高考数学中的恒成立问题与存在性问题
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高考数学中的恒成立问题与存在性问题
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
“恒成立问题”的解法
常用方法:①函数性质法; ②主参换位法; ③分离参数法; ④数形结合法。
一、函数性质法
1.一次函数型:给定一次函数()(0)f x ax b a =+≠,若()y f x =在[m,n]内恒有()0f x >,则根
据函数的图象(直线)可得上述结论等价于⎩⎨⎧
>0)(m f ;同理,若在[m,n]内恒有
()f x
例1.对满足2p ≤的所有实数p ,求使不等式212x px px x ++>+恒成立的x 的取值范围。
略解:不等式即为2(1)210x p x x -+-+>,设2()(1)21f p x p x x =-+-+,则()f p 在[2,2]-上
恒大于0,故有:⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f ,即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0
103422x x x 3111x x x x ><⎧⇒⎨><-⎩或或13x x ⇒<->或.
2.二次函数:
①.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>(或0<)在R 上恒成立,则有00
a >⎧⎨∆<⎩(或00
a <⎧⎨∆<⎩); ②.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>(或0<)在指定区间上恒成立,可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。
例2.已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=,若对于任一实数x ,()f x 与()g x 的
值至少有一个为正数,则实数m 的取值范围是( )
A .(0,2)
B .(0,8)
C .(2,8)
D .(-∞,0)
选B 。
例3.设2()22f x x ax =-+,当[1,)x ∈-+∞时,都有()f x a ≥恒成立,求a 的取值范围。 解:设2()()22F x f x a x ax a =-=-+-,
(1)当4(1)(2)0a a ∆=-+≤时,即21a -≤≤时,对一切[1,)x ∈-+∞,()0F x ≥恒成立;
(2)当4(1)(2)0a a ∆=-+>时,由图可得以下充要条件:
0(1)021,2
f a ⎧⎪∆>⎪-≥⎨⎪-⎪-≤-⎩ 即(1)(2)0301,a a a a -+>⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩ 32a ⇒-≤<-; 综合得a 例4.关于x 的方程9(4)340x x a +++=恒有解,求a 的范围。
解法:设3x t =,则0t >.则原方程有解即方程2(4)40t a t +++=有正根。
1212
0(4)040x x a x x ∆≥⎧⎪∴+=-+>⎨⎪=>⎩2(4)1604a a ⎧+-≥⇒⎨<-⎩8a ⇒≤-.
3.其它函数:
()0f x >恒成立⇔min ()0f x >(若()f x 的最小值不存在,则()0f x >恒成立⇔()f x 的下界≥0);
()0f x <恒成立⇔max ()0f x <(若()f x 的最大值不存在,则()0f x <恒成立⇔()f x 的上界≤0).
例5.设函数321()(1)4243
f x x a x ax a =-+++,其中常数1a >, (1)讨论()f x 的单调性;
(2)若当0x ≥时,()0f x >恒成立,求a 的取值范围。
解:(2)由(I )知,当0≥x 时,)(x f 在a x 2=或0=x 处取得最小值。
a a a a a a a f 2424)2)(1()2(3
1)2(23+⋅++-=a a a 2443423++-=;a f 24)0(= 则由题意得⎪⎩⎪⎨⎧>>>,0)0(,0)2(1f a f a 即1,4(3)(6)03240.
a a a a a >⎧⎪⎪-+->⎨⎪>⎪⎩16a ⇒<< ∴(1,6)a ∈。
二、主参换位法:某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果。
例6.已知函数323()(1)132
a f x x x a x =-+++,其中a 为实数. (1)已知函数()f x 在1x =处取得极值,求a 的值;
(2)已知不等式2()1f x x x a '--+>对任意(0)a ∈+∞,都成立,求实数x 的取值范围. 解:由题设知“223(1)1ax x a x x a -++>--+对∀(0)a ∈+∞,都成立,即
22(2)20a x x x +-->对∀(0)a ∈+∞,都成立。设22()(2)2g a x a x x =+--(a R ∈),则()g a 是一个以a 为自变量的一次函数。220x +>恒成立,则对∀x R ∈,()g a 为R
上的单调递增函数。 所以对∀(0)a ∈+∞,
,()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥,220x x --≥,∴20x -≤≤,于是x 的取值范围是{|20}x x -≤≤。
三、分离参数法:利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥(D x ∈,λ为实参数)恒成立时参数λ的取值范围的基本步骤:
(1) 将参数与变量分离,即化为()()g f x λ≥(或()()g f x λ≤)恒成立的形式;
(2) 求()f x 在x D ∈上的最大(或最小)值;
(3) 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ,求得λ的取值范围。
适用题型:(1)参数与变量能分离;(2)函数的最值易求出。
例7.当(1,2)x ∈时,240x mx ++<恒成立,则m 的取值范围是 .
解: 当(1,2)x ∈时,由240x mx ++<得24x m x +<-.令244()x f x x x x
+==+,则易知()f x 在(1,2) 上是减函数,所以4()5f x <<,所以245x x
+->-,∴5m ≤-. 例8.已知x R ∈
时,不等式cos 254sin a x x +<-+恒成立,求实数a 的取值范围。
解:原不等式即为:2
14sin 2sin 5x x a +-<-+45-a -a+5大
于214sin 2sin x x +-的最大值,因为214sin 2sin 3x x +-≤,
∴53a ->
2a >+22054054(2)a a a a ⎧-≥⎪⇔-≥⎨⎪->-⎩
或⎩⎨⎧≥-<-04502a a ,解得≤54a<8.
四、数形结合(对于()()f x g x ≥型问题,利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理):若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出等号或不等号两边函数的
快捷。
例9.若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立,则实数a (A) 1a <- (B) ||1a ≤ (C) ||1a < (D )1a
≥
选B 。
例10.当|(1,2)x ∈)时, 2(1)log a x x -<恒成立,求a 的取值范围。 答案:12a <≤.
例11.已知关于x 的方程2lg(20)lg(863)0x x x a +---=有唯一解,求实数a 的取值范围。 |ax =y x