＢ Ｍ 按顺 时针方 向旋 转 ０得 Ｃ 把 Ｃ ６。 到了ＡＡ Ｎ； ０得 Ｃ 把△ＤＣ 按顺 时针方 向旋转 ６ 。 Ｎ ０得
图５ 图６
２ 如图 ６ 已知 正方形 Ａ Ｃ 的对 角线 交 于点 Ｏ， ． ， Ｂ Ｄ （Ｅ ＿ ｌ， ） Ｊ ０ 分别交 Ａ Ｂ Ｆ Ｂ、 Ｃ于 Ｅ、 若 ＡＢ＝８ 求 四边形 Ｆ ，
０ Ｂ Ｅ Ｆ的 面 积 ； ＡＥ ， Ｆ ２求 Ｅ 的长 ． 若 一６ Ｃ ＝ ， Ｆ
３ 如 图 ７ Ｅ是正方形 Ａ Ｃ 的边 Ｃ 的中点 ， ． ， Ｂ Ｄ Ｄ Ｆ是
一
解 ： △Ｂ Ｐ绕 着点 Ｃ逆 时 把 Ｃ 针方 向旋 转 ６。得 到 ＡＡ Ｄ， ０， Ｃ 则 △Ｐ Ｄ是等边三角形 ， 以 Ｐ Ｃ 所 Ｄ一
４ＡＤ— Ｐ ， Ｂ一 ２ ３ 在 △ Ｐ √． ＡＤ 中 ，
ＰＤ ＡＤ２ ＡＰ 一 ＋ ．
Ｂ Ｃ
又根据 等边 三角形 得性质 可
４ 如 图 ８ 已知 ＡＡＢ ． ， Ｃ中 ， ／ＡＣ Ｂ＝９ 。 为 ＡＢ 的 Ｏ， Ｍ
中点 ， Ｐ ＭＱ＝９ 。求证 ： ＝ＡＰ ＋Ｂ ２ ０， Ｐ 。 Ｑ． （ 责任编辑 金 铃）
可使条件相对集 中， 构成新的图形 ， 出／ＡＢ 得 ｋ Ｃ的边长．
９ ２ 学教学参考 ‘ 上句 ’ 。 。 。总第 。期 ・
△ ＡＣＤ △ Ｂ Ｅ（ ＡＳ） 继 而 可 Ｃ Ｓ ， 证 得 △ ＢＣ Ｍ △ ＡＣＮ（ Ａ） ＡＳ ， 还 可 证 得 △ ＤＣ』 △ Ｅａ ＼ ，
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四 、 判 别 大小 关 系上 在
【 ４ 如图 ４ Ｐ是等边ＡＡＢ 例 】 ， Ｃ内任 意一点 ， 判断
Ｐ Ａ与 Ｐ Ｂ＋Ｐ Ｃ的大小关系 ， 并说 明理 由． 解 ： △ＡＢ 把 Ｐ按 逆 时针方 向 旋转 ６。 得 到△ＡＣ 则 ＡＡＰ ０， Ｄ， Ｄ 为等边三角形 ， 以‘ Ｄ＝Ｐ Ｃ 所 Ｐ Ａ， Ｄ