4静定结构的位移计算习题解答.
结构力学静定结构位移计算习题解答
6-1 求图示桁架AB 、AC 的相对转角，各杆EA 为常量。
解：（1）实状态桁架各杆的轴力如图（b ）所示。
(b)(a)N(d )(c)题6-1N N（2）建立虚设单位力状态如（c ）所示,求AB 杆的转角。
1113(2)82i P iAB i i P a P a P a N N l P a a a E A EA EA EA EAϕ⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅⋅==++⨯=∑（↺）（3）建立虚设单位力状态如（d ）所示,求AC 杆的转角。
113(2)()(72i P i AC i iP a P a N N lPa a E A EA EA EAϕ⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅==+⨯=∑（↺）故，AB 、AC 的相对转角为两杆转角之差：8(7(10.414AB AC P P P PEA EA EA EAϕϕϕ+-=-=-==-（夹角减小）6-2 求半圆曲梁中点K 的竖向位移。
只计弯曲变形。
EI 为常数。
方法一 解：（1）荷载作用下的实状态的约束反力如图（a ）所示。
以任意半径与水平坐标轴的顺时针夹角为自变量，其弯矩方程为：sin (0)P M θθπ=-≤≤Pr（2）建立虚设单位力状态如（b ）所示，其弯矩方程为：[]1cos )(0)2211cos()cos )()222i M πθθππθθθπ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-=≤≤⎪⎩(r -r r -r (r +r(a)题6-2（3）积分法求半圆曲梁中点K 的竖向位移。
20233220022311cos )(sin )cos )(sin )2211cos )sin cos )sin sin sin 2)sin sin 2)2222cos 2i V Pk Pr Pr M M ds rd rd EIEI EI Pr Pr d d d d EI EI Pr EI πππππππππθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⋅-⋅-⋅∆==+⎡⎤⎡⎤=-⋅+⋅=-+⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(r -r (r +r (-(+(-(+(-11320211cos 2)cos cos 2)442Pr EI πππθθθ⎡⎤⎢⎥+-+=-↑⎢⎥⎣⎦（）( 方法二：本题也可以只算纵向对称轴左边，再乘2。
结构力学课后习题答案重庆大学
第1章 绪论（无习题）第2章 平面体系的几何组成分析习题解答习题 是非判断题(1) 若平面体系的实际自由度为零，则该体系一定为几何不变体系。
( )(2) 若平面体系的计算自由度W =0，则该体系一定为无多余约束的几何不变体系。
( ) (3) 若平面体系的计算自由度W ＜0，则该体系为有多余约束的几何不变体系。
( ) (4) 由三个铰两两相连的三刚片组成几何不变体系且无多余约束。
( )(5) 习题(5) 图所示体系去掉二元体CEF 后，剩余部分为简支刚架，所以原体系为无多余约束的几何不变体系。
( )B DACEF习题 (5)图(6) 习题(6)(a)图所示体系去掉二元体ABC 后，成为习题(6) (b)图，故原体系是几何可变体系。
( )(7) 习题(6)(a)图所示体系去掉二元体EDF 后，成为习题(6) (c)图，故原体系是几何可变体系。
( )(a)(b)(c)D习题 (6)图【解】（1）正确。
（2）错误。
0W 是使体系成为几何不变的必要条件而非充分条件。
（3）错误。
（4）错误。
只有当三个铰不共线时，该题的结论才是正确的。
（5）错误。
CEF 不是二元体。
（6）错误。
ABC 不是二元体。
（7）错误。
EDF 不是二元体。
习题 填空(1) 习题(1)图所示体系为_________体系。
习题(1)图(2) 习题(2)图所示体系为__________体系。
习题2-2(2)图(3) 习题(3)图所示4个体系的多余约束数目分别为_______、________、__________、__________。
习题(3)图(4) 习题(4)图所示体系的多余约束个数为___________。
习题(4)图(5) 习题(5)图所示体系的多余约束个数为___________。
习题(5)图(6) 习题(6)图所示体系为_________体系，有_________个多余约束。
习题(6)图(7) 习题(7)图所示体系为_________体系，有_________个多余约束。
《结构力学》第四章 静定结构的位移计算 (3)
B EI
2
R 1
cos
( FP R
sin
)
Rd
0
EI
d
FPR3
2EI
FPk 1
A
B Bx 2 By 2
B kP
B
A M k M P ds B EI
2
(1)
(FPR sin
)
Rd
0
EI
R
O
FP R2 （
）
EI
（1）梁与刚架
三、结构的外力虚功
作用在结构上的外力可能是单个的集中力、力 偶、均布力，也可能是一个复杂的力系，为了 书写方便，通常将外力系的总虚功记为：
W = Fk × km
其中，Fk为作功的力或力系，称为广义力; km为广义力作功的位移，称为广义位移。 下面讨论几种常见广义力的虚功。
1) 集中力的虚功
Pk
k
M
4EIk
GAl 2
kP
若截面为矩形，则：A bh, I bh3 /12,k 6 l 1, 2
h / l 1 , 10
h/l 1 , 15
则：
Q kP
( h)2
Q
M kP
l
kP 25% kMP
对于粗短杆来说，剪 切变形产生的位移不可忽
Q
kP 1%
1
m
ds
第i根杆件静力状态上的力在位移状态的位移上所 作的虚功：
Vi
s FNk
mds
s FQk mds
s Mk
1
m
ds
整个杆件结构各个截面上的内力在位移状态的位 移上的所作的总虚功：
N
N
N
静定结构的位移计算
静定结构的位移计算第4章 静定结构的位移计算4.1 结构位移的概念4.1.1 结构位移结构都是由变形材料制成的，当结构受到外部因素的作用时，它将产生变形和伴随而来的位移。
变形是指形状的改变，位移是指某点位置或某截面位置和方位的移动。
如图 4.1(a)所示刚架,在荷载作用下发生如虚线所示的变形，使截面A 的形心从A 点移动到了A ′点，线段AA ′称为A 点的线位移，记为A ∆，它也可以用水平线位移Ax ∆和竖向线位移Ay ∆两个分量来表示如图4.1(b)。
同时截面A 还转动了一个角度，称为截面A 的角位移，用A ϕ表示。
又如图4.2所示刚架，在荷载作用下发生虚线所示变形，截面A 发生了A ϕ角位移。
同时截面B 发生了B ϕ的角位移，这两个截面的方向相反的角位移之和称为截面A 、B 的相对角位移，即B A AB ϕϕϕ+=。
同理，C 、D 两点的水平线位移分别为C ∆如D ∆，这两个指向相反的水平位移之和称为C 、D 两点的水平相对线位移，既D C CD ∆+∆=∆。
除上述位移之外，静定结构由于支座沉降第4章静定结构的位移计算70等因素作用，亦可使结构或杆件产生位移，但结构的各杆件并不产生内力，也不产生变形，故把这种位移称为刚体位移。
一般情况下，结构的线位移、角位移或者相对位移，与结构原来的几何尺寸相比都是极其微小的。
4.1图71第4章静定结构的位移计算引起结构产生位移的主要因素有：荷载作用、温度改变、支座移动及杆件几何尺寸制造误差和材料收缩变形等。
4.1.2 结构位移计算的目的1. 验算结构的刚度结构在荷载作用下如果变形太大，即使不破坏也不能正常使用。
既结构设计时，要计算结构的位移，控制结构不能发生过大的变形。
让结构位移不超过允许的限值，这一计算过程称为刚度验算。
2. 解算超静定计算超静定结构的的反力和内力时，由于静力平衡方程数目不够，需建立位移条件的补充方程，所以必须计算结构的位移。
3. 保证施工在结构的施工过程中，也常常需要知道结构的位移，以确保施工安全和拼装就位。
第七章结构的位移计算
第七章结构的位移计算一、是非题1. 温度改变，支座移动和制造误差等因素在静定结构中引起内力。
( )2. 虚功中的力状态和位移状态是彼此独立无关的．这两个状态中的任意一个都可看作是虚设的( )3. 在小变形条件下，结构位移计算和变形位能计算均可应用叠加原理。
( )4. 变形体的虚功原理仅适用于线弹性体系，不适用于非线弹性体系。
( )5. 图示结构EI＝常数，求K点的竖向位移时，由图乘法得：（）6. 图示梁的跨中挠度为零。
( )7. 对于静定结构，没有内力就没有变形（）8. 对于静定结构，没有变形就没有位移（）9. 用单位载荷法计算结构位移时，勇于计算外力虚功的广立力是虚设的广义单位力，而相应的广义位移是拟求的实际位移（）10. 如果结构是由线弹性材料制成的，但在温度变化的情况下，功的互等定理不成立（）11. 竖向荷载P分别作用于A点和B点时。
B点产生的竖向位移是不同的。
( )12.变形体体系虚功方程推导过程中，微元体上外力的刚体位移总虚功为零，是基于变形协调条件（）13. 图(a)和图(b)两弯矩图图乘结果为（）14.功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理只适用于线弹性体系。
〔 )15.计算静定结构由于温度改变引起的位移时，不计剪切变形项是由于剪力较小。
( )二、填空题1. 图示桁架各杆EA相同，C点承受水平荷载P后，则CA和CB杆的夹角的改变量为______。
2. 图示刚架中，C、D两点的相对线位移等于______，两点距离______。
3. 虚功原理有两种不同的应用形式，即___________原理和_____________原理，其中_____________原理等价于变形协调条件。
4. 应用图乘法求杆件结构的位移时，各图乘的杆段必须满足如下三个条件：_________；_________；_________5. 结构与荷载如图所示，各杆EI相同，铰C处的竖向位移为________6. 图示刚架C点的竖向位移求得为，如各杆刚度EI减小一倍，C点的竖向位移为_________。
结构力学4静定结构的位移计算习题解答
第4章 静定结构的位移计算习题解答习题 是非判定题(1) 变形体虚功原理仅适用于弹性体系，不适用于非弹性体系。
（ ） (2) 虚功原理中的力状态和位移状态都是虚设的。
（ ）(3) 功的互等定理仅适用于线弹性体系，不适用于非线弹性体系。
（ ） (4) 反力互等定理仅适用于超静定结构，不适用于静定结构。
（ ） (5) 关于静定结构，有变形就必然有内力。
（ ） (6) 关于静定结构，有位移就必然有变形。
（ ）(7) 习题(7)图所示体系中各杆EA 相同，那么两图中C 点的水平位移相等。
（ ） (8) M P 图，M 图如习题(8)图所示，EI =常数。
以下图乘结果是正确的：4)832(12ll ql EI ⨯⨯⨯ （ ）(9) M P 图、M 图如习题(9)图所示，以下图乘结果是正确的：033202201111)(1y A EI y A y A EI ++ （ ）(10) 习题(10)图所示结构的两个平稳状态中，有一个为温度转变，现在功的互等定理不成立。
（ ）(a)(b)习题 (7)图图(b)M图(a)M P 81qM 图(b)P M 图(a)习题 (8)图 习题 (9)图(a)P习题 (10)图【解】（1）错误。
变形体虚功原理适用于弹性和非弹性的所有体系。
（2）错误。
只有一个状态是虚设的。
（3）正确。
（4）错误。
反力互等定理适用于线弹性的静定和超静定结构。
（5）错误。
譬如静定结构在温度转变作用下，有变形但没有内力。
（6）错误。
譬如静定结构在支座移动作用下，有位移但没有变形。
（7）正确。
由桁架的位移计算公式可知。
（8）错误。
由于取0y 的M 图为折线图，应分段图乘。
（9）正确。
（10）正确。
习题 填空题(1) 习题(1)图所示刚架，由于支座B 下沉∆所引发D 点的水平位移∆D H =______。
(2) 虚功原理有两种不同的应用形式，即_______原理和_______原理。
其中，用于求位移的是_______原理。
第6章 静定结构位移计算
二、 单位荷载法 1、定义：在所求点所在位移方向加上单位 力，将实际状态的真实位移视作虚拟平衡状态的 虚位移。应用虚功原理，通过加单位荷载求实际 位移的方法。 2、计算结构位移的一般公式
F K+ FRiCi= M d + FNdu + FQdv
式中， F =1 则
六．线弹性体系的特征 1）结构的变形与其作用力成正比
若单位力P1=1作用下产生
的位移δ ，则力P作用下在 K处产生的位移为Pδ
2）结构的变形或位移服从叠加原理
P1
P2
Pi
K Δ
Pn
δ K i 表示Pi=1时 在K处产生的位移。
Δ= P1 K 1 P2 K 2 Pn Kn
P
i i 1
n
Ki
6.2 变形体系的虚功原理 一、变形体的虚功原理 功：力对物体作用的累计效果的度量。 功=力×力作用点沿力方向上的位移 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功 静力荷载：荷载由零逐渐以微小的增量缓慢地增加 到最终值。结构在静力加载过程中，荷载及内力始 终保持平衡。
虚功： 力在其他因素引起的位移上作的功 其特点是位移与作功的力无关，在作功的过程 中，力的大小保持不变 梁弯曲后，再在点2处加静力荷载FP2，梁产生新 的弯曲。位移△12为力FP2引起的FP1的作用点沿FP1 方向的位移。力FP1在位移△12 上作了功，为虚功， 大小为 W12=FP1△12，此时力不随位移而变化，是 常力。
单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的 广义位移则有正负之分： 正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同 负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反
力的虚设方法
Fp=1 C Fp=1 B C
第四、五、六章练习题答案
图3－18
14．利用影响线，求得结构在图3－20所示荷载作用下，C截面的剪力等于－20kN。（×）
15．结构的附属部分某截面某量值的影响线在基本部分的影响线竖标为零。（√）
第六章力法
1．超静定结构中有几个多余约束就有几个建立力法方程的变形条件。（√）
7．图3－14a所示梁的剪力图，竖标 是截面C左的剪力值，图3－14b是截面C的剪力影响线，竖标－ 也是表示在移动荷载作用下截面C左的剪力值。（×）
图3－14
8．图3－15b可以代表图3－15a所示梁EF段任意截面的剪力影响线。（√）
图3－15
9．任何静定结构的支座反力、内力影响线，军事有一段或是数段直线组成。（√）
2．力法方程中的主系数的符号在任何情况下都取正值。（√）
3．把超静定结构的基本未知力求出来后，画最后内力图时，实际上是在画静定结构的内力图。（√）
4．图5－14所示超静定结构当支座A发生位移时，构建CD不会产生内力。（√）
图5－14
5．对图5－15（a）所示超静定刚架，若进行内力分析时采用5－15b所示的基本结构，并画出了最后的内力图，当计算C点的竖向位移时可选用图5－15 C所示的基本结构。（√）
2．剪力的结构包络图表示梁在已知荷载作用下各截面剪力可能变化的极限范围。（√）
3．静定桁架的影响线在结点之间必是一条直线。（√）
4．下图3－10所示两根梁的MC影响线不相同。（×）
图3－10图3－11
5．同4题图所示两根梁的QC影响线不相同。（√）
6．图3－11所示单位荷载在AB区间移动，绘制界面C的某内力影响线时，也应限制在AB区间内。（√）
10．静定梁某截面弯矩的临界荷载位置一般就是最不利荷载位置。（×）
4.5支座移动时的位移计算 结构力学
学习单元 五 支座移动时的位移计算
学习情境四 静定结构位移
4.5.1 支座移动对静定结构影响
本
单
元
4.5.2 支座移动的位移计算公式
内
容
4.5.3 例题讲解
一、支座移动对静定结构影响
静定结构由于支座移动或制造误差，不引起任何内力，且其内 部亦不产生变形，但整个结构会产生刚体位移。
三、例题讲解
(3) 计算φA
A
RiCi
1 l
C1
1 2h
C2
0.0075
rad
计算结果为正，说明φA与虚设单位力偶m=1的转向一致。
谢谢观看
三、例题讲解
➢ (2) 计算单位荷载作用下的支座反力
➢
由于A支座无位移，故只需计算B支座反力即可。
➢
ห้องสมุดไป่ตู้
取整体为隔离体，由∑MA=0得
RBV l 1 0 RBV 1 l
取右半刚架BC为隔离体，由∑MC=0得
l RBH h RBV
0 RBH
1
2
2h
二、支座移动的位移计算公式
如图(a)所示刚架，支座移动为C1、C2、C3，致使整个结构移动到了 虚线位置如图示。
下面利用虚功原理求结构上任一点K沿i-i方向的位移ΔKi。
三、例题讲解
【例】三铰刚架的跨度l=12m，高为h=8m。已知右支座B发生了竖直 沉陷C1=6cm，同时水平移动了C2=4cm(向右)，如图(a)所示。试求 由此引起的左支座A处的杆端转角φA。 【解】(1) 在A处虚设单位力偶m=1，如图(b)所示。
第4章 静定结构的位移计算
MP κ= EI
γ0 =
kF QP GA
FNP ε= EA
上式适用的条件是：小变形，材料服从虎克定 律，即体系是线性弹性体。
kF FNP MP QP 1⋅∆ = ∑∫ M ds + ∑∫ F ds + ∑∫ FN ds Q EI GA EA
条件：1）存在两种状态： 第一状态为作用有平衡力系； 第二状态为给定位移及变形。 以上两种状态彼此无关。 2）力系是平衡的，给定的变形是符合 约束条件的微小连续变形。 3）上述虚功原理适用于弹性和非弹性 结构。 下面讨论W及V的具体表达式。
q(s) q(s)ds
FP 2
ds
FP 3
ds
C1
FR1
M
FN
A
FR2
FN
A
FR1
F ds F Q Q
给定位移、变形
虚设平衡力系
2. 位移计算一般公式 外力虚功 W = 1 ⋅ ∆ CV + ∑ FRK C K
K
内虚功
V = ∑ ∫ (Mκ + FQγ 0 + FN ε )ds
K
所求位移 1⋅∆CV = ∑∫(Mκ + FQγ 0 + FNε )ds − ∑FRKCK 3. 小结 1） 、Q、N、 RK ——单位载荷 FP1 =1在结构中产 MF F F 生的内力和支座反力， ds、γ 0ds、εds、C1、C2及 κ ∆CV ——给定的位移和变形。力和位移无关。
i K
微段ds的内虚功dV： dV = Mdθ + FQdη + FN dλ = Mκ ds + FQγ 0ds + FNε ds
(最新整理)静定结构的位移计算
图乘法
2. 竖标yc必须取自直线图形，而不能从折线和曲 线中取值。
yc M图
ω
MP图
Δ
1 EI
ωyC
图乘法
若M图与MP图都是直线图形，则yc可以取自其中 任一图形。
ω1
y2
M图
y1
ω2
MP图
ΔE1Iω1y1E1Iω2y2
图乘法
3. 若与 y c 在杆件的同侧， y c取正值；反之，
取负值。
yc
k
k
du、d、dv
ds
位移状态
FPk=1 k
FN、M、FQ
ds
力状态
结构位移计算
外力虚功：
W F P K K F R 1 c 1 F R 2 c 2 F R 3 c 3 K F R c
内力虚功：
W ( i)lF N d u lM d lF Q Fd Qv d
由虚功原理W=W＇有
MP图
l
yC
FP=1 M
（1）绘制MP图。
（ 2）建立相应的虚拟 状态,绘制 M 图 。
（ 3）图乘求位移。
1 ql2 l
22
yC
3 4
BE1I13q22ll4 3l
ql 4 8 EI
图乘法
例 求图示简支梁A端截面的转角 A 及跨中竖向位移 CV 。
q
解：1. 求A端截面的转角 A A
yc
M图
ω
MP图
ω
Δ
1 EI
ωyC
Δ
1 EI
ωyC
图乘法
4. 若Mp图是曲线图形，M 图是折线图形，则应
当从转折点分段图乘，然后叠加。
y1
y2
M图
《结构力学》课后习题答案__重庆大学出版社
第1章 绪论（无习题）第2章 平面体系的几何组成分析习题解答习题2.1 是非判断题(1) 若平面体系的实际自由度为零，则该体系一定为几何不变体系。
( )(2) 若平面体系的计算自由度W =0，则该体系一定为无多余约束的几何不变体系。
( ) (3) 若平面体系的计算自由度W ＜0，则该体系为有多余约束的几何不变体系。
( ) (4) 由三个铰两两相连的三刚片组成几何不变体系且无多余约束。
( )(5) 习题2.1(5) 图所示体系去掉二元体CEF 后，剩余部分为简支刚架，所以原体系为无多余约束的几何不变体系。
( )B DACEF习题 2.1(5)图(6) 习题2.1(6)(a)图所示体系去掉二元体ABC 后，成为习题2.1(6) (b)图，故原体系是几何可变体系。
( )(7) 习题2.1(6)(a)图所示体系去掉二元体EDF 后，成为习题2.1(6) (c)图，故原体系是几何可变体系。
()(a)(b)(c)AEBFCD习题 2.1(6)图【解】（1）正确。
（2）错误。
0W 是使体系成为几何不变的必要条件而非充分条件。
（3）错误。
（4）错误。
只有当三个铰不共线时，该题的结论才是正确的。
（5）错误。
CEF 不是二元体。
（6）错误。
ABC 不是二元体。
（7）错误。
EDF 不是二元体。
习题2.2 填空(1) 习题2.2(1)图所示体系为_________体系。
习题2.2(1)图(2) 习题2.2(2)图所示体系为__________体系。
习题2-2(2)图(3) 习题 2.2(3)图所示4个体系的多余约束数目分别为_______、________、__________、__________。
习题2.2(3)图(4) 习题2.2(4)图所示体系的多余约束个数为___________。
习题2.2(4)图(5) 习题2.2(5)图所示体系的多余约束个数为___________。
习题2.2(5)图(6) 习题2.2(6)图所示体系为_________体系，有_________个多余约束。
第五章 位移计算习题解答
∆������������=
������ 4
(逆时针)，∆������������=
������ 2
(向下)
5-4：图示刚架的 A 支座向下发生了 a 的移动，C 支座向右发生了 b 的移动，求 由此引起铰 D 两侧截面的相对转角 D 和 E 点的竖向位移 EY 。
D
E
4m
Aa B
C
b 2m 2m 2m 2m
6 12
17 23
图 5-7-1
取如图所示的角为θ角，所以
sinθ
=
ℎ √4������2 +
ℎ2
，cosθ
=
2������ √4������2 +
ℎ2
，tanθ
=
ℎ 2������
(1)杆件在实际荷载作用下的轴力
������������1 = ������������3 = ������������6 = ������������13 = ������������20 = ������������23 = ������������24 = 0
1)
������ 6 =5−5 以 B 为坐标原点，建立坐标系
(1 < ������ < 5)
EB 段：
���̅���3
=
−
������ 5
(0 < ������ < 1)
所以
∆������������ =
1 ������������
1
∫ 15������
0
∙
������������������
+
1 5������������
图 5-4
解：由于此结构为静定结构，所以支座位移不会引起结构内力。由于 B 点无竖 向支座，所以在 A 点沉降作用下 ABDE 同时下降 a，E 点竖向位移与 C 点位移 b 无关，所以铰 D 两侧截面的相对转角∆������φ和 E 点的竖向位移∆EY的值为：
静定结构在荷载作用下的位移计算
【例13.1】 试求图a所示简支梁的中点C的竖向位移ΔCV。已知梁 的弯曲刚度EI为常数。
【解】 为求点C的竖向位移ΔCV ，可在点C沿竖向虚加单位 力 1，得到如图b所示的虚拟力状态。设取点A为坐标原点，当0≤x≤l
时，有
内力方程
M 1 x ， M q（lx x2 )
2
2
利用对称性，由位移计算公式得
0
dx q 2
3a
2 a 3ax x2
a
dx
3a
q EI
ax3
x4 4
a 0
3a 2 x 2 2
ax3 3
2 a
1 1q a2 6EI
计算结果为负，表示C、D两点是分开的。
目录
建筑力学
【例13.3】 试求图a所示桁架中杆BC的角位移jBC。各杆的截面
面积如图所示，材料的弹性模量均为E。
【解】 虚拟力状态如 图b所示。为清楚起见，将 两种状态中各杆的内力列 于表中。
杆件 AC BC AD BD CD
杆长l(mm) 2828 2828 2000 2000 2000
截面积 A(mm2)
目录
静定结构的位移\静定结构在荷载作用下的位移计算
1.2 几种典型结构的位移计算公式
1. 梁和刚架 2. 桁架 3. 组合结构
K
l
MM EI
ds
K
FN FNl EA
4. 拱
K
MM ds FNFNl
l EI
EA
K
MM ds l EI
FNFN ds l EA
目录
静定结构的位移\静定结构在荷载作用下的位移计算
建筑力学
静定结构的位移\静定结构在荷载作用下的位移计算
静定结构位移计算典型例题(附详细解题过程)
静定结构的位移计算——典型例题【例1】计算如图1(a)所示梁结构中跨中C 点的竖向位移，已知EI 为常数。
【解】方法一：（积分法）（1）荷载作用的实际状态以及坐标设置如图6-8(a)，其弯矩方程为：（2）虚设单位力状态，以及坐标设置如图6-8(b)，其弯矩方程为：（3）积分法求跨中的竖向位移图1方法二：图乘法（1）荷载作用的实际状态，其弯矩图如图1(c)所示； （2）虚设单位力状态，其弯矩图如图1(d)所示； （3）图乘计算跨中竖向位移【例2】计算如图2(a)所示半圆曲梁中点C 的竖向位移，只考虑弯曲变形。
已知圆弧半径为R ，EI 为常数。
CV ∆21102211112222P qlx x l M qlx q x l l x l ⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎛⎫⎪--<≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩1021122x x l M l l x l ⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩24/20/211111113()22222232l l P CVl MM ql ds x qlxdx l qlx q x l dx EI EI EI EI ⎡⎤⎛⎫∆==⨯⨯+⨯⨯--=↓⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰4222211112111311121113()222432284223232232cPCV A y MM ds EI EI ql l ql l ql ql l l l ql l EI EI EI ω∆==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=↓ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑⎰CV ∆图2【解】（1）实际荷载作用下，以任意半径与x 轴的顺时针夹角θ为自变量（图2a ），弯矩方程为（截面内侧受拉为正）：（2）虚设单位荷载状态如图2(b)所示，其弯矩方程为：（3）积分法求跨中的竖向位移【例3】如图3(a)所示梁的EI 为常数，在荷载F 作用下测得结点E 的竖向位移为9mm （向下），求截面B 处的角位移。
《结构力学习题》(含答案解析)
第三章 静定结构的位移计算一、判断题：1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。
2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。
3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。
4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取：A.;; B.D.C.=1=15、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。
6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。
M k M p 21y 1y 2**ωω( a )M =17、图a 、b 两种状态中，粱的转角ϕ与竖向位移δ间的关系为：δ=ϕ 。
8、图示桁架各杆E A 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。
a a9、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。
二、计算题：10、求图示结构铰A 两侧截面的相对转角ϕA ，EI = 常数。
q l l l /211、求图示静定梁D 端的竖向位移 ∆DV 。
EI = 常数 ，a = 2m 。
a a a 10kN/m12、求图示结构E 点的竖向位移。
EI = 常数 。
l l l /3 2 /3/3q13、图示结构，EI=常数 ，M =⋅90kN m , P = 30kN 。
求D 点的竖向位移。
P 3m 3m 3m14、求图示刚架B 端的竖向位移。
ql15、求图示刚架结点C 的转角和水平位移，EI = 常数 。
q16、求图示刚架中Ｄ点的竖向位移。
EI ＝常数。
l/217、求图示刚架横梁中Ｄ点的竖向位移。
EI＝常数。
18、求图示刚架中D点的竖向位移。
E I = 常数。
qll l/219、求图示结构Ａ、Ｂ两截面的相对转角，EI＝常数。
l/23l/320、求图示结构A、B两点的相对水平位移，E I = 常数。
ll21、求图示结构B点的竖向位移，EI = 常数。
习题课5静定结构的位移计算
静定结构的位移计算
1
一、根据欲求广义位移，试虚拟广义单位力系。 (1) 求 Δ CV + Δ DV , Δ CV − Δ DV
FP C m B D A C D 1 1 B
A
求 Δ CV + Δ DV
1 A C D
2
1 B
求 Δ CV − Δ DV
(2) 求C、D截面相对转角、相对线位移、相对水平 线位移。
ql/2
8
A
q C ql 2/8
l/2 l/2
1 B A
l/2
C l/4
ql 4 解： CK = 96 EI ΔCV
M图
MMP = ΔCV 1 + Δ CV 2 = ∫ dx − ∑ F RK CK A EI 2 2 l 1 2 5 l 1 ql 4 = ( ⋅ ⋅ ql ⋅ ⋅ ) − (− ⋅ ) EI 3 2 8 8 4 2 96 EI ql 4 5ql 4 7ql 4 = + = (↓) 384 EI 192 EI 384 EI
16
(2) 求 Δ CV 及截面B、C相对转角 Δϕ BC。
2kN/m
A
2m
C
6m
EI
B
A
ω1 C
解：
ω1 = ⋅ 2 ⋅12 = 12 y1 = ⋅1.5 = 1
1 2 1 2 3 y1 C EI B 1 A ω 2 = ⋅ 6 ⋅12 = 36 y2 = 1 y3 2 y2 y4 2 4 1 3 2m 1.5 6m ω 3 = ⋅ 2 ⋅1 = y3 = ⋅1.5 = 3 3 2 4 M 1图 2 1 3 ω 4 = ⋅ 6 ⋅ 9 = 36 y4 = ⋅1.5 = 3 2 4 1 1 4 3 3 76 Δ CV = (ω1 y1 + ω 2 y2 + ω3 y3 + ω 4 y4 ) = (12 ⋅1 + 36 ⋅1 + ⋅ + 36 ⋅ ) = (↓) EI EI EI 3 4 4 17
结构力学第四章习题及答案
静定结构的位移计算习题4—1 (a)用单位荷载法求图示结构B 点的水平位移解：1. 设置虚拟状态选取坐标如图。
2. M P 图和 如图示3. 虚拟状态中各杆弯矩方程为实际状态中各杆弯矩方程为M P =F P x4. 代入公式（4—6）得 △BH =l实际状态1虚拟状态5F P l 15l M P 图图M 图M xM =141012118111EI F EI x F x EI x F x EI dx M M P l l P l P P =⨯⨯+⨯⨯=∑⎰⎰⎰(←)4—1 (b)单位荷载法求图示刚架B 点的水平位移 解：1. 设置虚拟状态选取坐标如图。
2. M P 图和 如图示3. 虚拟状态中各杆弯矩方程为 BD: DC: CA: 实际状态中各杆弯矩方程为 BD: M P =0 DC: M P =40x CA: M P =160+5x 24. 代入公式（4—6）得图M x M =3=M xM-=3△BH =4—2试求图示桁架结点B 的竖向位移，已知桁架各杆的EA =21×104KN 。
1M P 图M 3KN •m340KN •m3KN •m3KN •m)(833.05160)3(40306012401301←=+⨯-+⨯+*=∑⎰⎰⎰⎰cm EI x x x EI x EI x EI dxM M P实际状态虚拟状态解：虚拟状态如图示。
实际状态和虚拟状态所产生的杆件内力均列在表4—1中，根据式4—7可得结点B的竖向位移为表4—1中)(768.010215.16124↓=⨯∙=∆cm KNm KN BV4—3 （a）、（b）试用图乘法求图示结构B 处的转角和C 处的竖向位移。
EI=常数。
M=ql 2M P 图ql 2/81M=1（a ）解：M P 图、单位力偶下作用于B 点的1M 图、单位力下作用于C 点的2M 图EIql ql l ql l EI B 3)21223232221(1222=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=ϕ（ ）（b ）解：M P 图、单位力偶下作用于B 点的1M 图、单位力作用于C 点的2M 图)2183232421(122⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=ql l l ql EI B ϕ=ql 3/24EI( ))23242212832232421(1222ql ql l ql ql l ql l ql EI cv ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=∆)(24)2852232322213221(14222↑-=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-=∆EI qll ql l ql l l ql l l EI CV= ql4/24EI(↓)（b）ql/2ql2/4l/2（C ）解：M P 图、单位力偶作用于B 点的1M 图、单位力作用于C 点时的2M 图EIl F lF ll EI P P B 12231211322121(12=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-=ϕ( )ll)(12231212232221(12↓=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯-=∆EIl F lF l l l F l l EI P P P cv 4—4 （a ）试求图示结构C 点的竖向位移。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4
832(12l
l ql EI ⨯⨯⨯ (
(9 M P图、M图如习题4.1(9图所示,下列图乘结果是正确的:
0332
02201111(1y A EI y A y A EI ++ (
(7习题4.2(7图所示结构,当C点有F P =1(↓作用时,D点竖向位移等于∆ (↑,当E点有图示荷载作用时,C点的竖向位移为________。
(8习题4.2(8图(a所示连续梁支座B的反力为(16
11R ↑=B F ,则该连续梁在支座B
下沉∆B =1时(如图(b所示,D点的竖向位移D δ=________。
(a(b
F P
t 12
t
习题4.1(10图
【解】(1错误。变形体虚功原理适用于弹性和非弹性的所有体系。
(2错误。只有一个状态是虚设的。(3正确。
(4错误。反力互等定理适用于线弹性的静定和超静定结构。(5错误。譬如静定结构在温度变化作用下,有变形但没有内力。(6错误。譬如静定结构在支座移动作用下,有位移但没有变形。(7正确。由桁架的位移计算公式可知。
(10习题4.1(10图所示结构的两个平衡状态中,有一个为温度变化,此时功的互等
定理不成立。(
F C
C
F l
(aP
l
l (b
P
l
习题4.1(7图
图
(bM l /4
1
图
(aM P l
8
1ql 2q
M图
(bP M图
(a1
02
y A 3A 2
1A 2
EI EI
1
01
y 03
y
习题4.1(8图习题4.1(9图
(2图乘法
由计算位移的图乘法公式,得
V 1
12112680
1602240221021(232333C EI
EI
∆⎡⎤=
⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=↓⎢⎥⎣⎦ 3求∆C V
4l
l /2
2
1A
x
(a
M
(c图(b图
1x B
C
l 2
M P C
A
q
EI EI B
8
P F /2ql =A
ql
x
2
ql 1x
B
C
21ql 4
(4图乘法的应用条件是:__________且M P与M图中至少有一个为直线图形。(5已知刚架在荷载作用下的M P图如习题4.2(5图所示,曲线为二次抛物线,横梁的
抗弯刚度为2EI ,竖杆为EI ,则横梁中点K的竖向位移为________。
(6习题4.2(6图所示拱中拉杆AB比原设计长度短了1.5cm ,由此引起C点的竖向位移为________;引起支座A的水平反力为________。
第4章静定结构的位移计算习题解答
习题4.1是非判断题
(1变形体虚功原理仅适用于弹性体系,不适用于非弹性体系。( (2虚功原理中的力状态和位移状态都是虚设的。(
(3功的互等定理仅适用于线弹性体系,不适用于非线弹性体系。( (4反力互等定理仅适用于超静定结构,不适用于静定结构。( (5对于静定结构,有变形就一定有内力。( (6对于静定结构,有位移就一定有变形。(
l C ql ql ql x x qx x x x x EI
EI EI
∆⎛⎫=-⨯-+⨯=↓ ⎪⎝⎭
1
习题4.3(2图
(1积分法
绘M P图,如习题4.3(2(b图所示。在C点加竖向单位力并绘M图,如习题4.3(2(c图所示。以C点为坐标原点,x轴向左为正,求得AC段(0≤x ≤2弯矩为
M x =,2P 10(2M x =⨯+
则
2
2V 0
168010(2d (3C x x x EI EI
∆=⨯⨯+=↓⎰
(2虚位移、虚力;虚力。(3广义单位力。
(4EI为常数的直线杆。(5
48.875
(EI
↓。先在K点加单位力并绘M图,然后利用图乘法公式计算。(61.5cm ↑;0。C点的竖向位移用公式N ΔF l =∆∑计算;制造误差不会引起静定结构产生反力和内力。
(7
(a
∆
↑。由位移互等定理可知,C点作用单位力时,E点沿M方向的位移为
习题4.3(3图
(1积分法
绘M P图,如习题4.3(3(b图所示。在C点加竖向单位力并绘M图,如习题4.3(3(c图所示。根据图中的坐标系,两杆的弯矩(按下侧受拉求分别为AB杆
12M x =-,2P 1
42
ql M x qx =-
CB杆
M x =,P 2
ql
M x =
则
4
/2
2V
00
1111d d (242224l
21a
∆
δ=-
。则E点作用单位力M =1时,C点产生的位移为12a
∆
δ=-
。
(8
11
(16
↓。对(a、(b两个图示状态,应用功的互等定理可得结果。习题4.3分别用积分法和图乘法求习题4.3图所示各指定位移∆C V。EI为常数。【解】1求∆C V
/2
l A
EI
l /2
A
B
P
x
P
14F l M P (b图
C B
(c图A
41l
M
C x
=1P F B
(a
F C
习题4.3(1图
(1积分法
绘M P图,如习题4.3(1(b图所示。在C点加竖向单位力F P =1,并绘M图如习题4.3(1(c图所示。由于该两个弯矩图对称,可计算一半,再将结果乘以2。
AC段弯矩为
12M x =
,P P 1
2
M F x =则
3/2
P V P 0
(8错误。由于取0y的M图为折线图,应分段图乘。(9正确。(10正确。习题4.2填空题
(1习题4.2(1图所示刚架,由于支座B下沉∆所引起D点的水平位移∆D H =______。(2虚功原理有两种不同的应用形式,即_______原理和_______原理。其中,用于求位移的是_______原理。
(3用单位荷载法计算位移时,虚拟状态中所加的荷载应是与所求广义位移相应的______ 2a
a
B 1
3m
3m 9
K 246m
24
习题4.2(1图习题4.2(5图
A
C
B
3m
6m
6m
A C
M =1
B D E
a
a
a
a
习题4.2(6图习题4.2(7图
B R F D
l
l /2/2l (a
C
B
A
P =1
F D
(b
=1
B D
B
A
C
习题4.2(8图
【解】(1
(3
∆
→。根据公式R ΔF c =-∑计算。
111
2d (2248l C F l x F x x EI EI
∆=⨯⨯⨯=↓⎰
(2图乘法
3P P V
1122(2423448C F l F l l l
EI EI
∆=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=↓
2求∆C V
2m
2m
(a
(b图(kN·
m P M (c图M
10
20kN/m
A
C
B
EI A
160
B
A
2
x C
40B
x C