高中物理-电场强度、电场线、等势面、电势的关系

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【本讲教育信息】
一. 教学内容：
电势差与电场强度的关系及示波器问题的综合
二. 学习目标：
1、掌握电场中电势差跟电场强度的关系的理论推导及等势面类典型问题的分析方法。

2、掌握示波器的原理及相关习题的的解题思路。

3、掌握带电粒子在电场中加速和偏转的问题的分析方法。

考点地位：本考点是本章内容的难点，是高考考查的热点，对于电势差和电场强度的关系及等
势面的考查，通常以选择题目的形式出现，对于带电粒子在场中的加速和偏转，出题的形式则更灵
活，突出了本部分内容与力的观点及能量观点的综合，对于示波器原理的考查在历年的高考题目中，
有时以大型综合题目的形式出现，如2005年的全国Ⅰ卷，同时也可以通过实验题的形式出现，如
2007年高考的实验题目第11题。

三. 重难点解析：
（一）匀强电场中电势差跟电场强度的关系：
（1）大小关系。

推导过程如下：
如图所示的匀强电场中，把一点电荷q从A移到B，则电场力做功为：且与路径无关。

另外，由于是匀强电场，所以移动电荷时，电场力为恒力，可仍用求功公式直接求解，假设电荷所
走路径是由A沿直线到达B，则做功，两式相比较，
，这就是电场强度与电势差之间的关系。

说明：
①在匀强电场中，任意两点间的电势之差，等于电场强度跟这两点沿电场强度方向上的距离的
乘积。

即d必须是沿场强方向的距离，如果电场中两点不沿场强方向，d的取值应为在场强方向的
投影，即为电场中该两点所在的等势面的垂直距离。

②公式表明，匀强电场的电场强度，在数值上等于沿电场强度方向上单位距离的电势
的降落，正是依据这个关系，规定电场强度的单位：。

③公式只适用于匀强电场，但在非匀强电场问题中，我们也可以用此式来比较电势差的
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大小。

例如图所示是一非匀强电场，某一电场线上A、B、C三点，比较的大小。

我们可以设想，AB段的场强要比BC段的场强大，因而，，，。

这里的E1、E2分别指AB段、BC段场强的平均值。

由此我们可以得出一个重要结论：在同一幅等势面图中，等势面越密的地方场强越大。

事实上，在同一幅等势面图中，我们往往把每两个相邻等势面间的电势差取一个定值，如果等势面越密，即相邻等势面的间距越小，那么场强
就越大。

④场强与电势无直接关系。

因为某点电势的值是相对选取的零电势点而言的，选取的零电势点不同，电势的值也不同，而场强不变。

零电势可以人为选取，而场强是否为零则由电场本身决定。

初学容易犯的一个错误是把电势高低与电场强度大小联系起来，误认为电场中某点电势高，场强就大；某点电势低，场强就小。

（2）方向关系：
①场强的方向就是电势降低最快的方向。

只有沿场强方向，在单位长度上的电势差最大，也就是说电势降低最快的方向为电场强度的方向。

但是，电势降落的方向不一定是电场强度的方向。

②电场线与等势面垂直。

（二）几种常见的等势面及等势面的特点：
（1）点电荷电场中的等势面：以点电荷为球心的一簇球面如图1所示。

图1
（2）等量异种点电荷电场中的等势面：是两簇对称曲面，如图2所示。

图2
（3）等量同种点电荷电场中的等势面：是两簇对称曲面，如图3所示。

图3
（4）匀强电场中的等势面是垂直于电场线的一簇平面，如图4所示。

图4
（5）形状不规则的带电导体附近的电场线及等势面，如图5所示。

图5
等势面的特点：
（1）等势面一定与电场线垂直，即跟场强的方向垂直。

假若电场线与等势面不垂直，则场强E在等势面上就会产生一个分量，在同一等势面上的两点就会产生电势差，出现了一个矛盾的结论，故等势面一定与电场线垂直。

（2）电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面，两个不同的等势面永远不会相交。

（3）两个等势面间的电势差是相等的，但在非匀强电场中，两个等势面间的距离并不恒定，场强大的地方，两个等势面间的距离小，场强小的地方，两个等势面间的距离大，如图5所示。

（4）在同一等势面上移动电荷时，电场力不做功。

说明：
因为电场强度E与等势面垂直，则电荷在同一等势面上移动时，电场力总与运动方向垂直，故在同一等势面上移动电荷时，电场力不做功。

注意：
若一电荷由等势面A先移到等势面B，再由等势面B移回等势面A，整个过程电场力做功为零，但分段来看，电场力可能先做正功，后做负功，也可能先做负功，后做正功，例如，在如图所示中带正电的物体由A点运动到B点的过程中，电场力先做负功，后做正功，但总功为零。

（5）处于静电平衡状态的导体是一个等势体，表面是一个等势面。

（三）等势面与电场线的关系：
电场中电势相等的点构成的面是等势面。

在同一等势面上任意两点间移动电荷时，电场力不做功。

电场线总是与等势面垂直（如果电场线与等势面不垂直，电场在等势面上就有分量，在等势面上移动电荷，电场力就会做功）。

在同一电场中，等势面的疏密也反映了电场的强弱，等势面密处，电场线也密，电场也强，反之则弱。

知道等势面，可以画出电场线。

但等势面与电场线的区别是很明显的，电场线反映了电场的分布情况，是一簇带箭头的不闭合的有向曲线，而等势面是一系列的电势相等的点构成的面，可以是封闭的，也可以是不封闭的。

电荷沿电场线移动，电场力必定做功，而电荷沿等势面移动，电场力必定不做功。

（四）带电粒子的加速和偏转及示波器模型：
1. 带电粒子的加速
（1）运动状态的分析：带电粒子沿与电场线平行的方向进入匀强电场受到的电场力与运动方向在同一直线上，做匀加（减）速直线运动。

（2）用功能观点分析：粒子动能变化量等于电场力做的功。

若粒子的初速度为零，则：
即
若粒子的初速度不为零，则：
故
（3）能用来处理问题的物理规律主要有：
牛顿定律结合直线运动公式；动能定理；动量守恒定律；包括电势能在内的能量守恒定律。

（4）对于微观粒子（如：电子、质子、α粒子等）因其重力与电场力相比小得多，通常可忽略重力作用，但对带电微粒（如：小球、油滴、尘埃等）必须要考虑重力作用。

2. 带电粒子在电场中的偏转
（1）运动状态分析：带电粒子以速度v0垂直于电场线方向飞入匀强电场时，受到恒定的与初速度方向成90°角的电场力作用而做匀变速曲线运动。

（2）偏转问题的分析处理方法：类似于平抛运动的分析方法，应用运动的合成和分解知识分析处理。

沿初速度方向为匀速直线运动。

即运动时间
沿电场方向为初速为零的匀加速直线运动
故离开电场时的偏移量
离开电场时的偏转角
（3）带电粒子的重力是否可忽略；
①基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等，除有说明或明确暗示以外一般都可忽略不计。

②带电颗粒：如尘埃、液滴、小球等，除有说明或明确暗示以外一般都不能忽略。

3. 示波器
对示波管的分析有以下三种情形
（1）偏转电极不加电压：从电子枪射出的电子将沿直线运动，射到荧光屏中心点形成一个亮斑。

（2）仅在XX’（或YY’）加电压：若所加电压稳定，则电子流被加速、偏转后射到XX’（或YY’）所在直线上某一点，形成一个亮斑（不在中心），如图所示。

在如图所示中，设加速电压为U1，偏转电压为U2，电子电量为e，质量为m，由W=△E k，得：
①
在电场中侧移②
其中d为两板的间距
水平方向运动时间③
又④
由①②③④式得荧光屏上的侧移
（3）若所加电压按正弦函数规律变化，如，偏移也将按正弦规律变化，如
或，即这亮斑在水平方向或竖直方向做简谐运动。

【典型例题】
问题1、等势面问题归纳：
例题：
例1. 如图所示，实线为电场线，虚线为等势面，相邻两等势面间的电势差相等。

一个正电荷在等势面L3处的动能为20J，运动到等势面L1处时动能为零；现取L2为零电势参考平面，则当此电荷的电势能为4J时，它的动能为（不计重力及空气阻力）（）
A. 16J
B. 10J
C. 6J
D. 4J
解析：正电荷在电场中只受电场力的作用，在L3时，动能为20J，运动到L2等势面时其动能一定是10J。

此时电势能为零，则此正电荷动能和电势能总和为10J。

当它的电势能为4J时，动能一定为6J。

答案：C
变式1、
例2. 如图所示，在点O置一个正点电荷，在过点O的竖直平面内的点A处自由释放一个带正电的小球，小球的质量为m，带电量为q。

小球落下的轨迹如图中的实线所示，它与以点O为圆心、R为半径的圆（图中虚线所示）相交于B、C两点，点O、C在同一水平线上，∠BOC=30°，点A 距OC的高度为h，若小球通过B点的速度为v，则（）
A. 小球运动到C点时的速度为
B. 小球运动到C点时的速度为
C. 小球从A点运动到C点的过程中电场力所做的功为
D. 小球从A点运动到C点的过程中电场力所做的功为
（2007·江苏部分中学高三统考）答案：B、C
变式2、（2004春季全国理综）
例3. 如图所示，O是一固定的点电荷，另一点电荷P从很远处以初速度v0射入点电荷O的电场，在电场力作用下的运动轨迹是曲线MN。

a、b、c是以O为中心，R a、R b、R c为半径画出的三个圆，R c－R b= R b－R a。

1、2、3、4为轨迹MN与三个圆的一些交点。

以|W12|表示点电荷P由1到2的过程中电场力的功的大小，|W34|表示由3到4的过程中电场力做的功的大小则
A. |W12|=2|W34|
B. |W12|>2|W34|
C. P、O两电荷可能同号，也可能异号
D. P的初速度方向的延长线与O之间的距离可能为零
答案：B
问题2、带电粒子在匀强电场中的加速与偏转模型：
例4. 一束电子流在经U=5000V的加速电压加速后，在距两极板等距处垂直进入平行板间的匀强电场，如图所示，若两板间距d=1.0cm，板长l=5.0cm，那么，要使电子能从平行板间飞出，两个极板上最多能加多大电压？
解析：在加速电压一定时，偏转电压U’越大，电子在极板间的偏距就越大。

当偏转电压大到使电子刚好擦着极板的边缘飞出，此时的偏转电压，即为题目要求的最大电压。

加速过程，由动能定理得①
进入偏转电场，电子在平行于板面的方向上做匀速运动l=v0t ②
在垂直于板面的方向做匀加速直线运动，加速度③
偏距④
能飞出的条件为⑤
解①~⑤式得
变式思考：
例5. 如图所示，在长为2L、宽为L的区域内正好一半空间有场强为E、方向平行于短边的匀强电场，有一个质量为m、电荷量为e的电子以平行于长边的速度v0从区域的左上角A点射入该区域，不计电子所受的重力，要使这个电子能从区域的右下角B点射出，求：
（1）无电场区域位于区域左侧一半内时，如图甲所示，电子的初速度应满足什么条件；
（2）无电场区域的左边界离区域左边的距离为x时，如图乙所示，电子的初速度又应满足什么条件。

解析：（1）依题意有：
所以
（2）电子在两个电场中的偏距与（1）的情况相同
即：
电子飞过x区所用的时间
在无电场区域中的运动时间为t2，偏距为y2，则
所以
则
问题3、示波器模型问题及解法：
例6. （2005·全国卷）如图所示中B为电源，电动势，内阻不计，固定电阻，R2为光敏电阻，C为平行板电容器，虚线到两极板距离相等，极板长，两极板的间
距，S为屏，与极板垂直，到极板的距离。

P为一圆盘，由形状相同、透光率不同的三个扇形a、b、c构成，它可绕AA’轴转动。

当细光束通过扇形a、b、c照射光敏电
阻R2时，R2的阻值分别为1000、2000、4500。

有一细电子束沿图中虚线以速度v0=8.0×106m/s
连续不断地射入C。

已知电子质量C，电子质量。

忽略细光束的宽度、电容器的充电放电时间及电子所受的重力。

假设照在R2上的光强发生变化时，R2阻值立即有相应的改变。

设圆盘不转动，细光束通过b照射到R2上，求电子到达屏S上时，它离O点的距离y。

（计算结果保留两位有效数字）
解析：设电容器C两板间的电压为U，电场强度大小为E，电子在极板间穿行时y方向上的加速度大小为a，穿过C的时间为t1，穿出时电子偏转的距离为y1。

由此可见，电子可通过C。

设电子从C穿出时，沿y方向的速度为v，穿出后到达屏S所经历的时间为t2，在此时间内电子在y方向移动的距离为y2
由以上有关各式得
代入数据得
由题意
变式思考1：（2003年江苏卷第11题）
例7. 如图所示中为示波器面板，屏上显示的是一亮度很低、线条较粗且模糊不清的波形。

（1）若要增大显示波形的亮度，应调节____________旋钮。

（2）若要屏上波形线条变细且边缘清晰，应调节____________旋钮。

（3）若要将波形曲线调至屏中央，应调节____________与____________旋钮。

答案：（1）辉度（或写为）
（2）聚焦（或写为○）垂直位移（或写为↑↓）水平位移（或写为→←）
变式思考2、
（2007年全国卷）
例8. （1）用示波器观察频率为900Hz的正弦电压信号。

把该信号接入示波器Y输入。

①当屏幕上出现如图1所示的波形时，应调节______________钮。

如果正弦波的正负半周均超出了屏幕的范围，应调节__________钮或__________钮，或这两个钮配合使用，以使正弦波的整个波形出现在屏幕内。

②如需要屏幕上正好出现一个完整的正弦波形，应将__________钮置于_________位置，然后调节_______________钮。

小结本节内容：
答案：竖直位移或↑↓衰减或衰减调节Y增益扫描范围1k挡位扫描微调
【模拟试题】
1. 关于静电场的电场线和等势面，以下说法正确的是（）
A. 处于静电平衡的导体，内部没有电场线，它的电势也一定为零
B. 导体周围的电场线一定与导体表面垂直
C. 在同一条电场线上的两点，电势必定不等
D. 在同一条电场线上的两点，所在位置的场强必定不相等
2. 对公式U=Ed的理解，下列说法正确的是（）
A. 在相同的距离上的两点，电势差大的其场强也必定大
B. 此公式适用于所有的电场中的问题
C. 公式中的d是通过两点的等势面间的垂直距离
D. 匀强电场中，沿着电场线的方向，任何相等距离上的电势降落必定相等
3. 如图所示，a、b、c是匀强电场中的三个点，各点电势，a、b、c 三点在同一平面上，下列各图中电场强度的方向表示正确的是（）
4. 如图所示，在点电荷Q形成的电场中，已知a、b两点在同一等势面上，甲、乙两个带电粒子的运动轨迹分别为acb和adb，两个粒子经过a点时具有相同的动能，由此可判断（）
A. 甲粒子经过c点时与乙粒子经过d点时具有相同的动能
B. 甲、乙两粒子带异种电荷
C. 若取无穷远处为零电势，则甲粒子经过c点时的电势能小于乙粒子经过d点时的电势能
D. 两粒子经过b点时具有相同的动能
5. 如图所示，两块相对的平行金属板M、N与电池相连，N板接地，在距两板等远的一点P固定一个带正电的点电荷，如果将M板向上平移一小段距离，则（）
A. 点电荷所受的电场力减小
B. 点电荷所受的电场力增大
C. 点电荷的电势能减小
D. 点电荷的电势能保持不变
6. 如图所示，匀强电场中有一组等势面，若A、B、C、D相邻两点间的距离是2cm，则该电场的场强是__________________V/m，到A点距离为1.5cm的P点电势为______________V。

7. 如图所示，在范围很大的水平向右的匀强电场中，一个电荷量为-q的油滴，从A点以速度v 竖直向上射入电场。

已知油滴质量为m，重力加速度为g，当油滴到达运动轨迹的最高点时，测得
它的速度大小恰为。

问：
（1）电场强度E为多大？
（2）A点至最高点的电势差为多少？
【试题答案】
1. BC
2. CD
3. D
4. BCD
提示：从轨迹看甲粒子受引力、乙粒子受斥力，故两粒子带异种电荷。

a→d乙粒子克服电场力做功，动能减少，a→c电场力对甲粒子做正功，动能增加，所以甲在c点动能大于乙在d点的动能，a→d乙粒子克服电场力做功，电势能增加，a→c电场力对甲粒子做功，电势能减少，故乙在d点的电势能大于甲在c点的电势能。

5. AC
提示：两板电势差不变，距离变大，则场强减小，电荷所受电场力也减小；P与N板间距离不变，则电势差减小，减小，故电荷的电势能减小。

6.
提示：
7. 解析：（1）油滴在运动到最高点的过程中，受到竖直方向重力的作用和水平方向的电场力的作用。

在竖直方向上油滴做匀减速运动，
当时上升到最高点B，高度为
在水平方向上，油滴做匀加速运动，
当时，
可求得：
（2）在油滴运动到最高点的过程中，油滴的水平位移为
所以A、B两点间的电势差为
A点电势低于最高点B。