《椭圆及其标准方程(第一课时)》教学设计

《椭圆及其标准方程（第一课时）》教学设计

一•教材及学情分析：

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》（人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著）选修 1 -1第二章第一节《椭圆及其标准方程》第一课时.

在这一章中，我们将继续用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想.

在必修2中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法，并在平面直角坐标系中研

究了直线和圆这两个基本的几何图形. 在选修1中，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何

利用代数方法研究几何问题. 由于教材以椭圆为重点交代求方程、利用方程讨论几何性质的

一般方法，在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此椭圆及其标准方程”起到了承上启

下的重要作用.

本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等•因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值.

根据本节内容的特点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用，用几何画板的动态作图优势

为学生的数学探究与数学思维提供支持.

二•教学目标：

1.知识与技能目标：

①理解椭圆的定义

②掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力

2.过程与方法目标：

①经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具

体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力

②学会用坐标化的方法求动点轨迹方程解析法

③对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识

3.情感态度价值观目标：

①充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交

流、反思，促进形成研究氛围和合作意识

②重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索

的艰辛过程与创新的乐趣

③通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风

④通过经历椭圆方程的化简，增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美

⑤利用椭圆知识解决实际问题，使学生感受到数学的广泛应用性和知识的力量，增强学习数

学的兴趣和信心

三.重、难点

重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想

难点：（1标准方程的推导。（2）椭圆定义中常数加以限制的原因。

关键：含有两个根式的等式化简

四•教法

新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程. 本节课采用让学生动手实践、自主

探究、合作交流及教师启发引导的教学方法，按照创设情境一一学生活动一一意义建构一一

数学理论一一数学应用一一回顾反思一一巩固提高”的程序设计教学过程，并以多媒体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方式，使学生真正成为学习的主人.

五. 学法

遵循以学生为主体，教师为主导，发展为主旨的现代教育原则。采用了以问题的提出、问题

的解决为主线，始终在学生知识的最近发展区”设置问题；以学生主动探索、积极参与、共

同交流与协作为主体，于问题的分析和解决中实现知识的建构和发展。

六. 教学准备

一个PowerPoint课件，一个几何画板课件，画椭圆工具（两颗图钉、一根细绳，一张白纸）。七•课型

新授课

八.教学程序

的点的轨迹是线段人出？；

点的轨迹不存在.

(i)回顾用坐标法 求动点轨迹方程 的一般步骤：建 系、设点、写出 动点满足的几何 限制条件、代坐标

化、化简、证明等价 性。简记：建设限代化

(2)推导椭圆的标准方程

①建系设点：观察椭圆的几何特征， 如何建系能使方程更简 洁？一一利用椭圆的对称性特征 方案1以两定点的连线为X

以方案1为例推导: 掌握化简含根号等式的方法， 提高运算能力，养成不怕困难 的钻研精神

立平面直角坐标系•设焦距为加卜》°)，则

K(P 』)E(G O).设 M(EJF )

为椭圆上任意一点，点M

与点骂的距离之和为2a(2fl>2c).

② 动点M 满足的几何约束条件：晦|+肚眄I 二加 ③ 坐标化：加阳+推-头於4

④ 化简：化简椭圆方程是本节课的难点， 突破难点的方法是

耳迅间的距离 称为焦距。

当常数=

时，与两个定点 的距离之和等于常数

当常数 < 驱

时，与两个定点"l 丿、的距离之和等于常数的

方案2以两定点的连线为 Y

轴，其垂直平分线为

轴其垂直平分线为Y

进一步熟悉用坐标法求动点 轨

迹方程的方法

以直线片人为丄轴，以线段

AA 的垂直平分线为

A

感受数学的简洁美、对称美

（为什么要取平方？）

[学生思考，问题由老师来回答 ]

I J _ j

方程简化为：

问：要建立焦点在『轴上的椭圆的标准方程， 又不想重复上

述繁琐的化简过程，如何去做？

此时引导学生要借助于化归思想，抓住图

（1）与图（2）的联系

即可化未知为已知，将已知的焦点在 工轴上的椭圆的标准方 程转化为焦点在 V 轴上的椭圆的标准方程•只需将图

⑴沿

直线尸h 翻折或将图⑴绕着原点按逆时针方向旋转 90'

即可转化成图（2），需将工轴、『轴的名称换为『轴、工轴 或『轴、-工轴.

焦点在V 轴上的椭圆的标准方程为宕嗒i （"°） ⑷辨析焦点分别在 工轴、『轴上的椭圆的标准方程的异同 点（学生分组讨论，个别发言）

区别：要判断焦点在哪个轴上，只需比较 壬与X 项分母的 大小即可•若项分母大，则焦点在 X 轴上；若於 项分

母 大，则焦点在V 轴上•反之亦然.

联系：①它们都是二元二次方程，共同形式为

移项后两次平方法化简得

设/

=A 5

(a>c>0)

体会数学中的化归思想， 化未 知为

已知，避免重复劳动

引导学生思考如何去根号

通过对比总结，强化不同类型 的方程的异同，从而深化学生 对椭圆标准方程的理解。抓住 数学形式的一致性，体会数学 的严谨。

⑶建立焦点在V 轴上的椭圆的标准方程