高等数学 上交大 课件 PPT 第七章 微分方程

故所求通解为
DMU
第四节 可降阶的二阶微分方程
例
解初值问题
y e2y 0 y x 0 0 ,
y x0 1.
解 令 y p ( y), 则 y p d p , 代入方程得 dy
积分得
1 2
p2
1 2
e2 y
C1
利用初始条件, 得C1 0, 根据 p y0 y x0 1 0,
得 dy p ey dx
r2 pr q 0 ②
称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根.
(1) 当p2 4 q 0 时, ②有两个相异实根
则微分
方程有两个线性无关的特解:
因此方程的通解为 y C1 er1 x C2 er2 x
DMU
第六节 常系数齐次线性微分方程
(2) 当p2 4 q 0 时, 特征方程有两个相等实根
第七章 微分方程
已知 y f (x), 求 y — 积分问题 推广
已知含 y 及其若干阶导数的方程 , 求 y — 微分方程问题
DMU
第七章 微分方程
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 第九节 第十节
DMU
微分方程的概念 可分离变量的微分方程 齐次方程 一阶线性微分方程 可降阶的二阶微分方程 二阶线性微分方程解的结构 常系数齐次线性微分方程 常系数非齐次线性微分方程 欧拉方程 常系数线性微分方程组 微分方程的应用举例
(Y y *) P(x) (Y y *) Q(x) (Y y *)
f (x) 0 f (x)
DMU
(Y P(x)Y Q(x)Y )
第五节 二阶线性微分方程解的结构
故 y Y (x) y * (x) 是非齐次方程的解, 又Y 中含有
两个独立任意常数, 因而 ② 也是通解 . 证毕
积分得 e y x C2 , 再由 y x0 0, 得C2 1
故所求特解为 1 e y x
DMU
第四节 可降阶的二阶微分方程
例
二阶可导, 且
上任一点 P(x, y) 作该曲线的
切线及 x 轴的垂线, 上述两直线与 x 轴围成的三角形面
积记为 区间[ 0, x ] 上以 为曲边的曲边梯形面积
则微分方程有一个特解
设另一特解
( u (x) 待定)
代入方程得:
er1 x [(u 2 r1u r12u ) p(u r1u ) q u 0
u ( 2 r1 p )u ( r12 p r1 q )u 0
是特征方程的重根
u 0 取 u = x , 则得 y2 x er1 x , 因此原方程的通解为
例如, 方程
有特解
对应齐次方程
有通解
Y C1 cos x C2 sin x
因此该方程的通解为
DMU
第六节 常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程: ①
因为r为常数时，函数 erx 和它的导数只差常数因子,
所以令①的解为 y er x ( r 为待定常数 ), 代入①得
(r2 pr q ) er x 0
令 y p ( y),
方程化为
S2 y
S1
1
P y
ox x
ypdp p2 dy
dp dy py
解得 p C1y, 利用定解条件得 C1 1 , 再解 y y, 得
y C2 ex ,再利用 y (0) = 1 得 C2 1, 故所求曲线方程为
DMU
第四节 可降阶的二阶微分方程
小结 可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
故方程化为
设其通解为 p ( y,C1), 即得
分离变量后积分, 得原方程的通解
DMU
第四节 可降阶的二阶微分方程
例 求解 解
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
(一阶线性齐次方程)
例 求微分方程 2xyy ' x2 y2 0(x 0) 的通解.
解
将方程化为
2
y x
y '1 (
y )2 x
0
.
令u
y x
,
则
y
ux
,
dy dx
u
x
du dx
,代入并化简后得
分离变量得
2u(u ' x u) 1 u2 0 ,
2u
1
du dx,
1 u2
x
DMU
第二节 可分离变量的微分方程 齐次方程
C
x C a (ln x)2
2
将 z y1代入, 得原方程通解:
DMU
第四节 可降阶的二阶微分方程
y(n) f (x) 型的微分方程
令 z y(n1) ,
因此
z f (x) dx C1
即
同理可得 y(n2)
dx C2
dx C1x C2
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
逐次积分
令 y p(x) ,
令 y p(y) ,
DMU
第五节 二阶线性微分方程解的结构
•n 阶线性微分方程的一般形式为
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f (x) f (x) 0 时, 称为非齐次方程 ; f (x) 0 时, 称为齐次方程.
y p(x) y q(x) y f (x), 为二阶线性微分方程.
DMU
第五节 二阶线性微分方程解的结构
说明:
y C1y1(x) C2 y2 (x) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如,
是某二阶齐次方程的解, 则
也是齐次方程的解
但是
并不是通解
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.
DMU
第五节 二阶线性微分方程解的结构
定义 设 y1(x), y2 (x),, yn (x) 是定义在区间 I 上的
例 求 (exy ey )dx (ex的y 通ex解)d.y 0
解 将原方程变形为
(ex 1)eydx (ey 1)exdy 0
e
y ey
1
dy
ex ex
1dx
y ey (x ex ) C
原方程的通解为 y ey (x ex ) C
DMU
第二节 可分离变量的微分方程 齐次方程
线性无关 线性无关
y1 ( x) y2 ( x)
常数
(证明略)
思考:
中有一个恒为 0, 则
必线性 相关
DMU
第五节 二阶线性微分方程解的结构
定理
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
数) 是该方程的通解. (自证)
例如, 方程
有特解
且
y2 y1
tan
y ( C1 C2 x ) er1 x
DMU
第六节 常系数齐次线性微分方程
(3) 当p2 4 q 0 时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
y1 e( i ) x e x (cos x i sin x )
复习: 一阶线性方程 y P(x) y Q(x)
通解:
y
C
e
P(x)d
x
eP(x)d x
Q(x) eP(x)d x dx
齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
DMU
第五节 二阶线性微分方程解的结构
•线性齐次方程解的结构
定理 若函数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程 y P(x) y Q(x) y 0
,
Q(x)
1 x2
原方程通解为
y
e
1 dx x
(C
e
1 x
dx
1 x2
dx)
百度文库
1 (C
x
x
1 x2
dx)
ln x C x
DMU
第三节 一阶线性微分方程
伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的标准形式:
解法
除方程两边 , 得
yn d y P(x)y1n Q(x)
dx
令 z y1n , 则 dz (1 n)yn dy
利用 y x 0 3 , 得 C1 3,于是有 y 3(1 x2 ) 两端再积分得 y x3 3 x C2
利用 y x 0 1 , 得 C2 1, 因此所求特解为 y x3 3x 1
DMU
第四节 可降阶的二阶微分方程 y f ( y, y) 型的微分方程
令 y p ( y), 则 y d p d p dy dx dy dx
x
常数,
故方程的通解为
DMU
第五节 二阶线性微分方程解的结构
•线性非齐次方程解的结构
定理 设 y * (x) 是二阶非齐次方程
①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则
y Y (x) y *(x)
②
是非齐次方程的通解 .
证 将 y Y (x) y *(x) 代入方程①左端, 得
dx
常数变易法 令y C(x)eP(x)dx为非齐次方程的特解
y C(x)eP(x)dx C(x)P(x)eP(x)dx
C(x) Q(x)eP(x)dxdx C
DMU
第三节 一阶线性微分方程
y
e
P(
x)dx
(
Q(
x)e
P(
x)dx
dx
C
)
例求
dy dx
1 x
的 y通 解x12 .
解
P(x) 1 x
DMU
第四节 可降阶的二阶微分方程
例
解 y e2x cos x dx C1
1 2
e2x
sin
x
C1
y
1 4
e2x
cos
x
C1x
C2
y
1 e2x 8
sin
x
C1x2 C2 x C3
DMU
第四节 可降阶的二阶微分方程
y f (x, y)型的微分方程
设 y p (x) ,
原方程化为一阶方程
满足的方程 .
解
( 99 考研 )
在点 P(x, y) 处的切线倾角为 , 于是
S1
1 2
y
2cot
S2
x
0
y(t)
d
t
S2 y
S1
1
P y
ox x
DMU
第四节 可降阶的二阶微分方程
利用
得
y2 y
x
0 y(t)
d
t
1
两边对 x 求导, 得 y y ( y)2
定解条件为
y(0) 1, y(0) 1
DMU
第二节 可分离变量的微分方程 齐次方程
一阶微分方程
P(x, y)dx Q(x, y)dy 0
如何求解一阶微分方程 • 可分离变量
M1(x)N1( y)dx M2(x)N2( y)dy 0
N2 ( y) dy M1(x) dx
N1( y)
M 2 ( x)
DMU
第二节 可分离变量的微分方程 齐次方程
第一节 微分方程的概念
微分方程的预备知识
➢ 微分方程
y P(x)y Q(x)y f (x)
➢ 阶：最高阶导数的阶数 ➢ 解：使方程成为恒等式的函数
➢ 通解： y (c1, c2, , cn )
➢ 特解：满足初始条件的解 ➢ 初始条件：
y(x0 ) y0, y(x0 ) y1, , y(n1) (x0 ) yn1
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.
例如，
在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
又如，
若在某区间 I 上
必需全为 0 ,
在I 上都 线性无关.
DMU
第五节 二阶线性微分方程解的结构
两个函数在区间 I 上线性无关的充要条件:
设其通解为 p (x,C1)
则得
y (x,C1)
再一次积分, 得原方程的通解
y (x,C1) dx C2
DMU
第四节 可降阶的二阶微分方程
(1 x2 )y 2xy
例 求解
y x0 1, y x0 3
解
代入方程得
(1 x2 ) p 2x p 分离变量
积分得 ln p ln (1 x2 ) ln C1 ,
可化为变量分离方程的类型
• 形如 dy g的(方y )程，称为齐次方程 dx x
如何求解满足上述条件的齐此方程
令 y u, y ux x
du u x du ,
dx
dx
x du g(u) u dx
du g(u) u
dx
x
化为一个变量可分离的方程
DMU
第二节 可分离变量的微分方程 齐次方程
的两个解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
也是该方程的解. (叠加原理)
证 将 y C1y1(x) C2 y2 (x) 代入方程左边, 得 [C1y1 C2 y2 ] P(x)[C1y1 C2 y2 ]
Q(x)[C1y1 C2 y2 ]
C1[ y1 P(x) y1 Q(x) y1] C2 [ y2 P(x) y2 Q(x) y2 ] 0 证毕
dx
dx
dz (1 n) P(x) z (1 n)Q(x) (线性方程) dx
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解.
DMU
第三节 一阶线性微分方程
例 求方程
的通解.
解
令z
y1, 则方程变形为
dz z a dx x
ln x
其通解为
z
e
1 x
dx
(a
ln
x)
e
1 x
dx dx
两边积分,得
ln(u2 1) ln x C1 ,
将u
y x
代入,得原方程通解为
x2 y2 Cx.
DMU
第三节 一阶线性微分方程
• 形如 dy P(x) y方程Q，(x) dx
称为一阶线性非齐次方程.
一阶线性非齐次方程的解法： 先求解齐次方程 dy P(x) y y CeP(x)dx