2003年高考试题——数学理(全国卷)及答案

2003年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理工农医类)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的. 1．已知==
-∈x tg x x 2,54
cos ),0,2
(则π
（ ）
A ．
24
7 B ．24
7-
C ．7
24 D ．7
24- 2．圆锥曲线的准线方程是θ
θ
ρ2cos sin 8=
（ ）
A ．2cos -=θρ
B ．2cos =θρ
C ．2sin -=θρ
D ．2sin =θρ
3．设函数的取值范围是则若0021
,1)(,.
0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪
⎨⎧>≤-=- （ ）
A ．（－1，1）
B ．（－1，+∞）
C ．),0()2,(+∞⋃--∞
D ．),1()1,(+∞⋃--∞
4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）
A ．21+
B ．12-
C ．2
D ．2
5．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:2
2=+->=-+-的弦长为32时，则a =
A ．2
B ．22-
C ．12-
D ．12+
6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）
A ．2
2R π
B ．2
4
9R π
C ．2
3
8R π
D ．2
2
3r π
7．已知方程0)2)(2(2
2
=+-+-n x x m x x 的四个根组成的一个首项为4
1
的等差数列，则=-||n m （ ）
A ．1
B ．
4
3 C ．
2
1 D ．
8
3 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(-=x y F M 、N 两点，MN 中点的横坐标为
,3
2
-则此双曲线的方程是 （ ）
A ．1432
2=-y x B ．1342
2=-y x C ．12
52
2=-y x
D ．15
22
2=-y x 9．函数=∈=-)(]23,
2[,sin )(1x f x x x f 的反函数π
π
（ ）
A ．]1,1[,arcsin -∈-x x
B ．]1,1[,arcsin -∈--x x π
C ．]1,1[,arcsin -∈+-x x π
D ．]1,1[,arcsin -∈-x x π
10．已知长方形的四个项点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹
角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射解等于反射角），
设P 4坐标为（θtg ,2x 1),0,44则若<<x 的取值范围是
（ ）
A ．)1,3
1
(
B ．)3
2,31(
C ．)21,52(
D ．)3
2,52(
11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322n
n
n C C C C n C C C C ΛΛ
（ ）
A ．3
B ．
3
1
C ．
6
1 D ．6
12．一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）
A ．3π
B ．4π
C ．3π3
D ．6π
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．9
2
)21(x
x -
展开式中9x 的系数是 . 14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是 .
15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区 域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共
有 种.（以数字作答）
16．下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为具所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP
的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
已知复数z 的辐角为60°，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项. 求||z .
18．(本小题满分12分) 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G. （Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离. 19．（本小题满分12分）
已知.0>c 设
P ：函数x
c y =在R 上单调递减.
Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围. 20．（本小题满分12分）
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南)10
2arccos
(=θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 21．（本小题满分14分）
已知常数,0>a 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上
移动，且
DA
DG
CD CF BC BE =
=，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由. 22．（本小题满分12分，附加题4分）
（Ⅰ）设Z}t s,,0|2{2}{t ∈<≤+且是集合t s a s
n 中所有的数从小到大排列成的数列，
即.,12,10,9,6,5,3654321Λ======a a a a a a
将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表： 3
5 6
9 10 12
— — — —
— — — — — （i ）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； （i i ）求100a .
（Ⅱ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）
设Z}t s,r,,0|22{2}{r ∈<<≤++且是集合t s r b s
t n 中所有的数都是从小到大排列成的数列，已知
k.,1160求=k b
2003年普通高等学校招生全国统一考试
数 学(理工农医类)答案
一、选择题
1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题 13．2
21
-
14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题： 17． 解：设)60sin 60cos οοr r z
+=，则复数.2
r
z 的实部为2,r z z r z z ==-由题设
.
12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，
112211,,,,,,.1
,1, 3.(4)
3
126
2,.2,22,23, 3.
3622
sin .arcsin .3
D E CC A B DC ABC CDEF DE G ADB G DF EFD EF FG FD FD EF FD ED EG FC CD AB A B EB EG EBG A B ABD EB ⊥∴∆∴∈=⋅==∴=⨯=====∴===∴∠=
=⋅=∴Q Q L L Q 分别是的中点又平面为矩形
连结是的重心在直角三角形中分于是与平面所成的角是
（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又Θ
.
36
23623
2222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=
∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴
19．解：函数
x c y =在R 上单调递减.10<<⇔c
不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+
).
,1[]2
1
,0(.1,,.210,,.
2
1
121|2|.2|2|,2,
2,
2,22|2|+∞⋃≥≤<>⇔>⇔>-+∴-+=∴⎩⎨
⎧<≥-=-+的取值范围为所以则正确且不正确如果则不正确且正确如果的解集为不等式上的最小值为在函数c c Q P c Q P c c R c x x c R c x x y c x c c x c x c x x Θ
20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.
在时刻：（1）台风中心P （y x ,
）的坐标为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2
2
2010
2
300t y t x
此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+- 其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有
.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)2
2201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯
2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值.
按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设
)10(≤≤==k DA
DC
CD CF BC BE 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ①
直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k
a ②
从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222
=-+ay y x a
整理得1)(212
22=-+a a y x 当2
1
2
=
a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当2
1
2
≠a
时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长。

当2
12
<
a
时，点P 到椭圆两个焦点（),21(),,2122a a a a ---的距离之和为定值2。

当212
>
a
时，点P 到椭圆两个焦点（0，)2
1,0(),2122-+--a a a a 的距离之和为定值2a .
22．（本小题满分12分，附加题4分）
（Ⅰ）解：（i ）第四行17 18 20 24 第五行 33 34 36 40 48 （i i ）解：设0022100
t s a +=，只须确定正整数.,00t s
数列}{n a 中小于02t
的项构成的子集为 },0|2{20t t t s s <<≤+
其元素个数为.1002)1(,2)1(000020
<--=t t t t C t 依题意满足等式的最大整数0t 为14，所以取.140
=t
因为100－.1664022,8s ,1814100002
14
=+=∴=+=a s C 由此解得
（Ⅱ）解：,22211603710++==k b 令}0|22{2B ,(}1160|{r t s r C B c M t s <<≤++=<∈=其中
因}.22222|{}222|{}2|{37107107101010++<<+∈⋃+<<∈⋃<∈=c B c c B c c B c M
现在求M 的元素个数：},100|222{}2|{10<<<≤++=<∈t s r c B c t s r
其元素个数为3
10C ： }.70|222{}222|{1071010<<≤++=+<<∈s r c B c r s 某元素个数为}30|222{}22222|{:71037107102
7
<≤++=++<<+∈r c B c C r
某元素个数为.1451:2
32
73
107
10=+++=C C C k C。