波函数跟Schrodinger方程
量子力学讲义I.波函数与Schrodinger方程
I.波函数与Schrodinger方程1. 经典波有波函数吗？量子波函数与经典波函数有什么异同？答：波函数就其本义而言不是量子力学特有的概念．任何波都有相应的波图执只是习惯上这一术语通常专用于描述量子态而不常用于经典波．经典波例如沿轴方向传播的平面单色波，波动动量对和的函数——波函数可写为，其复指数形式为，波函数给出了传播方向上时刻在点处的振动状态。
经典波的波函数通常称之为：波的表达式或波运动方程．量子力学中，把德布罗意关系 p ＝k 及 E ＝ω代入上式就得到自由粒子的波函数 ( 自由粒子的波的表达式 ).经典波与概率狡的唯一共性是叠加相干性。
但概率波函数是态函数，而态的叠加与经典波的叠加有着本质的差别．经典波函数描述的是经典波动量对时空变量的函数关系．量子力学中的概率波函数其意义不同于经典物理中的任何物理量．概率波函数虽是态函执但本身不是力学量．态函数给出的也不是物理量间的关系．概率波函数的意义是：由波函效描述微观体系各种力学量的概率分朽．作为一种约定的处理方法，经典波可表为复指数函数形式但只有它的实部才有物理意义．而概率波函数一般应为复函数．非相对论量子力学中，粒子不产生出不泯灭．粒子一定在全空间中出现，导致了概率被函数归一化问题，而经典波则不存征这个问题．概率波函数乘上一常数后，粒子在空间各点出现的相对概率不变．因而，仍描述原来的状态．而经典波中不同的波幅的波表不同的波动状态，振幅为零的态表示静止态．而量子力学中，振幅处处为零的态表示不存在粒子．另外经典波函数与量子被函数满足各自的、特征不同的波方程．2 ．波函数的物理意义——微观粒子的状态完全由其被函数描述，这里“完全'的含义是什么？波函数归一化的含义又是什么 ?答：按照波函数的统计解释波函数统计地描述了体系的量子态．如已知单粒子 ( 不考虑自旋 ) 波函数为，则不仅可确定粒子的位置概率分布，而且如动员等粒子其他力学且的概率分布也均可通过而完全确定．出于量子理论与经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果．而只要已知体系波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息．从这个意义上着，有关体系的全部信息显然都已包含在波函数中，所以我们此微现粒子的状态完全由其波函数描述，并把波函数称为态函数．非相对论量子力学中粒子不产生、不泯灭．根据波函数的统计解释，在任何时刻，粒子一定在空间出现，所以，在整个空间中发现粒子是必然事件．概率论中认为必然事件的概率等于 1 ．因而，粒子在整个空间中出现的概率即概率密度对整个空间积分应等于1 ．式中积分号下的无限大符号表示对整个空间积分．这个条件称为归一化条件．满足归一化条件的波函数称为归一化波函数．显然，平方可积波函数才可以归一化．3 .证明从单粒子薛定谔方程得出的粒子速度场是非旋的，即求证，其中，为几率密度，为几率流密度。
第二章波函数和Schrodinger方程
3.量子态Ψ1+eiθΨ2和Ψ1+Ψ2表示同一量子态吗?
§3 力量子算符公设
任意可观测的力学量，都可以用相应的线性厄米算符来表示
(一）力学量平均值
在统计物理中知道，当可能值为离散值时，一个物理量的平均值等于物理量出现的各种可能值乘上相应的几率求和；当可能值为连续取值时：一个物理量出现的各种可能值乘上相应的几率密度求积分。基于波函数的几率含义，我们马上可以得到粒子坐标和动量的平均值。先考虑一维情况，然后再推广至三维。
玻恩对波函数的统计诠释—哥本哈根学派(以玻尔和海森伯为首)观点。
玻恩假定：描述粒子在空间的概率分布的“概率振幅”，而则表示概率密度
例题1：电子的自由平面波波函数
在空间各点发现光子的概率相同
用电子双缝衍射实验说明概率波的含义
(1)入射强电子流
干涉花样取决于概率分布，而概率分
布是确定的。
(2)入射弱电子流
波函数Ψ(x,y,z,t)的统计解释(哥本哈根解释)：波函数模的平方代表某时刻t在空间某点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的概率，即|Ψ|2代表概率密度。
波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。由于波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释，他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。
粒子的经典概念：
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。
波的经典概念：
1. 物理量在的空间分布作周期性的变化;
2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born提出了波函数意义的统计解释。
薛定谔方程与波函数的意义
薛定谔方程与波函数的意义量子力学（Quantum Mechanics）是一种描述微观世界的理论框架，薛定谔方程（Schrodinger Equation）是其中最为基本的方程之一，而波函数（Wave Function）则是薛定谔方程的解。
薛定谔方程的提出和波函数的出现，彻底改变了人们对微观粒子行为的认识，揭示了粒子实物性质背后的波动性质。
薛定谔方程的形式为：{{Hψ = Eψ}}其中，{{H}} 是系统的哈密顿算符（Hamiltonian Operator），{{ψ}} 是波函数，{{E}} 是系统的能量。
薛定谔方程通常应用于描述微观粒子的运动和相互作用。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子的波函数，而波函数是描述粒子状态的数学函数。
波函数的意义体现在以下几个方面：1. 描述微观粒子的性质：波函数是描述微观粒子行为的工具。
通过波函数，可以获得粒子在空间中的分布概率和动量分布等信息。
波函数是一个复数函数，其模的平方表示在某一时刻发现粒子的概率密度。
波函数的平方和为1，意味着粒子必然处于某个位置。
2. 质点的波粒二象性：根据波动粒子二象性，粒子不仅可以表现出粒子性，还可表现出波动性。
波函数是描述波动性的数学工具，能够描述质点的位置、速度、动量和能量等经典物理量。
3. 波函数的求解：波函数通过薛定谔方程的求解得到。
不同的系统具有不同的哈密顿算符{{H}}，因此对于不同的物理系统，薛定谔方程的形式也会不同。
求解薛定谔方程可以得到粒子的能量和相应的波函数，从而揭示了粒子的量子性质。
4. 波函数的演化：根据薛定谔方程，波函数会随着时间的演化而变化。
在没有外界干扰的情况下，波函数的演化是由方程中的哈密顿算符所决定的。
通过对波函数的演化研究，可以得到粒子在不同时间下的状态信息。
5. 量子力学基本原理的体现：薛定谔方程和波函数是量子力学基本原理的数学表述。
通过方程的求解，可以计算粒子的行为，比如能谱、波包展开和散射等。
波函数与Schrodinger方程
第1章波函数与Schrodinger方程1.1 波函数的统计诠释1.2 Schrodinger方程1.3 量子态叠加原理第2章一维势场中的粒子2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质2.2 方势2.3 δ势2.4 一维谐振子第3章力学量用算符表达3.1 算符的运算规则3.2 厄米算符的本征值与本征函数3.3 共同本征函数3.4 连续谱本征函数的“归一化”第4章力学量随时间的演化与对称性4.1 力学量随时间的演化*4.2 波包的运动，Ehrenfest定理4.3 Schrodinger图像与Heisenberg图像4.4 守恒量与对称性的关系4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性第5章中心力场5.1 中心力场中粒子运动的一般性质*5.2 无限深球方势阱5.3 三维各向同性谐振子5.4 氢原子第6章电磁场中粒子的运动6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量6.2 正常Zeeman效应6.3 Landau能级第7章量子力学的矩阵形式与表象变换7.1 量子态的不同表象，幺正变换7.2 力学量(算符)的矩阵表示7.3 量子力学的矩阵形式7.4 Dirac符号第8章自旋8.1 电子自旋态与自旋算符8.2 总角动量的本征态8.3 碱金属原子光谱的双线结构与反常Zeeman效应8.4 自旋单态与三重态，*自旋纠缠态第9章力学量本征值问题的代数解法9.1 谐振子的Schrodinger因式分解法9.2 角动量的本征值与本征态*9.3 两个角动量的耦合，Clebsch-Gordan系数第10章微扰论10.1 束缚态微扰论*10.2 散射态微扰论第11章量子跃迁11.1 量子态随时间的演化*11.2 突发微扰与绝热微扰11.3 周期微扰，有限时间内的常微扰*11.4 能量-时间不确定度关系*11.5 光的吸收与辐射的半经典理论第12章其他近似方法*12.1 Fermi气体模型12.2 变分法*12.3 分子结构注：加星号的部分只做概念上的要求。
36-1第三十六讲波函数-薛定谔方程
注 意 ：a) 波函数不是一个物理量，是用来表示测量 概率的数学量。 b) 波函数（描述的微观粒子运动状态，即 德布罗意物质波）是概率波，
它描述微观粒子的运动状态是以微观粒子在 t时刻出现在空间某处的概率来表示。
I | |2 z x iy, z x iy
由光子理论知：
n | |2
n—单位体积内粒子数，
单位体积内粒子数n正比单个粒子t时刻在该单位 体积内出现的概率。
因此：空间某处波函数模的平方与单个粒子t时刻 在该处单位体积内出现的概率成正比。
1926年波恩提出：实物粒子的德布罗意波是一种概 率波，t时刻粒子出现在
1925年薛定谔在德布罗意假设的基础上， 建立了微观粒子所遵循的方程，即薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学的基本方程，它揭示 了微观物理世界物质运动的基本规律，就像牛顿 定律在经典力学中所起的作用一样。
薛定谔方程是量子力学的一个基本假设,它 既不可能从已有的经典规律推导出来,也不可能 直接从实验事实总结出来(因为波函数本身是不 可观测的).实际上是“猜” 加“凑”出来的.方 程的正确性只能靠实践检验.到目前为止,实践检 验它是正确的.
c) 根据玻恩的解释，波函数本身并没有直接的 物理意义，有物理意义的是波函数模的平方，
波函数模的平方 | (r, t) |2 描述微观粒子在t时 刻出现在空间某处的概率。
从这点来说，物质波在本质上与电磁波、机械 波是不同的。物质波是一种概率波，它反映微 观粒子运动的统计规律。
波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点，只 给出到达各点的统计分布。一个粒子下一时刻出现在 什么地方，走什么路径是不知道的（非决定性的）。
第1章-波函数和schrodinger方程
例1.2 初速为零的电子，被电压为V的电场 加速，求其de Broglie波长。
解：若V不大时为非相对论情形，
由
eV
Ek
Ek 0
1 2
， m0v2
有
从而由（1.2）可求得
v 2eV m0
h h h 1 1.23 nm
h p h / k
2.微粒的波粒二象性
Bohr理论所遇到的困难说明探索微观 粒子运动规律的迫切性。
1924年de Broglie 在光有波粒二象性 的启示下，提出微观粒子也具有波动性的 假说：粒子的能量ε和动量p与波的频率ν 和波长λ之间的关系，正像光子和光波的 关系一样，为：
h p h / k
第1章 波函数和Schrödinger方程
内容：
§1.1光及微粒的波粒二象性 §1.2波函数的统计解释
—波粒二象性的物理图像 §1.3态叠加原理 §1.4 Schrödinger方程 §1.5粒子流密度和粒子数守恒定律 §1.6波函数的标准条件 §1.7定态Schrödinger方程
§1.1光及微粒的波粒二象性
在经典物理中，声波和光波都遵从
叠加原理：两个可能的波动过程1 和 2
的线性叠加a1
b
也是一个可能的波动
2
过程。
在量子力学中，概率波亦有如下的态
叠加原理：
如果1, 2 所描写的都是体系可能
实现的状态,那么它们的线性叠加 c11 c22
所描写的也是体系的一个可能实现的状态。
在电子在晶体表面衍射的实验中，粒子在
|2
d
3r
发散，故不能按上述方法归一化，其归一化
浅议量子力学中波函数满足的三个基本条件
浅议量子力学中波函数满足的三个基本条件
量子力学是物理学中测量和对单个粒子和一组原子核与电子的研究的基本理论。
它建立在哥白尔的粒子假设的基础上，它的基本原则是波动力学定律。
量子力学中波函数满足以下三个基本条件：
1、波函数是由Schrodinger方程来描述的，它是由描述微观物质的一种量子力学方程，代表了该物质的可能态。
2、波函数满足有限时间分解原理，即在一定时间内，波函数只是传播，而不改变其本身的形式。
3、Pauli 原子主定理声明，一个或几个原子不同状态之间的电子乘积态为交换不变，即电子恒定只跟原子状态有关，而不跟电子相互之间的排列组合有关，这就是称作波函数的不变。
以上就是量子力学中波函数满足的三个基本条件。
量子力学极大地改变了我们对微观世界的理解，并影响了后来的物理学发展过程。
它的理论框架提供了一个有效的方法来描述粒子特性，是现代物理学知识系统中不可或缺的一部分，也提供了当今宇宙充满奥秘的科学研究与探索的有力工具。
高斯波包推导
高斯波包推导高斯波包是指服从高斯分布的波函数形式。
下面是从Schrodinger方程出发，推导高斯波包的过程。
首先，假设一维情况下的波函数为：ψ(x, t) = A * exp(-(x-x0)^2 / (4Δx^2) + ik0x - iωt)其中，A是常数，x是位置，t是时间，x0是波包的中心位置，Δx是波包的宽度，k0是波矢，ω是角频率。
然后，将波函数代入Schrodinger方程：iħ ∂ψ(x,t) / ∂t = (-ħ^2 / (2m)) ∂^2ψ(x,t) / ∂x^2将波函数代入后，我们可以得到：iħ ∂(A * exp(-(x-x0)^2 / (4Δx^2) + ik0x - iωt)) / ∂t= (-ħ^2 / (2m)) ∂^2(A * exp(-(x-x0)^2 / (4Δx^2) + ik0x - iωt)) /∂x^2接下来，我们分别对时间和位置进行求导，并整理方程：iħ (-2(x-x0) / (4Δx^2) + ik0) A * exp(-(x-x0)^2 / (4Δx^2) + ik0x -iωt)= (-ħ^2 / (2m)) ((-1 / (2Δx^2)) * (2A / (4Δx^2)) * exp(-(x-x0)^2 / (4Δx^2) + ik0x - iωt) + A * exp(-(x-x0)^2 / (4Δx^2) + ik0x - iωt) * (-1 / (2Δx^2)))化简上述方程，可以得到：iħ (-2(x-x0) / (4Δx^2) + ik0) = (-ħ^2 / (2m)) (-1 / (2Δx^2))继续整理，得到以下关系式：(-2(x-x0) / (4Δx^2) + ik0) = (ħ /(mΔx^2))进一步化简，得到：(mΔx^2) * (-2(x-x0) / (4Δx^2) + ik0) = ħ * k0化简后，可以得到：-m(x-x0) + iħk0 / 2 = p其中，p是动量。
分子波函数与薛定谔方程
SD
1 r12
SD dr1d1dr2 d2
1
2
(1) 2
1
(2) 2 dr dr
2
(1)
(1)
1
(2)
a
rb
12
a
b
r
a
b
12
12
1
1
2 Jab 2
(1)
a
b
(1)
r
12
a
(2) b
(2)dr dr 12
J ab
1 2
i2
M k 1
Zk rik
Vi
j
电子相互作用势
Vi
j
ji
j dr
rij
j j 2
Hartree方法的多电子波函数总能
E
i
i
1 2
i
j
i
2
rij
j
2
dri drj
库仑积分 Jij
解出Hartree分子轨道后，如何将电子填入轨道？
输出优化后的结构
输出未优化结构
HF方法存在的问题
➢ 相关能问题 ➢ 积分计算的问题 ➢ 基组问题
1 2
J ab
20
J ab
Jab
Restricted Hartree-Fock自洽场方法
单电子Fock算符
fi
1 2
i2
M k 1
Zk rik
V HF i
j
电子相互作用势
量子力学第2章 波函数与Schrodinger方程-1
1. 波由粒子组成
如水波，声波等 矛盾：不能解释长时间单个电子衍射实验 反例：氢原子
2. 粒子由波组成
粒子的运动速度即波包的群速度
d k k 矛盾： v g dk m
反例：自由粒子
3
波包发散
3
2.1.2．几率波，多粒子系的波函数
电子究竟是什么东西呢？ 是粒子？还是波？
经典概念 1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
1. 扫描电子显微镜
17
SEM
17
电子显微镜下的 流行感冒病毒
18
电子显微镜下 的乙肝病毒
18
电子显微镜下的花粉
19
19
电子显微镜下的灯泡钨丝
20
20
电子显微镜下的光盘表面
21
21
电子显微镜下放大50k倍才观察到碳纳米管的真面目 22
22
2. 扫描隧道显微镜
STM
23
23
0 10
30
50
70
90
(nm)
24
硅晶体表面的STM扫描图象
24
神经细胞的STM扫描图象
25
25
操纵单个原子写出的“100”、“中国”
26
26
镶嵌了48个 Fe 原子的 Cu 表面的扫 描隧道显微镜照片。48 个 Fe 原子形 成“电子围栏”，围栏中的电子形成驻波。
27
27
1959年费曼的演讲《在底部还有很大的空间》
15 15
波函数的意义
2 r , t r , t r , t :几率密度
z
Ψ dV
t 时刻，在 r 端点处单位体
积中发现一个粒子的几率。
量子力学chapter2-薛定谔方程解析
12
§2 态叠加原理
（一）态叠加原理
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干 涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性， 两个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同 光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在 波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数 决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所 以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。
|Ψ(r,t)|2 的意义是代表电子在 t 时刻出现在 r 点附近几率的大小， 确切的说，|Ψ(r,t)|2 Δx Δy Δz 表示在 t 时刻，在 r 点处，体 积元ΔxΔyΔz中找到粒子的概率。波函数在空间某点的强度（振幅绝 对值的平方）和在这点找到粒子的概率成比例，
Ψ(r，t)
概率波
8
（三）波函数的性质
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
电子穿过狭缝 １出现在Ｐ点
题，以后再予以讨论。
10
（3）归一化波函数
Ψ(r,t )和CΨ(r,t )所描写状态的相对概率是相同的，这
里的 C 是常数。因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对概率之比是：
2
2
C(r1 , t ) (r1 , t )
C(r2 , t )
(r2 , t )
可见，Ψ(r,t) 和 CΨ(r,t )描述的是同一概率波，所以波函 数有一常数因子不定性。
C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ
这即是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是
绝对值平方可积的函数。
若 ∫∞|Ψ(r,t)|2dτ∞, 则 C0, 这是没有意义的。
除了个别孤立奇点外,波函数单值,有界,连续
第二章 波函数和薛定谔方程
§2.5 一维谐振子
思考题: • 对称性 动量表象
§2.5 一维谐振子
思考题: • n维谐振子体系等间距能级 n个粒子 元激发(elementary exitation) 集合产生湮 灭算符
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维非奇性势薛定谔方程的束缚态无简并
第二章 波函数和Schroinger方程
质子在钯中的波函数 /groups/materials%20characterisation/hydrogen%20in%20palladium.s html
薛定谔 ERWIN SCHRODINGER (1887-1961)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
角度部分的解
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
• 勒让德多项式的性质
别名
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.7 势垒贯穿
如果讨论的是势阱而不是势垒,那么只需要作代换
§2.7 势垒贯穿
共振透射的条件和共振能量
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
• • •
• •
辏力 普遍性质 若U(r)处处有界=>波函数处处有界 若U(r)有极小值,则体系平均能量必大于势场 的极小值 能量算符的本征值比大于势场的极小值 若无穷远处势场为零,则能量本征值小于零 的能谱必定是分立谱,对应束缚态
§2.5 一维谐振子
• • Motivation: 数学上: 学会一套规范化的求解薛定谔方程的方案 通过数学,看物理
2-1波函数和Schrodinger方程
微观粒子的状态用波函数 (r,t)完全描述。
52
11
不过它所描写的是大量粒子的统计行为。 对于单个粒子只能给出几率性的答复。
几率密度用 r,t 2 r,t r,t 表示，
其物理涵义是(见下图）：
z
Ψ
r
dV
t 时刻，在 r点处单位体积
中发现一个粒子的几率。
而t 时刻在 r点附近dV
p
22
4、不确定度关系（Uncertainty principle） 按照波函数的几率解释，经典轨道将会抛弃。 但由于波粒二象性，经典概念又不能全被抛弃。 那么，经典概念能多大程度上适用于量子力学？
Heisenberg将其形象地概括为 不确定度关系。
Werner Karl Heisenberg德国人 （1901-1976）
~
R
52
30
而由氢原子的球对称性质，得 Pr 0
(Pr )2
(Pr )2
(Pr )2
(Pr )2
2 R2
假设核静止，按非相对论，基态电子能量为
E Pr2 e2 2m 4π0r
作为数量级估算，可取
e2 e2 40r 40 R
则
2
e2
E
2mR 2 4π0R
52
31
即
E
2 2mR
2
e2 4π0 R
最稳定，即能量最低
令
dE dR
0
得
r0
4π 02
me2
0.53
Å
E mi n
2 2mR 2
e2 4π0 R
e2 8π0 R
13.6eV
52
32
5、力学量的平均值和算符的引进
schrodinger方程
schrodinger方程Schrodinger方程是一个描述量子力学中粒子随时间演化的数学方程。
它的主要思想是将粒子的位置信息转化为波函数的形式，并根据波函数的随时间演化，计算出粒子在时间上的变化。
下面将分步骤详细阐述Schrodinger方程的相关知识。
1. 量子态和波函数在量子力学中，我们无法精确地描述粒子的位置和动量信息，而只能用量子态来描述。
量子态可以是一个列向量，也可以是一个常数乘以列向量。
而波函数则是一个数学函数，它是用来描述量子态的工具。
波函数是一个复函数，它的平方即为粒子出现在某一位置时的概率。
波函数的模方必须为正值，且在整个空间上积分等于1，保证了粒子一定会存在于某个位置。
2. Schrodinger方程的基本形式Schrodinger方程的基本形式为：$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t) =\hat{H}\psi(x,t)$其中，$\hbar$是普朗克常数除以$2\pi$，$\hat{H}$是量子力学中的哈密顿算符。
哈密顿算符描述了物理系统的能量与动量的关系，它是粒子的动能加势能的和。
3. Schrodinger方程的一维形式一维Schrodinger方程的形式为：$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partialx^2}\psi(x,t)+V(x)\psi(x,t)$其中，$m$是粒子的质量，$V(x)$是势能函数。
这个方程可以用于描述一个自由粒子在势场中的运动。
4. Schrodinger方程的应用Schrodinger方程在量子力学中的应用非常广泛，它可以用于解决各种静态和动态问题。
静态问题包括计算某个势场下粒子的定态波函数和能量本征值。
动态问题包括计算粒子在势场中受到外界时间依赖作用的状态演化，以及计算一些简单的量子力学现象。
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析在量子力学中，薛定谔方程（Schrodinger Equation）是描述微观粒子行为的基本方程。
它以奥地利物理学家厄尔温·薛定谔（Erwin Schrodinger）的名字命名，是量子力学理论的核心。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m ∇²Ψ + VΨ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常量除以2π，∂Ψ/∂t表示波函数关于时间的偏导数，m是粒子的质量，∇²Ψ表示波函数的拉普拉斯算子，V是势能函数，Ψ表示波函数。
波函数Ψ是描述量子粒子的状态的数学函数。
它包含了粒子的位置、动量、自旋等信息。
根据量子力学的基本假设，波函数Ψ的模的平方|Ψ|² 可以解释为在不同位置找到粒子的概率密度。
薛定谔方程是一个偏微分方程，求解它得到的波函数解析表达式可以提供关于粒子行为的重要信息。
然而，对于复杂系统，薛定谔方程的解析求解并不容易。
因此，通常采用数值方法或近似方法进行求解。
对于简单系统，我们可以得到薛定谔方程的解析解。
以一维简谐振子为例，假设势能函数V(x) = 1/2 mω²x²，其中ω是振动频率。
代入薛定谔方程，可以得到一维简谐振子的波函数解析解：Ψ(x) = (mω/πħ)^(1/4) * exp(-mωx²/2ħ) * H(n) ((mω/ħ)^(1/2)x)其中H(n)是埃尔米特多项式（Hermite Polynomial），n为非负整数。
除了一维简谐振子，薛定谔方程的解析解还可以得到其他简单系统的波函数解。
例如，无限深势阱、方势垒、氢原子等都有其特定的波函数解析表达式。
对于更复杂的系统，如多粒子体系或相互作用系统，薛定谔方程的解析解非常困难。
这时，我们常常采用数值方法，如薛定谔方程的数值求解算法（如分裂算子法、变分法等）来获得波函数的近似解。
总之，薛定谔方程与波函数解析是量子力学研究中的重要内容。
第二章 波函数和 Schrodinger 方程 2010
若Ψ (r,t)已归一化，则 C(p, t)也是归一化的
证明： ∝ r r r 2 r ∗ r ∫ |c( p, t ) | dp = ∫ c ( p, t )c( p, t )dp
−∝
∞ r r r r r c( p, t ) = ∫ Φ∗ p (r )Ψ(r , t )dr −∞
r r r r r r ∗r r r ( r )dr ][ = ∫ [ ∫ Ψ ( r , t )Φ p ∫ Ψ(r ' , t )Φ p (r ' )dr ' ]dp r r r r ∗r r r ∗ r r ( r )Φ p ( r ' )dp = ∫∫ Ψ ( r , t )Ψ( r ' , t )dr dr ' ∫ Φ p r r r r r ∗ r = ∫∫ Ψ ( r , t )Ψ( r ' , t )dr dr ' δ ( r − r ' ) r r ∗ r = ∫ Ψ ( r , t )Ψ( r , t )dr = 1
称为 de
描写自由粒子的 平 面 波
Broglie 波。此式称为自由粒子的波函数。
如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能 量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波 描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：
r Ψ (r , t)
描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。
这即是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是绝 对值平方可积的函数。
∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ → ∞, 则 C → 0, 这是没有意义的。
r ⎡i r r ⎤ Ψ(r , t ) = A exp⎢ ( p • r − Et )⎥ ⎣h ⎦
第二章波函数和Schrodinger方程
（3）归一化波函数
Ψ (r, t ) 和 CΨ (r, t ) 所描写状态的相对几率是相同的，这里的 C 是常数。因为在 t 时刻，空间任意两点 r1和 r2处找到粒子的相对几率之比是： 。可见，Ψ (r, t )和CΨ (r, t )描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。
第二章 波函数和 Schrodinger 方程
§1 波函数的统计解释__量子力学的第一条假设:量子状态公设
一个微观粒子的状态可以由波函数来描述，波函数的模方为为粒子的概率密度，波函数满足归一化条件。简言之:波函数完全描述微观粒子状态
(一）波函数
描写自由粒子的平 面 波
称为de Broglie波。此式称为自由粒子的波函数。
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小≈1Å。
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？
“电子既不是粒子也不是波”，或者说既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们也可以说，“电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。”这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。
在空间各点发现光子的概率相同
用电子双缝衍射实验说明概率波的含义
(1)入射强电子流
干涉花样取决于概率分布，而概率分
布是确定的。
(2)入射弱电子流
入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间将显示衍射图样。电子干涉不是电子之间相互作用引起的，是电子波动性的结果。
波函数统计诠释涉及对世界本质的认识观念
物质波粒二象性的两种错误的看法
在 t 时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率是：w( r, t ) = {dW(r, t )/ dτ} = C |Ψ (r,t)|2称为几率密度。
量子力学教案
c2是复数）也是这个体系的一个可能状态。
量子态的叠加 相干性 新特点
• 可能性和概率 • 干涉项的概率性 • 是粒子运动状态概率波自身的干涉，
不是不同粒子之间的干涉
若体系处于迭加态ψ时，则体系部分处于ψ1态，部 分处于ψ2态。
ψ1几率
例：电子在晶体表面衍射实验，粒子在晶体表面反射 后，可能以各种不同的动量 p 运动
以一个确定的动量 p 运动的状态用波函数描写：
p (r, t) Ae i (Et pr)
按态叠加原理，晶体表面反射后，粒子的状态ψ 可以表示为 p取各种可能的平面波的线性叠加：
(r,t) c( p) p (r,t)
经典粒子：确定的力学量。 量子粒子：力学量（例如位置）不确定，只有平均值
确定。
4、几率归一化
粒子在全空间出现的几率为1。
(A)-1/2 (x,y,z)是归一化的波函数，与 (x,y,z)描写
同一几率波，(A)-1/2称为归一化因子。波函数归一化与 否，并不影响概率分布有何变化。
令
(x, y, z) A1 2 (x, y, z,t)
在 (r,t) 态的粒子，它的动量没有确定的值，由上 式可知：粒子可处于任何一个态 p (r ,t) ，但是当粒子
的状态确定后，粒子动量集于某一确定值的几率是一 定的。
可描写体系状态, 也可描写体系状态 是同一个态,不同自变量
代表在 的几率
态中，出现单色平面波
如若 则
五、力学量平均值
1、仅与坐标有关的力学量平均值
经典概念中波意味着：
1. 某种实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 2. 干涉、衍射现象，即相干叠加性。
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第1章波函数与Schrodinger方程
1.1 波函数的统计诠释
1.2 Schrodinger方程
1.3 量子态叠加原理
第2章一维势场中的粒子
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
2.2 方势
2.3 δ势
2.4 一维谐振子
第3章力学量用算符表达
3.1 算符的运算规则
3.2 厄米算符的本征值与本征函数
3.3 共同本征函数
3.4 连续谱本征函数的“归一化”
第4章力学量随时间的演化与对称性
4.1 力学量随时间的演化
*4.2 波包的运动，Ehrenfest定理
4.3 Schrodinger图像与Heisenberg图像
4.4 守恒量与对称性的关系
4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性
第5章中心力场
5.1 中心力场中粒子运动的一般性质
*5.2 无限深球方势阱
5.3 三维各向同性谐振子
5.4 氢原子
第6章电磁场中粒子的运动
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
6.2 正常Zeeman效应
6.3 Landau能级
第7章量子力学的矩阵形式与表象变换
7.1 量子态的不同表象，幺正变换
7.2 力学量(算符)的矩阵表示
7.3 量子力学的矩阵形式
7.4 Dirac符号
第8章自旋
8.1 电子自旋态与自旋算符
8.2 总角动量的本征态
8.3 碱金属原子光谱的双线结构与反常Zeeman效应8.4 自旋单态与三重态，*自旋纠缠态
第9章力学量本征值问题的代数解法
9.1 谐振子的Schrodinger因式分解法
9.2 角动量的本征值与本征态
*9.3 两个角动量的耦合，Clebsch-Gordan系数
第10章微扰论
10.1 束缚态微扰论
*10.2 散射态微扰论
第11章量子跃迁
11.1 量子态随时间的演化
*11.2 突发微扰与绝热微扰
11.3 周期微扰，有限时间内的常微扰*11.4 能量-时间不确定度关系
*11.5 光的吸收与辐射的半经典理论
第12章其他近似方法
*12.1 Fermi气体模型
12.2 变分法
*12.3 分子结构
注：加星号的部分只做概念上的要求。