2021年高二上学期1月月考试题 数学(理) 含答案

2021年高二上学期1月月考试题数学（理）含答案

一、选择题（10×5＝50分）

1.若i为虚数单位，，且则( )

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

2．给出以下四个命题：

①“若x＋y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若，则有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题．

其中真命题是 ( )

A．①② B．②③ C．①③ D．③④

3．某单位有名成员，其中男性人，女性人，现需要从中选出名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是（）A．B．C．D．

4. 动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（）

B．A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线

5. 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为( )

A．56 B．52

C．48 D．40

6. 已知，，猜想的表达式为( )

A. B.

C. D.

7．已知平行六面体中，，，则的长为（）

A. B. C. 10 D.

8．已知抛物线＝2px（p>1）的焦点F恰为双曲线（a>0,b>0）的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为( )

A． B． 2 C． D．

9.等比数列中，，，函数，则( ）

A. B. C. D.

10．设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径（）

A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2C

C．成反比，比例系数为C D．成反比，比例系数为2C

二、填空题（5×5＝25分）

11．已知向量，，若成1200的角，则k= ．

12. 若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题,则x的取值范围是。

13. 过点M（2，4）作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线有条。

14. 7名同学中安排6人在周六到两个社区参加社会实践活动. 若每个社区不得少于2人，则

不同的安排方案共有种（用数字作答）。

15. 将边长为1m的正三角形薄片沿一条平形于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，

则的最小值是.。

三、解答题（本大题共有6道小题，75分）

16.（本小题满分12分）若的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为多少？

17.（本小题满分12分）从名男同学中选出人，名女同学中选出人，并将选出的人排成一排．

（1）共有多少种不同的排法？（用数字作答）

（2）若选出的名男同学不相邻，共有多少种不同的排法（用数字作答）

18.（本小题满分12分）在四棱锥中，平面，底面是矩形，已知，是线段上一点，.

( 1 )求证；

（2）求与平面所成角的正弦值大小．. P

Q

A

D

B C

第18题图

19．（本小题满分13分）线y=ax 2＋bx 在第一象限内与直线x ＋y=4相切．此抛物线与x 轴所

围成的图形的面积记为S ．求使S 达到最大值的a 、b 值，并求S max ．

．

．

20.（本小题满分13分） 设函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）设函数求证：当时.

21．（本小题满分13分）已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是、，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

( ) 成立 有

0 ≤ x g

理科数学试卷

参考答案

一、选择题：（每小题5分，共50分）

DCBDC BDCCD

二、填空题：（每小题5分，共25分）

11、； 12、[1,2)； 13、2； 14、350； 15、

三、解答题：（本大题共75分）

16、（本小题满分12分）

解：解：令，则的展开式中各项系数之和为，所以，则展开式的常数项为.

17、（本小题满分12分）解：（1）

（2），

18、（本小题满分12分）

（1）略 (2)解：如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则

，，，，.

设,则，

设平面的一个法向量为

()0022010,1,12001x AQ n y z y n x AB n z =⎧⎧⋅=+=⎧⎪⎪∴⇒⇒=-⇒=-⎨⎨⎨=⋅=⎩⎪⎪⎩=⎩

设与平面所成角为,则 与平面所成角的正弦值为

19、（本小题满分13分）．解 依题设可知抛物线为凸形，它与x 轴的交点的横坐标分别为x 1=0，x 2=－b/a ，所以(1)

又直线x ＋y=4与抛物线y=ax 2＋bx 相切，即它们有唯一的公共点，

由方程组 得ax 2＋(b ＋1)x －4=0，其判别式必须为0，即(b ＋1)2＋16a=0．

于是代入（1）式得：，；

令S'(b)=0；在b＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b＜3时，S'(b)＞0；当b＞3时，S'(b)＜0．故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S取得最大值，且

20、（本小题满分13分）

【解析】（I）当p =1时，，其定义域为.

所以. ，由得，

所以的单调增区间为；单调减区间为

（II）由函数

22

()()(21)ln(1)

g x xf x p x x x x p x

=+--=+-, 得

由（I）知，当p =1时，，即不等式成立.

所以当时，

()ln12(1)12(12)0 g x x px x px p x

'=++≤-++=+≤

，

即g(x)在上单调递减，从而满足题意.

21、（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）解：由，得 .

依题意△是等腰直角三角形，从而，故.

所以椭圆的方程是

（Ⅱ）解：设，，直线的方程为.

将直线的方程与椭圆的方程联立，

消去得 .

所以，.

若平分，则直线，的倾斜角互补，所以.

设，则有 .

将，代入上式，整理得，

所以 .

将，代入上式，整理得 .

由于上式对任意实数都成立，所以 .

综上，存在定点，使平分_37893 9405 鐅20649 50A9 傩G22797 590D 复26007 6597 斗}20480 5000 倀K31365 7A85 窅37000 9088 邈FUQ