10——扭转的强度和刚度计算

τ 1 = γτ max
其中 : WT = α b 2h
θ = Mx
GI T
, 其中 : IT = β b3h
对于狭长矩形 ( 即 : h ≥ 10 ) ; b
α ≈β ≈1
3
查表求α 和β 时一定要注意，表中α 和β 与那套公式对应。
[例] 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h = 100 mm， b=50mm，长度L=2m，杆的两端受扭转力偶 Mx =4000N·m 的作用 ，钢的G =80GPa ，试求此杆的剪应力和单位长度扭 转角。
T
Ip
≥
max
G[θ ]
T max ≤ GI p[θ ]
有时，还可依据此条件进行选材。
[例] 长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，
如图，若杆的内外径之比为α =0.8 ，G=80GPa ，许用剪应 力 [τ]=30MPa，试设计杆的外径；若[θ]=2º/m ，试校核此杆
的刚度，并求右端面转角。
石油钻机中的钻杆等。
扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线
垂直，杆发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
γ ϕBO
m
m
工 程 实 例
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这 种应力状态称为纯剪切应力状态。 四、剪切虎克定律：
T
T
τ =G⋅γ
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因γ 无量纲，故G的量纲与τ 相同，不同材料的G值可通过实验确定，
dx
τρ
=
Mx ⋅ρ
Ip
—横截面上距圆心为ρ处任一点剪应力计算公式。
4. 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。 ② 式中：Mx—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
ρ —该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
I p = ∫ A ρ 2dA 单位：mm4，m4。
①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ P1 ②若全轴选同一直径，应为多少？
P2
P3
③主动轮与从动轮如何安排合理？
解：①计算外力偶矩
A
B
C
m = 7.024 P (kN ⋅ m) n
②作扭矩图
T (kNm)
③由强度条件计算直径
500 –7.024
400
x
– 4.21
WP
=
π d13
16
≥
T
[τ ]
许用剪应力 [τ]=30M Pa, 试校核其强度。
m
m
解：①求扭矩及扭矩图
A T
B
C
D3 =135 D2=75 D1=70
m
TBC
=
m
=
P ×103
2πn
=
150 ×103 2 × 3.14 ×15.4
(N
⋅ m)
= 1.55(kN ⋅ m)
②计算并校核剪应力强度 ③此轴满足强度要求。
x
τ max
=
L T dx = 0 GI P
2 40 − 20 x dx 0 GI P
=
10 GI P
(4x − x2 )
2 0
=
0 .033
( 弧度）
[例] 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率P1 = 500 马力， 输出功率分别 P2 = 200马力及 P3 = 300马力，已
知：G=80GPa ，[τ ]=70M Pa，[θ ]=1º/m ，试确定：
θ = Mx
GI T
=
4000 80 ×109 × 286
×10 −8
= 0.01745 rad/m = 1o /m
§7 薄壁圆筒的扭转试验
解：①设计杆的外径
T 40Nm
WP
≥
Tmax
[τ ]
WP
=
πD3（1− α
16
4）
1
D
≥
⎜⎛ ⎝
16Tmax
π（1 − α 4）[τ
]
⎟⎞3 ⎠
代入数值得： D ≥ 0.0226m
② 由扭转刚度条件校核刚度
x
θ max
=
Tmax GI P
×
180
π
= 1.89o < [θ ]
③右端面转角为：
∫ ∫ ϕ =
2. 最大剪应力及单位扭转角
τ
max =
M x max WT
（长边中点处〕
τ 1 = γτ max （短边中点处〕
θ = Mx ,
GI T
其中：IT—相当极惯性矩。
IT = β b4
其中：WT = α b3
注意！ 对于W T 和 IT ，多数教材与手册上有如下定义：
τ
max =
M x max WT
浙江水利水电专科学校 高健
§1 概 述 §2 薄壁圆筒的扭转 §3 等直圆杆在扭转时的应力 §4 等直圆杆在扭转时的变形 §5 圆轴扭转时的强度和刚度计算
§6 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形 §7 薄壁圆筒的扭转试验
§1 概 述
一、扭转概念 轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、
θ = dϕ = M x (rad/m)
dx GI p
或
θ = dϕ = M x ⋅ 180 (°/m)
dx GI p π
GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。
§5 圆轴扭转时的强度和刚度计算
一、圆轴扭转时的强度计算
强度条件：
τmax ≤ [τ ]
对于等截面圆轴： Tmax ≤ [τ ]
WP
([τ] 称为许用剪应力。)
强度计算三方面： ① 校核强度： ② 设计截面尺寸：
③ 计算许可载荷：
τ max
= Tmax WP
≤ [τ ]
WP
≥
Tmax
[τ ]
WP
⎪⎩⎪⎨⎧空实：：ππ1Dd633（116−
α
⎫ ⎪ 4）⎪⎭⎬
Tmax ≤ WP[τ ]
[例]
功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，
例2 直径d＝100mm的实心圆轴，两端受力偶矩T=10kN·m作 用而扭转，求横截面上的最大切应力。若改用内、外直径比值为 0.5的空心圆轴，且横截面面积和以上实心轴横截面面积相等，问 最大切应力是多少?
解： 圆轴各横截面上的扭矩均为 Mx=T=10kN·m。 (1)实心圆截面
(2)空心圆截面 由面积相等的条件，可求得空心圆截面的内、外直径。令 内直径为d1，外直径为D，α = d1 / D = 0.5，则有
解：①查表求 α 、β
h b
=
100 50
=
2;
∴α = 0.457 ; β = 0.493
②计算剪应力
WT = β b3 = 0.493 × 0.053 = 61.6 ×10 −6 m 3
τ max
=
M x max Wt
=
4000 61.6 ×10 −6
= 65MPa
③计算单位长度扭转角
IT = α b 4 = 0.457 × 0.054 = 284 ×10 −8 m 4
③静力学方面
1. 横截面变形后仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。
T
T
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力： 1. 变形几何关系：
平面假设：变形后横截面仍为平面
γρ
≈
tanγ ρ
=
G1G′ dx
=
ρ ⋅ dϕ
dx
γρ
=
ρ
dϕ
dx
=
ρθ
距圆心为 ρ 任一点处的γρ与到圆心的距离ρ成正比。 θ = dϕ —— 单位长度杆的相对扭转角。
由此求得
空心圆截面
实心圆截面
计算结果表明，空心圆截面上的最大切应力比实心圆截
面上的小。这是因为在面积相同的条件下，空心圆截面的WP
比实心圆截面的大。此外，扭转切应力在截面上的分布规律 表明，实心圆截面中心部分的切应力很小，这部分面积上的 微内力离圆心近，力臂小，所以组成的扭矩也小，材料没有 被充分利用。而空心圆截面的材料分布得离圆心较远，截面 上各点的应力也较均匀，微内力对圆心的力臂大，在组成相 同扭矩的情况下，最大切应力必然减小。
例l 一直径为50mm的传动轴如图所示。电动机通过A轮输 入100kW的功率，由B,C和D轮分别输出45kW、25kW和30kW 以带动其它部件。要求：(1)画轴的扭矩图，(2)求轴的最大切 应力。
解 1.作用在轮上的力偶矩可 由公式计算得到，分别为
பைடு நூலகம்
2.作扭矩图 最大扭矩发生在AC段内
M x max = 1.75kN ⋅ m 3.最大切应力
一、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相 邻截面的翘曲程度完全相同。
二、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面 的翘曲程度不同。
三、矩形杆横截面上的剪应力: 1. 剪应力分布如图： （角点、形心、长短边中点） 矩形截面杆扭转时，横截面周
边上各点处的切应力平行于周边。
角点切应力等于零 边缘各点切 应力沿切线方向 最大切应力 发生在长边中点
钢材的G值约为80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三
个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系
G
=
E 2(1 +
μ)
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量 就可以推算出来。
§3 等直圆杆在扭转时的应力
①变形几何方面
等直圆杆横截面应力
②物理关系方面
一、等直圆杆扭转实验观察：
]
=
4
32× 7024×180 3.142 ×80×109 ×1
500
400
= 84mm
T
x
d 2′′
≥4
32 T
π G [θ ]
=4
32× 4210×180 3.142 ×80×109 ×1
= 74.4mm
综上： [d1] = 85mm, [d2] = 75mm
–7.024
–4.21
(kNm)
⑤全轴选同一直径时 [d] = [d1] = 85mm
T Wt
=
1.55 ×103
π ⋅ 0.073 16
= 23MPa
≤ [τ ]
二、刚度条件
θmax
=
T GI p
≤
[θ ]
(rad/m)
或
θmax
=
T GI p
⋅
180
π
≤
[θ
]
[θ ]称为许用单位扭转角。
(°/m)
刚度计算的三方面： ① 校核刚度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷：
θmax ≤ [θ ]
∴d1′ ≥ 3
16T
π[τ ]
=3
16 × 7024 3.14 × 70 ×106
= 80mm
∴ d2′
≥3
16T
π[τ ]
=3
16 × 4210 3.14 × 70 ×106
= 67.4mm
④由刚度条件计算直径：
P1
P2
P3
Ip
=
πd4
32
≥
T
G[θ
]
A
B
C
∴ d1′′≥
4
32 T
π G [θ
⑥ 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应
该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才
为 75mm。
P2
P1
P3
A
B
C
500
400
T (kNm)
2.814 x
– 4.21
§6 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形
非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保 持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不 适用，须由弹性力学方法求解。
思考题： 扭转圆轴横截面上切应力τ与ρ成正比的条件是什么？
§4 等直圆杆在扭转时的变形
一、扭转时的变形
由公式
dϕ = M x
dx GI p
T
T
知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角ϕ 为
∫ ϕ = ∫ dϕ = l M x dx 0 GI p
= M xl GI p
(若M x 值不变）
二、单位扭转角θ ：