中考数学教学指导：平面几何轨迹问题分类例析

平面几何轨迹问题分类例析
近年来，在各地中考中出现了一类求动点轨迹的路径长的问题，由于较难确定动点轨迹的形状，往往导致学生无从下手.本文以部分中考题为例，就如何确定动点轨迹的形状进行分类解析，供读者参考. 一、直线型动点轨迹
事实上，要说明一动点轨迹为直线型(直线、射线或线段)，必须证明两点:第一、该轨迹恒过一定点(确定位置);第二、轨迹上任一点与该定点的连线和一定直线的夹角为定值或平行(明确方向).
例1 .如图1，已知点A 是第一象限内横坐标为23的一个定点，AN x ⊥轴于点M ，交直线y x =-于点N .若点P 是线段ON 上的一个动点，30APB ∠=︒, BA PA ⊥,则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动.求当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是___.
图1
解析 如图2，由点P 位于O 、N 时，点B 所对应的位置0B 、n B 以及点P 在线段OC 上运动，可猜想点B 的轨迹是线段0n B B .如何证明呢?
显然，点B 的轨迹已经过0B 点，下面只需证明0AB B ∠为定值，即证明它与某一个定角相等即可.
观察可得，APN ∠就是与0AB B ∠相等的定角，再由两角的位置特征和题设条件，不难想到用三角形相似来证明两角相等.
由0tan 30,tan 30AB AO AB AP =︒=︒，得0::tan 30AB AO AB AP ==︒ 又易知0OAC B AB ∠=∠ ,得0AB B ∆∽AOP ∆,
所以0AB B AOP ∠=∠为定值. 故点B 在线段0n B B 上，
即线段0n B B 就是点B 运动的路径(或轨迹).
同理可证0n AB B ∆∽AON ∆，且相似比为tan30︒， 则03
tan 302223
n B B ON OM =︒=⋅
=.
图2
注 例1利用角来确定动点的运动方向，还可用与定直线平行确定动点的运动方向. 例2 如图3，已知AB =10，点C 、D 在线段AB 上，且2AC DB ==. P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作等边AEP ∆和等边PFB ∆，连结EF ，设EF 的中点为G .当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动路径的长是 .
图3
解析 如图4，分别延长AE 、BF 交于点H ，由60EAP FBP ∠=∠=︒可知，当点P 在线段CD 上移动时，点E 、F 分别在线段AH 、BH 上移动.
图4 由60A FPB ∠=∠=︒，知AH //PF , 同理BH //PE .
所以四边形EPFH 为平行四边形，得EF 与HP 互相平分.
又G 为EF 的中点，故G 为PH 中点.
连结CH 、DH ，设其中点分别为M 、N ，则MN //CD ，且MG //CD , 所以MN 与MG 所在的直线重合，故点G 的运动轨迹HCD ∆的中位线MN ， 长度为3.
二、圆弧型动点轨迹
根据圆的定义可知，要确定动点的轨迹为圆弧型，只需证明动点到某一定点的距离为定值.
例3 如图5，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，
M 是BC 的中点.P (0,m )是线段OC 上一动点(C 点除外)，直线PM 交AB 的延长线于点D .
(1)求点D 的坐标(用含m 的代数式表示); (2)当APD ∆是等腰三角形时，求m 的值;
(3)设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H (如图6)，当点P 从点O 向点C 运动时，点H 也随之运动.请直接写出点H 所经过的路径长.
图5 解析 (1) (2,4)D m -;
(2)分,AP DP PD AD ==和AP AD =三种情况讨论，可求得m 的值为于32，43和2
3
; (3)动点H 到哪个定点的距离为定值呢?
由OH ME ⊥和O 、M 为定点，联想到连结OM ,取其中点N ，则动点H 到定点N 的距离为定值，即H 点的轨迹是以点N 为圆心、
1
2
OM 为半径的圆上的一段圆弧. 显然，当点P 无限接近点C 时，点E 趋向无穷远，ME 与x 轴接近于平行，所以点H 无限接近于点C ;当点P 与点O 重合时，H 对应的位置点为轨迹的另一个端点，此时，可求得抛物线的解析式为2
3y x x =-+,得点E 的坐标为(3,0).
图6
过M 点作y 轴的垂线于F 点，可得45FME ∠=︒，得135CME ∠=︒. 又90OCM MHO ∠=∠=︒，45COH ∴∠=︒.
连结CN ，由CN ON HN ==，知
2,2,90CNM COM HNM HOM HNC ∠=∠∠=∠∴∠=︒.
由勾股定理，得1522HN OM ==,故H 点的轨迹长为54
π. 三、图象型动点轨迹
建立适当的坐标系，求出动点坐标所满足的函数关系式，依据函数图象判定动点轨迹的形状.
例4 如图7，在Rt ABC ∆中，90,6,8C AC BC ∠=︒==，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动.过点P 作PD //BC ,交AB 于点D ，连结PQ 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒(0t ≥). (1)直接用含t 的代数式分别表示:QB = ，PD = .
(2)是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形?若存在，求出t 的值;若不存在，说明理由.并探究如何改变Q 的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度. (3)在整个运动过程中，求出线段PQ 中点M 所经过的路径长.
图7
解析 (1)4
,823
PD t BQ t =
=-; (2)四边形PDBQ 不可能为菱形. 当Q 在CB 上运动的速度为每秒
1615个单位时，存在103
t =秒时，四边形PDBQ 为菱形; (3)如图7，以点C 为原点，直线CA 为x 轴建立平面直角坐标系， 设M 点的坐标为(,x y )，过M 点作MN x ⊥轴于N 点，则MN //QC , PMN ∴∆∽PQC ∆,得
12
PN MN PM PC QC PQ ===.
又6,2PC t CQ t =-=, 得1,32MN t PN t ==-
, 故132
CN CP PN t =-=-, 1
3,2
x t y t ∴=-=.
消去t ，得26y x =-+. 又由04t ≤≤，得13x ≤≤.
所以M 点的轨迹是以E (3,0),F (1,4)为端点的线段EF ,
由两点之间距离公式得M 经过的路径长EF = 注 本题也可直接求解:
当P 位于点A 处(即t =0)时,M 与AC 的中点E 重合，所以M 的轨迹必经过点E .
当0t ≠时，由图7，可知1,3,2
MN t CN t ==- 则12
NE CE CN t =-=. 故tan 2MN
MEN NE
∠=
=, 即MEN ∠为定值， 所以点M 的轨迹就是线段EF .。