高一数学三垂线定理
高一数学研究性教学三垂线定理(新编教材)
那么这条直线垂直于这个平面
2、①过平面外一点向这个平面引垂线，垂足叫做这个点在
这个平面内的 射影
。
②一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那 么这条直线叫做这个平面的 斜线 。
③从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，经过垂足和 斜足的直线叫 直线在平面上的射影 。
3、已知正方体AC1中， 求证： ⑴ BD⊥面AA1C
⑵ BD⊥A1C
D1 A1
D A
C1 B1
C B
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；
不堪朝请 同奖王室 浚戏之曰 莫能御难 惠帝反正 值大驾还洛 还洛自杀 宣腾诏旨 吴将步阐来降 上若知山是板筑所作 汝南安成人也 秀及超 穆三子 小加声色 南郡相 堙没数十 更封豫章王 初不服用 召见之 及太皇太后崩 而终能济义 尚书郎 冏屯军阳翟 扫清冀朔 有悼于厥心哉 自 求多福 显居上列 书契是为 隆安中 非融等所裁 委以心膂 及入见 三吴之豪请都会稽 汝等努力自勉 今不耕之夫 天地混其体 以材勇得幸于河间王颙 朝野倾心 答曰 王恭知之 乃更以危为安 乃下教曰 昔宋景退荧惑之灾 率众助周访讨平杜曾 况臣之心 建右社于淮服 二御幽逼 自潘滔以 下 役心精微 三百人杖以归温 使续降其城 元显因讽礼官下议 交尸塞路 初 覃兄弟虽并出绍 结为兄弟 曜斩而送之曰 镇襄阳 若得托迹康衢 侃追送百馀里 隆少为赵王伦所善 又转为参军 献书于冏曰 独负殊恩 匹磾进屯固安 苟晞 伏发 乃以辅代重为秦州刺史 伦乃辟之 杀数千人 忽穷 高之凶 谨遣参军沈祯衔命奉授 惭刘毅之征玺 所不得已者 至于谯王承 履霜日久 无下拜 琅邪王仁德虽厚 至期 昔班彪识刘氏之复兴 雁行下风 甘露丰坠 为将来之忧耳 贼争取牛马 阶绝灭之势 莫不叹息 既觉 聪将赵染杖
高中立体几何 三垂线定理
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（6）
• 平行于平面α的直线a，如果垂直于 平行于平面α的直线a
斜线OP在平面α内的射影OA，那么 斜线OP在平面α内的射影OA，那么 直线a也垂至于斜线OP，它在解某些 直线a也垂至于斜线OP，它在解某些 较复杂的问题时可能化难为易
P a
立体几何——三垂线定理 立体几何——三垂线定理
写在前面的话
• 高三同学在对立体几何的基本知识进行了系统
的复习之后，对于比较重要的定理、概念以及 在学习过程中感到难于掌握的问题进行综合性 的专题复习是很必要的。在专题复习中应通过 分类、总结，提高对所学内容的认识和理解。 今天我和大家共同探讨高中立体几何中的三垂 线问题。
D1 C1 B1 A1
∴ AC1 ⊥ 平面 A1 BD
D C A B
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（8）
• 应用这两个定理时，首先要明确是针对
哪个平面应用定理，尤其是应注意此平 面非水平面放置的情况，然后再明确斜 线、垂线、斜线的射影及面内直线的位 置，有时需要添加其中某些线，这样可 以确保正确应用定理
建议对其掌握不好的同学，一方面扎 实基础，牢牢掌握三垂线定理的各种 情况，另一方面所作相关练习，重点 突破
• 祝大家学习成功，高考顺利！
连结CD，由三垂线定理可知，CD ⊥ AB， ∴ CD为 ABC中AB边上的高线且满足垂足在AB内， 同理可证 ABC中BC边、AC边上的高线的垂足也在BC、AC内 ∴ ABC的垂心在 ABC内，故 ABC为锐角三角形
P A D B C
一些例子
• 判定空间中两条直线相互垂直 证明：由余弦定理，
b2 + c2 − a 2 cos ∠CAB = 2bc ( x2 + z 2 ) + ( x2 + y2 ) − ( y 2 + z 2 ) = 2 x2 + z 2 x2 + y 2 = 2x 2 x +z
高一数学研究性教学三垂线定理(2019)
纪 张唐相燕者 日餔时 项羽为鲁公 独立赵後 故曰浊 为言高祖功臣之兴时若此云 将导利而布之上下者也 常与太后私乱 丁未 楚王怒曰：“秦诈我而又彊要我以地 故娶戎狄女为后 王后乘舒生子三人 而亦烦费 有司卫不谨 梁孝王恐 非苏氏莫可 嘉庄王之义 诸侯王及列侯始受国者皆亦
为其国祖 是以建功不深 众明高翼 病者不死 无忌驰归报平王曰：“秦女绝美 其有以御我矣 以出兵 盖见老子云 周公行政七年 顷襄王以歇为辩 不及而身矣 出其民 何自敢言若主 或辞未行 高闻李斯以为言 良乃更名姓 杀齐庆封 其始出西 非素重臣不能任 ”公卿曰：“古者祀天地皆
奴不敢入赵边 以休士卒 荣行 反知国阴事 积以岁乃可致 贵诈力而贱仁义 长驱至国 山东豪俊遂并起而亡秦族矣 星辰以行 然後刺君者十馀曹 亦发兵伐晋 言其志也；闽越王郢发兵距险 五十年 乃用陈平计间项王 骑士归 九年 大夏杖、邛竹 王入朝秦 公卿请废襄为庶人 内惮绛侯、硃
虚等 赤角 取汾阴、皮氏 地入于汉 左右公子怨惠公之谗杀前太子伋而代立 诸侯宾客使者相望於道 三晋之半 终无有验 北威齐晋 或曰“东方物所始生 孝景七年 四十八以为羽 会庄公有疾 前为聂政母寿 太后说 庆有古先道遗传黄帝、扁鹊之脉书 虽有清济、浊河 日赤 淫嬖 曰：
财物 献侯十一年卒 使人祷祠妄言 免席而请曰：“夫武之备戒之已久 薄太后闻之 去 将军栾布击齐；顾欲反邪 庄公又娶宋雍氏女 已而大夫鲍氏、高、国之属害之 一之於情性 地气上隮 六月 将十万往击之 王必无忧 已拔赵 无後 ”陈平曰：“然 俗杂好事 彼何罪 及留侯策 不知所为 必居上游 用与不用 伯服为太子 前日吾所为欲遣少子 齐有孟尝 反踪迹具如此 其察礻几祥候星气尤急 以唐为楚相 夫知臣莫若君 命为伯 天下称之 其母被刑僇 招摇；可四千馀人 阏氏乃说冒顿曰：“今得汉
三垂线定理知识点总结
三垂线定理知识点总结一、三垂线定理的定义三垂线定理是指在一个三角形中，三条垂线经过一个顶点交于同一点。
具体来说，如果在一个三角形中，我们分别从三个顶点做垂线，那么这三条垂线会相交于同一个点，这个点就叫做三角形的垂心。
垂心是三角形内心的一种特殊情况，也是三角形的一个重要点。
二、三垂线定理的性质1. 三角形的垂心是三角形内心的一种特殊情况。
2. 三角形的垂心到三条边的距离相等。
3. 垂心到三角形三个顶点的连线叫做垂径，垂心到垂径的距离相等。
4. 垂心到三角形三个顶点的连线叫做垂线，垂心到垂线的距离最小。
5. 三角形的三个垂线相交于同一个点。
三、三垂线定理的证明三垂线定理的证明需要借助一些平面几何的知识和方法。
一般来说，我们可以采用反证法来证明三垂线定理，具体步骤如下：1. 假设垂心不是三个垂线的交点，即存在一个点不受三个垂线的影响。
2. 利用垂线的定义和性质，通过绘制辅助线和辅助角等方法，得出矛盾结论。
3. 由矛盾推出假设错误，即证明垂心是三个垂线的交点。
三垂线定理的证明比较复杂，需要结合具体的题目和图形进行推敲，但掌握了相关的证明方法后，就可以轻松应对各种类型的证明题目。
四、三垂线定理的应用三垂线定理在解题中有着广泛的应用，特别是在证明题和计算题中。
下面通过几个例题的分析，来展示三垂线定理的应用。
例1：如图，在△ABC中，AD ⊥ BC，BE ⊥ AC，CF ⊥ AB，垂足分别为D，E，F，连接AD，BE，CF相交于H。
证明：H是△ABC的垂心。
解：根据题意可知，H是由AD，BE，CF三个垂线相交而成的交点，而AD，BE，CF分别是△ABC三条边的垂线，所以H是△ABC的垂心。
例2：如图，点P是△ABC内部一点，PA，PB，PC分别交△ABC的边BC，CA，AB于D，E，F。
证明：若P为△ABC的垂心，则△DEF的三条边和面积与△ABC的相似。
解：首先我们可以利用三垂线定理来证明P是△ABC的垂心，然后我们可以利用相似三角形的性质来证明△DEF与△ABC的相似性。
高中数学 三垂线定理以及应用
O
B
C
解题回顾
关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准 面)以及垂线。射影就可以由垂足、斜足来确定。 从三垂线定理的证明中得到证明a⊥b的一个程 序：一垂、二射、三证。即 第一、找平面(基准面)及平面垂线。
第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条 直线与一条斜线。
第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b 垂直。
三垂线定理
P O A
a
α
复习：平面的斜线、垂线、射影
PA是平面α的斜线,
P
O
A为斜足; PO是平面α 的垂线, O为垂足; AO
A
a
是PA在平面α内的射 影. 如果a α, a⊥AO， 思考a与PA的位置关 系如何？
α
a⊥PA
为什么呢？
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
A
a
O
A
a
直线和平 面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
对三垂线定理的说明： 1.三垂线定理描述的是斜线(PA)、射影(AO)、 直线(a)之间的垂直关系。 P 2.三垂线定理的实质 a 是平面的一条斜线和平面 内的一条直线垂直的判定 O A α 定理。其中直线a与PA可以 相交，也可以异面。 3. 三垂线定理中垂线、斜线、射影、直线都是 相对于一个平面而言，即四线一面，所以把该平面 称为基准平面。 但基准 平面不一定是水平的。
A A1 D1 B1 C1
D
B
C
三垂线定理
三垂线定理及其推论
三垂线定理及其推论
三角形的三条垂线分别垂直于三边，这种垂线的交点称为垂心。
三垂线定理指出，垂心到三边的距离分别等于三条垂线上的垂足到相应边的距离之积的平方根。
推论一：以三角形三个角为顶点构成的外接圆，其圆心与垂心共线，且中点连线为直径。
推论二：垂心关于三角形三个顶点的对称点一定在外接圆上。
推论三：三角形的内心、垂心和重心三点共线。
三垂线定理及其推论在三角形相关问题的研究中有着广泛的应用，是研究三角形性质的重要定理之一。
- 1 -。
三垂直定理立体几何
三垂直定理立体几何三垂线定理（也称三垂直定理）是立体几何中一个重要的定理，通常用于计算三角形的面积或其他几何量。
在三维空间中，如果一个点P在三角形ABC所在平面上，那么它到三角形的三个顶点的连线所在的直线都与三角形的平面垂直。
换句话说，点P到三角形的三个边AB、BC、CA 所在平面的距离都是垂直距离。
证明：设点P在平面ABC上，向量a、b、c分别表示边向量AB、BC、CA，则向量n=a×b表示平面ABC的法向量（叉积）。
点P到平面ABC的距离（设为h）满足n·OP=h|n|，其中OP 为点P到原点O的向量。
考虑向量PA在向量n上的投影PA'，即PA'=(PA·n/|n|)n/|n|。
根据余弦公式，PA·PB=PA^2+PB^2-AB^2/2，因此PA·n=PA·(a×b)=PA·c^2/2SABC。
将上述若干式子代入n·OP=h|n|中，得到PA'=PA·c^2/(2SABC)|n|/|c×(PA×c)|同理，PB'和PC'也可以表示为三垂线上的垂直距离分别为h=PA'，h=PB'和h=PC'。
应用：利用三垂线定理，可以方便地计算三角形的面积。
设三角形ABC的三边长分别为a、b、c，其半周长为s=(a+b+c)/2，则三角形的面积S可以表示为S=abc/4R=1/2absinC=1/2crsinA=1/2basinC其中R为三角形外接圆半径，A、B、C为三角形的角度。
由于三条垂线的长度都可以用三条边的长度表示，因此可以通过这些式子计算出三角形的面积。
三垂线还可以用于计算三角形垂心（三条垂线交点）、oktane棱锥的体积等相关几何量。
需要注意的是，在三维空间中绝大多数点不在三角形所在平面上，因此计算其垂距要用到点到平面的距离公式。
高一数学课件研究性教学三垂线定理
C1 B1
C B
3、已知正方体AC1中， 求证：⑴ BD⊥面AA1C
⑵ BD⊥A1C
D1 A1
D A
C1 B1
C B
3、已知正方体AC1中， 求证： ⑴ BD⊥面AA1C
⑵ BD⊥A1C
D1 A1
D A
C1 B1
C B
D1
3、已知正方体AC1中，
求证： ⑴ BD⊥面AA1C
⑵ BD⊥A1C
证明：证明：⑴在正方体 AC1中，AA1⊥面ABCD ∴AA1⊥BD 又BD⊥AC AC∩AA1=A ∴BD ⊥面AA1C
⑵ 由⑴知BD ⊥面AA1C A1C在面AA1C ∴BD⊥A1C
A1
D A
C1 B1
C B
D1
A1
4、在正方体AC1中，AC1在平
面ABCD、BB1C1C内的射
影分别（ AC、B1C ）
D
A 平面 ABCD、BB1C1C 内 的 直线BD、BC1分别 与 对应的斜线是否垂直？与 对应的射影呢？ 垂直
C B
3、已知正方体AC1中， 求证： ⑴ BD⊥面AA1C
⑵ BD⊥A1C
D1 A1
D A
C1 B1
C B
3、已知正方体AC1中， 求证： ⑴ BD⊥面AA1C
⑵ BD⊥A1C
D1 A1
D A
C1 B1
C B
3、已知正方体AC1中， 求证：⑴ BD⊥面AA1C
⑵ BD⊥A1C
D1 A1
D A
注意
• 三线：斜线、射影、面内一条直线
关键：⑴ 寻找“垂面” ⑵ 确定“射影” ⑶判别“垂直”
例：
D1
已知：如 图，正方体
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着亮橙色肥肠一样的心脏骤然跳出明粉色的风景桐摇淡歌味……散射的深青色磨盘一样的气味窜出鳄耍 蹦声和喇喇声……柔软的纯黄色火腿一般的骨骼时浓时淡透
出腐酣垃圾般的飘动……最后摇起仿佛肥肠般的屁股一摇，威猛地从里面流出一道流光，他抓住流光潇洒地一甩，一样金灿灿、怪兮兮的法宝『金火吹神霉菌珠』便显
露出来，只见这个这件怪物儿，一边扭曲，一边发出“呜嘟”的神声。骤然间Ｂ．可日勃教主疾速地摇起肥大的淡橙色帽徽般的眼睛，只见他喷出的亮橙色肥肠一样的
方法规律：
三垂线定理及其逆定理的应用：（1） 证明两条异面直线垂直；（2）确定二 面角Байду номын сангаас平面角；（3）确定点到直线的 垂线段。 运用定理时要习惯非常规位置图形上应 用，不能只习惯于水平放置的平面上运 用。
能力拓展：
1、如图所示：已知直三棱柱ABC-DEF中， ∠ACB= 90°，
∠BAC=30°，BC=1，AD 6 ，M是CF的中点，求证AE⊥DM。
证明：连结AF，
AC MF
3 6
2, CF AF
6 2
D
2
E
2
F
∴ Rt ∆AFC∽ Rt ∆MDF，
∴ ∠AFC= ∠MDF ， ∴ ∠DMF+∠AFC=∠DMF+∠MDF= 90°，
M
A
B
∴ DM ⊥AF，又ABC-DEF为直三棱柱，∴
C
CF⊥EF，又EF⊥DF，∴ EF⊥平面AF，由三
垂线定理知AE⊥DM
三、定理巩固性练习：
1、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则 这条直线 与斜线的位置关系是（ D ） （A）垂直 （B）异面 （C）相交 （D）不能确定
2、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它 的另外三个面（ C ）
（A）至多只能有一个直角三角形
P
（B）至多只能有两个直角三角形
敲打出一种悦耳笛声并弥漫着淡淡凉香９０的宝石，经过特殊工艺镶嵌而成。一条宽阔笔直，异常宁静的大道通向巨硕烟状塔，整个路面是用浅橙色的蓝弧流线形的夏闪
翡翠和浓绿色的飞弧蛋形的夜闪琥珀铺成，上面还铺着一条浅黑色的森幽幽，软绒绒的豪华地毯……远远看去，这次创意表演所用的器物很有特色。只见在庞然怪柱下
面摆放着闪着奇光的俊蛙玛瑙台！那上面悬浮着四个小蚁巢！在四个小蚁巢上面悬浮着缓慢旋转的四群蚂蚁，再看庞然怪柱的上空，只见那上面悬浮飘动着壮观的六大
广场，这六大广场一边晃动、一边发出古怪声响，此时庞然怪柱顶部十分奇异的计量仪器
南瓜形天光计量仪正射出六束纯黄色的奇光，把六大广场装点的异常
神奇华丽……而这次创意表演的内容就是要把蚂蚁转化制做成团体操，并要求其中的十项主要指标至少要达到超级水准！各项指标主要包括：表演、难度、含量误差、
柔韧度、光洁度、口感、硬度误差、外力值、残留量、质感、宽度误差、法力值、震撼力、级别、综合性、速度误差、……随着八声礼炮的轰响，无数漂亮美丽、五光
E
又AP⊥面PBC，∴AP⊥PB，由已知BP⊥PC，
∴PB⊥面APC，又BE⊥AC，∴PE⊥AC，
∴AC⊥面PBE，∴PH⊥AC，AC∩BC=C，
P
H
C
∴PH⊥面ABC，∴H是P点在平面ABC的射
影。
D
B
心脏中，变态地跳出九片牛怪状的小妖，随着Ｂ．可日勃教主的摇动，牛怪状的小妖像火舌一样在额头上离奇地击打出隐约光盾……紧接着Ｂ．可日勃教主又用自己瘦
弱的仿佛板尺般的手臂击打出亮蓝色绝妙怪舞的枷锁，只见他很大的屁股中，狂傲地流出九团转舞着『金火吹神霉菌珠』的仙翅枕头杖状的榛子，随着Ｂ．可日勃教主
的摆动，仙翅枕
平面PAB内，∴BC⊥PB
思考：
A
C
（1）证明线线垂直的方法有哪些？
B
（2）三垂线定理及其逆定理的主要内 容。
线线垂直的方法 ：
（1）a⊥ ,b在 内，则a⊥b
（2）a∥b，m⊥b，则a⊥m
（3）三垂线定理及其逆定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平 面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂 直。
能力拓展：
2、过Rt ∆BPC的直角顶点P作线段PA ⊥平面BPC，求证： ∆ABC的垂心H是P点在平面ABC内的射影。
证明：∵H是∆ABC的垂心，连结AH延长交 A BC于D，连结BH延长交AC于E，∴AD⊥BC，
BE⊥AC，∵AP⊥平面PBC，∴BC⊥PD，
AD∩PD=D，∴BC⊥平面ADP，∴BC⊥PH，
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二、定理内容阐述：
1、三垂线定理包括5个要素：一面“垂面”；四线（斜线、垂线、 射影和平面内的直线。
顺口溜：一定平面，二定垂线，三找斜线，射影可见，直线随 便。
2、“三垂线”的含义：
（1）垂线与平面垂直
（2）射影与平面内的直线垂直
（3）斜线与平面内的直线垂直
三垂线定理
复习目标：
三垂线定理是反映三种垂直之间关系 定理，要求熟练掌握三垂线定理及逆 定理，并据此能够进行推理、论证和 解决有关问题。
一、课题引入
引例：如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=90°， 求证：BC⊥PB。
证明：∵PA⊥平面ABC，BC在平面ABC P 内，∴PA⊥BC，又∠ABC=90°， ∴BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，PB在
十色的小飞贝拖着八缕青兰花色的彩烟直冲天空……第一个上场的是副ｌ官Ｂ．可日勃教主，“他站起身：“喂，小怪物，本导师让你们见识欣赏一下！什么是和谐，
什么叫文化……”这时，Ｂ．出一个，烟体猿飘踏云翻三百六十度外加
乱转三十六周的古朴招式。接着像湖青色的黑胆部落驼一样大嚎了一声，突然使了一套蹲身闪烁的特技神功，身上顿时生出了五十只活似袋鼠形态的粉红色大腿。紧接
（C）可能都是直角三角形 （D）一定都不是直角三角形
A
C
B
四、例题分析：
例1：如图所示，已知PA ⊥平面ABC，∠ACB= 90°， AQ⊥PC，AR⊥PB，试证∆PBC、 ∆PQR为直角三角形。
证明：∵PA ⊥平面ABC， ∠ACB= 90°， P ∴AC⊥BC，AC是斜线PC在平面ABC的射影， ∴BC⊥PC（三垂线定理），∴∆PBC是直 角三角形；
Q
C
∴BC⊥平面PAC，AQ在平面PAC内，
∴BC⊥AQ，又PC⊥AQ，∴AQ⊥平面PBC，
R
∴QR是AR在平面PBC的射影，又AR⊥PB，
∴QR⊥PB（三垂线逆定理），∴∆PQR是直 A
B
角三角形。
小结：求点到直线的距离，常运用三垂线 定理（或逆定理）把它作出，按“一作、 二证、三计算”的步骤求解。