如何对几何习题拓展变式

如何对几何习题拓展变式

“变式”原为心理学上的名词，其含义是变换材料的出现形式。在教学中的所谓变式，即是指对数学概念、定义、定理、公式，以及问题背景不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变化，使其面目不一，而本质特征不变。

在数学教学中，可以充分利用变式，有意识地把教学过程施行为数学思维活动的过程，充分调动和展示学生的思维过程，让学生积极、主动地参与教学的全过程，培养学生独立分析和解决问题的能力，以及大胆创新、勇于探索的精神，从而真正把学生能力的培养落到实处。

通过变式练习，可以使学生在全面、深刻的理解和掌握知识的同时，思维品质也获得良好的发展。

通过变式教学，使一题多用，多题重组，常给人以新鲜感，能唤起学生的好奇心和求知欲，因而能产生主动参与的动力，保持其参与教学过程的兴趣和热情。

通过变式训练，可以帮助学生提出问题、分析问题、解决问题，搞清问题的内涵和外延，提高数学能力。

“变式训练”的实质是根据学生的心理特点在设计问题的过程中，创设认知和技能的最近发展区，诱发学生通过探索、求异的思维活动，发展能力。

对习题的变式可以从以下几种不同的角度进行：

一、一题多解、一题多变、一题多思、多题一法……

1、一题多解，培养思维的发散性

一题多解实际上是解题或证明定理、公式的变式，因为它的实质是以不同的论证方式反映条件和结论问的同一必然的本质联系，运用这种变式教学，可以引导学生对同一材料，从不同角度、从不同方位、用各种途径、多种方法思考问题，探求不同的解答方案，这样，既可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能够拓广学生思路，使学生熟练掌握知识的内在联系，使思维向多方向发展，培养思维的发散性。这方面的例子很多，尤其是几何证明题。

例如：已知：点O是等边△ABC内一点,

OA=4，OB=5，OC=3

求∠AOC的度数。

练习：把此题适当变式:

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°

，OB=6，OC=2

求∠AOC的度数。

变式2：如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°, ∠BOC=135°

试问:(1)以OA、OB、OC为边能否构成一个三角形若能,请求出三角形各内角的度数;若不能,请说明理由.

(2)如果∠AOB的大小保持不变,那么当∠BOC等于多少度时, 以OA、OB、OC为边

的三角形是一个直角三角形

2、一题多变，培养思维的灵活性

一题多变是题目结构的变式，是指变换题目的条件或结论，或者变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同角度，不同方面揭示题目的本质，用这种方式进行教学，能使学生随时根据变化了的情况积极思索，设法想出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性。一题多变可以改变条件，保留结论；也可以保留条件，改变结论；或者同时改变条件和结论；也可以将某项条件与结论对换等等。

例如：已知：C为AB上一点，△ACM和△CBN为等边三角形（如图所示）求证：AN=BM

（分析：如对此题多做一些引申，既可以培养学生的探索能力，又可培养学生的创新素质）

探索一：设CM、CN分别交AN、BM于P、Q，AN、BM交于点R。问此题中还有其他的边相等以及特殊角、特殊图形吗给予证明。

探索二：△ACM和△BCN如在AB两旁，其它条件不变，AN=BM成立吗

探索三：△ACM和△BCN分别为以AC、BC为底且顶角相等的等腰三角形，其它条件不变，AN=BM成立吗

探索四：A、B、C三点不在一条直线上时，其它条件不变，AN=BM成立吗探索五：A、B、C三点不在一条直线上时，△ACM和△BCN分别变为正方形ACME和正方形BCNF，其它条件不变，AN=BM成立吗

这样教学，不仅提高了学生运用所学知识解决数学问题的能力，而且培养了学生的创新能力，发展了学生的求异思维。

练习：（1）如图，在△ABC中，AB=AC，点P是BC边上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，BD⊥AC于D 求证：BD=PE+PF

变式1：△ABC 变为等边三角形

变式2：P在△ABC内变式3：P在△ABC外

（2）轴对称：已知直线l及同侧两点A、B，试在直线l上选一点C，使点C到点A、B的距离和最小。

变式1：如图，请你设计出两种方案的路线和最短的行走路线（画图并说明理由）方案1：小华由家先去河边，再去姥姥家；

方案2：小华由家先去姥姥家，再去河边；

小华姥

河流

小华

变式2：已知: AB 、AC 表示两条交叉的小河, P 点是河水化验室, 现想从P 点出

发, 先到AB 河取点水样, 然后再到AC 河取点水样, 最后回到P 处化验河水, 怎么走路程最短呢实验员小王说:“我从P 点笔直向A 走, 同时取好两河水样再原路返回, 这样走, 路最近。”化验员小吴否定了小王的路线, 提出了自己的想法, 请同学们想一想, 小吴走怎样的路线

变式3：

河流

A

A

A B P

变式4：如图,在定直线XY 外有一点P,试于XY 上求两点A 、B,使PA+PB 为最短,

而AB 等于定长a.

变式5：如图，在河的两侧有A 、B

两个村庄，现要在河上修一座桥，规定桥必

B C C B

B C A D E

E

B C

须与河岸垂直，要使A村到B村的路程最短，问桥应修在何处(河宽为

定长为m)

解:(1)过B作BC⊥a,且使BC = m;

(2)连接AC交b于P;

(3)过点P作PQ⊥a,垂足为点Q,那么PQ就是桥的位置.

（3）如图，公路MN和PQ在P点处交汇，且∠QPN=30°点A处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响，请说明理由，若影响，求出影响时间。（拖拉机的速度是12米/秒）