函数的对称性奇偶性

函数的对称性、周期性

知识点及方法

对称性、周期性的概念；函数的奇偶性；二次函数的对称性；对称性、周期性与函数的解析式；化归思想

二次函数的对称性

1． 已知)(x f 是二次函数，图象开口向上,)2()2(x f x f -=+, 比较)2

2

(

),1(f f 大小。 2． 若二次函数)(x f 的图象开口向下，且f(x)=f(4-x),比较)22(),1(),0(f f f -的大小。 3． 二次函数32)(22+-+-=m mx x x f 满足)2()2(--=-x f x f ,求)(x f 的顶点的坐标。 4． 已知)0()(2>++=a c bx ax x f ,且)7()3(x f x f +=-.（1）写出b a ,的关系式 （2）指出)(x f 的单调区间。

5． 设二次函数)(x f 满足)2()2(+=-x f x f ,图象与y 轴交点为（0, 2），与x 轴两交点间的距离为2，求)(x f 的解析式。

函数的对称性、周期性与函数的解析式

1． 已知)(x f 是奇函数，当0≥x 时，)1lg()(2++=x x x f ,求)(x f 的解析式. 2． 已知)(x f 是偶函数，当0≤x 时，1)(3+=x x f ,求)(x f 的解析式.

3． 已知函数的)(x g 图象与函数29)(2+-=x x x f 的图象关于原点成中心对称, 求)(x g 的解析式。 4． 设函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称，若当x ≤1时，y =x 2＋1，求当x >1时, ,f (x )的解析式. 5． 设 1)(+=x x f , 求 )1(+x f 关于直线2=x 对称的曲线的解析式. 6． 已知函数)1(-=x f y 是偶函数，且x ∈(0,+∞)时有f (x )=

x

1

, 求当x ∈(－∞,－2)时, 求)(x f y = 的解析式.

7． 已知函数)(x f 是偶函数，当)1,0[∈x 时，,1)(x x f -=又)(x f 的图象关于直线1=x 对称，求)

(x f 在)6,5[的解析式. 定义在R 上的偶函数)(x f 满足).2()2(x f x f -=+且当]0,2[-∈x 时,4

5

)21()(-=x x f .（1）求)(x f 的单调区间;（2）求)60(log 2f 的值.

8． 定义在R 上的函数f (x )以4为周期,当x ∈[－1,3]时,f (x )=|x －1|－1, 求当x ∈[－16

21,－142

1

]时f (x )的最小值。

9． 设f (x )是定义在区间(－∞,＋∞)上以2为周期的函数,对k ∈Z ,用k I 表示区间(2k －1,2k +1],已知x ∈I 0

时,2)(x x f =, 求f (x )在I k 上的解析式.

10．设)(x f 是定义在（-∞,+∞）上的函数，对一切x ∈R 均有0)2()(=++x f x f ，当1-＜≤x 1时，

12)(-=x x f 求当31≤

11． 设f (x )是定义在(－∞,+∞)上以2为周期的周期函数,且f (x )是偶函数,当x ∈[2,3]时,f (x )=2(x －3)2+4.

（1）求x ∈[1,2]时,f (x )的解析式. （2）若矩形ABCD 的两个项点A 、B 在x 轴上,C 、D 在函数y =f (x )

有图像上(0≤x ≤2),求这个矩形面积的最大值.

函数图象变换与函数解析式

1． 设函数y =arc tg x 的图像沿x 轴正方向平移2个单位所得的图像为C ,又设图像C ′与C 关于原点

对称, 求C ′所对应的函数解析式.

2． 将函数x y 2=的图像向左平移一个单位，得到图像1c ；再将1c 向上平移一个单位得到2c ，作出

2c 关于直线x y =对称的图像3c ，求3c 的解析式. 3． 把函数1

1

+=

x y 的图像沿x 轴向右平移1个单位,所得图像记为C , 求C 关于原点对称的图像的函数表达式.

4． 将函数)(x f y =的图像沿x 轴向左平移一个单位,再沿y 轴翻折180o ,得到x y lg =的图像, 求

)(x f y =的解析式.

5． 将函数x y cos =的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的一半，再将所得图象，

沿x 轴方向向右平移

4

π

个单位长度，求所得新图象对应的函数解析式. 6． 将函数y =cos x 的图像沿x 轴向左平移

4

π

得到曲线C ,又设曲线C 与C ′关于原点对称, 求C ′对的函数解析式.

7． 已知函数y =3x 的图象为C 1，曲线C 2与C 1关于原点对称，求C 2的解析式.

8． 将函数)(x f y =的图象向左移a (a ＞0)个单位得到图象C 1，又C 1和C 2的图象关于原点对称，求

C 2的解析式.

第七讲 函数的图象

知识点及方法

函数图象的初等变换；作函数的图象；函数的图象的应用（解不等式、解方程） 函数图象的初等变换 给出下列函数间的初等变换 1． 2

1

1-+=→=

x x y x y 2． )1lg(2lg -=→=x y x y 3． 1)3

4sin(22cos ++

-=→=π

x y x y

4． 3)12()1(-+--=→+=x f y x f y

函数的图象的选择题函数

1. 函数y =f (x )与函数y =f (a －x )的定义域均为R (a 为常数),这两个函数的图象( )