——扭转的强度和刚度计算

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11圆轴扭转变形与刚度计算

11圆轴扭转变形与刚度计算
§7.5
圆轴扭转变形与刚度计算
m m

d T dx GI p
1
一、圆轴扭转变形公式

m
m

T ( x )dx 满足平面假设的圆轴: GI p ( x ) l Tl T=Const,等截面圆轴: GI p
GIp-抗扭刚度
d T dx GI p
Ti l i Ti,Ipi在各段内为常数的轴: i 1 GI pi
or
T 180 [ ] GI p max
/ m
等截面圆轴扭转的刚度条件为:
Tmax [ ] (rad/m) GI p
or
Tmax 180 [ ] GI p
/ m
4
【例题1】
传动轴图所示。主动轮A输入功率 PA=36kw , 从 动 轮 B 、 C 、 D 输 出 功 率 分 别 为 PB=PC=11kW , PD=14kW ,轴的转速为 n=300r/min , 许用切应力为[]=50MPa,切变模量为G=80GPa,单 位长度许用扭转角为[]=0.5()/m。试确定: 实心圆截面轴的直径d0;
l
x
12
三、圆轴扭转静不定问题
【例题3】 设有 A 、 B 两个凸缘的圆轴,在扭力矩 m 的作用下发生了变形。这时把一个薄壁圆筒与轴的 凸缘焊接在一起,然后解除m。设轴和圆筒的抗扭 刚度分别是 G1Ip1 和 G2Ip2 ,试求轴内和筒内的扭矩。
m
m
A
B
13
解:由于筒与轴的凸缘焊接在一起,外加扭力矩 m解 除后,圆轴必然力图恢复其扭转变形,而圆筒则阻抗 其恢复。这就使得在轴内和筒内分别出现扭矩T1和T2。 设想用横截面把轴与筒切开,因这时已无外力偶矩作 用,平衡方程为 T1-T2=0 一度静不定问题,应在寻求一个变形协调方程。

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算

圆轴扭转后横截面保持平面
第一个结论
圆轴扭转时,横截 面保持平面,平面上 各点只能在平面内转 动
圆轴扭转后横截面保持平面
假设平面不是刚性转动, 直径将变成曲线,A端观察 者看到的情形。
圆轴扭转后横截面保持平面
假设平面不是刚性转动, 直径将变成曲线,B端观察 者看到的情形。
圆轴扭转后横截面保持平面
最终结论
圆轴扭转时,横 截面 保持平面,并且 只能发生刚性转动。
圆轴扭转后横截面保持平面
变形协调方程
圆轴扭转时的变形协调方程
若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱,根据上述结论,在dx长度 上,虽然所有圆柱的两端面均转过相同的角度d,但半径不等的圆柱上产生的剪 应变各不相同,半径越小者剪应变越小。
其中P为功率,单位为千瓦(kW); n为轴的转速,单位为转/分(r/min)。
4.1外加扭力矩、扭矩与 扭矩图
P[马力]
Me
7024 n[r / min]
[N m]
若P为功率,单位为马力 (1马力=735.5 N•m/s )
n为轴的转速,单位为转/分(r/min)
4.1外加扭力矩、扭矩与 扭矩图
max
M x,max Wp
[ ]
[ ]为许用剪应力;是指圆轴所有横截面
上最大剪应力中的最大者,
钢 [ ] (0.5 ~ 0.6)[ ] 铸铁 [ ] (0.8 ~ 1)[ ]
例题1
已知:P=7.5kW, n=100r/min,最大剪应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直 径之比 = 0.5。二轴长度相同。
圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式
圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式
圆轴扭转时横截面上的最大剪应力

材料力学扭转刚度知识点总结

材料力学扭转刚度知识点总结

材料力学扭转刚度知识点总结材料力学是力学的一个重要分支,主要研究材料的物理性质和机械行为。

扭转刚度是材料力学中的一个重要概念,用来描述材料对扭转加载的响应。

本文将对材料力学扭转刚度的相关知识点进行总结。

一、扭转刚度的定义扭转刚度是指材料在扭转加载下对外部力矩的抵抗能力。

扭转刚度直接与材料的几何形状、材料的性质以及加载方式有关。

二、扭转刚度的计算方法在计算扭转刚度时,需要考虑两个主要参数:扭转角度和转矩。

扭转角度是指材料在加载时发生的旋转变形,常用弧度来表示。

转矩是施加在材料上的力矩,用来产生扭转变形。

计算扭转刚度的方法有多种,常用的方法包括静态法、动态法和半经验法。

静态法是将扭转过程建模为刚性体的旋转问题,并应用牛顿第二定律进行分析。

动态法则是通过测量材料在一定频率下的振动响应来计算扭转刚度。

半经验法是将理论分析与试验数据相结合进行计算,通常用于复杂加载条件下的扭转刚度计算。

三、影响扭转刚度的因素1. 几何形状:扭转刚度与材料的几何形状密切相关。

例如,圆形截面材料相对于矩形截面材料来说,具有更高的扭转刚度。

2. 材料的性质:不同材料具有不同的扭转刚度。

例如,钢材相对于铝材来说,由于其高强度和高刚度,具有较高的扭转刚度。

3. 载荷方式:不同的加载方式会对扭转刚度产生不同的影响。

例如,纯扭转加载方式下的扭转刚度与剪切加载方式下的扭转刚度不同。

4. 温度:温度对材料的性能有很大影响,进而会影响材料的扭转刚度。

四、应用领域扭转刚度的概念在工程领域有广泛应用。

例如,在建筑结构设计中,需要考虑材料的扭转刚度来保证结构的稳定性和安全性。

同时,在机械工程中,考虑到机械零件的扭转刚度可以帮助设计出更耐用和可靠的机械设备。

另外,扭转刚度还在材料疲劳寿命、材料可塑性等方面具有重要作用。

对于疲劳寿命的预测和控制,了解材料的扭转刚度是至关重要的。

结论材料力学扭转刚度是材料力学中的重要内容,它描述了材料在扭转加载下的变形行为。

(仅供参考)第十九章-扭转的强度与刚度计算

(仅供参考)第十九章-扭转的强度与刚度计算

一、外力偶矩的计算
前面已经指出 ,使轴产生扭转变形的是外力偶矩。但是作用于轴上的外力偶矩往
往不是直接给出的,而是给定轴所传递的功率和轴的转速。以图 19-3 所示的传动轴为例,
由电动机的转速和功率可以求出传动轴 AB 的转速及通过皮带轮输入的功率。功率由皮
带轮传到轴 AB 上,再经右端的齿轮输出。设通过皮带轮给 AB 轴输入的功率为 N(kW),
因为 1kW=1000N·m/s 因此每秒钟输入功应为 : W = N ×1000(N ⋅ m)
(a)
电动机是通过皮带轮以力偶矩 Me 作用于 AB 轴上的,若 AB 轴的转速为每分钟 n 转,
则力偶矩 Me 在每秒内完成的功应为 :
W = 2π × n × Me(N ⋅ m)
(b)
60
因为 Me 所完成的功也就是皮带轮给 AB 轴输入的功,故(a)、(b)两式应相等,这
据微元的平衡要求,不仅左右一对面上有大小相等,方向相反的剪应力 τ ,在上下一对
面也必须有剪应力τ ′ ,而且由力矩平衡条件 ∑ mz = 0 有:
(τtdy)dx = (τ ′tdx)dy
由此得到:
τ =τ′
(19-2)
这表明,在相互垂直的两个微面上,剪应力总是成对出现的,它们数值相等,而方
向均垂直于两微面的交线,或指向或背离这一交线。这就是剪应力互等定理。
利用第三节中的(b)式和(c)式,上式可以写成:
φ
φ
图 19-9
u = 1 τγ 2
再由剪切胡克定律(式 19-3)得:
u = 1 τγ = τ 2 2 2G
46
第四节 圆轴扭转时的应力与变形
一、横截面上剪应力计算公式
圆轴扭转时,在已知横截面上的扭矩后,还应进一步研究横截面上的应力分布规律,

18圆轴扭转的强度和刚度计算

18圆轴扭转的强度和刚度计算

T
max
WP
[ ]
此时 T max 作用截面即为轴的危险截面;而对于变 截面圆轴,则要求:
max
T W P
[ ] max
此时,由于圆轴各段的抗扭截面系数不同,最大扭 矩作用截面不一定是危险截面。需要综合考虑扭矩和抗 扭截面系数的大小,判断可产生最大切应力的各横截面。 上面两式称为圆轴扭转强度条件。 11
17
巩固练习
18
巩固练习
【练习1】在例1中,若将该传动轴设计为空心轴,已
= 知:
di 0.9 ,试设计圆轴直径,并比较重量。 D
19
巩固练习
20
归纳总结 在在工程实际中,空心轴得到了广泛的应用,这主要是由 扭转切应力的分布规律决定的。 实心圆轴横截面上的扭转切应力分布如图(a)所示,当截面 周边处的切应力达到许用切应力时,圆心附近各点处的切应力 仍很小,这部分材料就没有充分发挥作用。所以,为了合理利 用材料,宜将材料放置在离圆心较远的部位,作成空心轴,此 时切应力分布规律如图(b)所示,其切应力和内力的力臂都将增 大,轴的抗扭能力将大大增强。
WP
D 3
16
d/D
IP 单位:mm4, WP单位:mm3
实例分析
扭转实验结果
4
任务十八 圆轴扭转时的强度和 刚度计算
教学目标
教学目标: (1)掌握基本概念; ( 2)掌握扭转变形时强度和刚度计算方法。 重点: (1)扭转变形时强度条件和刚度条件理解。 难点: (1)强度和刚度的计算方法应用。
扭转极限应力
由此可见,对于受扭 轴,塑性材料失效的标志 是屈服,试件屈服时横截 面上的最大切应力,即为 材料的扭转屈服应力,可 用 s 表示;脆性材料失效 的标志是断裂,试件断裂 时横截面上的最大切应力 即为材料的扭转强度极限, 用来 b 表示。

材料力学-第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算

材料力学-第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算
B
I
C
A
II
D
III
I
II
III
M
x
0
确定各段圆轴内的扭 矩。
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
3 . 建立 Mx - x 坐 标系,画出扭矩图 建 立 Mx - x 坐 标 系,其中x轴平行于 圆轴的轴线,Mx轴垂 直于圆轴的轴线。将 所求得的各段的扭矩 值,标在 Mx - x 坐标 系中,得到相应的点 ,过这些点作x轴的 平行线,即得到所需 要的扭矩图。
P M e 9549 [N m] n
其中P为功率,单位为千瓦(kW);n为轴的转速,单位为转/ 分(r/min)。 如果功率P的单位用马力(1马力=735.5 N•m/s),则
P[马力] M e 7024 [N m] n[r / min]
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴 外加扭力矩、扭矩与扭矩图 剪应力互等定理 剪切胡克定律
圆轴扭转时横截面上的剪应力分析 与强度设计 圆杆扭转时的变形及刚度条件 结论与讨论
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
绘出扭矩图:
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
B C
I
外加扭力矩、扭矩与扭矩图 A III D II
I 扭矩Mn-图
II
III
159.2
(+)
(-)
63.7 159.2
M n,max 159.2( N m)
(在CA段和AD段)

材料力学 第三章 扭 转

材料力学 第三章 扭 转

T2
T1
d
T3
Mx1=0.5kN· m
Mx2 =0.32kN· m lAB=300mm G=80GPa d=50mm
B
T2
φAB
lAB
A T1
lAC d φAC
C T3
B
lAB
A
lAC
C
M x1l AB j AB = GI P 500 0.3 = 9 80 10 0.054 32
r O
Mx
几何分析
变 形 应变分布
物理关系
应力分布
平面假定 静力学方程
应力公式
1. 变形几何关系
周线
a b c d
T
周线
a c d
γ
T
φ
b
纵线
dx
纵线
dx
a
c
a
γ
c c' d d'
b
d
b
(1)变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变,绕杆轴线相对转动。 (2)所有的纵线都转过了同一角度g。
T
周线
A

ρ o
ρ2dA
∫ 0ρ2·2πρdρ =
π d = 32
4
d/2
d
3 Ip π d Wp = r = 16
2. 空心圆截面
π D 4 - π d 4 π D 4(1-α4) Ip= 32 32 = 32 α=d/D
ρ o

π D3 Wp = 16 (1-α4)
d D
3.薄壁圆环截面
I P = 2r0
故该轴满足切应力强度要求。
二、刚度计算 等直圆杆扭转的刚度条件为
θ max = Mxmax ≤[θ] GI

转轴扭转强度、刚度校核

转轴扭转强度、刚度校核
max M n/Wn (1500 103 / 29800 )MPa 50.3MPa<[ ]
传动轴满足强度要求。 2)刚度校核 传动轴的极惯性矩为
IP 0.1D 4 (1 a4 ) {0.1 904[1 (85 / 90)4 ]}mm4 134 10 4 mm4
max 180 M n /(GI P ) (180 1500 103 / 80 103 134 10 4 ) 103/m
当两轴材料、长度相同,它们的重量之比等于横截面面
积之比。设A1、A2分别为空心轴和实心轴的面积,则有
A 1
/
A 2
[
(D
2
d
2)
/
4] /(D 22
/
4)
(90 2
852 )
/
612
0.235
第四节 圆轴扭转时的强度和刚度计算
一、强度计算
为了保证圆轴安全正常地工作,即
max M n/Wn [ ]
(6-12)
例6-4 某传动轴,已知轴的直径d=40mm,转速
n材=料20的0许r/m用i切n,应力 60MPa ,试求此轴可传递的最大功率。
解 (1)确定许可外力偶矩
由扭转强度条件得
M n Wn[ ] (0.2 403 109 60 106 )N m 768N m

大力偶矩M =1500N·m,G =80GPa。
(1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴,试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。 解 (1)试校核其强度及刚度。 1) 强度校核 传动轴各截面上的扭矩均为
Mn = M = 1500N·m
传动轴的抗扭截面系数为
Wn 0.2D 3 (1 d 4 ) {0.2 903[1 (85 / 90)4 ]}mm3 29800 mm3 传动轴横截面上的最大切应力为

名师讲义【赵堔】工程力学第9章扭转强度与刚度

名师讲义【赵堔】工程力学第9章扭转强度与刚度

d MTn x dx
GI p
AB 截面相对扭转角为:
l
d
l
MTn x dx
GI p
# 图示为变截面圆杆,A、B 两端直径分别为 d1、d2 。
从中取 dx 段,该段相邻两截 面的扭转角为:
d T dx
GI P (x)
AB 截面相对扭转角为:
d
T dx
L
L GI P ( x)
三、 扭转杆的刚度计算
圆管强度。
解:1. 计算扭矩作扭矩图
2. 强度校核
危险截面:截面 A 与 B
A
TA
2πR02d1
ml
2πR02d1
44.6
MPa [
]
ml
B
TB
2π 2
27.9
MPa [
]
圆管强度足够
例 图示阶梯状圆轴,AB段直径 d1=120mm,BC段直径
d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m, MB=36 kN•m,
d
5、切应力的计算公式:
dA 对圆心的矩 → dAr0
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
T
2r0 2t
薄壁圆筒扭转时 横截面上的切应力计算式
二、关于切应力的若干重要性质
1、剪切虎克定律
为扭转角 r0 l
l
r0 即
l
做薄壁圆筒的扭转试验可得 T
纵轴 T——
T
2r02t
核轴的刚度 解:1. 内力、变形分析
T1 MA 180 N m
AB
T1l GIp
1.5010-2
rad
T2 MC 140 N m

第四章扭转的强度与刚度计算

第四章扭转的强度与刚度计算
Mnn+MC亠MB=0
Mnn=—MC-MB=—702(N•m)
AD段:Mnm—MD=0
Mnm=MD=468(N•m)
根据所得数据,即可画出扭矩图[图19—5(e)]。由扭矩图可知,最大扭矩发生在CA段内,且Mnmax=702N•m
如图19-15所示汽车传动轴AB,由45号钢无缝钢管制成,该轴的外径
D=90mm,壁厚t=2.5mm,工作时的最大扭矩Mn=1.5kNm,材料的许用剪应力[」=
60MPa。求(1)试校核AB轴的强度;(2)将AB轴改为实心轴,试在强度相同的条件 下,确定轴的直径,并比较实心轴和空心轴的重量。
解 (1)校核AB轴的强度:
d D _2t
ot=—=
D D
90一22・5=0.944
90
轴的最大剪应力为
力偶矩m’=0.8kN -m,M3=1.5kN -m,已知材料的剪切弹性模量G=80GPa,试计算:AC
BC段:以Mn1表示截面1一1上的扭矩,并任意地把mn1的方向假设为图19-5(b)
所示。根据平衡条件'mx=0得:
Mn1亠MB=0
Mn1_-MB_-351(N•m)
结果的负号说明实际扭矩的方向与所设的相反,应为负扭矩。BC段内各截面上的
扭矩不变,均为351N•m。所以这一段内扭矩图为一水平线。同理,在CA段内:
和最大的单位长度扭转角咖。
解(1)画扭矩图:用截面法逐段求得:
mn1=m’=0.8kN-m
Mn2- -M3--1.5kN-m
画出扭矩图[图19-16(b)]
(2) 计算极惯性矩:
3b1N-m
¥
1
702Nm
图Байду номын сангаас9-5

强度和刚度的概念总是混淆?看完这篇就懂了

强度和刚度的概念总是混淆?看完这篇就懂了

强度和刚度的概念总是混淆?看完这篇就懂了很多⼈对⼒学中强度和刚度的概念总是混淆,今天就来谈⼀下⾃⼰的理解。

书中说为了保证机械系统或者整个结构的正常⼯作,其中每个零部件或者构件都必须能够正常的⼯作。

⼯程构件安全设计的任务就是保证构件具有⾜够的强度、刚度及稳定性。

稳定性很好理解,受⼒作⽤下保持或者恢复原来平衡形式的能⼒。

例如承压的细杆突然弯曲,薄壁构件承重发⽣褶皱或者建筑物的⽴柱失稳导致坍塌,很好理解。

今天主要来讲⼀下对于刚度和强度的理解。

强度1定义:构件或者零部件在外⼒作⽤下,抵御破坏(断裂)或者显著变形的能⼒。

⽐如说孙越把ipad当成了体重秤,站上去,ipad屏幕裂了,这就是强度不够。

⽐如武汉每年的夏天看海时许多⼤树枝被风吹断,这也是强度不够。

强度是反映材料发⽣断裂等破坏时的参数,强度⼀般有抗拉强度、抗压强度等,就是当应⼒达到多少时材料发⽣破坏的量,强度单位⼀般是兆帕。

1.1破坏类型脆性断裂:在没有明显的塑性变形情况下发⽣的突然断裂。

如铸铁试件在拉伸时沿横截⾯的断裂和圆截⾯铸铁试件在扭转时沿斜截⾯的断裂。

塑性屈服:材料产⽣显著的塑形变形⽽使构件丧失⼯作能⼒,如低碳钢试样在拉伸或扭转时都会发⽣显著的塑性变形。

1.2强度理论最⼤拉应⼒理论:只要构件内⼀点处的最⼤拉应⼒σ1达到单向应⼒状态下的极限应⼒σb,材料就要发⽣脆性断裂。

于是危险点处于复杂应⼒状态的构件发⽣脆性断裂破坏的条件是:σ1=σb。

所以,按第⼀强度理论建⽴的强度条件为:σ1≤[σ] 。

最⼤拉应变理论:只要最⼤拉应变ε1达到单向应⼒状态下的极限值εu,材料就要发⽣脆性断裂破坏,ε1=εu。

由⼴义胡克定律得:ε1=[σ1-u(σ2+σ3)]/E,所以σ1-u(σ2+σ3)=σb。

按第⼆强度理论建⽴的强度条件为:σ1-u(σ2+σ3)≤[σ]。

最⼤切应⼒理论:只要最⼤切应⼒τmax达到单向应⼒状态下的极限切应⼒τ0,材料就要发⽣屈服破坏。

τmax=τ0。

圆轴扭转时的强度和刚度计算

圆轴扭转时的强度和刚度计算

A1 / A2 = [π (D 2 − d 2 ) / 4] /(πD 2 2 / 4) = (90 2 − 852 ) / 612 = 0.235
传动轴满足强度要求。 2)刚度校核 传动轴的极惯性矩为
I P = 0.1D 4 (1 − a 4 ) = {0.1 × 90 4 [1 − (85 / 90 ) 4 ]}mm 4 = 134 × 10 4 mm 4 θ max = 180 M n /(πGI P )
= (180 × 1500 × 10 3 / 80 × 10 3 × 134 × 10 4 π ) × 10 3 °/m
= 0.8°/m < [θ ]
传动轴满足刚度要求。 (2)计算实心轴的直径
1)按强度条件设计(设直径为D1)。若实心轴与空心轴强 度相同,当材料相同时,它们的抗扭截面系数应相等,即
W n = πD 13 / 16 = πD 3 (1 Βιβλιοθήκη a 4 ) / 16由此得
D 1 = D3 1 − a 4 = [90 × 3 1 − (85 / 90) 4 ]mm = 53mm
根据扭转刚度条件,可以解决三类问题, 即校核刚度、 设计截面和确定许可载荷 。
例6-5 汽车传动轴AB由45号无缝钢管制成,外径D=90mm,
[ 内径d=85mm,许用切应力 [τ ]=60MPa,θ ] =1.0°/m,工作时最
大力偶矩M =1500N·m,G =80GPa。 (1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴,试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。 解 (1)试校核其强度及刚度。 1) 强度校核 传动轴各截面上的扭矩均为
θ max = 180M n /(πGI P ) ≤ [θ ]
(6-13)

第7章 扭转的强度和刚度计算

第7章  扭转的强度和刚度计算

WP
D3
16
1
4
3 M nmax 16
14 76.7mm
21
M n21L GIP
0.00734rad
13 34
M n13L MGn3I4PL
GIP
0.00917rad 0.00275rad
第四章 扭转/四 圆轴扭转时的刚度计算
3 圆轴扭转时的刚度条件 要求单位长度的扭转角不超过某一许用值,即:
M n max GIP
1800
M n max
G d 4
1800
0 m
32
d
4
M nmax 180 32
G 2
4
7004 180 32
80109 2 0.3
0.114m 11.4 cm
由此应选直径 d maxd强,d刚=max9.6,11.411.4cm
2. 选择空心圆轴直径
• 按强度条件
Mn WP
实心圆截面 d
d
d
2
IP 2dA 2 2 d 2 3d
A
A
0
IP
d 4
32
WP
d 3
16
空心圆截面
D
d
D
IP
2
2 3d
D4 d4
d
32
d
D
2
IP
D4
32
1 4
WP
D3
16
1 4
第四章 扭转
四 圆轴扭转时的刚度计算
第7章 扭转的强度和刚度计算
1 扭转角 与剪切角
1.5KN·m,AB段的直径d1=4cm,BC段的直径d2=7cm。已知材料的剪切弹性模
量G=80GPa,试计算φAB和φAC。

清华出版社工程力学答案-第7章 圆轴扭转时的强度与刚度计算

清华出版社工程力学答案-第7章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
解:τ (ρ) = M x ρ Ip 在推导时利用了等截面圆轴受扭后,其横截面保持平面的假设,同时 推导过程中还应用了剪切胡克定律,要求在线弹性范围加载。所以正确答案是 A 。
7-2 两根长度相等、直径不等的圆轴承受相同的扭矩受扭后,轴表面上母线转过相同 的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大剪应力分别为 τ1max 和 τ 2max ,剪切弹 性模量分别为 G1 和 G2。试判断下列结论的正确性。
解: τ 轴max
=
Mx Wp1
= T1 πd 3
≤ 60 ×106
16
T1

60 ×106
× π× 663 16
× 10 −9
=
3387 N·m
τ 套 max
= Mx Wp2
=
T2 πd 3 ⎜⎛1 − ( 68 )4 ⎟⎞
≤ 60 ×106
16 ⎝ 80 ⎠
T2

60 ×106
× π× 803 16
8
7-12 功率为 150kW、转速为 15.4r/s(转/秒)的电机轴如图所示。其中 d1=135mm, d2=75mm,d3=90mm,d4=70mm,d5=65mm。轴外伸端装有胶带轮。试对轴的扭转强度进行 校核。
Me
Me
d5 d2 d1 d3 d4
电机轴
习题 7-12 图
解:1. 求外力偶矩
(A) τ 1max > τ 2 max ; (B) τ 1max < τ 2 max ; (C)若 G1>G2,则有 τ1max > τ 2 max ; (D)若 G1>G2,则有 τ1max < τ 2 max 。
解:因两圆轴等长,轴表面上母线转过相同角度,指切应变相同,即 γ1 = γ 2 = γ 由剪切 胡克定律 τ = Gγ 知 G1 > G2 时, τ1max > τ2 max 。因此,正确答案是 C 。

圆轴扭转时的强度与刚度计算材料力学

圆轴扭转时的强度与刚度计算材料力学


度条件为
max
Mn Wp
maxG MnIp •180
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精品课件!
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• (五)用强度,刚度条件解决实际部题的步骤

1)求出轴上外力偶矩;

2)计算扭矩和作出扭矩图;

3)分析危险截面;

4)列出危险截面的强度、刚度条件并进行计算。
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• 二 剪应力计算:
• 1 几何关系: • • 2 物理关系:
P G
• • 3 静力关系:
Mnl d
G Ip
Mn d GIp d
• 扭转剪应力公式:
p
M n Ip
max
Mn Wp
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•三
• •
截面极惯性矩 ;抗扭截面模量
ax

故求得直径为
4010
D3
16Mnmax3
1
6
628.467
0 .03 m 332 .2 3 mm
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• (4)由刚度条件,得
maxM G nm pIax180G M nm D a4x 18 G n m 2a•x 18038 2 0 216 80 . 46 7 21 180
m ax0 .5 WM Pn 0 .6
0 .8 1 .0
• 2 强度计算的三个方面:

a 强度校核

b 截面选择

c 许可荷载确定
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• 例1 如图为一钢圆轴,两端受外力偶m的作用,已知m=2.5
• KN.m,直径d=60m,许用应力为60MPa。试校核该轴的强度。

材料力学课件:第3章 圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度计算计算

材料力学课件:第3章 圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度计算计算
韧性材料:不耐剪,最大剪应力所处截面是”最短木板”! 破坏方式是被剪断!
脆性材料:不耐拉,最大拉应力所处截面是”最短木板”! 破坏方式是被拉断!
承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计
扭转强度设计
承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计
扭转强度设计
与拉伸强度设计相类似,扭转强度设计时,首先需要根 据扭矩图和横截面的尺寸判断可能的危险截面;然后根据 危险截面上的应力分布确定危险点(即最大剪应力作用 点);最后利用试验结果直接建立扭转时的强度设计准则。
承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计
扭转实验与扭转破坏现象
韧性材料与脆性材料扭 转破坏时,其试样断口有着 明显的区别。韧性材料试样 最后沿横截面剪断,断口比 较光滑、平整。
铸铁试样扭转破坏时沿 45°螺旋面断开,断口呈细 小颗粒状。
经济学术语中的“木桶效应”,是说对于一个沿口 不齐的木桶而言,它盛水的多少并不在于木桶上那 块最长的木板,而在于木桶上最短的那块木板。
已知:钢制空心圆轴的外直径D=100 mm,内直径d=50 mm。若要求轴在2 m长度内的最大相对扭转角不超过1.5(),材 料的切变模量G=80.4 GPa。
试: 1. 求该轴所能承受的最大扭矩; 2. 确定此时轴内最大剪应力。
解: 1.确定轴所能承受的最大扭矩 根据刚度设计准则,有
承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计

max
Mx WP
=16M x πd13
=16
1.5kN πd13
m
103
=50.9
106
Pa
据此,实心轴的直径
d1=3
16 1.5kN m 103=53.1103 m=53.1mm π 50.9 106 Pa

63扭转强度与刚度计算

63扭转强度与刚度计算

8
2、强度校核
max1
MT1 WT 1 3000 16 3.14 (75 10 )
3 3
36.2( MPa) [ ]
max 2
MT 2 WT 2

1200 16 3.14 (50 10 )
3 3
48.9( MPa) [ ]
轴的强度足够!
180
7
例题2 已知阶梯轴如图示,m1=1800N.m; m2=1200N.m, G=80GPa,[τ]=80MPa, 1) 试求τmax的值,并作强度校核; 2)若 [θ] =1.5 o /m,试校核其刚度;3)轴的总变形。
m1
m2
50 75
750
50
MT x
-1200N.m -3000N.m
解:1、求内力,作扭矩图
3、刚度校核
1
d M T 1 dx GI P1
MT 2 d dx GI P 2

3000 80109
2
4、总变形
1 3.14 (75103 ) 4 32 1200 180 o 1.402( / m) [ ] 1 80109 3.14 (50103 ) 4 3


§6–2 外力偶矩T和内力偶矩MT
§6–3 等直圆轴扭转时的应力和变形 §6–4 圆杆扭转时的强度与刚度计算 §6–5 切应力互等定律的证明 §6–6 矩形截面等直杆在自由扭转时的应力和变形
2
教学内容:
• 圆杆扭转时的强度和刚度条件;矩形截面等直杆 的自由扭转。
• 教学要求:
注意! h b 查表求 和 时一定要注意,表中 和 与那套公式对应。
14
1
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例l 一直径为50mm的传动轴如图所示。电动机通过A轮输 入100kW的功率,由B,C和D轮分别输出45kW、25kW和30kW 以带动其它部件。要求:(1)画轴的扭矩图,(2)求轴的最大切 应力。
解 1.作用在轮上的力偶矩可 由公式计算得到,分别为
2.作扭矩图 最大扭矩发生在AC段内
M x max = 1.75kN ⋅ m 3.最大切应力
WP
([τ] 称为许用剪应力。)
强度计算三方面: ① 校核强度: ② 设计截面尺寸:
③ 计算许可载荷:
τ max
= Tmax WP
≤ [τ ]
WP

Tmax
[τ ]
WP
⎪⎩⎪⎨⎧空实::ππ1Dd633(116−
α
⎫ ⎪ 4)⎪⎭⎬
Tmax ≤ WP[τ ]
[例]
功率为150kW,转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图,
θ = Mx
GI T
=
4000 80 ×109 × 286
×10 −8
= 0.01745 rad/m = 1o /m
§7 薄壁圆筒的扭转试验
例2 直径d=100mm的实心圆轴,两端受力偶矩T=10kN·m作 用而扭转,求横截面上的最大切应力。若改用内、外直径比值为 0.5的空心圆轴,且横截面面积和以上实心轴横截面面积相等,问 最大切应力是多少?
解: 圆轴各横截面上的扭矩均为 Mx=T=10kN·m。 (1)实心圆截面
(2)空心圆截面 由面积相等的条件,可求得空心圆截面的内、外直径。令 内直径为d1,外直径为D,α = d1 / D = 0.5,则有
由此求得
空心圆截面
实心圆截面
计算结果表明,空心圆截面上的最大切应力比实心圆截
面上的小。这是因为在面积相同的条件下,空心圆截面的WP
比实心圆截面的大。此外,扭转切应力在截面上的分布规律 表明,实心圆截面中心部分的切应力很小,这部分面积上的 微内力离圆心近,力臂小,所以组成的扭矩也小,材料没有 被充分利用。而空心圆截面的材料分布得离圆心较远,截面 上各点的应力也较均匀,微内力对圆心的力臂大,在组成相 同扭矩的情况下,最大切应力必然减小。
∴d1′ ≥ 3
16T
π[τ ]
=3
16 × 7024 3.14 × 70 ×106
= 80mm
∴ d2′
≥3
16T
π[τ ]
=3
16 × 4210 3.14 × 70 ×106
= 67.4mm
④由刚度条件计算直径:
P1
P2
P3
Ip
=
πd4
32

T
G[θ
]
A
B
C
∴ d1′′≥
4
32 T
π G [θ
]
=
4
32× 7024×180 3.142 ×80×109 ×1
500
400
= 84mm
T
x
d 2′′
≥4
32 T
π G [θ ]
=4
32× 4210×180 3.142 ×80×109 ×1
= 74.4mm
综上: [d1] = 85mm, [d2] = 75mm
–7.024
–4.21
(kNm)
⑤全轴选同一直径时 [d] = [d1] = 85mm
①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ? P1 ②若全轴选同一直径,应为多少?
P2
P3
③主动轮与从动轮如何安排合理?
解:①计算外力偶矩
A
B
C
m = 7.024 P (kN ⋅ m) n
②作扭矩图
T (kNm)
③由强度条件计算直径
500 –7.024
400
x
– 4.21
WP
=
π d13
16

T
[τ ]
许用剪应力 [τ]=30M Pa, 试校核其强度。
m
m
解:①求扭矩及扭矩图
A T
B
C
D3 =135 D2=75 D1=70
m
TBC
=
m
=
P ×103
2πn
=
150 ×103 2 × 3.14 ×15.4
(N
⋅ m)
= 1.55(kN ⋅ m)
②计算并校核剪应力强度 ③此轴满足强度要求。
x
τ max
=
dx
τρ
=
Mx ⋅ρ
Ip
—横截面上距圆心为ρ处任一点剪应力计算公式。
4. 公式讨论: ① 仅适用于各向同性、线弹性材料,在小变形时的等圆截面
直杆。 ② 式中:Mx—横截面上的扭矩,由截面法通过外力偶矩求得。
ρ —该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩,纯几何量,无物理意义。
I p = ∫ A ρ 2dA 单位:mm4,m4。
浙江水利水电专科学校 高健
§1 概 述 §2 薄壁圆筒的扭转 §3 等直圆杆在扭转时的应力 §4 等直圆杆在扭转时的变形 §5 圆轴扭转时的强度和刚度计算
§6 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形 §7 薄壁圆筒的扭转试验
§1 概 述
一、扭转概念 轴:工程中以扭转为主要变形的构件。如:机器中的传动轴、
⑥ 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理,所以,1轮和2轮应
该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才
为 75mm。
P2
P1
P3
A
B
C
500
400
T (kNm)
2.814 x
– 4.21
§6 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形
非圆截面等直杆:平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保 持平面。因此,由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不 适用,须由弹性力学方法求解。
解:①查表求 α 、β
h b
=
100 50
=
2;
∴α = 0.457 ; β = 0.493
②计算剪应力
WT = β b3 = 0.493 × 0.053 = 61.6 ×10 −6 m 3
τ max
=
M x max Wt
=
4000 61.6 ×10 −6
= 65MPa
③计算单位长度扭转角
IT = α b 4 = 0.457 × 0.054 = 284 ×10 −8 m 4
T Wt
=
1.55 ×103
π ⋅ 0.073 16
= 23MPa
≤ [τ ]
二、刚度条件
θmax
=
T GI p

[θ ]
(rad/m)

θmax
=
T GI p

180
π


]
[θ ]称为许用单位扭转角。
(°/m)
刚度计算的三方面: ① 校核刚度: ② 设计截面尺寸: ③ 计算许可载荷:
θmax ≤ [θ ]
τ 1 = γτ max
其中 : WT = α b 2h
θ = Mx
GI T
, 其中 : IT = β b3h
对于狭长矩形 ( 即 : h ≥ 10 ) ; b
α ≈β ≈1
3
查表求α 和β 时一定要注意,表中α 和β 与那套公式对应。
[例] 一矩形截面等直钢杆,其横截面尺寸为:h = 100 mm, b=50mm,长度L=2m,杆的两端受扭转力偶 Mx =4000N·m 的作用 ,钢的G =80GPa ,试求此杆的剪应力和单位长度扭 转角。
钢材的G值约为80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三
个常数。对各向同性材料,这三个弹性常数之间存在下列关系
G
=
E 2(1 +
μ)
可见,在三个弹性常数中,只要知道任意两个,第三个量 就可以推算出来。
§3 等直圆杆在扭转时的应力
①变形几何方面
等直圆杆横截面应力
②物理关系方面
一、等直圆杆扭转实验观察:
θ = dϕ = M x (rad/m)
dx GI p

θ = dϕ = M x ⋅ 180 (°/m)
dx GI p π
GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力,称为截面的抗扭刚度。
§5 圆轴扭转时的强度和刚度计算
一、圆轴扭转时的强度计算
强度条件:
τmax ≤ [τ ]
对于等截面圆轴: Tmax ≤ [τ ]
一、自由扭转:杆件扭转时,横截面的翘曲不受限制,任意两相 邻截面的翘曲程度完全相同。
二、约束扭转:杆件扭转时,横截面的翘曲受到限制,相邻截面 的翘曲程度不同。
三、矩形杆横截面上的剪应力: 1. 剪应力分布如图: (角点、形心、长短边中点) 矩形截面杆扭转时,横截面周
边上各点处的切应力平行于周边。
角点切应力等于零 边缘各点切 应力沿切线方向 最大切应力 发生在长边中点
石油钻机中的钻杆等。
扭转:外力的合力为一力偶,且力偶的作用面与直杆的轴线
垂直,杆发生的Biblioteka 形为扭转变形。AB O
A
γ ϕBO
m
m
工 程 实 例
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用,这 种应力状态称为纯剪切应力状态。 四、剪切虎克定律:
T
T
τ =G⋅γ
式中:G是材料的一个弹性常数,称为剪切弹性模量,因γ 无量纲,故G的量纲与τ 相同,不同材料的G值可通过实验确定,
L T dx = 0 GI P
2 40 − 20 x dx 0 GI P
=
10 GI P
(4x − x2 )
2 0
=
0 .033
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