高二数学月考试题--教师版(1)

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2025年华东师大版高二数学上册月考试卷含答案

2025年华东师大版高二数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、三棱锥A-BCD的棱长全相等；E是AD中点，则直线CE与直线BD所成角的余弦值为（）A.B.C.D.2、若Z1=1+i，Z2=-2-3i，则Z1-Z2在复平面内对应的点在（）A. 第一象限。

B. 第二象限。

C. 第三象限。

D. 第四象限。

3、已知点其中则在同一直角坐标系中所确定的不同点的个数是( )A. 6B. 12C. 8D. 54、若函数是R上的单调递减函数，则实数的取值范围是A. （－∞，B. （－∞，2）C. （0，2）D.5、【题文】.阅读右图的程序框图, 若输出的值等于那么在程序框图中的判。

断框内应填写的条件是（）A.B.C.D.6、不等式2x+3﹣x2＞0的解集是（）A. {x|﹣1＜x＜3}B. {x|x＞3或x＜﹣1}C. {x|﹣3＜x＜1}D. {x|x＞1或x＜﹣3}7、若U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，4}，则A∩∁U B（）A. {2，4}B. {1，3}C. {1，2，3，4}D. {1，2，3，4，5}8、如图，一个正六角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，直到全部露出水面为止，记时刻t薄片露出水面部分的图形面积为S（t）（S（0）=0），则导函数y=S'（t）的图象大致为（）A.B.C.D.9、用反证法证明“如果a<b那么a3<b3”，假设的内容应是()A. a3=b3B. a3<b3C. a3=b3且a3<b3D. a3=b3或a3>b3评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)10、“三角函数是周期函数，y=sinx，x∈[-]是三角函数，所以y=sinx，x∈[-]是周期函数”．在以上演绎推理中，下列说法正确的是____．（1）推理完全正确；（2）大前提不正确；（3）小前提不正确；（4）推理形式不正确．11、计算可以采用以下方法：构造等式：两边对x求导，得在上式中令得．类比上述计算方法，计算．12、【题文】设表示等差数列的前n项和，且若则n=____13、【题文】已知实数条件则2x+y的最大值是_________;14、我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖暅原理：即两个等高的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比此方法：求双曲线-=1（a＞0，b＞0），与x轴，直线y=h（h＞0）及渐近线y=x所围成的阴影部分（如图）绕y轴旋转一周所得的几何体的体积______ ．15、由抛物线y=x2鈭�4和直线y=鈭�x+2所围成的图形面积为 ______ ．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）21、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共32分)22、已知直线l：x+y=1与椭圆（θ为参数）；若直线l与椭圆交于A，B两点，求线段AB的长度．23、【题文】已知数列{}满足且（1）求证：数列{}是等差数列；（2）求数列{}的通项公式；（3）设数列{}的前项之和求证：．24、设复数z=-3cosθ+2isinθ（1）当时；求|z|的值；（2）若复数z所对应的点在直线x+3y=0上，求的值．25、已知f(x)=ax3+bx2+cx在区间[0,1]上是增函数，在区间(鈭�隆脼,0)(1,+隆脼)上是减函数，又f隆盲(12)=32．(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)若在区间[0,m](m>0)上恒有f(x)鈮�x成立，求m的取值范围．评卷人得分五、计算题(共3题，共27分)26、1. （本小题满分12分）分别是椭圆的左右焦点,直线与C相交于A,B两点（1）直线斜率为1且过点若成等差数列，求值（2）若直线且求值.27、已知z1=5+10i，z2=3﹣4i，求z．28、已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．评卷人得分六、综合题(共2题，共20分)29、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A B，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．30、已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、A【分析】如图；取AB中点F，连接EF，因为E；F分别为AD、AB的中点，则EF为三角形ABD的中位线，所以EF∥BD；所以直线EF与CE所成的角即为直线CE与直线BD所成角；因为三棱锥A-BCD的棱长全相等；设棱长为2a，则EF=a；在等边三角形ABC中；因为F为AB的中点，所以CF为边AB上的高；所以CF=则CE=CF=在三角形CEF中，=．所以，直线CE与直线BD所成角的余弦值为．故选A．【解析】【答案】题目要求解的是两条异面直线所成角的余弦值；且给出了棱AD的中点E，可以想到再找AB的中点F，连接两中点EF，得到EF∥BD，则直线CE与直线BD所成角转化为直线CE与直线EF所成角，在三角形CEF中运用余弦定理可求∠CEF的余弦值，则直线CE与直线BD所成角的余弦值可求．2、A【分析】因为Z1=1+i，Z2=-2-3i，所以z1-z2=3+4i；在复平面上对应的点为（3；4），点在第一象限；【解析】【答案】利用复数的减法直接求出z1-z2；利用它的实部和虚部写出点的坐标，判断点所在象限即可．3、A【分析】【解析】试题分析：根据题意，由于点其中故当x=1时，则有取得三种，当x=2时，也有三种，故一共有6种，选A.考点：排列组合的运用【解析】【答案】A4、A【分析】由题意知a应满足所以【解析】【答案】A5、A【解析】因为S=1+1=2；i=2，不满足条件，执行循环；S=2+2=4；i=3，不满足条件，执行循环；S=4+3=7；i=4，不满足条件，执行循环；S=7+4=11；i=5，不满足条件，执行循环；S=11+5=16；i=6，满足条件，退出循环体，输出S=16故判定框中应填i＞5或i≥6故选：A【解析】【答案】A6、A【分析】【解答】解：∵不等式2x+3﹣x2＞0可化为x2﹣2x﹣3＜0；即（x+1）（x﹣3）＜0；解得﹣1＜x＜3；∴不等式的解集是{x|﹣1＜x＜3}．故选：A．【分析】把不等式2x+3﹣x2＞0化为（x+1）（x﹣3）＜0，求出解集即可．7、B【分析】【解答】解：∵B={2，4}，∴∁U B={1，3，5}，则A∩∁U B={1；3}；故选：B【分析】根据集合的基本运算即可．8、A【分析】【解答】解：总面积一直保持增加；则导数值一直为正，故排除B；总面积的增加速度是逐渐增大→突然变大→逐渐减小→逐渐增大→突然变小→逐渐变小；故导函数y=S'（t）的图象应是匀速递增→突然变大→匀速递减→匀速递增→突然变小→匀速递减；故排除CD；故选．A【分析】总面积一直保持增加，则导数值一直为正，但总面积的增加速度是逐渐增大→突然变大→逐渐减小→逐渐增大→突然变小→逐渐变小，进而得到答案．9、D【分析】解：隆脽a3>b3的反面是a3鈮�b3即a3=b3或a3<b3．故选D．分析：反证法是假设命题的结论不成立，即结论的反面成立，所以只要考虑a3>b3的反面是什么即可．本题主要考查了不等式证明中的反证法，属于基础题．【解析】D二、填空题(共6题，共12分)10、略【分析】∵对于y=sinx，x∈[-]而言，由于其定义域为[-]；不符合三角函数的定义，它不是三角函数；∴对于“三角函数是周期函数，y=sinx，x∈[-]是三角函数，所以y=sinx，x∈[-]是周期函数”这段推理中；大前提正确，小前提不正确，故结论不正确．但推理形式是三段论形式，是正故答案为：（3）．【解析】【答案】根据演绎推理的方法进行判断；首先根据判断大前提的正确与否，若正确则一步一步往下推，若错误，则无需往下推．11、略【分析】试题分析：对两边同时乘以得两边对求导得令得考点：二项式定理的综合应用.【解析】【答案】12、略【分析】【解析】略【解析】【答案】15【分析】【解析】略【解析】【答案】314、略【分析】解：y=m；是一个圆环其面积。

2024-2025学年华东师大版(上海)高二数学上册月考试卷421

2024-2025学年华东师大版(上海)高二数学上册月考试卷421考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、袋中有5个黑球和3个白球，从中任取2个球，则其中至少有1个黑球的概率是（）A.B.C.D.2、直线（a为实常数）的倾斜角的大小是（）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°3、设，则等于（）A.B.C.D.4、【题文】已知双曲线的两焦点为，过作轴的垂线交双曲线于两点，若内切圆的半径为，则此双曲线的离心率为（）A.B.C.D.5、【题文】已知函数y＝3＋log a(2x＋3) (a＞0，a≠1)的图象必经过定点P，则P点的坐标为()A. (－1，3)B. (1，0)C. (1，3)D. (0，3)6、直线倾斜角的范围是（）A.B.C.D.7、设m，n为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A. 若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nB. 若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nC. 若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βD. 若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n8、已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β．其中，正确命题的序号是（）A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④9、点[P <]是椭圆[x225+y216=1 <]上一点，[F1 <]，[F2 <]是椭圆的两个焦点，且[△PF1F2 <]的内切圆半径为[1 <]，当[P <]在第一象限时，[P <]点的纵坐标为[( <][) <]A. [2 <]B. [73 <]C. [83 <]D. [3 <]评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)10、函数的定义域为．11、已知函数的图像与轴没有公共点，则m的取值范围是__________(用区间表示）。

2021年高二数学10月月考试题新人A教版

2021年高二数学10月月考试题新人A 教版一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知成等比数列，则的值为( )A ． B. C. 或 D ．或2．若a ，b ，c ∈R ，a>b ，则下列不等式成立的是 ( )A. 1a <1b B ．a2>b2 C.a c2＋1>b c2＋1D ．a|c|>b|c| 3.已知等差数列中，，则前10项的和＝ ( )A 100B 210C 380D 4004．等比数列中，a5a14＝5，则a8·a9·a10·a11＝ ( )A ．10B ．25C ．50D ．755．设an ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋ (12)(n ∈N*)那么an ＋1－an 等于 ( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2 C.12n ＋1＋12n ＋2 D.12n ＋1－12n ＋2 6．若a>0且a≠1，M ＝loga(a3＋1)，N ＝loga(a2＋1)，则M ，N 的大小关系为 ( )A ．M<NB ．M≤NC ．M>ND ．M≥N7．在数列{an}中，已知对任意正整数n ，有a1＋a2＋…＋an ＝2n －1，则a21＋a22＋…＋a2n 等于( )A ．(2n －1)2 B.13(2n －1)2 C ．4n －1 D.13(4n －1) 8．已知，则的大小关系是（）A B C D 不确定9．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于 ( )A ．22B ．21C ．19D ．1810．在数列{an}中，a3＝2，a7＝1，如果数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an ＋1是等差数列，那么a11等于 ( ) A.13 B.12 C.23 D ．111.若是等差数列，首项，则使前项和成立的最大自然数是（）A.xxB.2013C.xx D ．xx12.设是由正数组成的等差数列，是由正数组成的等比数列，且，，则必有（）A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知，则的范围为。

2023-2024学年山西省高二下册第一次月考数学试题(含解析)

2023-2024学年山西省高二下册第一次月考数学试题一、单选题1．已知1()2P BA =∣，3()8P AB =，则()P A 等于（）A ．316B ．1316C ．34D ．14【正确答案】C根据条件概率公式计算．【详解】由()()()P AB P BA P A =∣，可得()3()()4P AB P A P B A ==∣.故选：C.2．已知012233C 2C 2C 2C 2C 81n n n n n n n ++++⋅⋅⋅+=，则123C C C C nn n n n +++⋅⋅⋅+等于（）A ．15B ．16C ．7D ．8【正确答案】A【分析】根据二项式定理展开式的逆运算即可求得n 的值，再由由二项式系数和即得.【详解】逆用二项式定理得()01223322221281nn n nn n n n C C C C C ++++⋅⋅⋅+=+=，即433n =，所以n =4，所以12342115n n n n n C C C C +++⋅⋅⋅+=-=．故选：A.3．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为A ．-80B ．-40C ．40D ．80【正确答案】C【详解】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrrr T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-；当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=.故选C.【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.4．若22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（）A ．180B ．120C ．90D ．45【正确答案】A【分析】已知条件中只有第六项的二项式系数最大，n 应为偶数，可确定n 值，进而利用展开式即可求得常数项.【详解】如果n 为奇数，那么是中间两项的二项式系数最大；如果n 为偶数，那么是中间一项的二项式系数最大；只有第六项的二项式系数最大10n ∴=，1022x ⎫∴⎪⎭展开式的通项为：10521102r r r r T C x -+=⨯⨯令10502r-=，解得：2r =∴展开式中常数项是.22102180C ⨯=故选：A.5．有8位学生春游，其中小学生2名､初中生3名､高中生3名.现将他们排成一列，要求2名小学生相邻､3名初中生相邻，3名高中生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有（）A ．288种B ．144种C ．72种D ．36种【正确答案】B【分析】利用捆绑法和插空法可求得结果.【详解】第一步，先将2名小学生看成一个人，3名初中生看成一个人，然后排成一排有22A 种不同排法；第二步，将3名高中生插在这两个整体形成的3个空档中，有33A 种不同排法；第三步，排2名小学生有22A 种不同排法，排3名初中生有33A 种不同排法.根据分步计数原理，共有23232323144A A A A =种不同排法.故选：B方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.6．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）．A ．122B ．112C ．102D ．92【正确答案】D【详解】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为．二项式系数，二项式系数和．7．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A ､B ､C ､D ､E 五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）A ．45B ．12C ．47D ．38【正确答案】D【分析】利用排列组合知识求出每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的情况个数，以及五人抽取五个礼物的总情况，两者相除即可.【详解】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有15C 种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有224222C C A 种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由3211C C 种情况，综上：共有22111425322245C C C C C A ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭种情况，而五人抽五个礼物总数为55120A =种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为4531208=.故选：D8．设5nx⎛⎝的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若240M N -=，则展开式中有理项共有（）A ． 1项B ．2项C ．3项D ． 4项【正确答案】C【分析】根据二项式系数和公式，结合赋值法、二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式系数和为2n N =，在5nx⎛ ⎝中，令1x =，得4nM =，由()()24042240021521602164n n n n nM N n -=⇒--=⇒+-=⇒=⇒=，二项式45x⎛ ⎝的通项公式为()()34442144C 5C 51rr r r r r r r T x x ---+⎛=⋅⋅=⋅⋅-⋅ ⎝，令0,2,4r =，则344,1,22r-=-，所以展开式中有理项共有3项，故选：C9．设双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆恰好与双曲线C 的两渐近线相切，且该圆恰好经过线段2OF 的中点，则双曲线C 的离心率是（）AB C ．3D 【正确答案】A【分析】先由焦点到渐近线的距离求出半径，再利用该圆过线段2OF 的中点得到2c b =，即可求出离心率,【详解】由题意知：渐近线方程为by x a=±，由焦点2(,0)F c ，222c a b =+，以2F 为圆心的圆恰好与双曲线C 的两渐近线相切，则圆的半径r等于圆心到切线的距离，即r b ==，又该圆过线段2OF 的中点，故2cr b ==，所以离心率为ca=故答案为.310．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A ．60种B ．78种C ．84种D ．144种【正确答案】B【分析】先分类，再每一类中用分步乘法原理即可.【详解】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为1,1,2或0,1,3或0,2,2若是1,1,2，则先将4门学科分成三组共11243222C C C A 种不同方式.再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有112343232236C C C A A ⋅=种，若是0,1,3，则先将4门学科分成三组共1343C C 种不同方式，再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有13343324C C A ⋅=种，若是0,2,2，则先将门学科分成三组共224222C CA 种不同方式，再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有2234232218C C A A ⋅=种所以每位同学的不同选修方式有36241878++=种，故选：B.二、多选题11．若()102100121021,R x a a x a x a x x -=++++∈ ，则（）A ．2180a =B ．10012103a a a a +++= C ．100210132a a a -+++=D ．31012231012222a a a a ++++=- 【正确答案】ABD【分析】根据二项式展开式的系数特点，结合通项公式，采用赋值法，一一求解各个选项，即得答案.【详解】由题意1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，所以8282310C (2)(1)180T x x =-=，所以2180a =，故A 正确．令=1x -，则1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，即为1021001210(21)||||||||x a a x a x a x +=++++ ，令1x =，得1001210||||||||3a a a a ++++= ，故B 正确；对于1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，令1x =，得012101a a a a ++++= ，令=1x -，得：10012103a a a a -+-+= ，两式相加再除以2可得100210132a a a ++++= ，故C 错误.对于1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，令0x =，得01a =，令12x =，得310120231002222a a a aa +++++= ，故31012231012222a a a a ++++=- ，故D 正确，故选：ABD12．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B 为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（）A ．()35P A =B ．()310P AB =C ．()12P B A =D ．()12P B A =【正确答案】ABC【分析】根据古典概型概率的求法及条件概率，互斥事件概率求法，可以分别求得各选项.【详解】()131535C C P A ==,故A 正确；()11321154310C C P AB C C ==，故B 正确；()()()0351231P AB P P A B A ===，故C 正确；()121525C C P A ==，()11231154103C C C C P AB ==，()()()3310245P AB P B A P A ===，故D 错误.故选:ABC三、填空题13．已知事件A 和B 是互斥事件，()16P C =，()118P B C ⋂=，()()89P A B C ⋃=，则()P A C =______．【正确答案】59【分析】根据条件概率的定义以及运算性质，可得答案.【详解】解：由题意知，()()()()89P A B C P A C P B C ⋃=+=，()()()1118136P B C P B C P C ⋂===，则()()()()815939P A C P A B C P B C =⋃-=-=．故59．14．5555除以8，所得余数为_______.【正确答案】7【分析】由55561=-，运用二项式定理，结合整除的性质，即可求解.【详解】依题意，()()()()()()5512545555055154253541550555555555555561C 561C 561C 561C 561C 561=-=-+-+-++-+- 因为56能被8整除，所以5555除以8，所得的余数为.187-+=故7.15．已知()()()420122111x a a x a x -=+-+-()()343411a x a x +-+-，则3a =____.【正确答案】32对多项式进行变形得()44444112122122x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再研究441212x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的()31x -项，即可得答案.【详解】对多项式进行变形得()44444112122122x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴44142((,0,1,,411)2r r rr T C r x -+-=⋅= ，当3r =时，4343342(3212a C -=⋅=.故答案为.32本题考查二项式定理求展开式指定项的系数，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.16．有10个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，则他们所得的球数的不同情况有__________种．【正确答案】15【分析】依题意，首先分给甲1个球，乙2个球，丙3个球，还剩下4个球，再来分配这4个球，按照分类加法计数原理计算可得；【详解】解：有10个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，故首先分给甲1个球，乙2个球，丙3个球，还剩下4个球，①4个球分给一人，有3种分法；②4个球分给两个人，又有两种情况，一人3个一人1个有236A =种分法；两人都是2个有3种分法；③4个球分给3个人，只有1、1、2这种情况，有3种分法，按照分类加法计数原理可得一共有363315+++=种；故15本题考查分类加法计数原理的应用，属于基础题.四、解答题17．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()*N n S n ∈，{}n b 是首项为2的等比数列，公比大于0，且2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n n a b 的前n 项和()*N n ∈.【正确答案】(1)32n a n =-，2nn b =(2)前n 项和110(35)2n n T n +=+-⋅【分析】（1）根据等比数列的通项公式可计算得到公比q 的值，再根据等差数列的通项公式和求和公式可列出方程组，解出首项1a 和公差d 的值，即可求得{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）先根据第（1）题的结论得到数列{}n n a b ×的通项公式，然后运用错位相减法求出前n 项和n T ．【详解】（1）由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则0q >．故22212q q +=，解得2q =，12b = ，则2231228b b q ==⨯=，33412216b b q ==⨯=，由题意，得11132811101111162a d a a d +-=⎧⎪⎨⨯+=⨯⎪⎩，解得113a d =⎧⎨=⎩．13(1)32n a n n ∴=+-=-；1222n n n b -=⨯=．（2）由（1）知，(32)2n n n a b n ⋅=-⋅．设其前n 项和为n T ，211221242(32)2n n n n T a b a b a b n ∴=++⋯+=⨯+⨯+⋯+-⋅，①23121242(35)2(32)2n n n T n n +=⨯+⨯+⋯+-⋅+-⋅，②①-②，得23112323232(32)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯+⋯+⋅--⋅21212(122)(32)2n n n -+=+⨯++⋯+--⋅1112212(32)212n n n -+-=+⨯--⋅-()153210n n +=-⋅-．()110352n n T n +∴=+-⋅．18．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线方程为()220x py p =>，其顶点到焦点的距离为2.(1)求抛物线的方程；(2)若点()0,4P -，设直线():0l y kx t t =+≠与抛物线交于A 、B 两点，且直线PA 、PB 的斜率之和为0，证明：直线l 必过定点，并求出该定点．【正确答案】(1)28x y =；(2)详见解析；【分析】（1）根据题意求出抛物线的焦点坐标，可求得p 的值，进而可求得抛物线的方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据直线PA 、PB 的斜率之和为0求得实数t 的值，即可求得直线l 所过定点的坐标.【详解】（1）0p > ，且抛物线22x py =的顶点到焦点的距离为2，则该抛物线的焦点坐标为()0,2，22p∴=，解得4p =，因此，该抛物线的方程为28x y =；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立28y kx tx y=+⎧⎨=⎩，消去y 并整理得2880x kx t --=，由韦达定理得128x x k +=，128x x t =-.直线PA 的斜率为2111111144488x y x k x x x ++===，同理直线PB 的斜率为22248x k x =+，由题意得()1212121212124448324108888x x x x x x k k k k k x x x x t t +++⎛⎫+=++=+=+=-= ⎪-⎝⎭，上式对任意的非零实数k 都成立，则410t -=，解得4t =，所以，直线l 的方程为4y kx =+，该直线过定点()0,4.设而不求，联立方程，利用韦达定理解题是本类题目常用思路.本题中表示出()12121212121244441088x x x x x x k k k x x x x t +++⎛⎫+=++=+=-= ⎪⎝⎭是解题关键，也是计算难点.19．已知函数()2()24ln f x x ax x =-，a R ∈.（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）令2()()g x f x x =+，若[1,)x ∀∈+∞，函数()g x 有两个零点，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)函数()f x 的单调递减区间为120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2))+∞【分析】（1）当0a =时，()22ln f x x x =，求出()f x ¢，可得函数()f x 的单调区间；（2）依题意得，()()2224ln g x x ax x x =-+，然后求导，得()()()()44ln 2424ln 1g x x a x x a x x a x =-+-+=-+'，然后，分情况讨论即可求出实数a 的取值范围【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,+¥当0a =时，()22ln f x x x =()()4ln 222ln 1f x x x x x x =+=+'令()'0f x >得2ln 10x +>，解得12x e ->，令()'0f x <得2ln 10x +<，解得120x e -<<，所以函数()f x 的单调递减区间为120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）()()2224ln g x x ax x x =-+，()()()()44ln 2424ln 1g x x a x x a x x a x =-+-+=-+'由[)1,x ∈+∞得ln 10x +>①当1a ≤时，()'0g x ≥，函数()g x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()1g x g ≥，即()1g x ≥，函数()g x 在[)1,+∞上没有零点.②当1a >时，()1,x a ∈时，()'0g x <，(),∈+∞x a 时，()'0g x >所以函数()g x 在()1,a 上单调递减，在(),+∞a 上单调递增因为()110g =>，()2240g a a =>所以函数()g x 在[)1,+∞有两个零点只需()()()2min 12ln 0g x g a a a ==-<解得a >综上所述，实数a 的取值范围为)+∞本题考查利用导数求单调性和单调区间的问题，解题的关键在于分情况讨论时注意数形结合，属于难题。

2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题(含解析)

2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（）A B C ABC '''-A ABC '-A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 组合体2. 棱长为的正四面体的表面积为（）1B. C. D. 3. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中1111ABCD A B C D -,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 点，则（）A. 直线与直线是异面直线B. 直线与直线是异面直线HE GF HE 1BB C. 直线与直线共面D. 直线与直线共面HE 1CC HE BF 4. 底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（）π3πA. C. 2π35. 已知正方体中，E 为中点，则异面直线与所成角的余弦值1111ABCD A B C D -11B C 1BA CE 为（）6. 如图，在正四棱台中，，则该正四棱台1111ABCD A B C D-1114,2,AB A B AA ===的体积为（）A. B. C. D. 11291409112314037. 我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则10=葛藤最少长（）A. 21尺B. 25尺C. 29尺D. 33尺8. 如图所示，在正方体中，E ，F 分别为，AB 上的中点，且1111ABCD A B C D -1AA P 点是正方形内的动点，若平面，则P 点的轨迹长度为EF =11ABB A 1C P ∥1CD EF （）A. B. D. 3ππ二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）9. 已知，是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的αβ是（）A. 若，，则B. 若，，，则αβ⊥l β⊥l α∥m β⊥l m ∥l α⊂αβ⊥C. 若，，，则 D. 若，，则αβ∥m α⊥l β⊂l m⊥m αβ= l α∥l m∥10. 在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器，如图（1），1111ABCD A B C D -，，在容器内灌进一些水，现固定容器底面一边BC2AB BC ==15A A =()14D H DH =于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（）A. 有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱B. 棱与水面所在平面平行11A D C. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值D. 当容器倾斜成如图（3）所示时，EF 的最小值为11. 半正多面体（semiregular solid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），则（）A. 平面EABBF ⊥B. 该二十四等边体的体积为203C. 该二十四等边体外接球的表面积为6πD. PN 与平面EBFN 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12. 如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC 的直观图，则三角形 ABC 的面积是_______.13. 圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为______．10π14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.R h 2πS Rh =如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形,C D AB ππ,63AOC BOD ∠∠==的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________.COD πCOD AB四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，111ABC A B C -E F G H AB AC 11A B 的中点.11A C（1）求证：，，，四点共面；B C H G （2）求证：平面平面；//BCHG 1A EF 16.如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN ⊥PM ，N 为垂足.（1）若，Q 为PB 的中点，求三棱锥的体积；2PA AM BM ===Q ABM -（2）求证：AN ⊥平面PBM ；（3）若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB.17.我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面．A BCD -AB ⊥,BCD BC CD⊥（1）证明：三棱锥为鳖臑；A BCD -（2）若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为E AD ,P Q ,BC BE DPQ ACD ．l ①证明：直线平面；//PQ ACD ②判断与的位置关系，并证明你的结论．PQ l 18. 一块四棱锥木块如图所示，平面，四边形ABCD 为平行四边形，且SD ⊥ABCD ，.60BAD ∠=︒224AB BC SD ===（1）要经过点B 、D 将木料锯开，使得截面平行于侧棱，在木料表面该怎样画线？并说SA 明理由；（2）计算（1）中所得截面的面积；（3）求直线SC 与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，2π角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲π3率均为.如图，在直三棱柱中，点A 的曲率为，M 为的π2π3π3-⨯=111ABC A B C -2π31CC 中点，且.AB AC =（1）判断的形状，并说明理由；ABC V （2）若，求点到平面的距离；124AA AB ==B 1AB M （3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D ，棱数为L ，面数为M ，则有.利用此定理2D L M -+=试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（）A B C ABC '''-A ABC '-A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 组合体【正确答案】B【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论．【详解】三棱台中，沿平面截去三棱锥，A B C ABC '''-A BC 'A ABC '-剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥．A 'BCCB ''A BCC B '''-故选：B2. 棱长为的正四面体的表面积为（）1B. C. D. 【正确答案】A【分析】利用三角形的面积公式可得出正四面体的表面积.【详解】棱长为的正四面体的表面积为.1221141sin 604122S =⨯⨯⨯=⨯⨯= 故选：A.3. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中1111ABCD A B C D -,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 点，则（）A. 直线与直线是异面直线B. 直线与直线是异面直线HE GF HE 1BB C. 直线与直线共面D. 直线与直线共面HE 1CC HE BF 【正确答案】C【分析】由正四棱台的结构特征，侧棱的延长线交于同一点，的延长线必过此点，,HE GF 可判断选项中的线线位置关系.【详解】延长，1111,,,AA BB CC DD 由正四棱台的性质可得侧棱的延长线交于同一点，设该交点为.1111,,,AA BB CC DD P分别为棱的中点，,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 延长，则的延长线必过点，,HE GF ,HE GF P 则直线与直线相交于点；与直线相交于点；与直线相交于点HE GF P 1BB P 1CC P；与直线是异面直线.BF 故选：C.4. 底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（）π3πA. C. 2π3【正确答案】D【分析】先利用圆锥的侧面积公式求出母线长，进而求出高，再利用圆锥的体积公式求解．【详解】设圆锥的母线长为，高为，半径为， l h r 则且，故2ππS r ==底=π3πS r l ⨯⨯=侧1,3r l ==，h ∴===圆锥的体积为．∴21π13⨯⨯⨯=故选：D ．5. 已知正方体中，E 为中点，则异面直线与所成角的余弦值1111ABCD A B C D -11B C 1BA CE 为（）【正确答案】D【分析】连接，，根据异面直线所成角的定义，转化为求（或其补角），1CD 1D E1D CE ∠然后在中用余弦定理即可解得.1D CE 【详解】连接，，如图：1CD 1D E因为为正方体可得，所以（或其补角）是异面直线1111ABCD A B C D -11//CDBA 1D CE ∠与所成角，1BA CE 设正方体的棱长为，，a1CD===，1,CE D E ======在中，，1D CE 2221111cos 2CD CE DE D CE CD CE +-∠=⋅⋅==所以异面直线与 .1BA CE故选：D.6. 如图，在正四棱台中，，则该正四棱台1111ABCD A B C D-1114,2,AB A B AA ===的体积为（）A. B. C. D. 1129140911231403【正确答案】A【分析】作出截面，过点作，结合等腰梯形的性质得到高，再计算体积即可.1A 1A E AC ⊥【详解】过作出截面如图所示，过点作，垂足为，11,AC A C 1A 1A E AC ⊥E 易知为正四棱台的高，1A E 1111ABCD A B C D - 因为，1124,ABA B ==所以由勾股定理得，11AC A C==又，11CC AA ==则在等腰梯形中，，11ACCA AE =所以，143A E ===所以所求体积为.11111114112((1643339ABCD A B C D V S S A E =⨯++⋅=⨯++⨯=故选.A7. 我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则10=葛藤最少长（）A. 21尺B. 25尺C. 29尺D. 33尺【正确答案】C【分析】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为（尺），高为尺，则葛2120藤的最少长度为矩形的对角线长，利用勾股定理可求得结果.【详解】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如下图所示，矩形的高（即圆木长）为尺，矩形的底边长为（尺），207321⨯=（尺）.29=故选：C.8. 如图所示，在正方体中，E ，F 分别为，AB 上的中点，且1111ABCD A B C D -1AAP 点是正方形内的动点，若平面，则P 点的轨迹长度为EF =11ABB A 1C P ∥1CD EF （）A. B. D. 3ππ【正确答案】C【分析】取的中点，的中点为，连接，可得四边形11A B H 1B B G 11,,,,GH C H C G EG HF 是平行四边形，可得∥,同理可得∥.可得面面平行，进而得出P 点11EGC D 1C G 1D E 1C H CF 的轨迹.【详解】如图所示，取的中点，的中点为，连接，11A B H 1B B G 11,,,,GH C H C G EG HF则∥，，且∥，，11A B EG 11A B EG =11A B 11C D 1111A B C D =可得∥，且，可知四边形是平行四边形，则∥，EG 11C D 11EG C D =11EGC D 1C G 1D E 且平面，平面，可得∥平面，1C G ⊄1CD EF 1D E ⊄1CD EF 1C G 1CD EF 同理可得：∥平面，1C H 1CD EF 且，平面，可知平面∥平面，111C H C G C = 11,C H C G ⊂1C GH 1C GH 1CD EF 又因为P 点是正方形内的动点，平面，11ABB A 1C P ∥1CD EF 所以点在线段上，M GH由题意可知：，可得，1111,22GH A B EF A B ==GH EF ==所以P 故选：C.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）9. 已知，是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的αβ是（）A. 若，，则B. 若，，，则αβ⊥l β⊥l α∥m β⊥l m ∥l α⊂αβ⊥C. 若，，，则 D. 若，，则αβ∥m α⊥l β⊂l m ⊥m αβ= l α∥l m∥【正确答案】BC【分析】根据空间中垂直关系的转化可判断ABC 的正误，根据线面平行定义可判断D 的正误.【详解】对于A ，若，，则或，故A 错误；αβ⊥l β⊥l α∥l α⊂对于B ，若，，则，而，故，故B 正确；m β⊥l m ∥l β⊥l α⊂αβ⊥对于C ，若，，则，而，故，故C 正确；αβ∥m α⊥m β⊥l β⊂l m ⊥对于D ，若，，则或异面，故D 错误，m αβ= l α∥l m ∥,l m 故选：BC10. 在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器，如图（1），1111ABCD A B C D -，，在容器内灌进一些水，现固定容器底面一边BC2AB BC ==15A A =()14D H DH =于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（）A. 有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱B. 棱与水面所在平面平行11A D C. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值D. 当容器倾斜成如图（3）所示时，EF的最小值为【正确答案】ABD【分析】由棱柱的概述判断A ；由线面平行判定定理判断B ；计算可判断C ；利用基EFGH S 本不等式可判断D.【详解】由棱柱的定义知，选项A 正确；对于选项B ，由于，，所以，且不在水面所在平面11A D BC ∥BC FG ∥11A D FG ∥11A D 内，所以棱与水面所在平面平行，选项B 正确；11A D 对于选项C ，在图（1）中，，在图（2）中，4EFGH S FG EF BC AB =⋅=⋅=，选项C 错误；4EFGH S FG EF AB BC =⋅>⋅=对于选项D ，，所以．12212V BE BF BC =⨯⨯=⋅⋅⋅△4BE BF ⋅=，当且仅当时，等号成立，22228EF BE BF BE BF =+≥⋅=2BE BF ==所以EF 的最小值为，选项D正确．故选：ABD ．11. 半正多面体（semiregular solid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），则（）A. 平面EABBF ⊥B. 该二十四等边体的体积为203C. 该二十四等边体外接球的表面积为6πD. PN 与平面EBFN【正确答案】BD【分析】A 用反证法判断；B 先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；C 先找到球心与半径，再计算表面积判断；D 先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断．【详解】对于A ，假设A 对，即平面，于是，BF ⊥EAB BF AB ⊥，但六边形为正六边形，，矛盾，90ABF ∠=︒ABFPQH 120ABF ∠=︒所以A 错误；对于B ，补齐八个角构成棱长为2的正方体，则该二十四等边体的体积为，3112028111323-⋅⋅⋅⋅⋅=所以B 对；对于C ，取正方形对角线交点，ACPM O即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为，其表面积为，所以C 错误；R =24π8πR =对于D ，因为在平面内射影为，PN EBFN NS 所以与平面所成角即为，PN EBFN PNS ∠其正弦值为，所以D 对．PS PN==故选：BD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12. 如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC 的直观图，则三角形 ABC 的面积是_______.【正确答案】2【分析】画出原图形可得答案.【详解】由直观图画出原图，如图，可得是等腰三角形，且，ABC V 2,2BC OA ==所以三角形的面积.ABC 12222S =⨯⨯=故答案为:2.13. 圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为______．10π【正确答案】29π【分析】先利用侧面积求出圆柱的高，再求出球的半径可得表面积.【详解】设圆柱的高为，其外接球的半径为，h R 由圆柱的底面半径为1，侧面积为，得，解得，10π2π10πh =5h =由圆柱和球的对称性可知，球心位于圆柱上下底面中心连线的中点处，因此.R ==24π29πS R ==故29π14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.R h 2πS Rh =如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形,C D AB ππ,63AOC BOD ∠∠==的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________.COD πCOD AB【正确答案】)61π+【分析】首先求出，再根据扇形面积公式求出圆的半径，过点作交DOC ∠C CE AB ⊥于点，过点作交于点，即可求出，将扇AB E D DF AB ⊥AB F ,,,,,CE OE AE OF BF DF 形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中上下截去两个球缺所剩余部DOC AB R 分再挖去两个圆锥，再根据所给公式分别求出表面积.【详解】因为，所以，设圆的半径为，ππ,63AOC BOD ∠∠==π2DOC ∠=R 又，解得（负值舍去），2COD 1ππ22S R =⨯⨯=扇形2R =过点作交于点，过点作交于点，C CE AB ⊥AB ED DF AB ⊥AB F 则，ππsin1,cos 66CE OC OE OC ====所以，同理可得，2AE R OE =-=-1DF OF ==将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中，上下截去两个球COD AB 2R =缺所剩余部分再挖去两个圆锥，其中上面球缺的高，上面圆锥的底面半径，高为，12h =-11r=1h ='下面球缺的高，下面圆锥的底面半径，21h =2r =21h ='则上面球冠的表面积，(112π2π228πs Rh ==⨯⨯-=-下面球冠的表面积，球的表面积，222π2π214πs Rh ==⨯⨯=24π16πS R ==球上面圆锥的侧面积，下面圆锥的侧面积111ππ122πS rl ==⨯⨯='，222ππ2S r l ==='所以几何体的表面积.())''121116π8π4π2π61πS S S S S S =--++=---++=+球故答案为.)61π+关键点点睛：本题关键是弄清楚经过旋转之后得到的几何体是如何组成，对于表面积要合理转化.四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，111ABC A B C -E F G H AB AC 11A B 的中点.11A C（1）求证：，，，四点共面；B C H G （2）求证：平面平面；//BCHG 1A EF 【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）证明出，得到四点共面；//GH BC （2）先得到，，证明出线面平行，面面平行.1//A E BG //GH EF 【小问1详解】∵，分别是，的中点，G H 11A B 11A C ∴是的中位线，∴，GH 111A B C △11//GH B C又在三棱柱中，，∴，111ABC A B C -11//B C BC //GH BC ∴，，，四点共面.B C H G 【小问2详解】∵在三棱柱中，，，111ABC A B C -11//A B AB 11A B AB =∴，，1//A G EB 1111122A G A B AB EB ===∴四边形是平行四边形，∴，1A EBG 1//A E BG ∵平面，平面，∴平面.1A E ⊂1A EF BG ⊂/1A EF //BG 1A EF 又，是，的中点，所以，又.E F AB AC //EF BC //GH BC 所以，//GH EF ∵平面，平面，∴平面.EF ⊂1A EF GH ⊂/1A EF //GH 1A EF 又，平面，BG GH G = ,BG GH ⊂BCHG 所以平面平面.//BCHG 1A EF 16. 如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN ⊥PM ，N 为垂足.（1）若，Q 为PB 的中点，求三棱锥的体积；2PA AM BM ===Q ABM -（2）求证：AN ⊥平面PBM ；（3）若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB.【正确答案】（1）23（2）证明见解析（3）证明见解析【分析】（1）先得到，根据Q 为PB 的中点，故1433P AMB AMB V S PA -=⋅= ；1223Q ABM P AMB V V --==（2）由线线垂直，得到线面垂直，即BM ⊥平面PAM .，故BM ⊥AN ，又AN ⊥PM ，从而得到线面垂直；（3）由(1)知AN ⊥平面PBM ，故AN ⊥PB ，又AQ ⊥PB ，故PB ⊥平面ANQ ，得到答案.【小问1详解】因为AB 为⊙O 的直径，所以⊥，AM BM 又，故，2AM BM ==122AMB S AM BM =⋅= 又PA 垂直于⊙O 所在的平面，，2PA =故，11422333P AMB AMB V S PA -=⋅=⨯⨯= 因为Q 为PB 的中点，所以.11422233Q ABM P AMB V V --==⨯=【小问2详解】∵AB 为⊙O 的直径，∴AM ⊥BM .又PA ⊥平面ABM ，BM 平面ABM ，⊂∴PA ⊥BM .又∵，PA ，AM 平面PAM ，PA AM A = ⊂∴BM ⊥平面PAM .又AN 平面PAM ，∴BM ⊥AN .⊂又AN ⊥PM ，且，BM ，PM 平面PBM ，BM PM M = ⊂∴AN ⊥平面PBM .【小问3详解】由(1)知AN ⊥平面PBM ，PB ⊂平面PBM ，∴AN ⊥PB .又∵AQ ⊥PB ，AN ∩AQ ＝A ，AN ，AQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥平面ANQ .又NQ 平面ANQ ，⊂∴PB ⊥NQ .17. 我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面．A BCD -AB ⊥,BCD BC CD ⊥（1）证明：三棱锥为鳖臑；A BCD -（2）若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为E AD ,P Q ,BC BE DPQ ACD ．l ①证明：直线平面；//PQ ACD ②判断与的位置关系，并证明你的结论．PQ l 【正确答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②平行，证明见解析.【分析】（1）利用线面垂直的性质及判定定理即可求解；（2）①利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可求解；②利用①的结论及线面平行的性质定理即可求解.【小问1详解】∵，BC CD ⊥∴为直角三角形，BCD △∵平面，且平面，平面，平面，AB ⊥BCD BD ⊂BCD ⊂BC BCD CD ⊂BCD∴，，，AB BC ⊥AB BD ⊥AB CD ⊥∴和为直角三角形，ABC V ABD △∵，平面，平面，BC AB B ⋂=BC ⊂ABC AB ⊂ABC ∴平面，CD ⊥ABC 又∵平面，AC ⊂ABC ∴，CD AD ⊥∴为直角三角形，ACD ∴三棱锥为鳖曘.A BCD -【小问2详解】①连接，∵点分别为的中点，CE ,P Q ,BC BE ∴，//PQ CE 且平面，平面，PQ ⊄ACD CE ⊂ACD 所以直线平面，//PQ ACD ②平行，证明：平面，平面，平面平面=，//PQ ACD PQ ⊂DPQ DPQ ⋂ACD l 所以.//PQ l 18. 一块四棱锥木块如图所示，平面，四边形ABCD 为平行四边形，且SD ⊥ABCD ，.60BAD ∠=︒224AB BC SD ===（1）要经过点B 、D 将木料锯开，使得截面平行于侧棱，在木料表面该怎样画线？并说SA 明理由；（2）计算（1）中所得截面的面积；（3）求直线SC 与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.【正确答案】（1）即为要画的线，理由见解析；,ED EB （2（3【分析】（1）要使截面与平行，考虑构造线线平行，取的中点，取的对SA S C E ABCD 称中心,连接,证明即得截面；O OE //SA OE BDE （2）分别计算的三边，再利用三角形面积公式计算即得；BDE （3）利用等体积求出点到平面的距离，再由线面所成角的定义即可求得.C BDE 【小问1详解】如图，取的中点，连接,则即为要画的线.S C E ,,ED EB ,ED EB理由如下：连接与交于点，连接.BD AC O OE 因四边形ABCD 为平行四边形，则点为的中点，故,O AC //SA OE 又因平面,平面,故有平面；SA ⊄BDE OE ⊂BDE SA ∥BDE 【小问2详解】如图中，过点作于点，连接,E EF DC ⊥FBF 因平面,平面，则,SD ⊥ABCD CD ⊂ABCD SD CD ⊥故,平面,,//EF SD ⊥EF ABCD 112EF SD ==12DE SC ===因，则,12,60,22CFDC DCB BC ==∠== 2BF =因平面，则，故,BF ⊂ABCD EF FB ⊥BE ==又由余弦定理，，故得.22224224cos6012BD =+-⨯⨯=BD =又，O 为BD 中点，则，DE DB =OE BD ⊥于是截面的面积为；12BDE S =⨯= 【小问3详解】过点作平面，交平面于点,连接,C CH ⊥BDE BDE H EH则即直线与截面所成的角.CEH ∠S C BDE 由可得，,E BCD C BED V V --=1133BCD BED S EF S CH ⨯=⨯即得：，则BCD BED S EF CH S ⨯===sin CH CEH EC ∠===即直线SC 与平面BDE 思路点睛：本题主要考查运用线面平行的判定方法解决实际问题和线面所成角的求法，属于较难题.解题的思路在于充分利用平行四边形对角线性质、等腰三角形三线合一，三角形中位线性质等方法寻找线线平行；对于线面所成角问题，除了定义法作图求解外，对于不易找到点在平面的射影时，可考虑运用等体积转化求解.19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，2π角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲π3率均为.如图，在直三棱柱中，点A 的曲率为，M 为的π2π3π3-⨯=111ABC A B C -2π31CC 中点，且.AB AC =（1）判断的形状，并说明理由；ABC V （2）若，求点到平面的距离；124AA AB ==B 1AB M （3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D ，棱数为L ，面数为M ，则有.利用此定理2D L M -+=试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.【正确答案】（1）为等边三角形，理由见解析ABC V （2（3）证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，，即可根据曲率的定义求解，1AA AC ⊥1AA AB ⊥（2）利用等体积法，结合锥体体积公式即可求解，（3）根据则多面体的棱数，顶点数，以及内角之和，即可根据曲率的定义求解.【小问1详解】因为在直三棱柱中，111ABC A B C -平面，平面，1AA ⊥ABC ,AC AB ⊂ABC 所以，，1AA AC ⊥1AA AB ⊥所以点A 的曲率为，得，π2ππ2232BAC -⨯-∠=π3BAC ∠=因为，所以为等边三角形.AB AC =ABC V【小问2详解】取中点D ，连接、，BC AD AM 因为D 为的中点，所以，BC AD BC ⊥因为平面，平面，所以，1BB ⊥ABC AD ⊂ABC 1BB AD ⊥因为，平面，所以平面；1BB BC B = 1,AA AB ⊂11ABB A AD ⊥11BB C C 所以是三棱锥的高.AD 1A BB M -设点到平面的距离为，则有，即.B 1AB M h 11B AB M A BB M V V --=11AB M BB M S h S AD =⋅在中有，同理计算得，11Rt AA B△1AB ==1AM B M BM ===.AD =所以，，112AB M S =⨯=114242BB M S =⨯⨯=所以.h ==【小问3详解】证明：设多面体有M 个面，给组成多面体的多边形编号，分别为号，1,2,,M ⋅⋅⋅设第号多边形有条边，i ()1i M ≤≤i L 则多面体共有条棱，122ML L L L ++⋅⋅⋅+=由题意，多面体共有个顶点，12222ML L L D M L M ++⋅⋅⋅+=-+=-+号多边形的内角之和为，i π2πi L -所以所有多边形的内角之和为，()12π2πM L L L M ++⋅⋅⋅+-所以多面体的总曲率为()122ππ2πM D L L L M ⎡⎤-++⋅⋅⋅+-⎣⎦.()12122π2π2π4π2M M L L L M L L L M ++⋅⋅⋅+⎛⎫⎡⎤=-+-++⋅⋅⋅+-= ⎪⎣⎦⎝⎭所以简单多面体的总曲率为.4π。

2025年北师大版高二数学上册月考试卷含答案

2025年北师大版高二数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A. y=-xB. y=C. y=3xD. y=e x-e-x2、甲和乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲和乙在不同岗位服务的概率为（）A.B.C.D.3、关于狄利克雷函数D（x）=的叙述错误的是（）A. D（x）的值域是{0，1}B. D（x）是偶函数C. D（x）是奇函数D. D（x）的定义域是R4、【题文】已知过点的直线与椭圆相交于不同的两点A、B，点M是弦AB的中点，则的最小值为（）A.B.C. 1D.5、实数xy满足{x−y+1≥0x+2y−3≥02x+y−6≤0若4x−y≥m恒成立，则实数m的取值范围是()A. (−∞,0]B. (−∞,4]C. (−∞,12]D. [0,12]评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)6、已知f（2x-1）=，那么f（3）=____．7、已知与的夹角为45°，若则实数λ的取值范围是____．8、函数的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为9、已知圆锥的母线长为侧面积为则此圆锥的体积为________．10、调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元;11、【题文】已知lg6＝a，lg12＝b，则用a、b表示lg24＝________．评卷人得分三、作图题(共5题，共10分)12、在平面上任画一向量；求作下列向量：（1）=2，=-2；（2）=，=-；（3）=+0.8-1.2．13、在约束条件下，当2≤t≤4时，则函数z=3x+2y的最大值的范围是____．14、函数f（x）=1nx-的零点的个数是____．15、在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．（1）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；（2）是否存在过A1C的平面α，使得直线BC1∥α平行，若存在请作出平面α并证明，若不存在请说明理由．16、（2012•太和县校级模拟）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M∈A1B；N∈B1C，A1M=B1N；有以下四个结论：①A1A⊥MN；②AC∥MN；③MN与平面ABCD成0°角；④MN与AC是异面直线．其中正确结论的序号是____．评卷人得分四、解答题(共2题，共20分)17、某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：。

四川省成都市2024-2025学年高二上学期月考(一)数学试题含答案

高二上数学月考（一）（答案在最后）一､单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）32211834297864540732524206443812234356773578905642 84421253313457860736253007328623457889072368960804 32567808436789535577348994837522535578324577892345A.623B.328C.072D.457【答案】A【解析】【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，重复的只取一次即可【详解】从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007，第五个是328，第六个数是623，，故A正确.故选：A.2.某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第二次被抽到的可能性为b，则（）A.19b= B.29b= C.310b= D.110b=【答案】D【解析】【分析】根据题意，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等即可求解.【详解】因为总体中共有10个个体，所以五班第一次没被抽到，第二次被抽到的可能性为91110910b=⨯=.故选：D.3.已知向量1,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，122BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则ABC ∠=（）A.30°B.150°C.60°D.120°【答案】B 【解析】【分析】根据向量夹角的坐标表示求出向量夹角，进而求解几何角.【详解】因为向量13,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，31,22BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以13312222cos ,2AB BC AB BC AB BC⎛⎫⎛⎫⨯+-⨯- ⎪ ⎪⋅==⋅，又0,180AB BC ≤≤，所以,30AB BC =，所以,18030150BA BC =-= ，所以150ABC ∠=o .故选：B.4.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A.若//a b ，,b a αα⊂⊄，则//a αB.若,a b αα⊥⊥，则//a bC.若,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则a β⊥D.若,a b 为异面直线，,a b αβ⊂⊂，//a β，//b α，则//αβ【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理判断A ，根据线面垂直的性质判断B ，当a α⊄时即可判断C ，根据异面直线的定义及线面平行的性质定理判断D.【详解】对于A ：若//a b ，,b a αα⊂⊄，根据线面平行的判定定理可知//a α，故A 正确；对于B ：若,a b αα⊥⊥，则//a b ，故B 正确；对于C ：当a α⊂时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，由面面垂直的性质定理可得a β⊥，当a α⊄时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则//a β或a β⊂或a 与β相交，故C 错误；对于D ：因为a α⊂，//b α，所以存在b α'⊂使得//b b '，又b β⊂，b β'⊄，所以//b β'，又//a β且,a b 为异面直线，所以平面α内的两直线b '、a 必相交，所以//αβ，故D 正确.故选：C5.下列说法正确的是（）A.互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B.若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件C.从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为25D.事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率不一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大【答案】D 【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件和古典概型及其计算逐一判定即可．【详解】对于A ，由互斥事件和对立事件的关系可判断，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A 错误;对于B ，由()()1P A P B +=，并不能得出A 与B 是对立事件，举例说明：现从a ，b ，c ，d 四个小球中选取一个小球，已知选中每个小球的概率是相同的，设事件A 表示选中a 球或b 球，则1()2P A =，事件B 表示选中b 球或c 球，则1()2P B =，所以()()1P A P B +=，但A ，B 不是对立事件，故B 错误;对于C ，该试验的样本空间可表示为：{(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9)(5,7,9)}Ω=，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)，共3个，故所求概率310P =，故C 错误;对于D ，若A ，B 是互斥事件，事件A ，B 中至少有一个发生的概率等于A ，B 中恰有一个发生的概率，故D 正确．故选：D.6.一组数据：53，57，45，61，79，49，x ，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x =（）．A.58或64B.58C.59或64D.59【答案】A 【解析】【分析】先对数据从小到大排序，分57x ≤，79x ≥，5779x <<三种情况，舍去不合要求的情况，列出方程，求出答案,【详解】将已知的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79．若57x ≤，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，他们的差为4，不符合条件；若79x ≥，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件；若5779x <<，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x 和61（或61和x ），则613x -=，解得58x =或64x =故选：A7.如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面,,2ABCD FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥,,E ACD F ABC F ACE ---的体积分别为123,,V V V ，则（）A.322V V =B.31V V =C.3123V V V =-D.3123V V =【答案】D 【解析】【分析】结合线面垂直的性质，确定相应三棱锥的高，求出123,,V V V 的值，结合选项，即可判断出答案.【详解】连接BD 交AC 于O ，连接,OE OF ，设22AB ED FB ===，由于ED ⊥平面,ABCD FB ED ∥，则FB ⊥平面ABCD ,则1211141112222,22133233323ACD ABC V S ED V S FB =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ；ED ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故ED AC ⊥，又四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，而,,ED BD D ED BD =⊂ 平面BDEF ，故AC ⊥平面BDEF ，OF ⊂平面BDEF ，故AC OF ⊥，又ED ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，故,ED BD FB BD ⊥⊥，222222,26,3,BD OD OB OE OD ED OF OB BF =∴===+==+=而()223EF BD ED FB =+-=，所以222EF OF OE +=，即得OE OF ⊥，而,,OE AC O OE AC =⊂ 平面ACE ，故OF ⊥平面ACE ，又22222AC AE CE ===+=，故(2231131323233434F ACE V V ACE S OF AC OF =-=⋅=⨯⋅=⨯= ，故323131231,2,,233V V V V V V V V V ≠≠≠-=，故ABC 错误，D 正确，故选：D8.已知平面向量a ，b ，e ，且1e = ，2a = .已知向量b 与e所成的角为60°，且b te b e -≥- 对任意实数t 恒成立，则12a e ab ++-的最小值为（）A.31+ B.23C.35 D.25【答案】B【解析】【分析】b te b e -≥-对任意实数t 恒成立，两边平方，转化为二次函数的恒成立问题，用判别式来解，算出||2b =r ，借助2a =，得到122a e a e +=+ ，12a e a b ++- 的最小值转化为11222a e a b++- 的最小值，最后用绝对值的三角不等式来解即可【详解】根据题意，1cos 602b e b e b ⋅=⋅︒=，b te b e -≥- ，两边平方22222||2||2b t e tb e b e b e +-⋅≥+-⋅ ，整理得到210t b t b --+≥ ，对任意实数t 恒成立，则()2Δ||410b b =--+≤ ，解得2(2)0b -≤ ，则||2b =r .由于2a =，如上图，122a e a e +=+ ，则111112(2)()22222a e a b a e a b a e a b ++-=++-≥+--222843e b e b b e =+=++⋅12a e ab ++- 的最小值为23当且仅当12,,2e b a -终点在同一直线上时取等号.故选：B ．二､多项选择题.本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（）A.丁险种参保人数超过五成B.41岁以上参保人数超过总参保人数的五成C.18－29周岁人群参保的总费用最少D.人均参保费用不超过5000元【答案】ACD 【解析】【分析】根据统计图表逐个选项进行验证即可.【详解】由参保险种比例图可知，丁险种参保人数比例10.020.040.10.30.54----=，故A 正确;由参保人数比例图可知，41岁以上参保人数超过总参保人数的45%不到五成，B 错误;由不同年龄段人均参保费用图可知，1829~周岁人群人均参保费用最少()3000,4000，但是这类人所占比例为15%，54周岁以上参保人数最少比例为10%，54周岁以上人群人均参保费用6000,所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C 正确．由不同年龄段人均参保费用图可知，人均参保费用不超过5000元,故D 正确;故选：ACD ．10.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”过去10日，甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2；丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3.则甲､乙､丙､丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的有（）A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地【答案】AD 【解析】【分析】假设最多一天疑似病例超过7人，根据极差可判断AD ；根据平均数可算出10天疑似病例总人数，可判断BC ．【详解】解：假设甲地最多一天疑似病例超过7人，甲地中位数为2，说明有一天疑似病例小于2，极差会超过5，∴甲地每天疑似病例不会超过7，∴选A ．根据乙、丙两地疑似病例平均数可算出10天疑似病例总人数，可推断最多一天疑似病例可能超过7人，由此不能断定一定没有发生大规模群体感染，∴不选BC ；假设丁地最多一天疑似病例超过7人，丁地总体平均数为2，说明极差会超过3，∴丁地每天疑似病例不会超过7，∴选D ．故选：AD ．11.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体．如图所示，设正四面体ABCD 的棱长为2，则下列说法正确的是（）A.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为22-B.勒洛四面体被平面ABC 截得的截面面积是(2π-C.勒洛四面体表面上交线AC 的长度为2π3D.勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项：求出正四面体ABCD 的外接球半径，进而得到勒洛四面体的内切球半径，得到答案；B 选项，作出截面图形，求出截面面积；C 选项，根据对称性得到交线AC 所在圆的圆心和半径，求出长度；D 选项，作出正四面体对棱中点连线，在C 选项的基础上求出长度.【详解】A 选项，先求解出正四面体ABCD 的外接球，如图所示：取CD 的中点G ，连接,BG AG ，过点A 作AF BG ⊥于点F ，则F 为等边ABC V 的中心，外接球球心为O ，连接OB ，则,OA OB 为外接球半径，设OA OB R ==，由正四面体的棱长为2，则1CG DG ==，BG AG ==133FG BG ==，233BF BG ==3AF ===，3OF AF R R =-=-，由勾股定理得：222OF BF OB +=，即22233R R ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：2R =，此时我们再次完整的抽取部分勒洛四面体，如图所示：图中取正四面体ABCD 中心为O ，连接BO 交平面ACD 于点E ，交 AD 于点F ，其中 AD 与ABD △共面，其中BO 即为正四面体外接球半径2R =，设勒洛四面体内切球半径为r ，则22r OF BF BO ==-=-，故A 正确；B 选项，勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，如图所示：面积为(2221π333322222344⎛⎫⨯⨯⨯-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎭⎝，B 正确；C 选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线AC 所在圆的圆心为BD 的中点M ，故3MA MC ==2AC =，由余弦定理得：2221cos 23233AM MC AC AMC AM MC +-∠===⋅⨯⨯，故1arccos3AMC ∠=3AC 133，C 错误；D 选项，将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如图所示：连接GH ，交AB 于中点S ，交CD 于中点T ，连接AT ，则22312ST AT AS =-=-=则由C 选项的分析知：3TG SH ==，所以323322GH =+=，故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2，D 正确.故选：ABD.【点睛】结论点睛：勒洛四面体考试中经常考查，下面是一些它的性质：①勒洛四面体上两点间的最大距离比四面体的棱长大，是对棱弧中点连线，最大长度为232a a ⎫->⎪⎪⎭，②表面6个弧长之和不是6个圆心角为60︒的扇形弧长之和，其圆心角为1arccos 3，半径为32a .三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，样本中的A 型号产品有15件，那么样本容量n 为________．【答案】70【解析】【分析】利用分层抽样的定义得到方程，求出70n =.【详解】由题意得315347n=++，解得70n =.故答案为：7013.平面四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，BD =BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′﹣BCD 顶点在同一个球面上，则该球的表面积_____.【答案】3π【解析】【分析】根据BD ⊥CD ，BA ⊥AC ，BC 的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积.【详解】因为平面A′BD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，所以CD ⊥平面ABD ，∴CD ⊥BA ，又BA ⊥AD ，∴BA ⊥面ADC ，所以BA ⊥AC ，所以△BCD 和△ABC 都是直角三角形，由题意，四面体A ﹣BCD 顶点在同一个球面上，所以BC 的中点就是球心，所以BC =2所以球的表面积为：242π⋅=3π.故答案为：3π.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和球的外接问题，还考查空间想象和运算求解的能力，属于中档题.14.若一组样本数据12,,n x x x 的平均数为10，另一组样本数据1224,24,,24n x x x +++ 的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的方差是__________.【答案】54【解析】【分析】计算出1n ii x =∑、21nii x=∑的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的方差.【详解】由题意可知，数据12,n x x x 的平均数为10，所以12)101(n x x x x n =+++= ，则110ni i x n ==∑，所以数据1224,24,,24n x x x +++ 的平均数为121(242424)210424n x x x x n'=++++++=⨯+= ，方差为()(()222221111444[24241010n n n i i i i i i s x x x x n n n n n ===⎤⎡⎤=+-+=-=-⨯⨯⎦⎣⎦∑∑∑2144008n i i x n ==-=∑，所以21102nii xn ==∑，将两组数据合并后，得到新数据1212,24,24,,24,n n x x x x x x +++ ，，则其平均数为11114)4)11113]4)[(2(3(222n i nn n i i i i i i i x x x x x n n n ====''=+=⨯+=⨯++∑∑∑∑()13104172=⨯⨯+=，方差为()()2222111111172417(586458)22n n n ni i i i i i i i s x x x x n n n ====⎡⎤=-++-=-+⎢⎥⎣⎦'∑∑∑∑1(51028610458)542n n n n=⨯-⨯+=.故答案为：54.四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.袋中有形状、大小都相同的4个小球，标号分别为1,2,3,4.（1）从袋中一次随机摸出2个球，求标号和为奇数的概率;（2）从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次.甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由.【答案】（1）23（2）是公平的，理由见解析【解析】【分析】（1）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式即可求解;（2）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式及概率进行比较即可求解.【小问1详解】试验的样本空间{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}Ω=，共6个样本点，设标号和为奇数为事件B ，则B 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4个，所以42().63P B ==【小问2详解】试验的样本空间Ω{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}=，共有16个，设标号和为奇数为事件C ，事件C 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)，共8个,故所求概率为81()162P C ==,即甲胜的概率为12，则乙胜的概率为12,所以甲、乙获胜的概率是公平的.16.（1）请利用已经学过的方差公式：()2211ni i s x xn ==-∑来证明方差第二公式22211n i i s x x n ==-∑；（2）如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B 相互独立吗？请给予证明.【答案】（1）证明见解析；（2）独立，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，对方差公式恒等变形，分析可得结论；（2）根据相互独立事件的定义，只需证明()()()P AB P A P B =即可.【详解】（1）()()()()2222212111n i n i s x xx x x x x x n n =⎡⎤=-=-+-++-⎢⎥⎣⎦∑ ()()2222121212n n x x x x x x x nx n ⎡⎤=+++-+++⎢⎥⎣⎦ ()22221212n x x x x nx nx n ⎡⎤=+++-⨯+⎢⎥⎣⎦ ()222121n x x x nx n ⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦ 2211n i i x x n ==-∑；（2）因为事件A 与B 相互独立，所以()()()P AB P A P B =，因为()()()P AB P AB P A +=，所以()()()()()()P AB P A P AB P A P A P B =-=-()()()()()1P A P B P A P B =-=，所以事件A 与B 相互独立.17.如图，四棱锥P ABCD -的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 为矩形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为AB ，AD 的中点，二面角D PN C --的正切值为2.（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）证明：DM PC⊥（3）求直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值.【答案】（1）3（2）证明见解析（3）35【解析】【分析】（1）先证明DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，可得底面ABCD 为正方形，利用锥体的体积公式计算即可；（2）利用线面垂直的判定定理证明DM ⊥平面PNC ，即可证明DM PC ⊥；（3）由DM⊥平面PNC 可得MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角，计算其正弦值即可.【小问1详解】解：∵PAD △是边长为2的正三角形，N 为AD 中点，∴PN AD ^，PN =又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =∴PN ^平面ABCD又NC ⊂平面ABCD ，∴PN NC ⊥∴DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，∴tan 2DC DNC DN∠==又1DN =，∴2DC =∴底面ABCD 为正方形.∴四棱P ABCD -的体积12233V =⨯⨯=.【小问2详解】证明：由（1）知，PN ^平面ABCD ，DM ⊂平面ABCD ，∴PN DM⊥在正方形ABCD 中，易知DAM CDN ≌△△∴ADM DCN ∠=∠而90ADM MDC ∠+∠=︒，∴90DCN MDC ∠+∠=︒∴DM CN ⊥∵PN CN N = ，∴DM ⊥平面PNC∵PC ⊂平面PNC ，∴DM PC ⊥.【小问3详解】设DM CN O ⋂=，连接PO ，MN .∵DM⊥平面PNC .∴MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角∵2,1AD AM ==，∴DM =5DO ==∴55MO ==又MN =PM ==∴35sin 5MO MPO PM ∠===∴直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值为35.18.某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖A ，B ，C 三个区域的第二档居民用户中按2：2：1的比例分配抽取了100户后，统计其去年一年的月均用电量（单位：kW h ⋅），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），频率分布直方图如下图所示.（1）求m 的值；（2）若去年小明家的月均用电量为234kW h ⋅，小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档用户中85%的用户，请判断小明的估计是否正确？（3）通过进一步计算抽样的样本数据，得到A 区样本数据的均值为213，方差为24.2；B 区样本数据的均值为223，方差为12.3；C 区样本数据的均值为233，方差为38.5，试估计该市去年第二档居民用户月均用电量的方差.（需先推导总样本方差计算公式，再利用数据计算）【答案】（1）0.016m =（2）不正确（3）78.26【解析】【分析】（1）利用频率和为1列式即可得解；（2）求出85%分位数后判断即可；（3）利用方差公式推导总样本方差计算公式，从而得解.【小问1详解】根据频率和为1，可知()0.0090.0220.0250.028101m ++++⨯=，可得0.016m =.【小问2详解】由题意，需要确定月均用电量的85%分位数，因为()0.0280.0220.025100.75++⨯=，()0.0280.0220.0250.016100.91+++⨯=，所以85%分位数位于[)230,240内，从而85%分位数为0.850.7523010236.252340.910.75-+⨯=>-.所以小明的估计不正确.【小问3详解】由题意，A 区的样本数为1000.440⨯=，样本记为1x ，2x ，L ，40x ，平均数记为x ；B 区的样本数1000.440⨯=，样本记为1y ，2y ，L ，40y ，平均数记为y ；C 区样本数为1000.220⨯=，样本记为1z ，2z ，L ，20z ，平均数记为z .记抽取的样本均值为ω，0.42130.42230.2233221ω=⨯+⨯+⨯=.设该市第二档用户的月均用电量方差为2s ，则根据方差定义，总体样本方差为()()()40402022221111100i j k i i i s x y z ωωω===⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑()()()4040202221111100i j k i i i x x x y y y z z z ωωω===⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑因为()4010ii x x =-=∑，所以()()()()404011220iii i x x x x x x ωω==--=--=∑∑，同理()()()()404011220jji i yyy y yy ωω==--=--=∑∑，()()()()202011220kki i zz z z zz ωω==--=--=∑∑，因此()()()()4040404022222111111100100i j i i i i s x x x y y y ωω====⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑()()202022111100k i i z z z ω==⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑，代入数据得()()222114024.2402132214012.340223221100100s ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦=⨯+⨯-+⨯-⎣+⨯()212038.32023322178.26100⎡⎤+⨯+⨯-=⎣⎦.19.在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B ，C ，D 三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的A ，B ，C ，D 四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是13，每场比赛的结果相互独立.（1）求A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率；（2）已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A 球队胜2场，负1场，求A 球队最终小组出线的概率.【答案】（1）427（2）7981【解析】【分析】（1）分类讨论只积3分的可能情况，结合独立事件概率乘法公式运算求解；（2）由题意，若A 球队参与的3场比赛中胜2场，负1场，根据获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，分情况讨论结合独立事件概率乘法公式运算求解.【小问1详解】A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分，有两种情况.第一种情况：A 球队在3场比赛中都是平局，其概率为111133327⨯⨯=.第二种情况：A球队在3场比赛中胜1场，负2场，其概率为11113 3339⨯⨯⨯=.故所求概率为114 27927+=.【小问2详解】不妨假设A球队参与的3场比赛的结果为A与B比赛，B胜；A与C比赛，A胜；A与D比赛，A胜.此情况下，A积6分，B积3分，C，D各积0分.在剩下的3场比赛中：若C与D比赛平局，则C，D每队最多只能加4分，此时C，D的积分都低于A的积分，A可以出线；若B与C比赛平局，后面2场比赛的结果无论如何，都有两队的积分低于A，A可以出线；若B与D比赛平局，同理可得A可以出线.故当剩下的3场比赛中有平局时，A一定可以出线.若剩下的3场比赛中没有平局，则当B，C，D各赢1场比赛时，A可以出线.当B，C，D中有一支队伍胜2场时，若C胜2场，B胜1场，A，B，C争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=；若D胜2场，B胜1场，A，B，D争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=.其他情况A均可以出线.综上，A球队最终小组出线的概率为1179 1818181⎛⎫-+=⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：解题的关键在于分类讨论获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，讨论要恰当划分，做到不重不漏，从而即可顺利得解.。

数学高二月考试题及答案

数学高二月考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，求f(1)的值。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，求第五项a5。

A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A3. 计算复数z = 3 + 4i的模。

A. 5B. √41C. √29D. 7答案：A4. 若直线l的方程为y = 2x + 1，求直线l与x轴的交点坐标。

A. (0, 1)B. (-1/2, 0)C. (1, 0)D. (1, 2)答案：B5. 已知双曲线C：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a=2，b=1，求双曲线的渐近线方程。

A. y = ±x/2B. y = ±2xC. y = ±xD. y = ±1/2x答案：A6. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx的值。

A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A7. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，求向量a与向量b的数量积。

A. -4B. -1C. 1D. 4答案：B8. 求函数y = ln(x+1)的定义域。

A. (-∞, -1)B. (-1, +∞)C. (0, +∞)D. (-∞, 0)答案：B9. 计算二项式(1+x)^5的展开式中含x^3的项的系数。

A. 10B. 5C. 20D. 15答案：A10. 若矩阵A = |1 2|，求矩阵A的行列式。

|3 4|A. -2B. 2C. -5D. 5答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数y = x^3 - 3x^2 + 2的导数为________。

答案：3x^2 - 6x2. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，圆心坐标为________。

答案：(2, 3)3. 计算极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为________。

2024-2025学年吉林省长春市高二上学期第一次月考数学检测试题(含解析)

2024-2025学年吉林省长春市高二上学期第一次月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．在空间直角坐标系中，已知点，点则（）Oxyz ()1,3,5P ()1,3,5Q --A ．点和点关于轴对称B ．点和点关于轴对称P Q x P Q y C ．点和点关于轴对称D ．点和点关于原点中心对称P Q z P Q 2．向量，若，则（）()()2,1,3,1,2,9a x b y ==- a ∥b A ．B ．1x y ==11,22x y ==-C ．D ．13,62x y ==-12,63x y =-=3．直三棱柱中，若，则（）111ABC A B C -1,,CA a CB b CC c === 1A B =A ．B ．a b c +-r r ra b c -+r r rC ．D ．a b c -++ a b c -+- 4．下列可使非零向量构成空间的一组基底的条件是（）,,a b c A ．两两垂直B ．,,a b c b cλ= C ．D ．a mb nc =+a b c ++=5．已知，则直线恒过定点（）2b a c =+0ax by c ++=A ．B ．(1,2)-(1,2)C ．D ．(1,2)-(1,2)--6．已知：，：，则两圆的位1C 2222416160x y x y +++-=2C 22228840x y x y ++--=置关系为（）A ．相切B ．外离C ．相交D ．内含7．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且P 22:11612x y C +=l 22:430M x y x +-+= 与交于两点，则的取值范围是（）M ,A B PA PB ⋅A ．B ．C ．D ．[]3,35[]2,34[]2,36[]4,368．已知圆和圆交于两点，点在圆221:2470C x y x y +---=222:(3)(1)12C x y +++=P 上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（）1C Q 2C A ．圆和圆关于直线对称1C 2C 8650x y +-=B ．圆和圆的公共弦长为1C 2CC ．的取值范围为PQ0,5⎡+⎣D ．若为直线上的动点，则的最小值为M 80-+=x y PM MQ+-二、多选题（本大题共3小题）9．已知向量，，则下列正确的是（）()1,2,0a =-()2,4,0b =-A ．B ．//a ba b⊥ C ．D ．在方向上的投影向量为2b a = a b ()1,2,0-10．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达·芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体．若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（）A ．B ．点到直线的距离是122CQ AB AD AA =--+1C CQ C ．D ．异面直线与所成角的正切值为43CQ = CQ BD 11．已知实数满足方程，则下列说法正确的是（）,x y 22410x y x +-+=A ．的最大值为B ．的最大值为y x -2-22x y +7+C ．的最大值为D ．的最小值为y x x y+2三、填空题（本大题共3小题）12．O 为空间任意一点，若，若ABCP 四点共面，则3148OP OA OB tOC=++ t =．13．已知点和点，是动点，且直线与的斜率之积等于，则()2,0A -()2,0B P AP BP 34-动点的轨迹方程为．P 14．已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆P 221:(5)4C x y -+=P 的两条切线，切点分别为，直线222:2C x y ax +-220(25)a a a +-+=<<,PM PN M N 、分别交轴于两点，则，．,PM PN x (1,0),(4,0)A B ||||PA PB =||MN =四、解答题（本大题共5小题）15．分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的离心率为，短轴长为23e =(2)椭圆与有相同的焦点，且经过点，求椭圆的标准方程.C 2212x y +=31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭C 16．已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上．C ()()1,4,3,6A B C 340x y -=(1)求圆的方程；C (2)已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的一般式方程．l ()1,1l C l 17．如图，四边形与四边形均为等腰梯形，ABCD ADEF，，，，，平面，//BC AD //EF AD 4=AD AB =2BC EF ==AF =FB ⊥ABCD 为上一点，且，连接、、M AD FM AD ⊥BD BE BM(1)证明：平面；⊥BC BFM (2)求平面与平面的夹角的余弦值.ABF DBE18．已知圆与圆内切．()222:0O x y r r +=>22:220E x y x y +--=(1)求的值．r (2)直线与圆交于两点，若，求的值；:1l y kx =+O ,M N 7OM ON ⋅=-k (3)过点作倾斜角互补的两条直线分别与圆相交，所得的弦为和，若E O AB CD ，求实数的最大值．AB CDλ=λ19．已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫a bO OA a = OB b = AOB ∠做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向a b ,a ba b a b ⨯ 量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面a b sin ,a b a b a b ⨯=⋅ P ABCD -为矩形，底面，，为上一点，.ABCD PD ⊥ABCD 4DP DA ==E AD AD BP ⨯=(1)求的长；AB (2)若为的中点，求二面角的余弦值；E AD P EB A --(3)若为上一点，且满足，求.M PB AD BP EM λ⨯=λ答案1．【正确答案】B【详解】由题得点与点的横坐标与竖坐标互为相反数，纵坐标相同，P Q 所以点和点关于轴对称,P Q y 故选：B.2．【正确答案】C【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值.,x y ,x y 【详解】因为，所以，由题意可得，a b ∥a b λ=()()()2,1,31,2,9,2,9x y y λλλλ=-=-所以则.2,12,39,x y λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩131632x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩故选C.【思路导引】根据题目条件列出关于的方程组，解方程组即可得到答案.a∥b ,x y 3．【正确答案】D【详解】.()11111A A B B a b B A B cCC C CB =+=-+=-+--+ 故选：D ．4．【正确答案】A【详解】由基底定义可知只有非零向量不共面时才能构成空间中的一组基底.,,a b c对于A ，因为非零向量两两垂直，所以非零向量不共面，可构成空间的一,,a b c ,,a b c 组基底，故A 正确；对于B ，，则共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以b c λ=,b c 与共面，故B 错误；a,b c 对于C ，由共面定理可知非零向量共面，故C 错误；,,a b c 对于D ，即，故由共面定理可知非零向量共面，故D 错误.0a b c ++= a b c =--,,a b c 故选：A.5．【正确答案】A【分析】由题意可得，可得定点坐标.(1)(2)0a x b y -++=【详解】因为，所以，2b a c =+2c b a =-由，可得，所以，0ax by c ++=(2)0ax by b a ++-=(1)(2)0a x b y -++=当时，所以对为任意实数均成立,1,2x y ==-(11)(22)0a b -+-+=,a b 故直线过定点.(1,2)-故选A.6．【正确答案】C 【详解】因为可化为22221:22416160,2880C x y x y x y x y +++-=+++-= ,则，半径，()()221425x y +++=()11,4C --15r =因为可化为，22222:228840,4420C x y x y x y x y ++--=++--= ()()222210x y ++-=则，半径()22,2C -2r =则，因为.1C =122155r r r r -=<<+=+故选：C.7．【正确答案】A【详解】，即，22:430M x y x +-+= ()2221x y -+=则圆心，半径为.(2,0)M 1椭圆方程，,22:11612x y C +=2216,12a b ==则，22216124,2c a b c =-=-==则圆心为椭圆的焦点，(2,0)M 由题意的圆的直径，且AB 2AB = 如图，连接，由题意知为中点，则，PM M AB MA MB =-可得()()()()PA PB PM MA PM MB PM MB PM MB ⋅=+⋅+=-+ .2221PM MB PM =-=- 点为椭圆上任意一点，P 22:11612x y C +=则，，min 2PM a c =-= max 6PM a c =+= 由，26PM ≤≤ 得.21PA PB PM ⋅=- []3,35∈故选：A.8．【正确答案】D【详解】对于A ，和圆，221:2470C x y x y +---=222:(3)(1)12C x y +++=圆心和半径分别是，()()12121,2,3,1,C C R R --==则两圆心中点为，11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭若圆和圆关于直线对称，则直线是的中垂线，1C 2C 8650x y +-=12C C 但两圆心中点不在直线上，故A 错误；11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭8650x y +-=对于B ，到直线的距离，1C 8650x y ++=81255102d ++==故公共弦长为，B错误；=对于C ，圆心距为，当点和重合时，的值最小，5=P QPQ当四点共线时，的值最大为12,,,P Q C CPQ 5+故的取值范围为，C 错误；PQ0,5⎡+⎣对于D ，如图，设关于直线对称点为，1C 80-+=x y (),A m n则解得即关于直线对称点为，21,11280,22n mm n -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩6,9,m n =-⎧⎨=⎩1C 80-+=x y ()6,9A -连接交直线于点，此时最小，2AC M PM MQ +122PM MQ MC MC C A +≥+-=-==即的最小值为，D 正确.PM MQ+故选：D.9．【正确答案】ACD【详解】ABC 选项，由题意得，故且，AC 正确，B 错误；2b a= //a b2b a= D 选项，在，Da b ()01,2,=-正确.故选：ACD10．【正确答案】ABC 【详解】依题意得，12CQ CB BQ AD BA =+=-+()11222AD AA AB AB AD AA =-+-=--+ 故A 正确；如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，1A 111(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,1,1),(1,1,1),B C D Q C E -------，(1,1,1),(0,1,1),(1,0,1)G B D -----对于BC ，，1(1,2,1),(1,2,2)QC CQ =--=-所以，设，3CQ==173QC CQ m CQ ⋅==- 则点到直线的距离BC 正确；1C CQd ==对于D ，因为，(1,2,2),(1,1,0)CQ BD ---==所以cos ,CQ BD 〈〉==tan ,CQ BD 〈〉= 所以异面直线与所成角的正切值为D 错误．CQ BD 故选：ABC ．11．【正确答案】ABD【详解】根据题意，方程，即，22410x y x +-+=22(2)3x y -+=表示圆心为，半径为(2,0)对于A ，设，即，y x z -=0x y z -+=直线与圆有公共点，0x y z -+=22(2)3x y -+=所以≤22z ≤≤则的最大值为，故A 正确；z y x =-2-对于B ，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离，t =22(2)3x y -+=所以的最大值为，t 2故的最大值为B 正确；22x y +22(27t ==+对于C ，设，则，直线与圆有公共点，yk x =0kx y -=0kx y -=22(2)3x y -+=则，解得的最大值为C 错误；≤k ≤≤yx 对于D ，设，作出图象为正方形，作出圆，如图，m x y=+22(2)3x y -+=由图象可知，正方形与圆有公共点A 时，有最小值m 2即的最小值为，故D 正确；x y+2故选：ABD12．【正确答案】/0.12518【详解】空间向量共面的基本定理的推论：，且、、不共OP xOA yOB zOC =++ A B C 线，若、、、四点共面，则，A B C P 1x y z ++=因为为空间任意一点，若，且、、、四点共面，O 3148OP OA OB tOC=++ A B C P所以，，解得.31148t ++=18t =故答案为.1813．【正确答案】221(2)43x y x +=≠±【详解】设动点的坐标为，又，，P (,)x y ()2,0A -()2,0B 所以的斜率，的斜率，AP (2)2AP y k x x =≠-+BP (2)2BP yk x x =≠-由题意可得，3(2)224y y x x x ⨯=-≠±+-化简，得点的轨迹方程为.P 221(2)43x y x +=≠±故221(2)43x y x +=≠±14．【正确答案】 2,【详解】圆的标准方程为，圆心，2C 22()2(2)x a y a a -+=->()2,0C a 则为的角平分线，所以．2PC APB ∠22AC PA BC PB=设，则，()00,P x y ()22054x y -+=所以，则，2PAPB===222AC BC =即，解得，则，()124a a -=-3a =222:(3)1C x y -+=所以点与重合，N ()4,0B 此时，可得，221,30C M MAC =∠=52M ⎛ ⎝．故；215．【正确答案】(1)或；22114480x y +=22114480y x +=(2).22143x y +=【详解】（1）由题得，222212328c a a b b a b c c ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎪⎩所以椭圆的标准方程为或.22114480x y +=22114480y x +=（2）椭圆满足，故该椭圆焦点坐标为，2212x y +=1c ==()1,0±因为椭圆与有相同的焦点，且经过点，C 2212x y +=31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以可设椭圆方程为，且，解得，C 22221x y a b +=22222231211ab a b ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭+=⎨⎪⎪=+⎩4241740a a -+=故，解得（舍去）或，故.()()224140aa --=214a =24a =2213b a =-=所以椭圆的标准方程为.C 22143x y +=16．【正确答案】(1)()()224310x y -+-=(2)或10x -=512170x y +-=【详解】（1）由题意，则的中点为，且，()()1,4,3,6A B AB (2,5)64131AB k -==-故线段中垂线的斜率为，AB 1-则中垂线的方程为，即，5(2)y x -=--70x y +-=联立，解得，即圆心，34070x y x y -=⎧⎨+-=⎩43x y =⎧⎨=⎩()4,3C 则半径r CA ===故圆的方程为.C ()()224310x y -+-=（2）当直线斜率不存在时，直线的方程为，l 1x =圆心到直线的距离为，由半径，(4,3)C 3r =则直线截圆所得的弦长，满足题意；l C 2=当直线斜率存在时，设直线方程为，l l 1(x 1)y k -=-化为一般式得，10kx y k -+-=由直线截圆所得的弦长，半径.l C 2r =1则圆心到直线的距离，又圆心，3d ==(4,3)由点到直线的距离公式得，3d 解得，故直线方程为，512k =-l 51(1)12y x -=--化为一般式方程为.512170x y +-=综上所述，直线的方程为或.l 10x -=512170x y +-=17．【正确答案】(1)证明见详解；【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理、平行线的性质进行证明即可；（2）作，垂足为，根据平行四边形和矩形的判定定理，结合（1）的结论，EN AD ⊥N 利用勾股定理，因此可以以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空BM BC BF x y z 间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）因为平面，又平面，FB ⊥ABCD AD ⊂ABCD 所以.又，且，FB AD ⊥FM AD ⊥FB FM F ⋂=所以平面.因为，所以平面.AD ⊥BFM //BC AD ⊥BC BFM （2）作，垂足为.则.又，EN AD ⊥N //FM EN //EF AD 所以四边形是平行四边形，又，FMNE EN AD ⊥所以四边形是矩形，又四边形为等腰梯形，且，，FMNE ADEF 4=AD 2EF =所以.1AM =由（1）知平面，所以.又，AD ⊥BFM BM AD⊥AB =所以.在中，1BM =Rt AFMFM ==在中，.Rt FMB 3FB ==所以由上可知，能以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间BM BC BF x y z 直角坐标系.则，，，，，所以，，(1,1,0)A --(0,0,0)B (0,0,3)F (1,3,0)D -(0,2,3)E (1,1,0)AB =，，，设平面的法向量为，(0,0,3)BF = (1,3,0)BD =- (0,2,3)BE =ABF ()111,,m x y z = 由，得可取.00m AB m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 1110,0,x y z +=⎧⎨=⎩(1,1,0)m =- 设平面的法向量为，BDE ()222,,n x y z =由，得，可取.00n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 222230,230,x y y z -+=⎧⎨-+=⎩(9,3,2)n = 因此，.cos ,m n m n m n ⋅===依题意可知，平面与平面的夹角的余弦值为ABFDBE 18．【正确答案】(1)r =(2)；1k =±(3)max λ=【详解】（1）由题意得，，O (0,0)()()2222220112x y x y x y +--=⇒-+-=故圆心，圆E 的半径为()1,1E 因为，故在圆E 上，()()2201012-+-=O (0,0)所以圆O 的半径，且r >OE r ==r =（2）由（1）知，联立，22:8O x y +=()2222812701x y k x kx y kx ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩设，则恒成立，()()1122,,,M x y N x y ()22Δ42810k k =++>且，12122227,11k x x x x k k +=-=-++所以，()2222121212222721811111k k k y y k x x k x x k k k -=+++=--+=+++所以，解得.221212222718681711O k k x x y O y k k k M N ⋅=---+=-+==+++-1k =±（3）如图，因为直线和直线倾斜角互补，AB CD所以当直线斜率不存在时，此时直线的斜率也不存在，AB CD 此时，，AB CD=1AB CDλ==当直线的斜率为0时，直线的斜率为0，不满足倾斜角互补，AB CD 当直线斜率存在且不为0时，设直线即，AB ():11AB y k x -=-10kx y k --+=圆心O 到直线的距离为AB d故AB ===由直线方程得直线的方程为即，AB CD ()11y k x -=--10kx y k +--=同理得CD =则，AB CD λ====当，，0k>AB CDλ====因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，()1f x x x =+(0,1)(1,+∞)所以时，，0x >()())[)1,2,f x f ∞∞⎡∈+=+⎣所以时，故，0k >[)17212,k k ∞⎛⎫+-∈+ ⎪⎝⎭4411,1372k k ⎛⎤+∈ ⎥⎛⎫⎝⎦+- ⎪⎝⎭所以，λ⎛= ⎝当，0k <AB CDλ====由上知时，故，0k <()[)17216,k k ∞⎡⎤⎛⎫-+-+∈+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()431,14172k k ⎡⎫-∈⎪⎢⎡⎤⎛⎫⎣⎭-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以.λ⎫=⎪⎪⎭综上，max λ=19．【正确答案】(1)2(2)13-(3)10【分析】（1）首先说明为直线与所成的角，即，设PBC ∠AD PB ,AD BP PBC=∠，根据所给定义得到方程，解得即可；()0AB x x =>（2）在平面内过点作交的延长线于点，连接，为二ABCD D DF BE ⊥BE F PF PFD ∠面角的平面角，由锐角三角函数求出，设二面角的平面P EB D --cos PFD ∠P EB A --角为，则，利用诱导公式计算可得；θπPFD θ=-∠（3）依题意可得平面，在平面内过点作，垂足为，即EM ⊥PBC PDC D DN PC ⊥N 可证明平面，在平面内过点作交于点，在上取点DN ⊥PBC PBC N //MN BC PB M DA，使得，连接，即可得到四边形为平行四边形，求出，即E DE MN =EM DEMN DN可得解.【详解】（1）因为底面为矩形，底面，ABCD PD ⊥ABCD 所以，，又底面，所以，//AD BC BC DC ⊥BC ⊂ABCD PD BC ⊥又，平面，所以平面，PD DC D = ,PD DC ⊂PDC BC ⊥PDC 又平面，所以，PC ⊂PDC BC PC ⊥所以为直线与所成的角，即，PBC ∠AD PB ,AD BP PBC=∠设，则，()0AB x x =>PC ==PB ==在中Rt PBC s n i PCPBC PB ∠==又，解得（负值已舍去），AD BP ⨯==2x =所以；2AB =（2）在平面内过点作交的延长线于点，连接，ABCD D DF BE ⊥BE F PF 因为底面，底面，所以，又，PD ⊥ABCD BF ⊂ABCD PD BF ⊥DF PD D = 平面，所以平面，又平面，所以，,DF PD ⊂PDF BF ⊥PDF PF ⊂PDF BF PF ⊥所以为二面角的平面角，PFD ∠P EB D --因为为的中点，E AD所以π2sin4DF ==PF ==所以，1cos 3DF PFD PF ∠===设二面角的平面角为，则，P EB A --θπPFD θ=-∠所以，()1cos cos πcos 3PFD PFD θ=-∠=-∠=-即二面角的余弦值为；P EB A --13-（3）依题意，，又，()AD BP AD⨯⊥ ()AD BP BP⨯⊥ AD BP EM λ⨯= 所以，，又，所以，EM AD ⊥EM BP ⊥//AD BC EM BC ⊥又，平面，所以平面，PB BC B = ,PB BC ⊂PBC EM ⊥PBC 在平面内过点作，垂足为，PDC D DN PC ⊥N 由平面，平面，所以，BC ⊥PDC DN ⊂PDC BC DN ⊥又，平面，所以平面，PC BC C = ,PC BC ⊂PBC DN ⊥PBC 在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接PBC N //MN BC PB M DA E DE MN =，EM 所以且，所以四边形为平行四边形，//DE MN DE MN =DEMN 所以，又，即EM DN =DN ==EM=所以.10AD BP EMλ⨯===【关键点拨】本题关键是理解并应用所给定义，第三问关键是转化为求.DN。

2022-2023学年安徽省桐城中学高二上学期月考(1)数学试题(解析版)

2022-2023学年安徽省桐城中学高二上学期月考（1）数学试卷一、单选题1.已知直线l的倾斜角为，且经过点，则直线l的方程为( )A. B.C. D.2.设点，，直线l过点且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是( )A. 或B.C. D. 或3.与向量平行的一个向量的坐标是( )A. B.C. D.4.已知点，，则直线AB的斜率是( )A. B. C. 3 D.5.如图所示，在四面体中，，，，点M在OA上，且，N为BC的中点，则( )A. B.C. D.6.直三棱柱中，为等边三角形，，M是的中点，则AM与平面所成角的正弦值为( )A. B. C. D.7.已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为( )A. B. C. D.8.如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为( )A.B.C.D.9.如图，在平行六面体中，( )A.B.C.D.10.已知直线l过定点，且方向量为，则点到l的距离为( )A. B. C. D.11.已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为( )A. B. C. D.12.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值为( )A. 4B. 2C.D.13.若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______ .14.直线l：被圆O：截得的弦长最短，则实数______.15.在空间直角坐标系Oxyz中，，，，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标是______.16.已知向量，，若，则__________.17.在中，已知，，求边BC所在的直线方程；求的面积．18.已知三角形的三个顶点的坐标分别是、、求BC边所在直线的方程；求BC边上的中线所在直线的方程．19.如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，，M，N分别为AB，PC的中点．求证：平面PCD；求PD与平面PMC所成角的正弦值．20.已知直线经过点，，直线经过点，，且，求实数a的值．21.如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，，，证明：平面平面；在线段上是否存在点M，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.22.如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为梯形，，，且，若点F为PD上一点且，证明：平面PAB；求直线PA与平面BPD所成角的正弦答案和解析1.【答案】C【解析】解：由题意知：直线l的斜率为，则直线l的方程为故选：2.【答案】D【解析】解：，直线l过点且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是或故选：3.【答案】C【解析】解：对于C中的向量：，因此与向量平行的一个向量的坐标是故选：4.【答案】D【解析】解：因为，，所以直线AB的斜率故选5.【答案】B【解析】解：连接ON，是BC的中点，，，，，故选：6.【答案】C【解析】解：因为M是的中点，为等边三角形，可得，又平面，平面，所以，而，，所以平面，以M为坐标原点，，所在直线分别为x，y轴，过M平行于的直线为z轴建立空间直角坐标系，设，则，，，又，所以，，，则，，设平面的法向量为，则，取，则，，所以，所以AM与平面所成角的正弦值为，故选：7.【答案】B【解析】解：设该正四面体的棱长为1，为BC中点，N为AD中点，，是BC中点，N为AD中点，，，，，根据异面直线所成角的定义知直线BN与直线DM所成角的余弦值为故选：8.【答案】A【解析】解：在直三棱柱中，，，，，建立以C为坐标原点，CA，CB，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，则，，，则，所以直线与所成角的余弦值为，故选：9.【答案】B【解析】解：为平行四面体，故选：10.【答案】A【解析】解：因为，，所以，又因为直线l的方向量为，所以点P到l的距离为，故选：11.【答案】C【解析】解：，，，，，，，，，，，，故选：12.【答案】B【解析】解：双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，可得：，可得，即，所以双曲线的离心率为：故选：13.【答案】【解析】解：直线与平行，所以，解得，所以直线：，直线：，所以直线与之间的距离为：故答案为：14.【答案】1【解析】解：直线MN的方程可化为，由，得，所以直线MN过定点，因为，即点A在圆内．当时，取最小值，由，得，，即故答案为：15.【答案】【解析】解：设，，，，由点Q在直线OP上，可得存在实数使得，则，根据二次函数的性质，得当时，取得最小值此时Q点的坐标为：故答案为：16.【答案】【解析】解：因为向量，，，由，则，解得故答案为：17.【答案】解：，，边BC所在的直线方程为，即；设B到AC的距离为d，则，，AC方程为：，即：，【解析】直接由两点式直线方程公式求解即可；求出B到AC的距离为d，再求AC的距离，然后利用面积公式求解即可．18.【答案】解：因为、，所以，所以直线BC的方程为，即；因为，、，所以BC的中点为，所以，所以中线AD的方程为，即；【解析】首先根据斜率公式求出，再由点斜式求出直线方程；求出BC的中点D的坐标，然后求出，再由点斜式求出直线方程；19.【答案】解：以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，则，，所以，，由于，所以平面，，设平面PMC的法向量为，则，令，则，，所以设直线PD与平面PMC所成角为，则【解析】建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面利用直线PD的方向向量，平面PMC的法向量，计算线面角的正弦值．20.【答案】解：当直线的斜率不存在时，，解得，此时，，直线的斜率为0，满足，当直线的斜率存在时，直线的斜率，直线的斜率，，，解得，综上所述，实数a的值为0或【解析】根据已知条件，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，即可求解．21.【答案】解：证明：在中，，，，有，可得，又，，可得平面，即有，由四边形是边长为的正方形，可得，而，可得平面，又平面，则平面平面；在线段上存在点M，使得，且理由如下：由可得，以C为原点，CA，CB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，设，，所以，解得，，，所以，，要使，则需，即，解得故线段上存在点M，使得，且【解析】运用勾股定理和正方形的性质，推得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得证；假设在线段上存在点M，使得，以C为原点，CA，CB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，，运用向量共线的坐标表示和向量垂直的数量积的坐标表示，可判断存在性．22.【答案】证明：作交PA于点H，连接BH，因为，则，又且，则且，所以四边形HFCB为平行四边形，故，又平面PAB，平面PAB，所以平面PAB；解：因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又所以，则，以点B为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，所以，设平面PBD的法向量为，则，即，令，则，，故，所以，故直线PA与平面BPD所成角的正弦值为【解析】作交PA于点H，连接BH，利用且，证明四边形HFCB 为平行四边形，从而得到，由线面平行的判定定理证明即可；建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面PBD的法向量，由向量的夹角公式求解即可．。

2023北京首都师大附中高二12月月考数学(教师版)

2023北京首都师大附中高二12月月考数学（5-12班）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1. 若直线l 的倾斜角α满足203πα<<，且2πα≠，则其斜率k 满足（）A. 0k <<B. k >C. 0k >或k <D. 0k >或3k <−2. 圆222430x y x y ++−+=的圆心到直线0x y +=的距离为（）A. 2B.2C. 13. 已知两条直线1:10l ax y +−=和2:10(R)l x ay a ++=∈，下列不正确的是（） A. “a ＝1”是“12l l ∥”的充要条件B. 当12l l ∥C. 当2l 斜率存在时，两条直线不可能垂直D. 直线2l 横截距为14. 若抛物线22y px =上一点0(2,)P y 到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为 A. 24y x =B. 2y xC. 28y x =D. 210y x =5. 椭圆()222210x y a b a b+=>>的两焦点为1F ，2F ，以12F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（）A. 12B.2C. 4− 16. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A. ①B. ②C. ①②D. ①②③7. 已知圆224x y +=与x 轴的交点分别为,A B ，点P 是直线:40l x y −+=上的任意一点，椭圆C 以,A B 为焦点且过点P ，则椭圆C 的离心率e 的取值范围为（）A. ⎛ ⎝⎦B. ⎫⎪⎪⎣⎭C. ⎛ ⎝⎦D. ,15⎫⎪⎪⎣⎭8. 法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>外的一点作椭圆的两条椭圆的蒙日圆．若椭圆()22:1044x y C m m+=<<的蒙日圆为22:7E x y +=，过圆E 上的动点M 作椭圆C 的两条切线，分别与圆E 交于P ，Q 两点，直线P Q 与椭圆C 交于A ，B 两点，则下列结论不正确．．．的是（）A. 椭圆C 的离心率为12B. M 到C1C. 若动点N 在C 上，记直线AN ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，则1234k k =− D. MPQ 面积的最大值为72二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 已知双曲线()22:10x C y m m−=>的焦距为C 的渐近线方程为________．10. 1970年4月我国成功发射了第一颗人造地球卫星“东方红一号”，这颗卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知卫星的近地点（离地面最近的点）距地面的高度约为439km ，远地点（离地面最远的点）距地面的高度约为2384km ，且地心、近地点、远地点三点在同一直线上，地球半径约为6371km ，则卫星运行轨道是上任意两点间的距离的最大值为___________km ．11. 已知1F ，2F 分别是双曲线221916x y−=的左､右焦点，AB 是过点1F 的一条弦（A ，B 均在双曲线的左支上），若2ABF △的周长为30，则||AB =___________.12. 直线l 过点()2,1M 且与椭圆22416+=x y 相交于A ，B 两点，若点M 为弦AB 的中点，则直线l 的斜率为______．13. 如果点(),M x y 4=，记满足此条件的点M 的轨迹为C ，直线x m =与C 交于D ，E ，已知()1,0A −，则ADE 周长的最大值为______．14. 设定点()3，M a ，抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，若PM PF +的最小值为5，则实数a 的值为__________三、解答题（本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）15. 已知直线l 的方程为()()1520R a x y a a ++−−=∈．（1）求直线l 过的定点P 的坐标；（2）直线l 与x 轴正半轴和y 轴正半轴分别交于点A ，B ，当AOB 面积最小时，求直线l 的方程； 16. 已知圆22:430C x y ax y ++++=和直线l 相切于点()2,1P −. （1）求圆C 的标准方程及直线l 的一般式方程；（2）已知直线m 经过点P ，并且被圆C 截得的弦长为m 的方程． 17. 在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到点30,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离比它到直线:1l y =−的距离大12．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点T 的直线l 与动点P 的轨迹C 交于A ，B 两点，求证：11AT BT+为定值．18. 如图，已知椭圆2222:1(0)y x E a b a b +=>>的一个焦点为1(0,1)F ，离心率为2．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点1F 作斜率为k 的直线交椭圆E 于两点A ，B ，AB 的中点为M ．设O 为原点，射线OM 交椭圆E 于点C ．当ABC 与ABO 的面积相等时，求k 的值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1. 【答案】C【分析】根据倾斜角和斜率关系可求斜率的范围. 【详解】斜率tan k α=，因为203πα<<，且2πα≠，故tan 0α>或tan α<，即0k >或k < 故选：C.【点睛】本题考查倾斜角与斜率的关系，一般地，如果直线的倾斜角为θ，则当2πθ=时，直线的斜率不存在，当0,,22ππθπ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭时，斜率tan θk.2. 【答案】B【分析】由圆的方程可得圆心坐标，再由点到直线的距离公式求解即得. 【详解】由圆222430x y x y ++−+=可得圆心坐标为：(-1，2)，所以圆心到直线0x y +=的距离为2d ==. 故选：B 3. 【答案】DA 正确；利用平行线间距离公式可以判断B 正确；利用垂直关系可以判断C 正确；令0y =可以求出直线2l 得横截距. 【详解】当12l l ∥时，11a a ⋅=⨯，则1a =±，当1a =−时，直线1l 与2l 重合，故舍去，所以A 正确；当1a =时，12l l ∥，1:10l x y +−=和2:10(R)l x y a ++=∈间的距离为d ==B 正确；若12l l ⊥，则110a a ⋅+⋅=，则0a =，又当2l 斜率存在时，0a ≠，所以C 正确；2:10(R)l x ay a ++=∈，令0y =得=1x −，所以直线2l 横截距为-1，所以D 错误. 故选：D. 4. 【答案】C【详解】试题分析：∵抛物线22y px =，∴准线为2Px =−，∵点0(2,)P y 到其准线的距离为4，∴242P−−=， ∴4p =，∴抛物线的标准方程为28y x =.考点：1.抛物线的标准方程；2.抛物线的准线方程；3.点到直线的距离. 5. 【答案】D【分析】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A ，B ，易得12AF AB BF c ===，1290F AF ∠=︒，由此建立a ，c 的齐次式，进而可得结果.【详解】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A ，B ，易得12AF AB BF c ===，1290F AF ∠=︒，∴2AF =，∴)1212AF AF c a +==，∴1c e a===，故选：D. 6. 【答案】C【分析】将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.【详解】由221x y x y +=+得,221y x y x −=−,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫−=−− ⎪⎝⎭, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221x y x y +=+得,222212x y xy +++,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不. 结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D −,四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”. 7. 【答案】A【分析】由题意易得椭圆的半焦距2c =，然后求得点(2,0)B 关于直线:4l y x =+的对称点为(),B x y '''，由2a A B '=，此时椭圆C 的离心率取得最大值求解.【详解】圆224x y +=与x 轴的交点分别为(2,0)−，(2,0)，不妨令点(2,0)A −，(2,0)B ，∴椭圆的半焦距2c =．设点(2,0)A −关于直线:4l y x =+的对称点为(),A x y '''，242212y x y x ''''−⎧=+⎪⎪∴⎨⎪=−⎪+⎩，解得42x y −''=⎧⎨=⎩，(4,2)A '∴−．如图所示：连接A B'交直线l于点P，此时2a有最小值，此时的最小值为A B'==当长轴长最小时，椭圆C的离心率取得最大值，即max2210cea===．又(0,1)e ∈，∴椭圆C的离心率e的取值范围为0,10⎛⎝⎦，故选：A8. 【答案】D【分析】A.根据蒙日圆的定义，可求椭圆方程，即可判断；B.根据椭圆方程和圆的方程，结合几何意义，即可判断；C.根据PQ为圆的直径，则点,A B关于原点对称，利用点在椭圆上，证明1234k k=−；D.利用圆的几何性质，确定MPQ面积的最大值.【详解】A.因为椭圆()22:1044x yC mm+=<<的蒙日圆为22:7E x y+=，根据蒙日圆的定义，47m+=，得3m=，所以椭圆22:143x yC+=，24a=，23b=，则21c=，所以椭圆的离心率12cea==，故A正确；B.点M是圆22:7E x y+=上的动点，椭圆的右焦点()10F，，则MF1，故B正确；C.根据蒙日圆的定义可知MP MQ⊥，则PQ为圆E的直径,PQ与椭圆交于两点,A B，点,A B关于原点对称，设()11,A x y，()11,B x y−−，()00,N x y，()2222010101012222010101013344AN BNx xy y y y y yk kx x x x x x x x−−−+−⋅=⋅===−−+−−，故C正确；D.因为PQ为圆的直径，PQ=，当点M到直线PQ的距离为r=PQM的面积最大，此时最大值是172⨯=，故D错误.故选：D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 【答案】20x y±=【分析】先根据题意求a，进而可得渐近线方程.【详解】由题意可得：1,b c ==，且双曲线的焦点在x轴上，则2a ==，故双曲线C 的渐近线方程为12b y x x a =±=±，即20x y ±=. 故答案为：20x y ±=. 10. 【答案】15565【分析】根据题意由a -c =439+6371，a +c =2384+6371，求得2a 即可. 【详解】设椭圆的长半轴长为a ，半焦距为c ，由题意得：a -c =439+6371，a +c =2384+6371, 两式相加得：2a =15565，因为椭圆上任意两点间的距离的最大值为长轴长2a ,所以卫星运行轨道是上任意两点间的距离的最大值为15565，故答案为：15565 11. 【答案】9【分析】求得双曲线的a ，结合双曲线的定义和三角形的周长，解方程可得所求值．【详解】解：双曲线221916x y −=，得a ＝3，因为A ，B 均在双曲线的左支上，所以21212,2AF AF a BF BF a −=−=，则△ABF 2的周长为()()22112224AF BF AB AF a BF a AB AB a ++=++++=+，所以2|AB |+4×3＝30，所以9AB =．故答案为：9． 12. 【答案】12−【分析】设出A ，B 两点的坐标，代入椭圆方程作差后化简得出1212121214y y y y x x x x −+⋅=−−+，再通过中点坐标与两端点坐标关系结合已知得出121242x x y y +=⎧⎨+=⎩，代入即可解出答案.【详解】设A ，B 两点的坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 与椭圆22416+=x y 相交于A ，B 两点，22112222416416x y x y ⎧+=∴⎨+=⎩，作差得：22221212440x x y y −+−=，即()()()()1212121240x x x x y y y y −++−+=，即1212121214y y y y x x x x −+⋅=−−+，点()2,1M 在椭圆内，且为弦AB 的中点，121242x x y y +=⎧∴⎨+=⎩，代入1212121214y y y y x x x x −+⋅=−−+解得：121212y y x x −=−−，故直线l 的斜率121212AB y y k x x −==−−.故答案为：12−. 13. 【答案】8【分析】根据椭圆定义判断出轨迹，分析条件结合椭圆定义可知当直线x =m 过右焦点时，三角形ADE 周长最大. 【详解】()214x −=，∴(),M x y 到定点(1,0)，(1,0)−的距离和等于常数42>， ∴M 点的轨迹C 为椭圆，且2,1a c ==故其方程为22143x y +=，则()1,0A −为左焦点，因为直线x m =与C 交于D ，E ，则22m <<，不妨设D 在x 轴上方，E 在x 轴下方，设椭圆右焦点为A'，连接DA'，EA'，因为DA'＋EA'≥DE ，所以DA ＋EA ＋DA'＋EA'≥DA ＋EA ＋DE ，即4a ≥DA ＋EA ＋DE ，所以△ADE 的周长48a ≤=，当1m =时取得最大值8，故答案为：8 14. 【答案】3−或4【分析】分点M 在抛物线内部、外部讨论，利用抛物线的定义，将PF 转化为P 到准线的距离即可求解．【详解】①若M 在抛物线内部，如下图，过P 作PN 垂直准线，由抛物线的定义有，PF PN =，所以当M ，P ，N 三点共线时， PM PF +最小，因为准线方程为=1x −，所以()15−−=a ，解得4a =；②若M 在抛物线的外部，则当M ，P ，F 共线，且P 在M ，F 之间时，PM PF +最小，()1,0F ，则PM PF +的最小值为5FM ==，解得3a =−或5a =，由于5a =时，M 在抛物线的内部，所以舍去，综上，3a =−或4．故答案为：3−或4．三、解答题（本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）15. 【答案】（1）()2,3；（2）32120x y +−=【分析】（1）将直线l 的方程变形，列出方程组即可求解；（2）利用直线的截距式方程设出直线l 的方程，根据（1）的结论及基本不等式，结合三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】由题意，直线l 的方程可化为()250x a x y −++−=，联立方程组2050x x y −=⎧⎨+−=⎩解得23x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 过的定点()2,3P ．【小问2详解】设直线1(0,0)x y a b a b+=>> ，则,0,0,A a B b ，由（1）知，直线l 过的定点()2,3P ，可得231a b +=，因为0,0a b >>，所以231a b =+≥24ab ≥，当且仅当23a b =且231a b+=即4,6a b ==时，等号成立，所以AOB 面积为1112412222S a b ab ==≥⨯= ，此时对应的直线方程为146x y +=，即32120x y +−=． 16. 【答案】（1）圆C 的标准方程为()()22122x y −+=+，直线l 的一般方程为10x y +−=；（2）30x y −−=【分析】（1）将点P 的坐标代入圆C 的方程，求出实数a 的值，可得出圆C 的标准方程，求出直线PC 的斜率，由圆的几何性质可得PC l ⊥，可求得直线l 的斜率，利用点斜式可得出直线l 的方程，化为一般式即可；（2）分析可知直线m 过圆心，求出直线m 的斜率，利用点斜式可得出直线m 的方程.【小问1详解】解：把点()2,1P −代入圆C 的方程，可得412430a ++−+=，解得2a =−，∴得C 的方程为222430x y x y +−++=，即()()22122x y −+=+，圆心为()1,2C −，所以，直线PC 的斜率为12121PC k −+==−，由圆的几何性质可知PC l ⊥，则直线l 的斜率为1−，∴直线l 的方程为()12y x +=−−，即10x y +−=.【小问2详解】解：由（1）可知，圆C 的直径为m 经过圆心()1,2C −，且直线PC 的斜率为1PC k =，∴直线m 的方程为12y x +=−，即30x y −−=．17. 【答案】（1）26x y =（2）证明见解析【分析】（1）方法一：设动点(),P x y112y =++求解；方法二：由题意得到动点P 到点30,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离与它到直线3:2l y =−的距离相等．利用抛物线的定义求解. （2）设直线l 的方程为32y kx =+，与抛物线方程联立，结合韦达定理证明. 【小问1详解】解：（方法一）设动点(),P x y()112y =++*．若1y ≥−，则()*32y =+，两边平方，并化简可得26x y =；若1y <−，则()*12y =−−，两边平方，并化简可得242x y =−，显然不成立．所以动点P 的轨迹C 的方程为26x y =．（方法二）由动点P 到点30,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离比它到直线:1l y =−的距离大12，知动点P 到点30,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离与它到直线3:2l y =−的距离相等．由抛物线的定义知，动点P 的轨迹C 的方程为26x y =．【小问2详解】设直线l 的方程为32y kx =+，由23,26,y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消y 整理得2690x kx −−=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则126x x k +=，129x x =−，所以21263y y k +=+，1294y y =．所以()121212121212331111333933222422y y y y AT BT y y y y y y y y +++++=+==⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()22226666293999363424k k k k ++===++⨯++，所以11AT BT+为定值，得证． 18. 【答案】（1）2212y x +=；（2）k =【分析】（1）由题意得到22212c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解出即可. （2）AB 的方程为1y kx =+，联立椭圆方程得()222210k x kx ++−=，设()()1122,,,A x y B x y ,得到两根之和式，设()00,C x y ,根据OC OA OB =+，从而0120122224,22k x x x y y y k k −=+==+=++，结合其在椭圆上得到()()22222816222k k k +=++，解出即可.【小问1详解】由题设,2221c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得1a b ==.所以椭圆E 的方程为2212y x +=. 【小问2详解】直线AB 的方程为1y kx =+.由221,22y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()222210k x kx ++−= 设()()1122,,,A x y B x y , 则()1212122224,222k x x y y k x x k k −+=+=++=++. 因为ABC 与ABO 的面积相等,所以点C 和点O 到直线AB 的距离相等. 所以M 为线段OC 的中点,即四边形OACB 为平行四边形.设()00,C x y , 则OC OA OB =+. 所以0120122224,22k x x x y y y k k −=+==+=++.将上述两式代入220022x y +=，得()()22222816222k k k +=++.解得k = 【点睛】关键点睛：本题第二问得到两根之和式()1212122224,222k x x y y k x x k k −+=+=++=++，通过面积相等则得到M 为线段OC 的中点，则M 为线段OC 的中点，利用向量加法得到OC OA OB =+，从而用k 表示出C 点坐标，最后结合其在椭圆上，代入椭圆方程即可.。

福建师大附中2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(解析版)

福建师大附中2024-2025学年第一学期高二第一次月考数学试卷一、单选题（每小题5分，共40分）1. 若角α的终边上一点的坐标为(11)−，，则cos α=( )A. 1−B.C.D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.【详解】∵角α的终边上一点的坐标为(11)−，，它与原点的距离r=，∴cos x r α==，故选：C.2. 下列函数中，在区间()1,2上为增函数的是 A. 1y x=B. y x =C. 21y x =−+D. 243y x x =−+【答案】B 【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性判断出各选项中函数在区间()1,2上的单调性，可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，函数1y x=在区间()1,2上为减函数；对于B 选项，当()1,2x ∈时，y x =，则函数y x =在区间()1,2上为增函数；对于C 选项，函数21y x =−+在区间()1,2上为减函数；对于D 选项，二次函数243y x x =−+在区间()1,2上为减函数. 故选B.【点睛】本题考查基本初等函数在区间上的单调性的判断，熟悉一次、二次、反比例函数的单调性是解题的关键，考查推理能力，属于基础题.3. 为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（）A. 甲班众数小于乙班众数B. 乙班成绩的75百分位数为79C. 甲班的中位数为74D. 甲班平均数大于乙班平均数估计值【答案】D 【解析】【分析】根据已知数据图，判断A ；根据频率分布直方图计算乙班成绩的75百分位数，判断B ；求出甲班的中位数，判断C ；求出两个班级的平均分，即可判断D.【详解】由甲、乙两个班级学生的物理成绩的数据图可知甲班众数为79，由频率分布直方图无法准确得出乙班众数，A 错误；对于乙班物理成绩的频率分布直方图，前三个矩形的面积之和为(0.0200.0250.030)100.75++×=，故乙班成绩的75百分位数为80，由甲班物理成绩数据图可知，小于79分的数据有9个，79分的数据有6个，故甲班的中位数为79，C 错误；甲班平均数57258596768269279687882899874.820x ×++++×+×+×++×++=甲，乙班平均数估计值为10550.02650.025750.03+850.02950.00571.57= 4.8x =×+×+××+×=<乙（），即甲班平均数大于乙班平均数估计值，D 正确，故选：D 4.的直三棱柱111ABC A B C −中，ABC 为等边三角形，且ABC的外接圆半径为） A. 12π B. 8π C. 6π D. 3π【答案】A为【解析】【分析】由棱柱体积求得棱柱的高，然后求得外接球的半径，得表面积．【详解】设ABC 的边长为a ，由ABC可得2πsin3a =，故a =则ABC的面积2S.可得11S AA AA ⋅==1AA =，设三棱柱外接球的半径为R，则2221723233AA R =+=+=，故该三棱柱外接球的表面积为24π12πR =. 故选：A ．5. 已知函数()()()sin 20f x x ϕπϕ=+−<<，将()f x 的图象向左平移3π个单位长度后所得的函数图象关于y 轴对称，则关于函数()f x ，下列命题正确的是 A. 函数()f x 在区间,63ππ−上有最小值 B. 函数()f x 的一条对称轴为12x π=C. 函数()f x 在区间,63ππ−上单调递增 D. 函数()f x 的一个对称点为,03π【答案】C 【解析】【分析】根据平移关系求出函数的解析式，结合函数的奇偶性求出φ的值，利用三角函数的性质进行判断即可．【详解】将()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到2[2]233y sin x sin x ππϕϕ=++=++（）（），此时函数为偶函数，则232k k Z ππϕπ+=+∈，，即06k k Z πϕππϕ=−+∈− ，，＜＜，∴当0k =时，6，πϕ=−则26f x sin x π=−（）（），当63x ππ−＜＜时22233262x x πππππ−−−，＜＜，＜＜，则此时函数()f x 在区间,63ππ − 上单调递增，且()f x 在区间,63ππ−上没有最小值，故C 正确，故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数性质判断，结合三角函数的平移关系求出函数的解析式是解决本题的关键．6. 如图，在三棱锥P ABC −中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，AC =6BC =，D ，E ，F ，G 分别为PB ，AB ，AC ，PC 的中点，Q 为DE 上一点，AQ GQ ⊥，当AQG 的面积取得最小值时，三棱锥Q AEF −外接球的表面积为（）A. 24πB. 28πC. 32πD. 36π【答案】B 【解析】【分析】连接GF ，GD ，根据中位线性质得到线线平行关系，再利用线面垂直的性质得到线线垂直，设EQ x =，DQ y =，根据222AQ GQ AG +=得到()2221697x y x y +++=++，得到12AQG S AQ GQ =⋅= ，再根据基本不等式即可求出最值，再转化为长方体外接球问题即可.【详解】连接GF ，GD ，因为D ，E ，F ，G 分别为PB ，AB ，AC ，PC 的中点，的所以2//,11,//,2GF GF PA PA DE PA PA DE ==，1//,2GD BC GD BC =，1//,2EF BC EF BC =，则//GF DE ，因为PA ⊥平面ABC ，所以GF ⊥平面ABC ，DE ⊥平面ABC ，AE ⊂ 平面ABC ，所以DE AE ⊥，所以DE GD ⊥，AF ⊂ 平面ABC ，所以GF AF ⊥．设EQ x =，DQ y =，则AQ ，GQ ，AG ==，因为AQ GQ ⊥，所以222AQ GQ AG +=，即()2221697x y x y +++=++，整理得9xy =，所以12AQGS AQ GQ =⋅= 由基本不等式得2216924216y x xy +≥=，当且仅当43y x =，即x =y =所以当AQC S 取得最小值时，EQ =，DQ =．因为AF EF ⊥，QE ⊥平面AEF ，所以可将三棱锥Q AEF −补形为如图所示的长方体，则三棱锥Q AEF −的外接球即该长方体的外接球，易知该长方体外接球的直径为AQ =，故三棱锥Q AEF −，故三棱锥Q AEF −外接球的表面积为4π728π×=，故选：B ．【点睛】方法点睛：求解有关三棱锥外接球的问题时，常见方法有两种：一种是补形，解题时要认真分析图形，看能否把三棱锥补形成一个正方体（长方体），若能，则正方体（长方体）的顶点均在外接球的球面上，正方体（长方体）的体对角线为外接球的直径；另一种是直接法，三棱锥中过任意两个面的外接圆圆心的垂线的交点即三棱锥外接球的球心．7. 、，外接球表面积为20π，则正四棱台侧棱与底面所成角的正切值为（） A. 1 B. 3 C. 1或3 D.12或32【答案】C 【解析】【分析】在正四棱台1111ABCD A B C D −中，取截面11AAC C ，设正方形ABCD 、1111D C B A 的中心分别为O 、1O ，分析可知球心在直线1OO 上，对球心的位置进行分类讨论，求出1OO 的长，利用线面角的定义可求得结果.【详解】在正四棱台1111ABCD A B C D −中，设其上底面为正方形ABCD ，下底面为正方形1111D C B A ，设正方形ABCD 、1111D C B A 的中心分别为O 、1O ，由正四棱台的几何性质可知，1OO ⊥平面1111D C B A ，取截面11AAC C ，则正四棱台的外接球球心E 在直线1O O 上，分以下两种情况讨论： ①E 在AC 、11A C 的同侧，如下图所示：设球E 的半径为R ，则24π20πR =，可得R =由圆的几何性质可知EO AC ⊥，111EO A C ⊥，且2AC ==，11114A C B =，所以，2OE =，11EO ，所以，11211OO EO EO =−=−=，过点A 在平面11AAC C 内作11AF AC ⊥，因为11//AC A C ，11AF A C ⊥，111OO A C ⊥，1//AF OO ∴，则四边形1AOO F 为矩形，且11AF OO ==，11O FAO ==，111211A F AO O F =−=−=，因为1//AF OO ，则AF ⊥平面1111D C B A ，则1AA 与平面1111D C B A 所成角为1AA F ∠，且11tan 1AFAA F A F∠==； ②若球心E 在线段1OO 上，如下图所示：设球E 的半径为R ，则24π20πR =，可得R =由圆的几何性质可知EO AC ⊥，111EO A C ⊥，且2AC ==，11114A C B =，所以，2OE =，11EO ，所以，11213OO EO EO =+=+=，过点A 在平面11AAC C 内作11AF A C ⊥，因为11//AC A C ，11AF A C ⊥，111OO A C ⊥，1//AF OO ∴，则四边形1AOO F 为矩形，且13AF OO ==，11O FAO ==，111211A F AO O F =−=−=，因为1//AF OO ，则AF ⊥平面1111D C B A ，则1AA 与平面1111D C B A 所成角为1AA F ∠，且11tan 3AFAA F A F∠==. 综上所述，正四棱台侧棱与底面所成角的正切值为1或3. 故选：C.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=.8. 在ΔΔΔΔΔΔΔΔ中，BC CA CA AB ⋅=⋅ ，2BA BC += ，且233B ππ≤≤，则BA BC ⋅的取值范围是A [2,1)− B. 2,13C. 22,3 −D. 22,3−【答案】D 【解析】【分析】由BC CA CA AB ⋅=⋅，可以得到()0CA BC BA ⋅+= ，利用平面向量加法的几何意义，可以构造平行四边形BCDA ，根据()0CA BC BA ⋅+=，可知平行四边形BCDA 是菱形，这样在Rt BOA ∆中，可以求出菱形的边长，求出BA BC ⋅的表达式，利用233B ππ≤≤，构造函数，最后求出BA BC ⋅的取值范围.【详解】()0()0BC CA CA AB CA BC AB CA BC BA ⋅=⋅⇒⋅−=⇒⋅+=，以,BC BA 为邻边作平行四.边形BCDA ，如下图：所以BC BA BD += ，因此0CA BD CA BD ⋅=⇒⊥,所以平行四边形BCDA 是菱形，设CA BD O ∩=，2BA BC +=，所以=21BD BO ⇒=，在Rt BOA ∆中， 1cos cos 2BO ABO AB ABC AB ∠=⇒=∠ 212cos ()cos 1cos cos 2ABCy ABC ABC AB A C C B B ∠==⋅∠=⋅∠+∠ ，设211cos [,]3322x ABC ABC x ππ=∠≤∠≤∴∈− ，所以当11[,]22x ∈− 时，'22201(1)x y y x x =⇒=>++，21x y x =+是增函数，故2[2,]3y ∈−，因此本题选D.【点睛】本题考查了平面加法的几何意义、以及平面向量数量积的取值范围问题，利用菱形的性质、余弦的升幂公式、构造函数是解题的关键.二、多选题（每小题6分，共18分）9. 一组样本数据12,,,n x x x …的平均数为()0x x ≠，标准差为s ．另一组样本数据122,,,n n n x x x ++…，的平均数为3x ，标准差为s ．两组数据合成一组新数据1212,,,,,,n n n x x x x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅，新数据的平均数为y ，标准差为s ′，则（） A. 2y x > B. 2y x = C. s s ′> D. s s ′=【答案】BC 【解析】【分析】由平均数与标准差的定义求解判断．【详解】由题意322nx n xyx n+⋅=， 222222121()()()nn k k ns x x x x x x x nx ==−+−++−=−∑，同理222222211(3)9nnkkk n k n ns xn x xnx=+=+=−⋅=−∑∑ 两式相加得22221210nk k ns x nx ==−∑，22222221122(2)8nnkk k k ns x n x x nx ==′=−⋅=−∑∑，所以2222ns ns ′>，s s ′>．故选：BC ．10. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，点E ，F 分别为棱BC 与11D C 的中点，则下列选项正确的有（）A. 1//A B 平面1AECB. EF 与1BC 所成的角为30°C. ⊥EF 平面1B ACD. 平面1AEC 截正方体1111ABCD A B C D −的截面面积为【答案】ABD 【解析】【分析】设点M 为棱11A D 的中点，得到四边形1AEC M 为平行四边形，利用线面平行的判定定理，证得1//A B 平面1AEC ，可判定A 正确；再得到四边形1AEC M 为菱形，求得截面的面积，可判定D 正确；设1CC 的中点为N ，证得1//EN BC ，得到NEF ∠为EF 与1BC 所成的角，利用余弦定理求得cos NEF ∠，可判定B 正确；假设⊥EF 平面1B AC 正确，得到1EF B C ⊥，结合11FC B C ⊥，证得1B C ⊥平面1EFC ，得到11B C EC ⊥，进而判定C 错误．【详解】如图1所示，设点M 为棱11A D 的中点，则1MC AE ，平行且相等，所以四边形1AEC M 为平行四边形，又1//A B ME ，1⊄A B 平面1AEC ，ME ⊂平面1AEC ，所以1//A B 平面1AEC ，故A 正确；由上可知，四边形1AEC M 为平面1AEC 截正方体1111ABCD A B C D −的截面，易得11AE EC C M MA ====，故四边形1AEC M 为菱形，又其对角线EM =，1AC =12××，故D 正确；设1CC 的中点为N ，连接,EN FN ，因为,E N 分别为BC 与1CC 的中点，所以1//EN BC ，故NEF ∠为EF 与1BC 所成的角，又EN FN ==，EF =由余弦定理可得222cos 2EN EF NF NEF EN EF +−∠==⋅ 所以EF 与1BC 所成的角为30°，故B 正确；如图2所示，假设⊥EF 平面1B AC 正确，则1EF B C ⊥，又11FC B C ⊥，1EF FC F ∩=，所以1B C ⊥平面1EFC ，得11B C EC ⊥．在正方形11B C CB 中，11B C EC ⊥，显然不成立，所以假设错误，即⊥EF 平面1B AC 错误，故C 错误．故选：ABD ．11. 已知,a b 均为正数且11a b a b+=+，下列不等式正确的有（）A. 23+≥B.2+≥C. 3a +≥D.23a b a+≥ 【答案】BCD 【解析】【分析】由已知条件可得1ab =，然后逐个分析判断即可【详解】由11a b a b+=+，得a b a b ab ++=，所以()()0ab a b a b +−+=，()(1)0a b ab +−= 因为,a b 均为正数，所以1ab =，对于A ，2≥===，即ab 时取等号，所以A 错误，对于B 2+≥=，即1a b ==时取等号，所以B 正确，对于C ，因为1ab =，所以1a b=，所以13a b +=+≥=，=，即1a b ==时取等号，所以C 正确，对于D ，因为1ab =，所以22223a a ba b b b a ab++==++≥，当且仅当2a b =，即1a b ==时取等号，所以D 正确，故选：BCD三、填空题（每小题5分，共15分）12. 已知1x >−，则41x x ++的最小值为___________. 【答案】3 【解析】【分析】由1x >−可得10x +>，将41x x ++整理为4111++−+x x ，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为1x >−，所以10x +>，所以441111x x x x +=++−++13≥−=，当且仅当411x x +=+，即1x =时取等号，所以41x x ++的最小值为3，故答案为：3【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 13. 已知函数222log ,1()32,1x a x f x x ax a x + =++<， ①若a ＝1，f （x ）的最小值是_____；②若f （x ）恰好有2个零点，则实数a 的取值范围是_____．【答案】 ①. ﹣14 ②. 1(1,][0,)2−−+∞ 【解析】【分析】（1）对分段函数的两段函数分别求最小值，然后比较可得；（2）结合函数性质与解方程()0f x =，可得结论．【详解】（1）由题意22log 1,1()32,1x x f x x x x +≥ =++< ， 1x ≥时，2()log 1f x x =+单调递增，min ()(1)1f x f ==， 1x <时，2231()32()24f x x x x =++=+−，min 31()()24f x f =−=−，所以32x =−时，min 1()4f x =−；（2）若0a =，则22log ,1(),1x x f x x x ≥ = <，恰有两个零点0和1，满足题意，若0a >，则1x ≥时，2()log 0f x x a a =+≥>无零点，但1x <时，22()32f x x ax a =++有两个零点a −和2a −，满足题意，当0a <时，则1x ≥时，2()log f x x a =+是增函数，min ()0f x a =<，有一个零点， 1x <时，由22()320f x x ax a =++=得x a =−或2x a =−，因为()f x 只有两个零点，所以121a a −< −≥，解得112a −<≤−，综上，a 的取值范围是1(1,][0,)2−−+∞ ．【点睛】本题考查求分段函数的最值，由分段函数的零点个数求参数取值范围．解题时需分类讨论，按分段函数的定义分类讨论．14. 如图所示，在△ABC 中，AB =AC =2，AD DC = ，2DE EB =，AE 的延长线交BC 边于点F ，若45AF BC ⋅=− ，则AE AC ⋅= ____.【答案】229【解析】【分析】过点D 做DG AF ,可得16EF AF =，15BF BC =，4155AF AB AC =+ 由45AF BC ⋅=− 可得2cos 3BAC ∠=，可得541()655AE ACAB AC AC ⋅=+⋅ ，代入可得答案. 【详解】解：如图，过点D 做DG AF ,易得：13EF BE DG BD ==,13EF DG =,12DG CD AF AC ==,故12DG AF =,可得：16EF AF =，同理：12BF BE FG ED ==,11FG AD GC CD ==,可得15BF BC =, 1141()5555AF AB BF AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+ ,由45AF BC ⋅=− ，可得22411424()()555555AB AC AC AB AC AB AB AC +⋅−=−+⋅=− , 可得：14244422cos 5555BAC ×−×+××∠=−,可得：2cos 3BAC ∠=， 255412122122()2246655353369AE AC AF AC AB AC AC AB AC AC ⋅=⋅=+⋅=⋅+=×××+×= ,故答案为：229. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积，由题意作出DG AF 是解题的关键.四、解答题（共77分）15. 如图1，在平面四边形PBCD 中，已知BC PB ⊥，PD CD ⊥，6PB =，2BC =，2DP CD =，DA PB ⊥于点A .将PAD △沿AD 折起使得PA ⊥平面ABCD ，如图2，设MD PD λ=（01λ≤≤）.（1）若23λ=，求证：PB //平面MAC ；（2）若直线AM 与平面PCD，求λ的值. 【答案】（1）证明见解析（2）12λ= 【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明；（2）利用空间向量的坐标表示，表示出线面夹角的余弦值即可求解. 【小问1详解】在平面四边形PBCD 中，BC PB ⊥，6PB =，2BC =，所以CP =tan BPC ∠= 又PD CD ⊥，2DP CD =，所以CD =，PD =，1tan 2DPC ∠=，所以()1123tan tan 111123BPD BPC DPC +∠=∠+∠==−×，所以45BPD ∠=°. 所以在Rt PAD △中，易得4PA AD ==. 因为DA PB ⊥，BC PB ⊥，所以//AD BC .在四棱锥P ABCD −中，连接BD ，设BD AC F ∩=，连接MF ，因为23λ=，所以2DMMP =，又2AD DFBC FB==，所以MF PB ∥. 因为MF ⊂平面MAC ，PB ⊄平面MAC ，所以PB ∥平面MAC .【小问2详解】由题意易知AB ，AD ，AP 两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,2,0C ，()0,4,0D ，()0,0,4P ，则()2,2,0CD =− ，()0,4,4PD =−.设平面PCD 法向量为(),,n x y z =，则00n CD n PD ⋅= ⋅=，即220440x y y z −+= −= ，令1x =，得11y z == ，即()1,1,1n = . 由MD PD λ=，得()0,4,4MD λλ=− ，故()0,44,4M λλ−，()0,44,4AM λλ=−.由直线AM 与平面PCD，的得cos ,AM n AM n AM n⋅==，解得12λ=. 16. 如图，直三棱柱111ABC A B C −的体积为1，AB BC ⊥，2AB =，1BC =．（1）求证：11BC A C ；（2）求二面角11B A C B −−的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）法一：由线面垂直证明即可；法二：用空间直角坐标系证明即可；（2）法一：过O 作1OH A C ⊥于H ，连接BH ，由已知得出BHO ∠为二面角11B A C B −−的平面角，求解即可；法二：建立空间直角坐标系求解．【小问1详解】直三棱柱111ABC A B C −的体积为：111121122V AB BC AA AA =×⋅⋅=×××=，则11AA BC ==，四边形11BCC B 为正方形，法一：在直棱柱111ABC A B C −中，1BB ⊥面ABC ，11AB A B ∥，又AB ⊂平面ABC ，则1AB BB ⊥，因为AB BC ⊥，1AB BB ⊥，1BB BC B = ，1,BB BC ⊂平面11BCC B ，所以AB ⊥平面11BCC B ，又1BC⊂平面11BCC B ，所以1AB BC ⊥，因为11AB A B ∥，所以11A B ⊥1BC ，在正方形11BCC B 中，有11BC B C ⊥，因为11BC B C ⊥，11A B ⊥1B C ，1111A B B C B = ，111,A B B C ⊂平面11A CB ，所以1⊥BC 平面11A CB ，又1A C ⊂平面11A CB ，所以11BC A C ．法二：直棱柱111ABC A B C −，1BB ⊥平面ABC ，又AB BC ⊥，以B 为原点，BC ，BA ，1BB 所在直线为x 轴，y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()10,0,1B ，()1,0,0C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C ，1(1,0,1)BC =，1(1,2,1)A C =−− ，11110(2)1(1)0BC A C ⋅=×+×−+×−=，所以11BC A C ．【小问2详解】由（1）得11BC A C ，设11B C BC O = ，在11A B C 中，过O 作1OH A C ⊥于H ，连接BH ，因为1OH A C ⊥，11BC A C ，1,OH BC ⊂平面BHO ，且1OH BC O ∩=，所以1A C ⊥平面BHO ，又BH ⊂平面BHO ，所以1AC BH ⊥，所以BHO ∠为二面角11B A C B −−的平面角，因为11Rt Rt COH CA B ∽△△，111CA CO OH A B =，得OH = 又在Rt BOH中，BO =BH =，cos OH BHO BH ∠=，所以二面角11B A C B −−法二：()0,0,0B ，()10,0,1B ，()C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C ，(1,0,0)BC =，1(0,2,1)BA = ，设平面1BCA 的法向量：1111(,,)n x y z = ，则111111020n BC x n BA y z ⋅== ⋅+ ，取11y =，得1(0,1,2)n =− ，1(1,0,1)B C=−，11(0,2,0)B A = ，设面11B CA 的法向量2222(,,)n x y z = ，则21222112020n B C x z n B A y ⋅=−= ⋅== ，取21x =，得2(1,0,1)n = ，设二面角11B A C B −−的大小为θ，则：121212|||cos ||cos ,|||||n n n n n n θ⋅=<>==因为θ为锐角，所以二面角11B A C B −−17. 如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD=BAD =90°．（Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；．【解析】【详解】分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面ABC ，则AD ⊥BC ．（Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．由几何关系可知∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．计算可得12MNcos DMN DM∠==．则异面直线BC 与MD（Ⅲ）连接CM ．由题意可知CM ⊥平面ABD ．则∠CDM 为直线CD 与平面ABD所成的角．计算可得CMsin CDM CD∠=．即直线CD 与平面ABD．详解：（Ⅰ）证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．（Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt △DAM 中，AM =1，故DMAD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC ．在Rt △DAN 中，AN =1，故DN．在等腰三角形DMN 中，MN =1，可得12cos MN DMN DM ∠==．所以，异面直线BC 与MD（Ⅲ）连接CM ．因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，CMABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ．所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．Rt △CAD 中，CD=4．在Rt △CMD中，sin CM CDM CD ∠=．所以，直线CD 与平面ABD点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．18. 棱柱1111ABCD A B C D −的所有棱长都等于4，60ABC ∠=°，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，160A AC ∠=°.（1）证明：1DB AA ⊥；（2）求二面角1D AA B −−的平面角的余弦值；（3）在直线1CC 上是否存在点P ，使//BP 平面11DA C ？若存在，求出点P 的位置.【答案】（1）证明见解析；（2）35；（3）点P 在1C C 的延长线上且使1C C CP =. 【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合10AA BD ⋅=，即可证得1DB AA ⊥；在（2）分别求得平面1AA D 和平面1AA B 的一个法向量，解向量的夹角公式，即可求解；（3）设1CP CC λ= ，求得BP 的坐标和平面11DA C 的法向量，结合30n BP ⋅= ，求得1λ=−，即可得到结论.【详解】由题意，连接BD 交AC 于O ，则BD AC ⊥，连接1A O ，在1AAO 中，14AA =，2AO =，160AAO ∠=°，∴2221112cos 60AO AA AO AA AO =+−=°⋅22211AO A O AA +=， ∴1A O AO ⊥，由于平面11AA C C ⊥平面ABCD ，所以1A O ⊥底面ABCD ，所以以OB 、OC 、1OA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,2,0A −，()B ，()0,2,0C，()D −，(10,0,A ，（1）由于()BD =−，(10,2,AA =，()2,0AB = ，则10AA BD ⋅= ，∴1BD AA ⊥.（2）设平面1AA D 的法向量()2,,n x y z = ，则21200n AA n AD ⋅= ⋅=，即0y y += + ，取1x =，可得()21n =− ，同理，可得平面1AA B的法向量()11,n = ，所以1212123cos 5n n n n n n ⋅⋅==− ，又由图可知成钝角，所以二面角1D A A B −−的平面角的余弦值是35. （3）假设在直线1CC 上存在点P ，使//BP 平面11DA C ，设1CP CC λ= ，(),,P x y z ，则()(,2,0,2,x y z λ−=，得(0,22,)P λ+，(22,)BP λ−+，设3n ⊥ 平面11DA C ，则31131n A C n DA ⊥ ⊥ ，设()3333,,n x y z = ，得到333200y = +=，不妨取()31,0,1n =− ，又因为//BP 平面11DA C ，则30n BP ⋅= 即0−=得1λ=−.即点P 在1C C 的延长线上且使1C C CP =.【点睛】本题主要考查了空间向量在线面位置关系的判定与证明中的应用，以及直线与平面所成角的求解，其中解答中熟记空间向量与线面位置关系的关系，以及线面角的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19. 已知非空集合A 是由一些函数组成，满足如下性质：①对任意()f x A ∈，()f x 均存在反函数1()f x −，且1()f x A −∈；②对任意()f x A ∈，方程()f x x =均有解；③对任意()f x 、()g x A ∈，若函数()g x 为定义在R 上的一次函数，则(())f g x A ∈.（1）若1()()2x f x =，()23g x x =−，均在集合A 中，求证：函数12()log (23)h x x A =−∈；（2）若函数2()1x a f x x +=+（1x ≥）在集合A 中，求实数a 的取值范围；（3）若集合A 中的函数均为定义在R 上的一次函数，求证：存在一个实数0x ，使得对一切()f x A ∈，均有00()f x x =.【答案】（1）见详解；（2）[]1,3a ∈；（3）见详解；【解析】【分析】（1）由1()()2x f x A =∈，根据性质①可得112()log f x x A −=∈，且存在00x >，使得 1002log x x =，由()23g x x A =−∈，且为一次函数，根据性质③即可证明.（2）由性质②，方程()211x a x x x +=≥+，即a x =在[)1,x ∈+∞上有解，可得1a ≥，变形21()1211x a a f x x x x ++==++−++，[)()1,x ∈+∞.与2的关系分类讨论，利用基本不等式的性质即可求解.（3）任取()1f x ax b =+，()2f x cx d A =+∈，由性质①,0a c ≠，不妨设,1a c ≠，（若1a =，则0b =，()1f x x =），由性质③函数()()()()12g x f f x acx ad b A ==++∈，由性质①：()()1x bc d h x A ac −−+=∈，由性质③：()()()()()1()acx bd b bc d ad b bc d h g x x A ac ac−++−++−+===∈ 由性质②方程：()()ad b bc d x x ac+−++=，可得ad b bc d +=+，即11b d a c =−−，即可得证. 【详解】（1）由1()()2x f x A =∈，根据性质①可得112()log f x x A −=∈，且存在00x >，使得 1002log x x =，由()23g x x A =−∈，且为一次函数，根据性质③可得：()()112()log (23)hx x f g x A −=−=∈.（2）由性质②，方程()211x a x x x +=≥+，即a x =在[)1,x ∈+∞上有解，1a ∴≥，由22111()12111x a x a a f x x x x x +−+++===++−+++[)()1,x ∈+∞,2>，3a >时，112a −>，且()112a f f − =， ∴此时()f x 没有反函数，即不满足性质①.2≤，13a ≤≤时，函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，∴此时()f x 有反函数，即满足性质①.综上：[]1,3a ∈.（3）任取()1f x ax b =+，()2f x cx d A =+∈，由性质①,0a c ≠，不妨设,1a c ≠，（若1a =，则0b =，()1f x x =），由性质③函数()()()()12g x f f x acx ad b A ==++∈，由性质①：()()1x bc d h x A ac −−+=∈，由性质③：()()()()()1()acx bd b bc d ad b bc d h g x x A ac ac−++−++−+===∈ 由性质②方程：()()ad b bc d x x ac+−++=， ∴ad b bc d +=+，即11b d ac =−−， ()1f x x =，可得ax b x +=，1b x a =−, ()2f x x =，可得cx d x +=，1d x c =−, 由此可知：对于任意两个函数()1f x ，()2f x ，存在相同的0x 满足：()()10020f x x f x =，∴存在一个实数0x ，使得对一切()f x A ∈，均有00()f x x =.质，难度较大.。

2025年人教版(2024)高二数学上册月考试卷含答案

2025年人教版（2024）高二数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、设正实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于A.B.C.D.2、如图，已知二面角α－PQ－β的大小为60°，点C为棱PQ上一点，A∈β，AC＝2，∠ACP＝30°，则点A到平面α的距离为( )A. 1B.C.D.3、【题文】已知等差数列的前三项为则此数列的通项公式为（）A.B.C.D.4、已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（）A. m⊂α，n∥m⇒n∥αB. m⊂α，n⊥m⇒n⊥αC. m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥βD. n⊂β，n⊥α⇒α⊥β5、复数i(i+1)等于()A. 1+iB. 鈭�1鈭�iC. 1鈭�iD. 鈭�1+i评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)6、将9个大小相同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不小于该盒子的编号数，一共有____种不同的放法．7、设A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要条件，D是B的充分条件，那么A是B的____条件．8、已知：如图，一个圆的两条弦AB和CE相交于点D，BE=2，BC=2BD=2∠1=∠2则EC=____，∠CBE=____．9、【题文】若则的值是 ___________.10、【题文】已知则____.11、已知函数f（x）是R上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（2015）+f（-2014）的值为 ______ ．12、若（x+i）i=-1+2i（x∈R），则x= ______ ．13、如果px>2qx2>4那么p是q的 ______.(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空)14、双曲线x29鈭�y216=1的离心率等于 ______ ．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？19、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）21、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、计算题(共2题，共12分)22、已知a为实数，求导数23、解不等式|x﹣2|+|x﹣4|＞6．评卷人得分五、综合题(共2题，共16分)24、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．25、已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、A【分析】【解析】试题分析：结合选项，假设a、b、c都小于即a< b< c<则a+b+c<1与已知a+b+c=1矛盾。

2024年统编版高二数学上册月考试卷含答案

2024年统编版高二数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、已知等比数列的前和为如果且与的等差中项为则= A．29 B．31 C．33 D．352、【题文】已知实数执行如右图所示的程序框图，则输出的不小于55的概率。

为【】A.B.C.D.3、【题文】已知sin(+α)=则sin(α－)值为()A.B. —C.D. —4、【题文】事项一：某社区有500位住户，其中高、中低收入的家庭分别为50户、300户、150户。

为了解社会购买力的某项指标，欲从中抽取一个容量为100户的样本，事项二：为参加某项社区活动，将从10个工作人员中抽出3人。

对以上要做的两个事项，考虑采用的抽样方法为：①随机抽样法；②系统抽样法；③分层抽样法。

按事项的前后顺序，应采用的正确方法为（）A. ①②B. ②③C. ③①D. ③②5、已知为双曲线C：的左右焦点，点P在C上，则P到x轴的距离为（）A.B.C.D.6、已知数列{a n}中，若a1= a n=（n≥2，n∈N+），则a2017等于（）A. 1B. -1C.D. 27、已知点（x，y）满足不等式组则的最小值为（）A. 3B.C.D.8、若圆台的上、下底面半径的比为3：5，则它的中截面分圆台上下两部分面积之比为（）A. 3：5B. 9：25C. 5：D. 7：99、下列叙述中不正确的是（）A. 若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B. 每一条直线都对应唯一一个倾斜角C. 与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°D. 若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)10、求值：=____．11、已知抛物线y2=4x上一点到焦点的距离为5，这点的坐标为____．12、某项测试成绩满分10分，随机抽取若干名学生参加测试，得分统计如图所示，则得分的平均数为=____．13、【题文】已知数列成等差数列,其前项和为若则的余弦值为____.14、【题文】已知||＝1，||＝2，||＝2，则||＝____．15、已知椭圆的中心、左焦点、左顶点、左准线与x轴的交点依次为O，F，G，H，则取得最大值时a的值为______ ．16、若z=1+i，且（x+z）4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，（a i∈C，i=0，1，2，3，4）则a2= ______ ．17、设变量xy满足约束条件{2x+y鈮�44x鈭�y鈮�鈭�1x+2y鈮�2则目标函数z=3x鈭�y的取值范围是______．18、已知函数f(x)=|x鈭�a|g(x)=1x若方程f(x)=g(x)鈭�a有且只有一个实数根，则实数a的取值集合为 ______ ．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）22、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）23、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）24、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、计算题(共1题，共6分)25、已知f（x）=∫1x（4t3﹣）dt，求f（1﹣i）•f（i）．评卷人得分五、综合题(共2题，共18分)26、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(a b0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为27、已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（a n）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、B【分析】考查等比数列的通项公式、等差中项的概念及运算因为所以即【解析】【答案】B2、A【解析】本试题主要考查了解决程序框图中的循环结构时；一般采用先根据框图的流程写出前几次循环的结果，根据结果找规律．设实数x∈[0，8]，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3经过第三次循环得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=3此时输出x输出的值为8x+7,令8x+7≥55，得x≥6由几何概型得到输出的x不小于55的概率为=故选A．解决该试题的关键是由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于54得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于55的概率。

2024-2025学年四川省德阳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题(含解析)

2024-2025学年四川省德阳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题考试范围：必修二第十章、选修第一册第一章；考试注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1. 已知集合，，则（）{}2,0,1,3A =-{}0,2,3B =A B = A.B.C.D.{}2,1-{}2,1,2-{}0,3{}2,0,1,2,3-2.在复平面内对应的点位于（）2(2i)4z =+-A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为（）A. 5、10、15B. 3、9、18C. 3、10、17D. 5、9、164. 已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（）A. 6B. 7C. 8D. 95. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，取到的2个数之和为偶数的概率为（）A. B. C. D. 132312256. 已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（）a b 1a =2b = 60a b = ,2a b- A. C. D. 1247. 已知空间向量，空间向量满足且，则＝（）()1,2,3m =n //m n u r r7⋅= m n n A. B.13,1,22⎛⎫⎪⎝⎭13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭C. D. 31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭31,1,22⎛⎫⎪⎝⎭8. 已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C 到平面AB 1D 1，则直线与平面所成角的余弦值为（）1B D 11AB D二、多选题9. 设是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（）,A B A. 若A 和互斥，则A 和一定相互独立B B B. 若事件，则A B ⊆()()P A P B ≤C. 若A 和相互独立，则A 和一定不互斥B B D.不一定成立()()()P A B P A P B<+10.如图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足平,,,,A B C M N //MN 面的是（）ABC A .B.C. D.11. 如图，在平行四边形ABCD 中，，，，沿对角线BD 将△ABD 1AB =2AD =60A ∠=︒折起到△PBD 的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，连接PC ，下列说法正确的是（）A .平面PCD ⊥平面PBDB. 三棱锥外接球的表面积为P BCD -10πC. PD 与平面PBCD. 若点M 在线段PD 上（包含端点），则△BCM第Ⅱ卷（选择题）三、填空题12. 如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，现分1413别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是________．13. 已知正方体的棱长为，点是的中点，则点A 到直线的距1111ABCD A B C D -2E 11A B BE 离是__________．14. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD ，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），2PA AB ==,E F ,CD CP T PAB 若平面，则点的轨迹的长度为__________.CT ∥AEF T 四、解答题15. 《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽[)80,90[]90,100样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的A =测试成绩分别位于和”，求.[)80,90[]90,100()P A 16. 在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．（1）证明：B 1D ⊥平面ABD ；（2）证明：平面EGF ∥平面ABD .17. 已知甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立．（1）甲乙两人同时命中目标的概率；（2）甲乙两人中至少有1人命中目标的概率．18. 如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点在底面圆周上，为垂足.E ,AF DE F ⊥（1）求证.AF DB⊥（2）当直线与平面所成角的正切值为2时，DE ABE ①求平面与平面夹角的余弦值；EDC DCB ②求点到平面的距离.B CDE 19. 图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，ABCD AB CD ∥90D Ð=°ABCE 并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，60BCE ∠=︒BE BCE C 1C 1AC =如图2.（1）求证：平面平面；1BC E ⊥ABED （2）在棱上是否存在点，使得到平面，若存在，则的1DC P P 1ABC 1DP PC 值；（3）在（2）的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值.EP 1ABC2024-2025学年四川省德阳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题考试范围：必修二第十章、选修第一册第一章；考试注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1. 已知集合，，则（）{}2,0,1,3A =-{}0,2,3B =A B = A .B.C.D.{}2,1-{}2,1,2-{}0,3{}2,0,1,2,3-【正确答案】C【分析】运用交集性质即可得.【详解】由，，则.{}2,0,1,3A =-{}0,2,3B ={}0,3A B ⋂=故选：C.2.在复平面内对应的点位于（）2(2i)4z =+-A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【正确答案】B【分析】将复数化为标准形式再根据复数的几何意义即可确定.【详解】，2(2i)414i z =+-=-+则在复平面内对应的点位于第二象限，z 故选：B.3. 某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为（）A. 5、10、15B. 3、9、18C. 3、10、17D. 5、9、16【正确答案】B【分析】利用分层抽样的定义求出对应人数，得到答案.【详解】抽取的高级职称人数为，中级职称人数为，一般职员的15303150⨯=45309150⨯=人数为，903018150⨯=故抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为3、9、18.故选：B4. 已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（）A .6B. 7C. 8D. 9【正确答案】C【分析】借助百分位数定义计算即可得.【详解】由，故这组数据的中位数为.60.53⨯=7982+=故选：C.5. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，取到的2个数之和为偶数的概率为（）A. B. C. D. 13231225【正确答案】D【分析】应用列举法求古典概型的概率即可.【详解】任取2个不同数可能有、、、、、、、(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)、、，共10种情况，(3,4)(3,5)(4,5)其中和为偶数的情况有、、、，共4种情况，(1,3)(1,5)(2,4)(3,5)所以取到的2个数之和为偶数的概率为.42105=故选：D6. 已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（）a b 1a =2b = 60a b = ,2a b- A. C. D. 124【正确答案】C【分析】根据向量的模长公式即可求解.【详解】因为2222222(2)4444cos a b a b a a b b a a b a b b-=-=-⋅+=-+ ,，所以．14412442=-⨯⨯⨯+=22a b -= 故选:C7. 已知空间向量，空间向量满足且，则＝（）()1,2,3m =n //m n u r r7⋅= m n n A. B.13,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭C.D. 31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭31,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可.【详解】∵，且空间向量满足，()1,2,3m =n //m n u r r ∴可设，(),2,3n m λλλλ==又，∴，得．7⋅= m n 1233147λλλλ⨯+⨯+⨯==12λ=∴，故A 正确.113,1,222n m ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 故选：A.8. 已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C 到平面AB 1D 1，则直线与平面所成角的余弦值为（）1B D 11AB D【正确答案】A【分析】先由等面积法求得的长，再以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1AA 1A ，运用线面角的向量求解方法可得答案．1A xyz -【详解】如图，连接交于点，过点作于，11AC 11BD O C CH AO ⊥H 则平面，则，CH ⊥11ABD CH =设，1AA a =则，AO CO AC ===则根据三角形面积得，1122AOC S AO CH AC ∆=⨯⨯=⨯代入解得．a=以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．1A 1A xyz -则，1111(2,0,0),(0,2,0),(0,2,(2,0,A B D D AD AB =-=-，1(2,2,B D =-设平面的法向量为，，，11AB D (n x =y )z则，即，令，得．1100n AD n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩2020y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩x=n =，111cos ,||||B D n B D n B D n ⋅〈〉==所以直线与平面1B D 1111D C B A 故选：．A二、多选题9. 设是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（）,A B A. 若A 和互斥，则A 和一定相互独立B B B. 若事件，则A B ⊆()()P A P B ≤C. 若A 和相互独立，则A 和一定不互斥B B D.不一定成立()()()P A B P A P B <+ 【正确答案】BC【分析】对于AC ：根据互斥事件和独立事件分析判断即可；对于B ：根据事件间关系分析判断即可；对于D ：举反例说明即可.【详解】由题意可知：，()()0,0P A P B >>对于选项A ：若A 和互斥，则，B ()0P AB =显然，所以A 和一定不相互独立，故A 错误；()()()P AB P A P B ≠B 对于选项B ：若事件，则，故B 正确；A B ⊆()()P A P B ≤对于选项C ：若A 和相互独立，则，B ()()()0P AB P A P B =>所以A 和一定不互斥，故C 正确；B 对于选项D ：因为，()()()()P A B P A P B P AB =+- 若A 和互斥，则，则，故D 错误；B ()0P AB =()()()P A B P A P B =+ 故选：BC.10.如图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足平,,,,A B C M N //MN 面的是（）ABCA. B.C.D.【正确答案】ACD【分析】结合题目条件，根据线面平行的判断定理，构造线线平行，证明线面平行.【详解】对A ：如图：连接，因为为正方体棱的中点，所以，又，所以，EF ,M N //MN EF //EF AC //MN AC 平面，平面，所以平面.故A 正确；AC ⊂ABC MN ⊄ABC //MN ABC对B ：如图：因为是正方体棱的中点，所以，，，,,,,A B C M N //MN GH //BC EF //GH EF 所以，//BC MN 同理：，.//AB DN //AM CD 所以5点共面，所以平面不成立.故B 错误；,,,,A B C M N //MN ABC 对C ：如图：因为是正方体棱的中点，所以，，所以.,B C //BC EF //MN EF //BC MN 平面，平面，所以平面.故C 正确；⊂BC ABC MN ⊄ABC //MN ABC 对D ：如图：因为为正方体棱的中点，连接交于，连接，,.B C M ME AC F BF 则为的中位线，所以，BF MNE //BF MN 平面，平面，所以平面.故D 正确.BF ⊂ABC MN ⊄ABC //MN ABC故选：ACD11. 如图，在平行四边形ABCD 中，，，，沿对角线BD 将△ABD 1AB =2AD =60A ∠=︒折起到△PBD 的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，连接PC ，下列说法正确的是（）A. 平面PCD ⊥平面PBDB. 三棱锥外接球的表面积为P BCD -10πC. PD 与平面PBCD. 若点M 在线段PD 上（包含端点），则△BCM【正确答案】ACD【分析】结合线线垂直，线面垂直与面面垂直的相互转化关系检验A,根据外接球的球心位置即可结合三角形的边角关系求解半径，可判断B,结合空间直角坐标系及空间角及空间点到直线的距离公式检验．CD 【详解】中，，，，BCD △1CD =2BC =60A ∠=︒所以，故，所以，BD =222BD CD BC +=BD CD ⊥因为平面平面,且平面平面，又，平面PBD ⊥BCD PBD BCD BD =BD CD ⊥CD ⊂BCD所以平面，平面,所以平面平面，故A 正确；CD ⊥PBD CD ⊂PCD PCD ⊥BPD 取的中点为,中点为,过作,由平面平面,BC N PB Q N 12ON //PB,ON PB=PBD ⊥BCD 且平面平面，又,平面,故平面,因此PBD BCD BD =BD PB ⊥PB ⊂PBD PB ⊥BCD 平面,由于为直角三角形，且为斜边中点，所以,又ON ⊥BCD BCD △N OB OC OD ==,所以,因此,因此为三棱锥12ON //PB,ON PB=QB ON ,BQ //ON =OP OB =O外接球的球心，且半径为,故球的表面积为P BCD-OB ，故B 错误，54π=5π4´以为原点，联立如图所示的空间直角坐标系，则，D B 0，，，1，，0，，0)(0C 0)P 1)因为，0，，，1，，,(0BP = 1)(BC =0))01DP ,= 设平面的法向量为，PBC (),,mx y z =所以，取0000zm BP y m BC ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩x =)30m ,= 所以，故PD 与平面PBC，故cos ,||||m DP m DP m DP⋅<>===C 正确，因为在线段上，设，0，，则，0，，MPD M )a MB =-)a -所以点到的距离，M BCd ===当时，，此时面积取得最小值，D 正37a =d MBC ∆12BC =确．故选：ACD ．第Ⅱ卷（选择题）三、填空题12. 如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，现分1413别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是________．【正确答案】112【分析】根据相互独立事件概率乘法公式求解．【详解】从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，1413现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率．1114312P =⨯=故．11213. 已知正方体的棱长为，点是的中点，则点A 到直线的距1111ABCD A B C D -2E 11A B BE 离是__________．【分析】以D 为原点，以的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标1,,DA DC DD系，利用点到直线的向量公式可得.【详解】以D 为原点，以的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标1,,DA DC DD 系.则，()()()2,0,0,2,2,0,2,1,2A B E 所以，()()0,2,0,0,1,2BA BE =-=-记与同向的单位向量为，则，BE u0,u ⎛= ⎝所以，点A 到直线BE 的距离.d ===14. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD ，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），2PA AB ==,E F ,CD CP T PAB 若平面，则点的轨迹的长度为__________.CT ∥AEF T【分析】记的中点为，点的轨迹与交于点，则平面平面，建AB G T PB H //CHG AEF 立空间直角坐标系，利用垂直于平面，的法向量确定点的位置，利用向量即可CHAEF H 得解.【详解】由题知，两两垂直，,,AB AD AP 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，A ,,AB AD AP ,,x y z 记的中点为，连接，AB G CG因为为正方形，为中点，所以，且，ABCD E CD //AG CE AG CE =所以为平行四边形，所以，AGCE //CG AE 又平面，平面，所以平面，CG ⊄AEF AE ⊂AEF //CG AEF 记点的轨迹与交于点，由题知平面，T PB H //CH AEF 因为是平面内的相交直线，所以平面平面，,CH CG CHG //CHG AEF 所以即为点的轨迹，GH T 因为，()()()()()()0,0,0,1,2,0,1,1,1,2,2,0,0,0,2,2,0,0A E F C P B 所以，()()()()2,0,2,2,2,2,1,2,0,1,1,1PB CP AE AF =-=--==设，PH PB λ= 则，()()()2,2,22,0,222,2,22CH CP PH CP PB λλλλ=+=+=--+-=---设为平面的法向量，(),,n x y z =AEF 则，令得，200AE n x y AF n x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 1y =()2,1,1n =-因为，所以，CH n ⊥()2222220λλ---+-=解得，则，又23λ=22,2,33CH ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ()1,2,0GC AE == 所以，()22121,2,0,2,,0,3333GH GC CH ⎛⎫⎛⎫=+=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以.12,0,33GH ⎛⎫===⎪⎝⎭关键点睛：本题关键在于利用向量垂直确定点的轨迹与的交点位置，然后利用向量运T PB 算求解即可.四、解答题15. 《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽[)80,90[]90,100样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的A =测试成绩分别位于和”，求.[)80,90[]90,100()P A 【正确答案】（1）平均数76.2；第57百分位数79；（2）.()35P A =【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数及百分位数；（2）根据分层抽样确定测试成绩分别位于和的人数，按照古典概型计算即[)80,90[]90,100可.【小问1详解】由频率分布直方图可知测试成绩的平均数.450.04550.06650.2750.3850.24950.1676.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=测试成绩落在区间的频率为，[)40,70()0.0040.0060.02100.3++⨯=落在区间的频率为，[)40,80()0.0040.0060.020.03100.6+++⨯=所以设第57百分位数为a ，有，()0.3700.030.57a +-⨯=解得；79a =【小问2详解】由题知，测试分数位于区间、的人数之比为，[)80,90[)90,1000.2430.162=所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间中3人，用，，表示，在区间[)80,901A 2A 3A 中2人，用，表示，[)90,1001B 2B 从这5人中抽取2人的所有可能情况有：，，，，，，，，()12,A A ()13,A A ()11,A B ()12,A B ()23,A A ()21,A B ()22,A B ()31A B ，，共10种，()32,A B ()12,B B 其中“分别落在区间和”有6种，[)80,90[)90,100所以.()35P A =16. 在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．（1）证明：B 1D ⊥平面ABD ；（2）证明：平面EGF ∥平面ABD .【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法来证得平面.1B D ⊥ABD （2）利用向量法证得平面平面.//EGF ABD 【小问1详解】以B 为坐标原点，BA 、BC 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，设BA ＝a ，则A (a,0,0)，所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，BA BD1B D ·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .1B D BA 1B D BD又BA ∩BD ＝B ，因此B 1D ⊥平面ABD .【小问2详解】由(1)知，E (0,0,3)，G ，F (0,1,4)，则＝，＝(0,1,1)，,1,42a ⎛⎫ ⎪⎝⎭EG u u u r ,1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭EF·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .1B D EG u u u r 1B D EF又EG ∩EF ＝E ，因此B 1D ⊥平面EGF . 结合(1)可知平面EGF ∥平面ABD .17. 已知甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立．（1）甲乙两人同时命中目标的概率；（2）甲乙两人中至少有1人命中目标的概率．【正确答案】（1）0.72（2）0.98【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式即可求出答案.（2）利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式即可求得答案.【小问1详解】因为甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立，设事件A 表示甲命中，事件B 表示乙命中，则,()0.8P A =()0.9P B =所以甲、乙两人同时命中目标的概率,()()()0.80.90.72P AB P A P B ==⨯=【小问2详解】甲乙两人中至少有1人命中目标的对立事件是甲、乙都没击中目标，甲、乙都没击中目标的概率,()()()()()10.810.90.02P AB P A P B ==--=所以甲乙两人中至少有1人命中目标的概率为：()()110.020.98P A B P AB =-=-= 18. 如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点在底面圆周上，为垂足.E ,AF DE F ⊥（1）求证.AF DB⊥（2）当直线与平面所成角的正切值为2时，DE ABE ①求平面与平面夹角的余弦值；EDC DCB ②求点到平面的距离.B CDE 【正确答案】（1）证明见解析（2）；【分析】（1）利用线面垂直得到平面，进而证明即可.AF ⊥BED AF DB ⊥（2）①建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法处理即可.②利用点到平面的距离公式求解即可.【小问1详解】由题意可知底面平面，故，DA ⊥,ABE BE ⊂ABE BE DA ⊥又平面，,,,BE AE AE DE E AE DE ⊥⋂=⊂AED 故平面，由平面，得，BE ⊥AED AF ⊂AED AF BE ⊥又平面，,,,AF DE BE DE E BE DE ⊥⋂=⊂BED 故平面，由平面，可得.AF ⊥BED DB ⊂BED AF DB ⊥【小问2详解】①由题意，以为原点，A 分别以AB ，AD 所在直线为轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，y z并设AD 的长度为2，则，(0,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,0,2)A B C D 因为平面，所以就是直线DE 与平面所成的角，DA ⊥ABE DEA ∠ABE 所以，所以，tan 2DA DEA AE ∠==1AE =所以1,02E ⎫⎪⎪⎭由以上可得，1(0,2,0),,22DC DE ⎫==-⎪⎪⎭ 设平面的法向量为，EDC (,,)n x y z = 则即0,0,n DC n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩20,120,2y x y z =⎧+-=取，得.4x=n = 又是平面的一个法向量，设平面与平面夹角的大小为，(1,0,0)m = BCD EDC DCB θ所以，cos cos m θ= 所以平面与平面.EDC DCB②因为，3,02BE ⎫=-⎪⎪⎭ 所以点到平面的距离.BCDE d 19. 图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，ABCD AB CD ∥90D Ð=°ABCE并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，60BCE ∠=︒BE BCE C 1C 1AC =如图2.（1）求证：平面平面；1BC E ⊥ABED （2）在棱上是否存在点，使得到平面，若存在，则的1DC P P 1ABC 1DP PC 值；（3）在（2）的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值.EP 1ABC 【正确答案】（1）证明见详解（2）存在，11DP PC =（3【分析】（1）作出辅助线，得到⊥BE ，⊥BE ，且，由勾股定理逆AF 1C F 1AF C F ==定理求出AF ⊥，从而证明出线面垂直，面面垂直；1C F （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求解出点P 的坐标，1ABC （3）根据（2）可得，利用空间向量求线面夹角.12EP =u u r 【小问1详解】取BE 的中点F ，连接AF ，，1C F因为四边形ABCE 是边长为4的菱形，并且，60BCE ∠=︒所以均为等边三角形，1,ABE BEC故⊥BE ，⊥BE ，且，AF 1C F 1AF C F ==因为，所以，1AC =22211AF C F AC +=由勾股定理逆定理得：AF ⊥，1C F 又因为，平面ABE ，AF BE F ⋂=,AF BE ⊂所以⊥平面ABED ，1C F 因为平面，1C F ⊂1BEC 所以平面平面ABED ；1BC E ⊥【小问2详解】以F 为坐标原点，FA 所在直线为x 轴，FB 所在直线为y 轴，所在直线为z 轴，建立空1FC 间直角坐标系，则，()()()()()10,0,0,,0,2,0,0,0,,3,0,0,2,0F A B C D E --设，，，(),,P m n t 1DP DC λ= []0,1λ∈即，解得：，()(3,m n t λ-+=,33,m n t λ==-=故，),33,P λ-设平面的法向量为，1ABC (),,v x y z = 则，则，()(12,0,AB AC =-=-1200v AB y v AC ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令，则，故，1x=1y z ==()v =其中1,33,C P λ=-- 则，d 解得：或（舍去），12λ=32所以否存在点，使得到平面，此时.P P 1ABC 11DP PC =【小问3详解】由（2）可得：，()310,2,022EP =---= 设直线与平面所成角为，EP 1ABC θ则，sin cos ,EP θ=所以直线与平面EP 1ABC。

2025年统编版2024高二数学下册月考试卷含答案

2025年统编版2024高二数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、设点P（x，y），则“x=2且y=-1”是“点P在直线l：x+y+1=0上”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2、下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A. y=（x-1）2B. y=x2C. y=（）xD. y=3、曲线y=sinx在x=0处的切线的倾斜角是（）A.B.C.D.4、甲；乙两同学5次综合测评的成绩如茎叶图所示．甲乙9 8 8 3 3 72 1 0 9 ●9老师在计算甲、乙两人平均分时，发现乙同学成绩的一个数字无法看清．若从{0，1，2，，9}随机取一个数字代替，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为（）A.B.C.D.5、已知正数a,b满足4a＋b=30，使得取最小值的实数对(a,b)是A. (5，10）B. (6，6)C. (10，5)D. (7，2)6、【题文】定义：区间的长度为．已知函数的定义域为值域为记区间的最大长度为m, 最小长度为n．则函数的零点个数是（）A. 1B. 2C. 0D. 37、已知sin(π4−α)=13则sin2α=()A. −79B. 79C. 429D. ±429评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)8、平面内，若三条射线OA、OB、OC两两成等角为ϕ，则．类比该特性：在空间，若四条射线OA、OB、OC、OD两两成等角为θ，则θ=____．9、已知且若则10、已知直线与曲线切于点则的值为。

11、f（x）=x2﹣2x+4的单调减区间是____．12、若复数z满足（i为虚数单位），则z=____．13、=______ ．14、商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg）服从正态分布N（10，0.12），任取一袋大米，质量不足9.8kg的概率为 ______ ．（精确到0.0001）注：P（μ-σ＜x≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜x≤μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜x≤μ+3σ）=0.9974．15、设全集U=R集合A={x|x<−1或2≤x<3}B={x|−2≤x<4}则(∁UA)∪B= ______ ．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、画出下列各不等式组所表示的平面区域．（1）（2）．18、已知函数y=2sin（-）（1）用“五点法”作出函数图象；（2）指出它可由函数y=sinx的图象经过哪些变换而得到；（3）写出函数的单调增区间．19、设函数f（x）=，若f（-2）=0，f（1）=；（1）求函数f（x）的解析式．（2）画出函数f（x）的图象．（3）写出不等式xf（x）＞0的解集（无需写出计算过程）．20、作出函数y=log2的图象．21、已知函数；（1）画出函数f（x）图象；（2）求f（a2+1）（a∈R）；f（f（3））的值；（3）当-4≤x＜3时，求f（x）取值的集合．22、以下是一个用基本算法语句编写的程序；根据程序画出其相应的程序框图．23、某保险公司业务流程如下：（1）保户投保：填单交费；公司承保、出具保单；（2）保户提赔：公司勘查；同意；则赔偿，不同意，则拒赔．画出该公司业务流程图．24、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h 的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．评卷人得分四、计算题(共1题，共5分)25、已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1，侧棱AA1⊥底面ABCD，底面ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，AB=2，BC=1，AD=4，侧棱AA1=4．（1）若E是AA1上一点，试确定E点位置使EB∥平面A1CD；（2）在（1）的条件下，求平面BED与平面ABD所成角的余弦值．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、D【分析】【分析】结合点和直线的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解析】【解答】解：当“x=2且y=-1”时；x+y+1=2-1+1=2≠0，∴不符合方程，反过来也不成立．故“x=2且y=-1”是“点P在直线l：x+y+1=0上”的既不充分也不必要条件．故选D2、B【分析】【分析】根据基本初等函数的单调性，判定A、B、C、D选项中函数的单调性即得．【解析】【解答】解：A中，y=（x-1）2在（-∞；1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；B中，y=x2在（-∞；0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；C中，y= 在（-∞；+∞）上是减函数；D中，y= 在（-∞；0）和（0，+∞）上是减函数．故选：B．3、D【分析】【分析】利用导数的几何意义即可得出．【解析】【解答】解：y′=cosx；∴y′|x=0=cos0=1．设此切线的倾斜角为α；则tanα=1；∵α∈[0；π）；∴．故选：D．4、A【分析】【分析】计算甲、乙的平均分，建立不等式，求出满足题意的数字，即可求得概率．【解析】【解答】解：甲的平均分为=90设●为x，则乙的平均分为令；则x＞8，即x=9∴从{0，1，2，，9}随机取一个数字代替，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为故选A．5、A【分析】试题分析：由基本不等式可得：（）（4a＋b）当且仅当时取等号，再由4a＋b=30，可解a=5，b=10.考点：基本不等式的应用.【解析】【答案】A6、B【分析】【解析】本题考查指数函数的性质和创新定义的应用。

2022-2023学年陕西师范大学附属中学高二上学期10月月考数学试题(解析版)

2022-2023学年陕西师范大学附属中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．程序框图中“处理框”的功能是（）A．赋值B．计算C．判断某一条件是否成立D．赋值或计算【答案】D【分析】根据构成程序框的图形符号及其作用即可直接作答.【详解】矩形框为处理框，其作用为:赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的处理框内用以处理数据.故选：D.2．某人将一枚硬币连掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的A．概率为B．频率为C．频率为6 D．概率接近0.6【答案】B【详解】事件A＝{正面朝上}的概率为，因为试验的次数较少，所以事件的频率为，与概率值相差太大，并不接近．故选B.【解析】频率与概率.3．看下面的四段话，其中不是解决问题的算法的是（）A．从黄冈到北京旅游，先坐汽车，再坐火车抵达B．解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1C．求1+2+3+4的值，先计算1+2=3，再由3+3=6，6+4=10，得最终结果为10D．方程x2－1=0有两个实根【答案】D【分析】根据算法的概念，可以依次对选项进行判断，得出结果【详解】对于A选项，从黄冈到北京旅游，先坐汽车，再坐火车抵达，解决了怎样去的问题，所以A选项是解决问题的算法；对于B选项，解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解决了怎样解一元一次方程的问题，所以B选项是解决问题的算法；对于C选项，求1+2+3+4的值，先计算1+2=3，再由3+3=6，6+4=10，得最终结果为10，解决了怎样求数的和的问题，所以C 选项是解决问题的算法；对于D 选项只是一个真命题，没有解决问题的步骤，所以D 选项不是算法故选：D4．某程序框图如下图所示，该程序运行之后，最后输出的数是（）A ．1716 B ．98C ．54D ．32【答案】B【分析】模拟程序运行，进而即得. 【详解】模拟程序运行，3a =，1n =，输出3，2n =，满足条件，2a =，输出2，3n =，满足条件，32a =，输出32，4n =，满足条件，54a =，输出54，5n =，满足条件，98a =，输出98，6n =，不满足条件，结束程序.故最后输出的数是98.故选：B.5．某战士在打靶中，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（） A ．两次都不中靶B ．两次都中靶C ．至多有一次中靶D ．只有一次中靶【答案】A【分析】首先确定基本事件，再根据对立事件的定义即可得出对立事件.【详解】打靶连续射击两次基本事件有：（中靶，中靶）（中靶，脱靶）（脱靶，中靶）（脱靶，脱靶） “至少有一次中靶”是指：（中靶，中靶），（中靶，脱靶），（脱靶，中靶），其对立事件是：（脱靶，脱靶），即两次都不中靶. 故选：A.6．从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（） A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D ．“至少有一个黑球”与“都是红球” 【答案】C【分析】根据红球和黑球的数量，结合互斥事件和对立事件的定义，逐一对题目中的各个选项进行判断，即可得到结果.【详解】当两个球都为黑球时， “至少有一个黑球”与“都是黑球”同时发生，故A 中的两个事件不互斥；当两个球一个为黑，一个为红时，“至少有一个黑球”与 “至少有一个红球”同时发生，故B 中的两个事件不互斥；“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，但有可能同时不发生，故C 中两个事件互斥而不对立；“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，但必然有一种情况发生，故D 中两个事件对立．故选：C ．7．下列说法中不正确的是（）A ．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1B ．某人射击9次，击中靶3次，则他击中靶的频率为13C ．“直线()1y k x =+过定点(1,0) ”是必然事件D ．“将一个骰子抛掷两次，所得点数之和大于7”是随机事件【答案】C【分析】根据不可能事件以及必然事件的含义判断A;根据频率的概念判断B;根据直线过点点的判断和必然事件的含义判断C;根据随机事件的含义可判断D.【详解】因为不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1,故A 正确；某人射击9次，击中靶3次，则他击中靶的频率为3193=，B 正确；对于()1y k x =+，当1x =时，2y k =，当0k ≠时，0y ≠，故直线()1y k x =+不一定过定点(1,0)，故“直线()1y k x =+过定点(1,0) ”不是必然事件，C 错误；将一个骰子抛掷两次，所得点数之和最小为2，最大为12，即点数之和可能大于7，也可能小于7或等于7，故“将一个骰子抛掷两次，所得点数之和大于7”是随机事件，D 正确，故选：C8．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1-10各10张)中任取一张：①“抽出红桃”与“抽出黑桃”是对立事件；②“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”是互斥事件；③“抽出的牌的数字为5的倍数”与“抽出的牌的数字大于9”是互斥事件；④“抽出数字为2”与“抽出数字为9”是互斥事件；⑤“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”是对立事件.其中正确的个数为（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据互斥事件和对立事件的定义一一判断即可.【详解】对于①：因为有四种花色，所以“抽出红桃”与“抽出黑桃”是互斥而不对立.故①错误；对于②：“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”是互斥事件.故②正确；对于③：如果抽出的是“10”，即是“抽出的牌的数字为5的倍数”，又“抽出的牌的数字大于9”.故③错误；对于④：抽出的牌的数字不可能是2又是9，所以“抽出数字为2”与“抽出数字为9”是互斥事件.故④正确；对于⑤：因为红桃、方块是属于红色牌，黑桃、、梅花是属于黑色牌，所以抽出的一张牌不是红色就是黑色，所以“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”是对立事件.故⑤正确. 所以正确的说法有3个. 故选：C9．下列说法中不正确的是A ．顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，每一个算法都离不开顺序结构B ．循环结构是在一些算法中从某处开始，按照一定的条件，反复执行某些步骤，所以循环结构中一定包含条件结构C．循环结构中不一定包含条件结构D．用程序框图表示算法，使之更加直观形象，容易理解【答案】C【分析】根据程序框图的定义和性质依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，每一个算法都离不开顺序结构，正确；B. 循环结构是在一些算法中从某处开始，按照一定的条件，反复执行某些步骤，所以循环结构中一定包含条件结构，正确；C. 循环结构中一定包含条件结构，所以循环结构中不一定包含条件结构是错误的；D. 用程序框图表示算法，使之更加直观形象，容易理解，正确；故选：C【点睛】本题考查了程序框图的定义，属于简单题型.10．甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则甲不胜的概率是（）A．12B．56C．16D．23【答案】B【分析】分析题意甲不胜意味着乙获胜或和棋，两事件互斥，将将其概率加起来即可得到甲不胜的概率.【详解】甲不胜的事件为乙获胜或和棋，则甲不胜的概率为两事件概率的和，即115 236+=，故选：B.11．下列四个命题中真命题的个数为（）个①有一批产品的次品率为0.05，则从中任意取出200件产品中必有10件是次品；②抛100次硬币，结果51次出现正面，则出现正面的概率是0.51；③随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率；④掷骰子100次，得点数为6的结果有20次，则出现6点的频率为0.2.A．1B．2C．3D．4【答案】A【分析】由频率和概率的概念与意义进行辨析即可.【详解】对于①，一批产品的次品率即出现次品的概率，它表示的是产品中出现次品的可能性的大小，并非表示200件产品中必有10件次品，故①不是真命题；对于②，抛100次硬币，结果51次出现正面，可知出现正面的频率是0.51，而非概率，故②不是真命题；对于③，随机事件发生的概率不随试验次数的多少而发生变化，是事件的一种固有属性，而随机事件发生的频率，会发生变化，随着试验次数的增加，频率会稳定于概率，但频率只是概率的近似值，并不表示概率就是频率，故③不是真命题；对于④，掷骰子100次，得点数为6的结果有20次，即100次试验中，“出现6点”这一事件发生了20次，则出现6点的频率为200.2100=，故④为真命题. 综上所述，真命题个数为1个. 故选：A.12．任取一个三位正整数n ，则2log n 是一个正整数的概率为（） A ．1225B ．1300C ．1450D ．3899【答案】B【分析】三位正整数有900个，使得2log n 为正整数的n 应是2的正整数幂，求出其个数后利用古典概型即可得解．【详解】易知三位正整数有900个，而使得2log n 为正整数的n 应是2的正整数幂，显然满足要求的有72128=，82256=，92512=，共3个，所以概率为31900300P ==．故选：B ．二、填空题13．执行如下图所示的程序框图，输入2l =，m =4，n =5，则输出的y 的值是________．【答案】89【分析】根据程序框图的功能，先判断222l m n ++是否为0，再一一循环，直至满足105y ≤，终止循环，输出结果.【详解】解：开始输入2l =，m =4，n =5，因为2220l m n ++≠，所以702214155299y =⨯+⨯+⨯=，又因为299105y =>，所以299105194y =-=，又因为194105y =>，所以19410589y =-=，又因为89105y =<，所以输出89，故答案为：8914．已知x 与y 之间的一组数据：()()()()11232537，，，，，，，，则y 与x 的线性回归方程必过点______ ．【答案】()24，【详解】24x y ==，， ∴数据的样本中心点是()24，，y ∴与x 的线性回归方程必过点()24，，故答案为()24，．三、双空题15．小勇同学抛掷一枚质地均匀的硬币4次后不再抛掷，结果出现正面向上4次，设反面向上为事件A ，则事件A 的频率为________，事件A 的概率为_________. 【答案】 012【分析】根据题意知反面向上0次，得事件A 的频率为为0，根据A B ，对立事件，且()(),()()1,P A P B P A P B =+=可求得答案.【详解】因为结果出现正面向上4次，所以反面向上0次，则事件A 的频率为为0，设正面向上为事件B ，则()(),()()1,P A P B P A P B =+=1()2P A ∴=. 故答案为：0，1216．某人射击1次命中7～10环的概率如下表（1）求射击1次，至少命中7环的概率为_______ （2）求射击1次，命中不足7环的概率为_______ 【答案】 0.85 0.15【分析】（1）根据互斥事件概率加法求解即可；（2）根据对立事件概率关系求解即可；【详解】记射击1次命中k 环为事件k A ，N,10k k ∈≤，则事件k A 彼此互斥. （1）记射击1次至少命中7环为事件A ，则78910()()()()()0.230.270.190.160.85P A P A P A P A P A =+++=+++=. （2）记射击1次命中不足7环为事件B ，事件A ，B 对立，则()1()10.850.15P B P A =-=-=. 故答案为：0.85；0.15四、解答题 17．几何概率两题.(1)如图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在ACB ∠内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM AC <的概率．(2)如图，在一个边长为3 cm 的大正方形内部画一个边长为2 cm 的小正方形，问在大正方形内随机投点，求所投的点落入小正方形内的概率．【答案】(1)34(2)49【分析】（1）由于过直角顶点C 在ACB ∠内部任作一条射线CM ，故可以认为所有可能结果的区域为ACB ∠，可将事件D 构成的区域为ACC '∠，以角度计算.（2）易计算出大小两个正方形的面积，代入几何概率型公式，即可求解. 【详解】（1）由题意知射线CM 在∠ACB 内是等可能分布的．如图所示，在线段AB 上取AC AC '=，连接CC '，则67.5ACC '∠=，设事件{}D AM AC =<，则事件D 的度量为ACC '∠，而随机事件总的度量为ACB ∠． 67.53()904ACC P D ACB '∠∴===∠． AM AC ∴<的概率为34（2）224cm)S ==小正方形（， 239cm)S ==大正方形（， ∴4()9S P A S ==小正方形大正方形.18．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候人数及相应概率如下：排队人数 0 1 2 3 4 5人及以上概率 0.10.160.30.30.10.04(1)至多3人排队等候的概率是多少？ (2)至少3人排队等候的概率是多少？【答案】(1)0.86 (2)0.44【分析】（1）至多3人排队等候分为0人，1人，2人和3人四种情况，利用互斥事件概率即可求得至多3人排队等候的概率；（2）至少3人排队等候分为3人，4人，5人及以上三种情况，利用互斥事件概率即可求得至少3人排队等候的概率.【详解】（1）记事件在窗口等候人数为0人，1人，2人，3人4人，5人及以上分别为A 、B 、C 、D 、E 、F ，则()0.1P A =，()0.16P B =，()0.3P C =，()0.3P D =，()0.1P E =，()0.04P F =，则至多3人排队等候的概率是 ()()()()()0.10.160.30.30.86P A B CD P A P B P C P D =+++=+++=；（2）至少3人排队等候的概率是 ()()()()0.30.10.040.44P DEF P D P E P F =++=++=19．某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．(1)分别求第3，4，5组的频率；(2)若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?(3)在(2)的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率．【答案】(1)0.3；0.2；0.1 (2)各抽取3，2，1名学生(3)35【分析】（1）利用频率分布直方图及频率等于（频率/组距）乘以组距即可求解；（2）根据（1）的结论及频数等于频率乘以样本容量，利用分成抽样的抽样比公式即可求解；（3）根据（2）的结论及列举法写出基本事件，利用古典概型的概率公式计算即可求解.【详解】（1）由题意可知，第3组的频率为0.0650.3⨯=；第4组的频率为004502..⨯=；第5组的频率为0.0250.1⨯=.（2）第3组的人数为0.310030⨯=；第4组的人数为0.210020⨯=；第5组的人数为0.110010⨯=；因为第3，4，5组共60名学生，所以利用分层抽样的方法在60名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第3组：306360⨯=；第4组：206260⨯=；第5组：106160⨯=；所以第3，4，5组分别抽取3，2，1名学生.（3）设第3组的3名学生为123,,A A A ,第4组的2名学生为12,B B ,第5组的1名学生为1C ,则从6名学生中抽取2名学生有：()()()()()1213111211,,,,,,,,,,A A A A A B A B A C()()()()()()()()()()23212221313231121121,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A C A B A B A C B B B C B C 共15种可能.其中第4组的2名学生为12,B B 至少有一名学生入选的有：()()1112,,,,A B A B ()21,,A B()()()()()()223132121121,,,,,,,,,,,A B A B A B B B B C B C ，共9种可能，所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为93155=. 20．计算(1)已知一个正方形边长为4，求这个正方形外接圆的半径.(2)任意一个正方形，取它的外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，求豆子落入正方形外的概率.（忽略豆子的大小）【答案】(2)π2π-【分析】（1）利用正方形外接圆的直径为正方形对角线求解即可. （2）先求出豆子落入正方形内的概率，再利用对立事件的概率公式求解. 【详解】（1）因为正方形外接圆的直径为正方形对角线，由正方形边长为4可得正方形对角线长为所以外接圆半径为；（2）设正方形的边长为2a,，所以随机向圆内抛一粒豆子，豆子落入正方形内的概率为22422ππa a =，所以豆子落入正方形外的概率为2π21ππ--=. 21．判断下列事件是必然事件，还是不可能事件，并证明. (1)直线y =kx +2k +3经过定点；(2)直线y =kx －3k 和圆2216x y +=一定有两个交点;； (3)如果∠a 为锐角，则22sin cos a a +的结果一定是1. 【答案】(1)必然事件，证明见解析 (2)必然事件，证明见解析 (3)必然事件，证明见解析【分析】（1）将直线方程变形为y =k (x +2)+3，令x +2＝0可求出直线恒过定点；（2）方法一：根据直线恒过圆2216x y +=内定点确定直线与圆一定有两个交点；方法二：联立直线与椭圆方程用△判断；（3）利用勾股定理和锐角三角函数定义判断.【详解】（1）y =kx +2k +3变为：y =k (x +2)+3，恒过(－2,3)这个点，所以是必然事件.（2）方法一：y =kx －3k 恒过(3,0)点，该点在圆x 2+y 2=16内，所以有两个交点，所以是必然事件.方法二：联立：22316y kx kx y =-⎧⎨+=⎩ 得：2222(1)69160x k k x k +-+-= 2Δ28k =+64＞0，所以有两个交点，所以是必然事件.（3）在直角三角形中，设a ，b 为两直角边，c 为斜边，∠a 为锐角且其对边为a ，利用勾股定理和锐角三角函数定义：222+=a b c ，所以有2222sin cos 1a b a a c c ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++＝，所以是必然事件.22．如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y 是x 的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x 与y 的对应值．输入x … 6- 4- 2-0 2 … 输出y …6-2-2616…根据以上信息，参考答案下列问题： (1)当输入的x 值为1时，输出的y 值为； (2)求,k b 的值；(3)当输出的y 值为0时，求输入的x 值．【答案】(1)8(2)26k b =⎧⎨=⎩ (3)3-【分析】（1）根据程序框图的作用即可代入求值，（2）根据,x y 的值代入即可求解，（3）根据输出值即可分情况求解输入值.【详解】（1）当1x =时，8y =，故当输入的x 值为1时，输出的y 值为8；（2）将2206，，，代入=y kx b +得226k b b =-+⎧⎨=⎩，解得26k b =⎧⎨=⎩；（3）令0y =，由8y x =得0=8x ，∴01x ＜（舍去），由=26y x ，得026x =+，∴31x ＜，∴输出的y 值为0时，输入的x 值为3-．23．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi ，yi )(i=1，2，…，20)，其中xi 和yi 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i i x ==∑，2011200i i y ==∑，2021)8(0i i x x =-=∑，2021)9000(i iy y =-=∑，201)()800(i i i y y x x =--=∑．(1)求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；(2)求样本(xi ，yi ) (i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（附：相关系数()()niix x yy r --∑，1.414 ）【答案】(1)12000 (2)0.94【分析】(1)由已知数据求得20个样区野生动物数量的平均数，乘以200得答案； (2)由已知直接利用相关系数公式求解.【详解】（1）由已知得样本平均数20160120i iy y===∑，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12000．（2）样本(,)i i x y (1,2,,20)i =的相关系数20)()0.94(iix y y x r --==≈∑ 24．事件A 、B 互斥，它们都不发生的概率为25，且()()2P A P B =(1)求()P A(2)求()P A 【答案】(1)()25P A = (2)()35P A =【分析】（1）事件A 与事件B 都不发生，即A B ⋃的对立事件，其发生的概率为25，故A B ⋃发生的概率为35，再由互斥事件概率加法公式求解即可；（2）使用()1P A -求解即可.【详解】（1）设事件C 为事件A 发生或事件B 发生，则C A B =， ∴事件C 的对立事件C 为事件A 、B 都不发生，由已知，()25P C =， ∴()()()315P C P C P A B =-==⋃，又∵事件A 、B 互斥，且()()2P A P B =∴()()()()()()3235P A B P A P B P B P B P B ⋃=+=+==， ∴()15P B =， ∴()()225P A P B ==. （2）∵事件A 为A 的对立事件， ∴()()231155P A P A =-=-=. 25．从存放号码分别为1，2，3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：(1)求抽到偶数的频率.(2)求抽到3的倍数的频率（包括3）. 【答案】(1)0.47 (2)0.29【分析】(1)有放回地取100次，每次取一张卡片，这样事件的总数是100，从表中可以看出取到的卡片上数字是偶数有47种情况，抽到3的倍数有29种，然后计算频率得出结果.(2) 有放回地取100次，每次取一张卡片，这样事件的总数是100，从表中可以看出抽到3的倍数有29种，然后计算频率得出结果.【详解】（1）因为有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，所以事件总数是100，由表可以看出取到号码为偶数有871310947++++=种结果，所以频率为470.47 100=.（2）由题知，有放回地抽到3的倍数有5131129++=种结果，所以此时频率为290.29 100=.26．（1）小明和小刚正在做掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子.当两枚骰子点数之和为奇数时，小刚得1分，否则小明得1分.这个游戏公平吗？（2）盒子里装有3个红球，1个白球，从中任取3个球，求“3个球中既有红球又有白球”的概率.【答案】（1）公平；（2）3 4【分析】（1）通过列表得出所有情况，在对比两者的概率即可判段；（2）通过树状图得出全部情况，在得出3个球中既有红球又有白球的情况即可得出概率. 【详解】（1）用列表的方法得：一共36种情况，和为奇数的共18种，则小刚得一分的概率为181362=，小明得一分的概率为11122-=，两者概率相同，所以公平；（2）用画树状图的方法得：一共24种情况，又有红又有白为一白二红共有18种，则概率为183244.。

四川省成都市树德中学2024-2025学年高二上学期月考(一)数学试题

四川省成都市树德中学2024-2025学年高二上学期月考（一）数学试题一、单选题1．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（） 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45A ．623B ．328C ．072D ．4572．某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第二次被抽到的可能性为b ，则（）A ．19b =B ．29b =C ．310b =D ．110b = 3．已知向量1,2AB ⎛= ⎝⎭u u u r，12BC ⎫=-⎪⎪⎝⎭u u u r ，则ABC ∠=（） A ．30° B ．150° C ．60° D ．120°4．已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法错误的是（） A ．若//a b ，,b a αα⊂⊄，则//a αB ．若,a b αα⊥⊥，则//a bC ．若,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则a β⊥D ．若,a b 为异面直线，,a b αβ⊂⊂，//a β，//b α，则//αβ5．下列说法正确的是（）A ．互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B ．若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件C ．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为25D ．事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率不一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大6．一组数据：53，57，45，61，79，49，x ，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x =（）．A ．58或64B ．58C ．59或64D ．597．如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面,,2ABCD FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥,,E ACD F ABC F ACE ---的体积分别为123,,V V V ，则（）A ．322V V =B ．31V V =C ．3123V V V =-D ．3123V V =8．已知平面向量a r ，b r ，e r ，且1e =r ，2a =r .已知向量b r 与e r 所成的角为60°，且b te b e -≥-r r r r 对任意实数t 恒成立，则12a e ab ++-r r r r 的最小值为（）A1 B ．C D ．二、多选题9．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（）A．丁险种参保人数超过五成B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成C．18－29周岁人群参保的总费用最少D．人均参保费用不超过5000元10．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”过去10日，甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2；丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3.则甲､乙､丙､丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的有（）A．甲地B．乙地C．丙地D．丁地11．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体．如图所示，设正四面体ABCD的棱长为2，则下列说法正确的是（）A．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为2B．勒洛四面体被平面ABC截得的截面面积是(2πC．勒洛四面体表面上交线AC的长度为2π3D ．勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2三、填空题12．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，样本中的A 型号产品有15件，那么样本容量n 为． 13．平面四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，BD =BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′﹣BCD 顶点在同一个球面上，则该球的表面积.14．若一组样本数据12,,n x x x L 的平均数为10，另一组样本数据1224,24,,24n x x x +++L 的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的方差是.四、解答题15．袋中有形状、大小都相同的4个小球，标号分别为1,2,3,4.(1)从袋中一次随机摸出2个球，求标号和为奇数的概率;(2)从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次.甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由.16．（1）请利用已经学过的方差公式：()2211ni i s x x n ==-∑来证明方差第二公式22211n i i s x x n ==-∑；（2）如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B 相互独立吗？请给予证明.17．如图，四棱锥P ABCD -的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 为矩形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为AB ，AD 的中点，二面角D PN C --的正切值为2.(1)求四棱锥P ABCD-的体积；(2)证明：DM PC⊥(3)求直线PM与平面PNC所成角的正弦值.18．某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖A，B，C三个区域的第二档居民用户中按2：2：1的比例分配抽取了100户后，统计其去年一年的月均用电量（单位：kW h⋅），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），频率分布直方图如下图所示.(1)求m的值；(2)若去年小明家的月均用电量为234kW h⋅，小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档用户中85%的用户，请判断小明的估计是否正确？(3)通过进一步计算抽样的样本数据，得到A区样本数据的均值为213，方差为24.2；B区样本数据的均值为223，方差为12.3；C区样本数据的均值为233，方差为38.5，试估计该市去年第二档居民用户月均用电量的方差.（需先推导总样本方差计算公式，再利用数据计算）19．在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B，C，D三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的A，B，C，D四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是13，每场比赛的结果相互独立.(1)求A球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率；(2)已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A球队胜2场，负1场，求A球队最终小组出线的概率.。

高二年级3月月考数学试卷教师版

高二年级3月月考数学试卷教师版一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.以下四个命题中为真命题的是（ D ）A.14.3>π且π是有理数B.如果012=-x ,那么1=xC.""b a >是""22b a >的充分条件D.b a =是b a =的必要条件2.命题"0"≠mn 的含义是指（ B ）A.0≠m 或0≠nB. 0≠m 且0≠nC.n m ,不都是0D. n m ,中至少一个不为03.命题“存在实数x ，使得5>x 或5≤x ”是（ A ）A.q p ∨的形式B.q p ∧的形式C.p ⌝的形式D.假命题4.命题"4"≤π是（ C ）A. q p ∧的形式B.假命题C. q p ∨的形式D. p ⌝的形式5.命题“若b a >，则11->-b a ”的否命题是（ C ）A. 若b a >，则11-≤-b aB. 若b a ≥，则11-<-b aC. 若b a ≤，则11-≤-b aD. 若b a <，则11-<-b a6.已知b a ,是实数，则“0>a 且0>b ”是“0>+b a 且0>ab ”的（ C ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.下列结论正确的是（ A ）A.若命题p:存在实数x ，使得1tan =x ；命题q:对任意实数x ，有012>+-x x .则命题)(q p ⌝∧是假命题；B.已知直线013:1=-+y ax l ，01:2=++by x l ，则21l l ⊥的充要条件是3-=ba ； C.命题“若,0232=+-x x 则x=1”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”；D.“1=a ”是“直线0=-ay x 与直线0=+ay x 互相垂直”的充要条件.8.已知命题p:存在R x ∈,使得x x lg 2>-；命题q:若R x ∈,则02>x .其中正确的是（ C ）A.命题q p ∨是假命题；B.命题q p ∧是真命题；C.命题)(q p ⌝∧是真命题；D.命题)(q p ⌝∨是假命题.9.若0,≥y x ，且1≤+y x ，则y x z -=的最大值为（ B ）A. -1B. 1C. 2D. -210.若实数y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-≥-≤-≥+.0,0,1,32,33y x y x y x y x 则函数y x z 32-=的最大值为（ C ） A. -7 B. -3 C. 715 D. 6二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.“b a =”的一个必要条件是“022=-b a ”.12.“两个三角形的两内角对应相等”是“两个三角形全等”的必要条件.13.“如果b a >，那么22bc ac >”是假命题.14.已知数组)9,3,0(),4,5,3(-==b a ，则=⋅b a 21 .15.设数组)5,3,2(),4,0,2(),3,2,1(===c b a ，则=+-c b a 523 (9,21,26) .三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）16.指出命题“菱形的对角线互相垂直平分”的构成形式，并判断其真假.【解析】构成形式为q p ∧.P: 菱形的对角线互相垂直.为真命题；q: 菱形的对角线互相平分. 为真命题；故q p ∧也为真命题.17.若实数t 满足不等式组⎩⎨⎧=-+≤++.0,0222y x t xy t t 求点),(y x 的轨迹方程及实数t 的取值范围.【解析】由0=-+y x t 得x y t -=，代入0222≤++xy t t ，得02)(2)(2≤+-+-xy x y x y ，整理，得02222≤++-y y x x ，即2)1()1(22≤++-y x ，是以)1,1(-为圆心，以2为半径的圆面. 由于t 为实数，故直线0=+-t y x 到圆心)1,1(-的距离r d ≤，即22)1(1≤+--t ⇒22≤+t ，故04≤≤-t ，即t 的范围为[]0,4-.18.根据你所学的函数与命题的基本知识来判断命题“已知)(x f 是R 上的增函数，若,0≥+b a 则)()()()(b f a f b f a f -+-≥+”的逆否命题的真假并说明理由.【解析】∵,0≥+b a ∴,b a -≥又)(x f 是R 上的增函数，∴),()(b f a f -≥ 同理可得),()(a f b f -≥由不等式性质可得)()()()(b f a f b f a f -+-≥+，即原命题为真，又原命题与其逆否命题等价，故逆否命题为真命题.19.命题p:实数x 满足,03422<+-a ax x 其中.0<a 命题q: 实数x 满足062≤--x x 或0822>-+x x ，且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 【解析】设{}{},3)0(,03422a x a x a a ax x x A <<=<<+-=∴:p ⌝{}03<≤≤x a a x x 或；{}{},240820622-≥-<=>-+≤--=x x x x x x x x B 或或 ∴{}.24:-<≤-⌝x x q∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，∴⎩⎨⎧<-<04a a 或⎩⎨⎧<->023a a ，即4-<a 或032<<-a .故实数a 的取值范围为)0,32()4,(---∞ .20.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤.3,2,2x x y x y ⑴求不等式组表示的平面区域的面积；⑵若目标函数为y x z 2-=，求目标函数Z max 与Z min.。

【原创】2021届高二上学期第三次月考试卷数学试卷教师版

黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
上单调递增
【答案】CD
【解析】A 项，
的图象向左平移个单位长度可得
，
而
，故 A 错误；
B 项，令
，则
，
当
时，
，故 B 错误；
C 项，
，
令
，
．
函数
图象的对称中心是
，故 C 正确；
D 项，
，
当
时，
，此时函数
故选 CD．
11．已知曲线
（）
A．若
，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若
，则是圆，其半径为
பைடு நூலகம்
单调递增，故 D 正确，
C．若
，则是双曲线，其渐近线方程为
D．若
，
【答案】ACD
，则是两条直线
【解析】由曲线
A 中，若
，则
，得其标准形式为
，
，表示焦点在轴上的椭圆；
B 中，若
，则
，表示圆心在原点，半径为的圆；
C 中，若
，则，异号，表示双曲线，渐近线方程为
；
D 中，若
，
，则
，表示两条直线．
12．在数列中，若
，（
此
卷
只
装
订
不
密
封座位号
班级
姓名

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华师一附朝阳学校2020-2021学年高二上十月考试数学试卷（本试卷共6页，共150分；考试时长120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.在空间直角坐标系O xyz -中，点（-2,1,4）关于x 轴对称的点坐标是（） A ．（-2 , -1 , -4） B ．（2 , 1 , -4） C ．（-2 , 1 , -4） D ．（2 , -1 , 4）【答案】A2.若向量(1,2,2)=-a ，(2,4,4)=--b ，则向量a 与b （） A ．夹角为锐角 B ．平行 C ．垂直D ．以上都不对【答案】B3. 已知0,0,0a b c ><>，则直线0ax by c ++=必不经过（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D4.已知向量(1,3,2)=-a ，(2,1,1)=-b ，则|2|+=a b （）A ．50B ．14C ．D 【答案】C5.已知直线1l 的方程是y ax b =+，2l 的方程是y bx a =- (0ab ≠，a b ≠),则下列各图形中,正确的是 ( )【答案】D6.已知直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，若()1,1,1=a ， ()1,0,1=-n ，则直线l 与平面α的位置关系是（）A ．垂直B ．平行C ．直线l 在平面α内或直线l 与平面α平行D ．相交但不垂直【答案】C7.三棱锥ABCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB CD ⋅等于（）A ．－2B ．2C ．3-D ．3【答案】A8. 已知直线 l 的倾斜角为 α，斜率为 k ，那么“α>π3”是“k >√3”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B.9.已知向量n ＝(2,0,1)为平面α的法向量，点A(－1,2,1)在α内，则点 P(1,2，－2)到α的距离为( ) A 5B 5C ．25D 5【答案】A10.在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，且动点P 满足OP OA OC OB λ=+-,其中λ∈R .则点P 在（）A ．直线OA 上B ．直线OB 上C ．直线OC 上D ．直线OD 上【答案】D二、填空题：本大题共6题，每小题5分，共30分.11.已知空间两点(2,1,3),(4,2,3)A B ---,则A B 、间的距离是【答案】912.若(2, 3, 1)=-a ，(2, 0, 3)=b ，(3, 4, 2)=c ，则()+=a b c ___________．【答案】3.13．已知点P ()1,3-,点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°，则点P 的坐标是________．【答案】Q 点坐标为(0,2)-．14.经过直线1:240l x y -+=和2:50l x y -+=的交点，并且垂直于直线2:20l x y -= 的直线的方程是【答案】280x y +-=15.如图,棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,M 是棱1AA 的中点,点P 在侧面11ABB A 内,若1D P 垂直于CM ,则PBC 的面积的最小值为______.【答案】【解析】以为原点,分别为轴建立如图空间直角坐标系.因为点在侧面内，设坐标为,,则,,且,即,解得,,又,22112(2)22PBCS BC PB PB b c ∆=⋅=⨯⨯=-+,将代入上式得[1,2]PBCS b ∆==∈当时,取得最小值.三、解答题：本大题共6小题，共85分. 16．（本小题14分）依据下列条件，写出直线的方程，并把它们化成一般式： (1) 斜率为3，过点A(5,3); (2) 经过点(3,0)B -，垂直于x 轴； (3) 斜率为4,在y 轴上的截距为-2； (4) 在y 轴上的截距为3，平行于x 轴； (5) 在x 轴，y 轴上的截距分别是-3，-1PBCS ∆A解：（1）由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，即3x －y ＋3－53＝0． (2)x ＝－3，即x ＋3＝0． (3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0． (4)y ＝3，即y －3＝0．(5)由截距式方程得x －3＋y－1＝1，即x ＋3y ＋3＝0．17.（本小题14分已知ABC 三个顶点(0,4),(2,6),(8,0)A B C --． (1)求边AC 所在直线的方程；(2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程； (3)求过点A 与BC 平行的直线方程(4)求AC 边上的中垂线的方程.解：(1)由截距式，得边AC 所在直线的方程为184x y+=-，即280x y -+=. 由两点式，得边AB 所在直线的方程为406420y x --=---，即40x y +-= (2)由题意，得点D 的坐标为(4,2)-由两点式，得BD 所在直线的方程为2(4)622(4)y x ---=----即2100x y -+=. (3)由A,C 两点可知AC 边所在直线斜率为12，得AC 边上的中垂线的斜率为－2. 又AC 的中点坐标为(4,2)-，由点斜式，得AC 边上的中垂线的方程为22(4)y x -=-+，即260x y ++=.17.（本小题14分）已知直线l 过点(,)12P ，且与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于A ,B 两点，O 为坐标原点,若AOB ∆的面积为92,求直线l 的方程. 【答案】30x y +-=或460x y +-=【解析】由题意知直线l 与两坐标轴均不垂直,设直线方程为()21y k x -=-，易知0k <.令0x =,得2y k =-；令0y =,得21x k =-.∴()()1291222k k --=，整理得2540k k ++=，解得1k =-或4k =-,∴所求直线方程为30x y +-=或460x y +-=.18.（本小题14分）已知函数22()cos sin cos ()f x x x x x x =-+∈R .（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域. （Ⅰ）由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x = ………….4分（两个公式各2分）得，13()cos 2322(cos 2sin 2)22f x x x x x =+=+2(sincos 2cossin 2)66x x ππ=+2sin 26x π⎛⎫=+⎪⎝⎭………….6分所以()f x 的最小正周期是π ………….8分由正弦函数的性质得3222262k x k πππππ+≤+≤+，k ∈Z . ………….10分解得263k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z 所以()f x 的单调递减区间是2,()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . ………………….12分（Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，72666x πππ≤+≤………….16分当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 最大为2当7266x ππ+=，即2x π=时，最小为-1所以()f x 的值域为[]1,2- …………….20分19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD CD =，点E 为PC 的中点，作EF PC ⊥，交PB 于点F .（Ⅰ）求证：PA // 平面BDE ；（Ⅱ）求证：PC DF ⊥；（Ⅲ）求平面BPC 与平面PVD 角的夹角的余弦值. 【答案】解:（1）证明:连接AC 交BD 于O ,连接EO .因为E ,O 分别为PC ,AC 的中点,所以EO 为PCA ∆的中位线∴EOPA ,又EO ⊂平面BDE ,PA ⊄平面BDE ,∴PA 平面BDE（2）在PBC ∆中,PD CD =,点E 为PC 的中点,∴,,EF PC EF DE E PC DE DE EF EFD ⊥⎧⎪⋂=⎪⎩⊂⎨⊥平面,则PC ⊥平面EFD . 又∵DF ⊂平面EFD ,则PC DF ⊥. （3）取AB 中点H ,连接DH .依题意可得ABD ∆为等边三角形,∴DH AB ⊥,DH CD ⊥ 又因为PD ⊥底面ABCD ,DH ,CD ⊂平面ABCD 则DH PD ⊥,CD PD ⊥建立以D 为坐标原点,如图所示坐标系,则有:()0,0,0D ,()2,0,0A,)H,)B,()0,2,0C ,()0,0,2P ,()0,1,1E()0,2,2PC =-,()3,1,0BC =,设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =,则2200y z y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩1x y z =⎧⎪⇒=⎨⎪=⎩,∴(1,3,n =∵DH ⊥平面PCD ,所以DH 为平面PCD 的一条法向量,且()3,0,0DH =∴cos 77n DH n DHθ⋅===20.（本小题14分）EA 1BCD如图①，四边形ABCD 中，//AD BC ，CD BC ⊥，1BC CD ==，2AD =，E 为AD 中点.将ABE ∆沿BE 折起到1A BE ∆的位置，如图②. （Ⅰ）求证：平面1A EB ⊥平面1A ED ；（Ⅱ）若190A ED ∠=，求1A C 与平面1A BD 所成角的正弦值.图①图②（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 中，//AD BC ，CD BC ⊥，1BC =，2AD =，E 为AD 中点，所以 BE AD ⊥.故图②中，1BE A E ⊥，BE DE ⊥.又因为1A EDE E =，1A E ，DE ⊂平面1A DE ，所以 BE ⊥平面1A DE .又因为BE ⊂平面1A EB ，所以平面1A EB ⊥平面1A DE . ……………6分（Ⅱ）解：由190A ED ∠=得1A E DE ⊥，又 1A E BE ⊥，BE DE ⊥,因此，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -．由11A E CD DE ===，得1(0,0,1)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，A DE CB(0,1,0)D ，1(1,0,1)A B =-，1(0,1,1)A D =-，设平面1A BD 的法向量为(,,)n x y z =，则 1100A B A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即00x z y z -=⎧⎨-=⎩，，令1z =得1,1x y ==，所以 (1,1,1)=n 是平面1A BD 的一个法向量. 又 1(1,1,1)AC =-, 设直线1A C 与平面1A BD 所成角为θ，所以111||1sin |cos ,|333||||θ⋅=〈〉===⋅n n n A C A C A C ． ……………14分,O M21.如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ADE ⊥平面ABCD ,的正分别为线段,AD DE 的中点．四边形BCDO 是边长为1方形，AE DE =，AE DE ⊥. （Ⅰ）求证：CM //平面ABE ；（Ⅱ）在直线AD 上是否存在点N ，使平面BMN ⊥平面ABE ，，若有求线段AN 的长，若没有说明理由。