高一数学三垂线定理

着亮橙色肥肠一样的心脏骤然跳出明粉色的风景桐摇淡歌味……散射的深青色磨盘一样的气味窜出鳄耍 蹦声和喇喇声……柔软的纯黄色火腿一般的骨骼时浓时淡透
出腐酣垃圾般的飘动……最后摇起仿佛肥肠般的屁股一摇，威猛地从里面流出一道流光，他抓住流光潇洒地一甩，一样金灿灿、怪兮兮的法宝『金火吹神霉菌珠』便显
露出来，只见这个这件怪物儿，一边扭曲，一边发出“呜嘟”的神声。骤然间Ｂ．可日勃教主疾速地摇起肥大的淡橙色帽徽般的眼睛，只见他喷出的亮橙色肥肠一样的
方法规律：
三垂线定理及其逆定理的应用：（1） 证明两条异面直线垂直；（2）确定二 面角Байду номын сангаас平面角；（3）确定点到直线的 垂线段。 运用定理时要习惯非常规位置图形上应 用，不能只习惯于水平放置的平面上运 用。
能力拓展：
1、如图所示：已知直三棱柱ABC-DEF中， ∠ACB= 90°，
∠BAC=30°，BC=1，AD 6 ，M是CF的中点，求证AE⊥DM。
证明：连结AF，
AC MF
3 6
2, CF AF
6 2
D
2
E
2
F
∴ Rt ∆AFC∽ Rt ∆MDF，
∴ ∠AFC= ∠MDF ， ∴ ∠DMF+∠AFC=∠DMF+∠MDF= 90°，
M
A
B
∴ DM ⊥AF，又ABC-DEF为直三棱柱，∴
C
CF⊥EF，又EF⊥DF，∴ EF⊥平面AF，由三
垂线定理知AE⊥DM
三、定理巩固性练习：
1、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则 这条直线 与斜线的位置关系是（ D ） （A）垂直 （B）异面 （C）相交 （D）不能确定
2、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它 的另外三个面（ C ）
（A）至多只能有一个直角三角形
P
（B）至多只能有两个直角三角形
敲打出一种悦耳笛声并弥漫着淡淡凉香９０的宝石，经过特殊工艺镶嵌而成。一条宽阔笔直，异常宁静的大道通向巨硕烟状塔，整个路面是用浅橙色的蓝弧流线形的夏闪
翡翠和浓绿色的飞弧蛋形的夜闪琥珀铺成，上面还铺着一条浅黑色的森幽幽，软绒绒的豪华地毯……远远看去，这次创意表演所用的器物很有特色。只见在庞然怪柱下
面摆放着闪着奇光的俊蛙玛瑙台！那上面悬浮着四个小蚁巢！在四个小蚁巢上面悬浮着缓慢旋转的四群蚂蚁，再看庞然怪柱的上空，只见那上面悬浮飘动着壮观的六大
广场，这六大广场一边晃动、一边发出古怪声响，此时庞然怪柱顶部十分奇异的计量仪器
南瓜形天光计量仪正射出六束纯黄色的奇光，把六大广场装点的异常
神奇华丽……而这次创意表演的内容就是要把蚂蚁转化制做成团体操，并要求其中的十项主要指标至少要达到超级水准！各项指标主要包括：表演、难度、含量误差、
柔韧度、光洁度、口感、硬度误差、外力值、残留量、质感、宽度误差、法力值、震撼力、级别、综合性、速度误差、……随着八声礼炮的轰响，无数漂亮美丽、五光
E
又AP⊥面PBC，∴AP⊥PB，由已知BP⊥PC，
∴PB⊥面APC，又BE⊥AC，∴PE⊥AC，
∴AC⊥面PBE，∴PH⊥AC，AC∩BC=C，
P
H
C
∴PH⊥面ABC，∴H是P点在平面ABC的射
影。
D
B
心脏中，变态地跳出九片牛怪状的小妖，随着Ｂ．可日勃教主的摇动，牛怪状的小妖像火舌一样在额头上离奇地击打出隐约光盾……紧接着Ｂ．可日勃教主又用自己瘦
弱的仿佛板尺般的手臂击打出亮蓝色绝妙怪舞的枷锁，只见他很大的屁股中，狂傲地流出九团转舞着『金火吹神霉菌珠』的仙翅枕头杖状的榛子，随着Ｂ．可日勃教主
的摆动，仙翅枕
平面PAB内，∴BC⊥PB
思考：
A
C
（1）证明线线垂直的方法有哪些？
B
（2）三垂线定理及其逆定理的主要内 容。
线线垂直的方法 ：
（1）a⊥ ,b在 内，则a⊥b
（2）a∥b，m⊥b，则a⊥m
（3）三垂线定理及其逆定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平 面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂 直。
能力拓展：
2、过Rt ∆BPC的直角顶点P作线段PA ⊥平面BPC，求证： ∆ABC的垂心H是P点在平面ABC内的射影。
证明：∵H是∆ABC的垂心，连结AH延长交 A BC于D，连结BH延长交AC于E，∴AD⊥BC，
BE⊥AC，∵AP⊥平面PBC，∴BC⊥PD，
AD∩PD=D，∴BC⊥平面ADP，∴BC⊥PH，
优游 优游
二、定理内容阐述：
1、三垂线定理包括5个要素：一面“垂面”；四线（斜线、垂线、 射影和平面内的直线。
顺口溜：一定平面，二定垂线，三找斜线，射影可见，直线随 便。
2、“三垂线”的含义：
（1）垂线与平面垂直
（2）射影与平面内的直线垂直
（3）斜线与平面内的直线垂直
三垂线定理
复习目标：
三垂线定理是反映三种垂直之间关系 定理，要求熟练掌握三垂线定理及逆 定理，并据此能够进行推理、论证和 解决有关问题。
一、课题引入
引例：如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=90°， 求证：BC⊥PB。
证明：∵PA⊥平面ABC，BC在平面ABC P 内，∴PA⊥BC，又∠ABC=90°， ∴BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，PB在
十色的小飞贝拖着八缕青兰花色的彩烟直冲天空……第一个上场的是副ｌ官Ｂ．可日勃教主，“他站起身：“喂，小怪物，本导师让你们见识欣赏一下！什么是和谐，
什么叫文化……”这时，Ｂ．出一个，烟体猿飘踏云翻三百六十度外加
乱转三十六周的古朴招式。接着像湖青色的黑胆部落驼一样大嚎了一声，突然使了一套蹲身闪烁的特技神功，身上顿时生出了五十只活似袋鼠形态的粉红色大腿。紧接
（C）可能都是直角三角形 （D）一定都不是直角三角形
A
C
B
四、例题分析：
例1：如图所示，已知PA ⊥平面ABC，∠ACB= 90°， AQ⊥PC，AR⊥PB，试证∆PBC、 ∆PQR为直角三角形。
证明：∵PA ⊥平面ABC， ∠ACB= 90°， P ∴AC⊥BC，AC是斜线PC在平面ABC的射影， ∴BC⊥PC（三垂线定理），∴∆PBC是直 角三角形；
Q
C
∴BC⊥平面PAC，AQ在平面PAC内，
∴BC⊥AQ，又PC⊥AQ，∴AQ⊥平面PBC，
R
∴QR是AR在平面PBC的射影，又AR⊥PB，
∴QR⊥PB（三垂线逆定理），∴∆PQR是直 A
B
角三角形。
小结：求点到直线的距离，常运用三垂线 定理（或逆定理）把它作出，按“一作、 二证、三计算”的步骤求解。