组合多面体理论在球面网壳结构中的应用

第29卷第2期2008年　4月河南科技大学学报:自然科学版Journal of Henan University of Science and Technol ogy:Natural Science Vol .29No .2Ap r .2008

基金项目:河南省教育厅自然科学基金项目(200510464007)

作者简介:杜泽丽(1982-),女,河南信阳人,硕士生;周丰峻(1938-),男,山东黄县人,中国工程院院士,防护工程专家,近年从事

空间结构的研究.

收稿日期:2007-09-20

文章编号:1672-6871(2008)02-0062-03

组合多面体理论在球面网壳结构中的应用

杜泽丽1,周丰峻2,梁　斌1

(1.河南科技大学建筑工程学院,河南洛阳471003;2.总参工程兵三所,河南洛阳471000)

摘要:根据组合多面体理论及突角和理论,得出有12个正五边形和多个六边形构成的网壳,并计算了网壳中五边形边长与五边形外接球半径的比例关系,给出了相应的拟合公式,其相对误差不大于4.07%,据此,可根据工程需要进行多面体选型。

关键词:球面网壳结构;组合多面体;突角和;拟合公式

中图分类号:T U31文献标识码:A

0　前言

我国空间钢结构从20世纪60年代开始研制和应用,但扩大应用发展缓慢,自1982年空间结构委员会成立以后的二十年发展很快。特别是近十年来,钢产量占世界首位,各省市都在兴建体育馆、会议

展览馆、机场机库、大型娱乐场所、多功能厅等,结构跨度不断要求增大而且形式也不断创新[1]。

目前,国内外空间网壳大多由三角形、四边形或者组合而成的[2]

。本文介绍了根据组合多面体理论,得到的由12个五边形和六边形组合而成的球面网壳,它不仅具有优美的构型,而且其节点、杆件、构型的类型数降到最低,能有效的减少用材以及缩短工期[3]。并计算了12个五边形外接球半径和五边形边长的比例关系,给出了相应的拟合公式,据此,可以根据工程需要来选取合适的多面体及杆件。目前,

多面体理论首次在国家游泳中心“水立方”中得以应用[4-6],它不仅受力合理,而且造型优美。1　理论基础

1.1　组合多面体理论

组合多面体理论主要包括以下几个定理:

定理1:组合正五角形和正六角形多面体有无穷多个,面数最低的组合多面体为32面体。所有组合多面体面数(S )、节点数(J )和棱边数(L )满足欧拉拓扑定理,即S +J -L =2。

定理2:任意一个组合多面体有且只有12个五角形,当以任一五角形心为中心极点进行平面展开

时可以获得五个相同的分支展开图,每个分支展开图具有中心对称性[7-8]。

定理3:在所有五角形六角形组合多面体中,以五角形形心为顶点,可以构成正20面体。每3个五角形形心对应立体角范围,可构成一个单元体,单元体具有组合多面体的全部几何特征,正20面体为所有球内接组合多面体的对偶变换,是其研究的基本构形。

定理4:以正五角形形心为极点中心的组合多面体展开分支中,自极心点至赤道中心对称点每层面数满足递增关系,赤道两侧五角形间的每层面数不变。

定理5:组合多面体展开分支有沿五边形角展开和座边展开两种形式。两种展开同时满足上述定理,其性质是单元立体角内含1个或多个(非整数个)六角形,组合多面体沿角展开和沿边展开可以形成不同面数的多级组合多面体分支展开图形。

1.2　突角和理论

突角和理论:球面网壳的每个节点处,各突角之和均相等。

第2期杜泽丽等:组合多面体理论在球面网壳结构中的应用2　球内接正二十面体

根据组合多面体理论,以12个五边形和多个六边形组合成球面网壳,并使得每个五边形顶点均在正二十面体外接球面上,以下计算均以正二十面体为基础

。

如图1所示,令正二十面体外接球半径为R,正三角形边长为L,欲计算两者关系分别取图2和图3。如图2所示,EF =L,F I =IJ =3L /2,根据圆的性质和已知条件可得

O I =L /2+L 2

-R 2(1)如图3知O I =R 2-L 2/4(2)

联立式(1),(2)可得

L /2+L 2-R 2=R 2-L 2/4解得L =10(5-

5)5R co s ∠EO F =2R 2-L 22R 2=5

5(3)

在构型过程中,知cos ∠EO F =5/5不变,以下计算均利用式(3)。

3　各组合多面体五边形杆长与球半径的关系计算

本文前期已做了一系列多面体基本杆件计

算,如32面体,42面体,92面体,122面体,162

面体,252面体,272面体,482面体等。本文以

272面体为例,计算五边形边长和球半径的关系

以及球心至各节点的距离。图4为272面体基

本单元的的1/6,图中虚线均为对称轴。

已知:α=1251333°,β=1231333°,

γ=112°,ω=1171333°,ρ=1111333°,

η=124°,σ=1191333°,a 1=11248368626a 0,

a 2=1132355601a 0

半径边长关系计算

令　b =

1138197r 2-a 2c =3187238r 2-2170973a 2+1101739a 1138197r 2-a 2由图5可得

∠1+∠2+∠3+∠4-arcsin (0185065r/a )+arcco s

r 2+0183697a 2-0115194ab r

r 2+2167394a 2-0130389ab

+arcco s r 2+7.44771a 2-0169875ab -0124502ac (r 2+2167394a 2-0130389ab )(r 2+19121449a 2-110936ab -0149003ac )+

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