2020高考数学热点难点微专题恒成立和存在性问题精选试题(3页)

2020高考数学热点难点微专题恒成立和存在性问题典型试题

一、 填空题

1. 若当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则实数m 的取值范围是________．

2. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

－x 2＋2x ， x ≤0，ln (x ＋1)， x >0，若|f (x )|≥ax －1恒成立，则a 的取值范围________．

3. 设实数m ≥1，不等式x |x －m |≥m －2对∀x ∈[1,3]恒成立，则实数m 的取值范围是________．

4. 已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式

f (x )≤0恒成立，则b a 的最小值为________．

二、 解答题

5. 已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －ax ＋a (a 为常数，且为正实数)．

(1) 若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围；

(2) 若不等式(x －1)f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．

6. 设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的导函数为f (x )．已知x 1，x 2是f ′(x )的2个不同的零点．

(1) 证明：a 2>3b ；

(2) 当b ＝0时，若对任意x ＞0，不等式f (x )≥x ln x 恒成立，求a 的取值范围．

7. 已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋2x －1, 若对任意x ∈[1,2]，均存在t ∈(1,2]，使得e t －ln t －4≤f (x )－2x ，试求实数b 的取值范围．

8. 已知函数f (x )＝ax 2＋2ln x .记函数g (x )＝f (x )＋(a －1)ln x ＋1，当a ≤－2时，若对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，总有|g (x 1)－g (x 2)|≥k |x 1－x 2|成立，试求k 的最大值．

9. 已知函数f (x )＝x －ln x －2.

(1) 求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；

(2) 若函数f (x )在区间(k ，k ＋1)(k ∈N )上有零点，求k 的值；

(3) 若不等式(x －m )(x －1)x

>f (x )对任意正实数x 恒成立，求正整数m 的取值集合．

10. 若对任意实数k ，b 都有函数y ＝f (x )＋kx ＋b 的图象与直线y ＝kx ＋b 相切，则称函数f (x )为“恒切函数”．设函数g (x )＝a e x －x －pa ，a ，p ∈R .

(1) 试讨论函数g (x )的单调性；

(2) 已知函数g (x )为“恒切函数”．

① 求实数p 的取值范围；

② 当p 取最大值时，若函数h (x )＝g (x )e x －m 也为“恒切函数”，求证：0≤m <316.

(参考数据：e 3≈20)