[推荐学习]高中数学1.1空间几何体1.1.4投影与直观图1.1.5三视图知识导学案新人教B版必修2
高一数学空间几何体的三视图与直观图
④正视图、侧视图和俯视图分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察到的几何体的正投影图，
它们都是平面图形 .观察长方体的三视图，你能得出同一个几何体的正视图、
侧视图和俯视图在形状、 大小
方面的关系吗？
讨论结果： ①三视图包含正视图、侧视图和俯视图 .
②光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫该几何体的正视图（又称主视图）
轮廓线）还原成常见的几何体，还原实物图时，要先从三视图中初步判断简单组合体的组成，然后利用轮 廓线（特别要注意虚线）逐步作出实物图 .
（三）应用示例
思路 1
例 1 画出圆柱和圆锥的三视图 .
活动： 学生回顾正投影和三视图的画法，教师引导学生自己完成
.
解： 图 6（ 1）是圆柱的三视图，图 6（ 2）是圆锥的三视图 .
⑤观察图 3 并归纳总结它们各自的特点 .
讨论结果： ①这种现象我们把它称为是投影 .
②由于光的照射， 在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，
这种现象叫做投影 .其中， 我
们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影幕
.
③图 2（ 1）的投影线交于一点，我们把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影；图
.在初中，我们已经学习
了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图）
，你能画出空间几何体的三视
图吗？ 教师点出课题：投影和三视图 .
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①如图 1 所示的五个图片是我国民间艺术皮影戏中的部分片断，请同学们考虑它们是怎样得到的
?
图1 ②通过观察和自己的认识 ,你是怎样来理解投影的含义的 ? ③请同学们观察图 2 的投影过程，它们的投影过程有什么不同？
人教B版高中数学必修二1.1.4投影与直观图1.1.5三视图
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）1.1.4投影与直观图1.1.5三视图【目标要求】1、掌握投影的规律、斜二测画法、三视图画法的规则.2、会用斜二测画法画水平放置平面图形的直观图（特别是正三角、正方形、正五边形、 正六边形的直观图）. 能将平面图形的直观图还原成平面图形3、会画常见柱锥台等组合体的三视图【巩固教材——稳扎马步】1、在画水平放置的平面图形时，在原来的图形中，若两条线段平行且相等则在直观图中对应的两条线段( )A.平行且相等.B.平行不相等.C.相等不平行.D.既不平行也不相等.2、若一个三角形，采用斜二侧画法作其直观图时，其直观图的面积是原三角形面积的( ) A.21倍 B.２倍 C.22倍 D.2倍3、下图中的三视图表示哪个几何体？图1.1.4-1AC B 图 1.1.4-2主视图 左视图 俯视图4.一个水平放置的四边形的斜二侧直观图是一个底角是45°，腰和上底的长均为1的等腰梯形，那么原四边形的面积是( ) A.2+2 B.1+2 C.1+22 D.21+22 【重难突破——重拳出击】5、如图1.1.4-3所示的直观图所表示的平面图形是( ) A.正三角形. B.锐角三角形. C.钝角三角形. D.直角三角形.6、如图所示：水平放置在平面α内的直观图，(1)Rt ΔABC ，(2)等腰ΔABC ，(3)正方形ABCD ，其中正确个数是( )A.0B.1C.2D.3A A C Bα B CαB C α D A7.下面是由六个相同的长方体堆成的物体，如图1.1.4-5 ①．(1)画出这个物体的正视图．(2)改变视图的形状使它的俯视图如图1.1.4-5②，试画出它的左视图．8．在由实物图到三视图的过程中，实物上的某些点的位置又是如何变化的呢？如图所示，在右侧两个视图上确定A 、B 、C 、D 的位置D xyo 图1.1.4-3 图 1.1.4-4① 俯视图②图1.1.4－5 A B DC 图1.1.4-6 图1.1.4-7【巩固提高——登峰揽月】9.一个物体由几块正方体叠成，它的三视图如图．试问：(1)该物体有几层高？(2)该物体最长的地方有多长？(3)最低部分位于哪里？10.下面是一些立体图形的视图，如图图1.1.4-9，但是观察的方向不同，试说明各个图可能是哪一种立体图形的视图．【课外拓展——超越自我】11. 把10个相同的小正方形，按如图所示的位置堆放，它的外表含有若干小正方形．如果将图中标有A的一个小正方体搬去，这时外表含有的小正方形个数与搬去前相比( )A ．不增不减B ．减少1个C ．减少2个 D ．减少3个1.1.4投影与直观图1.1.5三视图【巩固教材——稳扎马步】1.A2.A3.D4.A【重难突破——重拳出击】5. B6. C 图 1.1.4-8①② ③ 图1.1.4-9A 图1.1.4-10 正视图图1.1.4-67. 解 (1)如图1.1.4-6．(2)如图①、②、③、④、⑤、⑥．8. 解 (1)2层．(2)左边一纵最长，长为3个正方形的边长．(3)右纵与横第二行的交叉处是空的，最低．①②③④⑤⑥ 图1.1.4-7。
高中数学第一章空间几何体1.2空间几何体的三视图和直观图1.2.1中心投影与平行投影1.2.2空间几
题型一
题型二
题型三
题型四
解析:①四边形BFD‘E的四个顶点在底面ABCD内的正投影分别 是B,C,D,A,即正投影是正方形,故①正确;②设正方体的棱长为2,由 AE=1,取D’D的中点G,连接AG,则四边形BFD‘E在侧面A’D‘DA内的 正投影是四边形AGD’E,由AE ������ D‘G,所以四边形AGD’E是平行四 边形,但AE=1,D‘E= 5 所以四边形AGD'E不是菱形,故②不正确; 对于③,由②知四边形BFD'E在侧面A'D'DA和侧面ABB'A'内的正投 影是两个边长分别相等的平行四边形,从而③正确. 答案:①③
分 类
1
2
归纳总结当图形中的直线或线段不平行于投影线时,平行投影具有 下述性质: (1)直线或线段的平行投影仍是直线或线段. (2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线. (3)平行于投影面的线段,它的投影与这条线段平行且等长. (4)与投影面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等.
1
2
【做一做1-1】 已知△ABC,选定的投影面与△ABC所在的平面 平行,则经过中心投影后所得的三角形与△ABC ( ) A.全等 B.相似 C.不相似 D.以上都不正确 答案:B
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
画几何体的三视图
【例2】 画出如图所示的几何体的三视图.
解:该几何体的三视图如图所示.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思画组合体的三视图的步骤:
画几何体的三视图时,能看见的轮廓线和棱用实线表示,看不见的 轮廓线和棱用虚线表示.
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
1.辨析平行投影和中心投影 剖析:平行投影和中心投影都是投影,但二者又有区别: (1)中心投影的投影线交于一点,平行投影的投影线互相平行. (2)在平行投影中,与投影面平行的平面图形留下的影子,与这个 平面图形的形状和大小完全相同;而中心投影则不同. (3)画实际效果图一般用中心投影法;画立体几何中的图形一般用 平行投影法.
高中数学1.1空间几何体1.1.4投影与直观图课堂探究新人教B版必修2
1.1.4 投影与直观图课堂探究探究一平行投影性质的应用1．在应用平行投影性质时，要注意投射线、投射面之间的位置关系，尤其不要忽视投射线平行于所给平面图形的情形．2．常见图形的平行投影①矩形的平行投影一定是矩形；②梯形的平行投影一定是梯形；③两条相交直线的平行投影可能平行；④如果一个三角形的平行投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影一定是这个三角形的平行投影的三角形的中位线．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：当投射线与投射面垂直，矩形所在平面与投射面平行时，矩形的平行投影是矩形；当投射线与矩形所在平面平行时，投影是一条线段；当投射线与矩形不平行，矩形所在平面与投射面不平行时，其投影一般情况下为平行四边形，①错误；当投射线与梯形所在平面平行时，投影是一条线段；当梯形所在平面与投射线不平行时，梯形的平行投影一定是梯形，②错误；当投射线与两相交直线所在平面平行时它的投影是一条直线；当投射线与两相交直线确定的平面不平行时，它的投影仍是两条相交直线，③错误；“一个三角形的平行投影仍是三角形”，说明投射线与三角形所在的平面不平行，故可以用平行投影的性质“在平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比”来判断，④是正确的．答案：B探究二画平面图形的直观图1．画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定顶点的位置．2．建立平面直角坐标系时，结合图形的结构特征，尽量使原平面图形的顶点在坐标轴或与坐标轴平行的线段上．3．原图中不与x 轴或y 轴平行的线段，可以先作坐标轴的平行线为辅助线画出其端点然后再连线．【典型例题2】 画出水平放置的等腰梯形的直观图．思路分析：根据斜二测画法的规则，首先在原来的等腰梯形中建立平面直角坐标系，要使尽可能多的顶点和线段在坐标轴上，这样作起图来较为方便，然后按横线相等，竖线是原来的一半的原则，作出对应的各个顶点，连线即成．画法：(1)如图①，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°．(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y ′轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD ．(3)连接B ′C ′，D ′A ′，并擦去辅助线x ′轴和y ′轴及O ′点、E ′点，所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图，如图③．探究三 画空间图形的直观图1．画棱柱、棱锥直观图的步骤：(1)画轴：通常以高所在直线为z 轴建系．(2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面．(3)确定顶点：利用与z 轴平行或在z 轴上的线段确定有关顶点．(4)成图：擦去辅助线，连线成图．2．画棱台的直观图的四个步骤：(1)画轴：通常以高所在直线为z 轴建系．(2)画下底面．(3)画高，画上底面．(4)连线成图．【典型例题3】 有一个正三棱锥，底面边长为3 cm ，高为3 cm ，画出这个正三棱锥的直观图．思路分析：根据斜二测画法，先建立恰当的坐标系画出正三角形的直观图，再确定出正三棱锥的顶点即可．解：(1)先画出边长为3 cm 的正三角形水平放置的直观图，如图①所示；(2)过正三角形的中心O ′建立z ′轴，画出正三棱锥的顶点V ′，使V ′O ′＝3 cm ，连接V ′A ′，V ′B ′，V ′C ′，如图②所示；(3)擦去辅助线，被遮住部分用虚线表示，得到正三棱锥的直观图，如图③．点评正棱锥的直观图在今后的学习中经常要用到，应该掌握正棱锥直观图的画法思路，以便在今后的学习中，可以较快、较准确地画出正棱锥的草图．画草图的步骤为：画底面、找底面的中心、作高连线．探究四 直观图的还原直观图的还原其实是画直观图的逆过程，只要明确角与边的转化关系，即可简化解答相关问题．(1)角的关系：原图形 斜二测直观图形∠xOy ＝90°∠x ′O ′y ′＝45°(或135°)． (2)长度关系：与x 轴平行的线段相等相等画后对应线段；与y 轴平行的线段2缩短为原长的一半伸长为原来的倍画后对应线段．【典型例题4】 (1)水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为__________．解析：分析易知△ABC 为以∠C 为直角的直角三角形，且AC ＝3，BC ＝2×2＝4，所以AB ＝5，故AB 边上的中线长为52．答案：5 2(2)已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为__________．解析：如图所示，过C′作y′轴的平行线C′D′，与x′轴交于点D′，则C′D′＝2sin45．又C′D′是原△ABC的高CD的直观图，所以CD a，故S△ABC＝12AB·CD2．2探究五易错辨析易错点：混淆了直观图与平行投影的区别而致误【典型例题5】关于利用斜二测画法画直观图有以下结论：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．其中正确的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3错解：A错因分析：混淆了直观图与平行投影的区别，直观图是利用平行投影的性质画出来的一种能反映原物体整体特征的图示，而平行投影的情况就较多了．正解：正方形、菱形的直观图通常为平行四边形而不具有其他性质，即③④不正确，故选C．答案：C。
1.1.4-5空间几何体的三视图和直观图
四棱锥
小结：
1、 三视图之间的投影规律：
正视图与俯视图------长对正。 正视图与侧视图------高平齐。 俯视图与侧视图------宽相等。
2、 画几何体的三视图时，能看得见的轮廓线
或棱用实线表示，不能看得见的轮廓线 或棱用虚线表示。
3 空间想象能力,逆向思维能力
横看成岭侧成峰，远近高低各不同。
先观察一个正方形，如何把它画成水平
放置的直观图呢？
y
Y’
x o
O’
X’
例１、用斜二测画法画水平放置的正六边 形的直观图
(1)在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x 轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴交于点 O．画对应的x’，y’轴，两轴相交于点O’，使 ∠x’O’y’=45°.
y
F A M E D
1.2空间几何体的三视图与直观图
知识点一：中心投影和平行投影
1、中心投影：我们把光由一点向外散射形 成的投影，叫做中心投影。 注意：投射线交于一点.
A B C B’ C’ D’ D
2：平行投影
太阳光线（假定太阳光线 是平行的）把一个长方形形状 的窗框投射到地板上，变成了 什么图形？ 窗框的投影图形与原 窗框图比较，哪些几何关 系或几何量发生了变化？ 哪些没有发生变化？
4、三视图的形成
V
V正立投影面
H水平投影面 W侧立投影面
W V
V正视图
H俯视图
W侧视图
H
正 视 图
侧视图 俯视图
5、三视图的特点
长对正 高平齐
宽相等
6、三视图表达的意义 三视图能反映物体真实的形状和长、宽、高.
三视图之间的投影规律
正 视 图 侧 视 图 正 视 图 反 映 了 物 体 的 高 度 和 长 度 侧 视 图 反 映 了 物 体 的 高 度 和 宽 度
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-3-
第一章 立体几何初步
1.1 空间几何体 1.1.1 构成空间几何体的基本元素 1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球 1.1.4 投影与直观图 1.1.5 三视图 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 1.1.7 柱、锥、台和球的体积
-1-
1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.1 平面的基本性质与推论 1.2.2 空间中的平行关系 第一课时 平行直线、直线与平面平行 第二课时 平面与平面平行 1.2.3 空间中的垂直关系 第一课时 直线与平面垂直 第二课时 平面与平面垂直 本章整合
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.4 投影与直观图课件 新人教B版必修2
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(4)用斜二测画法画立体图形的直观图的步骤: ①在已知图形所在的空间中取水平平面,作互相垂直的轴 Ox,Oy,再作 Oz 轴,使∠xOz=90°,∠yOz=90°. ②画出与轴 Ox,Oy,Oz 对应的轴 O'x',O'y',O'z',使∠x'O'y'=45°(或 135°),∠x'O'z'=90°,x'O'y'所确定的平面表示水平平面. ③已知图形中,平行于 x 轴、y 轴和 z 轴的线段,在直观图中分别画成平 行于 x'轴、y'轴和 z'轴的线段,并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知 图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同. ④已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段,在直观图中保持长度不变,平 行于 y 轴的线段,长度为原来的一半. ⑤擦除作为辅助线的坐标轴,就得到了空间图形的直观图.
1.1.4 投影与直观图
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课程目标
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高中数学 1.1 空间几何体 1.1.4 投影与直观图 1.1.5 三视图知识导学案 新人教B版必修2
1.1.4 投影与直观图1.1.5 三视图知识梳理1.用平面图形表示空间图形的方法(1)平行投影:所有的投射线都互相平行,这样的投影称为平行投影.图1-1-(4,5)-1(2)中心投影:投射线汇交于一点的投影叫中心投影.图1-1-(4,5)-22.平行投影的性质(1)直线或线段的平行投影是直线或线段.(2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线.(3)平行于投射面的线段,它的投影与这条线段平行且相等.(4)与投射面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等.(5)在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.3.平行投影的应用(1)斜二测画法:画图时,Oz轴铅直放置,Ox轴水平放置,Oy轴与水平线成45°角,凡平行于x 轴和z轴的线段按1∶1量取,平行于y轴的线段按1∶2量取.(2)正等测画法:画圆的直观图时使用(了解即可).4.三视图(1)正投影:在物体的平行投影中,如果投射线和投射面垂直,则称这样的平行投影为正投影.(2)正投影除了具有平行投影的性质外,还具有下列性质:①垂直于投射面的直线或线段的正投影是点.②垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分.(3)通常都是选择三个两两垂直的平面作为投射面.一个投射面水平放置,叫做水平投射面.投射到这个面的图形叫做俯视图.一个投射面放置在正前方,这个投影面叫做直立投射面,投射到这个面的图形叫做主视图.和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面.通常把这个平面放置在直立投射面的右面,投射到这个面的图形叫做左视图.将空间图形向这三个平面作正投影,然后把这三个正投影按一定的布局放在一个平面内,这样构成的图形叫做空间图形的三视图.知识导学正投影是反映立体几何性质的一个重要概念,也是用平面图形表示空间图形的基础.要学会画正投影,结合实际几何体进行观察加深对这一部分知识的认识.对于三视图需要理解其含义,而几何体直观图的画法,主要掌握斜二测画法的规则,在理解的基础上加以应用,也可以通过实际图形加深对几何体及空间概念的认识.疑难突破1.画物体三视图的作图步骤是什么？剖析:(1)根据物体的复杂程度及大小,确定图幅和比例；(2)确定主视图的观察方向(使其主要表面平行或垂直于投影面,能表达更多的结构形状)；(3)布置各视图的位置(画出基准线、对称中心线、轴线)；(4)按照三等规律画其三视图(可见轮廓线画实线,不可见轮廓线画虚线)；(5)校核有无错漏,擦去多余线条；(6)按标准图线加深视图,顺序为:圆形、圆弧、水平线、垂直线、斜线.2.学习立体几何知识时需要注意运用哪些重要的数学方法？剖析:立体几何是初中平面几何的延续和扩充.空间图形中的一些元素的计算都可以依据平面几何中的一些结论和方法来解决,因此,等价转化的数学思想贯穿整个立体几何的始终.立体几何知识是建立在平面几何知识基础上的,因此把立体几何问题通过化归的数学思想转化为平面几何问题来解决是学好立体几何的基本方法.教材中处处都渗透了这种转化的数学思想,比如通过三视图(平面图形)来表示空间图形,通过几何体的侧面展开求表面积等.3.由物体的三视图确定物体的空间形状.剖析：一个物体的三视图从不同侧面反映了物体的基本特征,要根据三视图确定物体的形状,首先要理解三视图及其特点、从各个面所体现的投影,并运用空间想象能力对三视图进行分析,还要结合具体实际进行判断,因为同样的三视图对应的几何体不一定只有一个.这就要求我们平时多训练观察事物、总结规律的能力.对于一些由多个几何体构成的几何体更应该多观察,分析每一部分的特点,得出相应的结论.要确定物体的空间形状,至少要有三面投影.如图图1-1-(4,5)-3.图1-1-(4,5)-3这三个互相垂直的投影面,称为三面投影体系,其中:正立投影面,简称正立面,用“V”标记；侧立投影面,简称侧立面,用“W”标记；水平投影面,简称水平面,用“H”标记.三投影面之间两两的交线,称为投影轴,分别用Ox、Oy、Oz表示,三根轴的交点O称为原点.现将物体放在三面投影体系中,将物体分别向三个投影面作投影,就得到物体的三视图.注意:三视图是以正投影法为依据的,但具体绘制时,是用人的视线代替投影线的.将物体向三个投影面作投影,即从三个方向去观看,从前向后看,即得V面上的投影,称为主视图；从左向右看,即得在W面上的投影,称为左视图；从上向下看,即得在H面上的投影,称为俯视图,如图1-1-(4,5)-4.图1-1-(4,5)-4为使三视图位于同一平面内,需将三个互相垂直的投影面摊平.方法:V面不动,将H面绕Ox轴向下旋转90°,W面绕Oz轴向右旋转90°,如图1-1-(4,5)-5.图1-1-(4,5)-5三视图的投影关系:图1-1-(4,5)-6由三视图可以看出,俯视图反映物体的长和宽,正视图反映它的长和高,左视图反映它的宽和高.因此,物体的三视图之间具有如下的对应关系:主视图与俯视图的长度相等,且相互对正,即“长对正”；主视图与左视图的高度相等,且相互平齐,即“高平齐”；俯视图与左视图的宽度相等,即“宽相等”.在三视图中,无论是物体的总长、总宽、总高,还是局部的长、宽、高都必须符合“长对正”“高平齐”“宽相等”的对应关系.。
高中数学《第一章空间几何体1.2空间几何体的三视图和直观图1.2.1...》318PPT课件
最重要的透视学家是15世纪意大利艺 术家和数学家弗朗西斯卡（Piero della Francesca, 1415～1492）。在 《透视绘画论》中，他利用透视法来 绘画，在其后半生的20年间，他写了 三篇论文，试图证明利用透视学和立 体几何原理，现实世界就能够从数学 秩序中推演出来。
16
弗
影叫做平行投影。
平行投影
平行投影
平行投影
平行投影
平行投影
投影线正对着投影 面时叫正投影。
正投影
应用正投影法，能在投 影面上反映物体某些面 的真实形状及大小，且 与物体到投影面的距离 无关。
平行投影
平行投影
平行投影
斜投影
二、三视图
三 视 图 欣 赏
什么是空间图形的三视图呢?
光线自物体的前面向后正投射所得到的投 影称为正视图.
与两个男人共饮的女人 和她的女仆
29
作品“与两个男人共饮 的女人和她的女仆”之 透视
30
荷兰画家Jan Vermeer (1632-1675)作品 音乐课
31
32
D
C
D'
C'
D2
P
水平线 D1
TH1 主没影点 TH2 对角没影点
A'
E'
B'
K L
TH3 平行水平线
A
EF
B
33
平行投影
平行投影：一束平 行光线照射下形成的投
1、中心投影：光由一点向外散射形 成的投影
A
1、中心投影：光由一点向外散射形 成的投影
A
B
D
C
1、中心投影：光由一点向外散射形 成的投影
A
高中数学《第一章空间几何体1.2空间几何体的三视图和直观图1.2.1...》252PPT课件
1.2.1 中心投影与平行投影 1.2.2 空间几何体的三视图
这种现象我们把它 称为投影.
探究1 投影
投影线
投影面
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可 以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中， 我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫 做投影面．
中心投影 我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心
侧视图
光线从几何体的左面向右面正投影， 得到的投影图.
俯视图
光线从几何体的上面向下面正投影， 得到的投影图.
几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的
三视图.
正视图
b（宽）
a(长)
俯视图
长
方
体
的
三
视
图
c（高）
侧 视
图
正
俯 长
c(高)
对
正
俯 侧 宽 b(宽) 相 等
a(长) 正侧高平齐 b(宽) c(高)
行投影.
特点：与投影面平行的平面图形留下的影子, 与物体的形 状大小完全相同，与物体和投影面之间的距离无关。
平行投影 平行投影按照投影方向是否正对着投影面，可以分
为斜投影和正投影两种.
投影线不正对着投影面. 投影线正对着投影面.
探究2 空间几何体的三视图
三视图的概念
正视图
光线从几何体的前面向后面正投影， 得到的投影图.
正视图
侧视图
俯视图
1.投影的分类
中心投影 平行投影
2.几何体的三视图：正视图，侧视图，俯视图.
正视图与俯视图——长对正.
正视图与侧视图Байду номын сангаас—高平齐.
高中数学《第一章空间几何体1.2空间几何体的三视图和直观图1.2.1...》54PPT课件
三角板在中心投影和不同方向的平行投影下的投影 效果.
S
投 影 方 向
中心投影
平行投影(正投影）
平行投影(斜投影）
物体上某一点与其投影面上的投影点的连线是平行
的，则为平行投影，如果聚于一点，则为中心投影．
提升练习： 已知∠AOB为90°，对它在平面内的 正投影，正确的判断有__①_②__③__④_⑤____.
例1.已知△ABC，选定的投影面与△ABC 所在面平行，则经过中心投影后所得的
三角形与△ABC （ B ）
A.全等 B.相似 C.不相似 D.以上都不对
例2.下列说法错误的是( ①②④⑤)
①矩形的平行投影一定是矩形； ②梯形的平行投影一定是梯形； ③平行四边形的平行投影可能是正方形； ④正方形的平行投影一定是菱形； ⑤两条相交直线的平行投影可能平行； ⑥如果一个三角形的投影仍是三角形，那 么它的中位线的平行投影，一定是这个三 角形的平行投影的中位线.
①可能是0°的角； ②可能是锐角； ③可能是直角； ④可能是钝角； ⑤可能是180°的角.
知识小结
投影的分类
中心投影 斜投影
平行投影 正投影
布置作业
1.掌握中心投影和平行投影的概念、区别和 联系，学会画图与应用；
2.完成《45分钟一线课堂》 本节配套练习.
创设情境
这种现象我们把它 称为投影.
同学们做过上面的游戏吗,想想它们是怎样得到的?
探究1 中心投影与平行投影
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这 个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，我们把光线叫做 投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．
中心投影
我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影． 中心投影的投影线交于一点．
高一数学《空间几何体的三视图和直观图》课件
圆柱体的直观图
通过透视投影呈现圆柱体的 圆柱形状和圆柱面。
实例分析与练习
练习题解析：通过解析实际问题中的几何体三视图和直观图的练习题，加深 对知识点的理解和应用。
练习题测试：进行练习题测试，检验学生对几何体三视图和直观图的掌握程 度。
知识点总结：总结本节课学习的知识点，帮助学生复习和巩固。
总结与展望
制作直观图的方法：使用透视技巧和比例关系来绘制几何体的直观图，使观 察者能够立体感受几何体的形状和结构。
直观图绘制技巧：使用线条扭曲、阴影和颜色渐变等技巧来增强几何体的立 体感和逼真度。
空间几何体的直观图
立方体的直观图
通过透视投影展示立方体的 立体感和空间关系。
长方体的直观图
使用透视投影技巧绘制长方 体的直观图，让观察者更好 地理解其形态。
高一几何体的三视图，直观图制作，空间几何体 的直观图，实例分析与练习，总结与展望。
引言
学习目的：掌握空间几何体的三视图和直观图的概念与制作方法。
知识点概览：三视图定义，投影方式介绍，空间几何体的各种几何形状的三 视图和直观图。
学习方法：理论学习结合实例分析和练习题测试，加深对知识点的理解和应 用能力。
三视图的概念
三视图定义：三视图是指通过正交投影将几何体在不同投影面上的投影展示 出来，包括正、侧、俯三个方向。
投影方式介绍：正投影、侧投影和俯投影是常用的投影方式，可以用来分析 几何体的形状和结构。
三视图分析举例：通过分析和比较几何体的三视图，可以推导出几何体的长 度、宽度、高度等关键信息。
几何体的三视图
知识点总结：回顾本次课件涉及的知识点，强化学生对空间几何体三视图和直观图的掌握。 学习感受：让学生分享学习空间几何体三视图和直观图的感受和体会。 展望未来学习内容：展望下一步学习的内容，引发学生对数学的兴趣和好奇心。
高中数学第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.4投影与直观图bb高一数学
自我检测
1.如图,直观图表示的平面图形是( C ) (A)任意三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)钝角三角形
解析:平面图形的原图形与其直观图具有可逆性,可将此直观图还原为原图 形,因为A′B′∥y′轴,B′C′∥x′轴,所以还原后,仍保持平行性不变,故原图形中 AB⊥BC,所以△ABC为直角三角形.
如图(4)所示.
方法技巧 此类问题的解题步骤是:建系、定点、连线成图.要注意选取 恰当的坐标原点O,能使整个作图变得简便.另外,从本题的两种解法可知,坐 标系选取的不同,可得到不同的直观图.
变式训练1-1:用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图.
解:(1)如图(1)所示,在已知正五边形ABCDE中,取中心O为原点,对称轴FA为y轴,过点 O与y轴垂直的是x轴,分别过B、E作GB∥y轴,HE∥y轴,与x轴分别交于点G、H.画对 应的轴O′x′、O′y′,使∠x′O′y′=45°.
且 AB=2,BC=1+ 2 ,AD=1, 即 S 梯形 ABCD=2+ 2 .故选 D.
方法技巧 (1)由直观图还原为原图是画直观图的逆过程,有两个量发生 了变化,一是∠x′O′y′由45°恢复为∠xOy=90°,二是与O′y′平行的线段,在 平面xOy中的长度是原来的2倍. (2)通过计算可知,设原图面积S,直观图面积S′,则S′= S. 2
2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图
运用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,主要步骤如下:
①在已知图形中取水平平面,作相互垂直的轴 Ox,Oy ,使∠xOy=90°;
②画直观图时,把轴Ox,Oy画成对应的轴
O′x′,O′y′
,使
∠x′O′y′=45° (或135°),x′O′y′所确定的平面表示水平平面;
高中数学 第一章 空间几何体 1.2 空间几何体的三视图
1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图教学目标：【知识与技能】1.掌握画三视图的基本技能2.丰富学生的空间想象力【过程与方法】主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。
【情感.态度与价值观】1.提高学生空间想象力2.体会三视图的作用教学重点.难点教学重点：画出简单组合体的三视图教学难点：识别三视图所表示的空间几何体教学关键：认识棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球及其组合体的结构特征.教学突破方法：使学生理解三视图的概念的基础上，亲自动手画几何体的三视图，体会三视图的画法。
在作图前，要先观察几何体结构特征，再动手作图。
教法与学法导航教学方法：问题教学法，讨论法，练习法。
通过提出问题，学生思考并体会几何体三视图的画法。
学习方法：自主学习，自主探究，互动学习，合作交流，动手实践，观察探究，归纳总结。
在学生理解三视图概念的基础上，通过老师的启发诱导，归纳总结出得到三视图的画法。
教学准备教师准备：多媒体课件（用于展示问题，引导讨论，出示答案），空间几何体的模型或图片。
学生准备：练习本及铅笔橡皮。
教学过程创设情境导入新课1.如何将空间几何体画在纸上，用平面图形来表示.2.我们常用三视图和直观图表示空间几何体.三视图：观察从三个不位置观察同一空间几何体而画出的图形.直观图：观察者站在某一点观察一个空间几何体面画出的图形.师：要解决这个问题，我们需要将我们看到的画下来，这就取决于我们怎样去看.生1：我们可以从前后角度，左右角度，上下角度看.生2：我们也可站在某一点观察.师总结空间几何体表示方法，点出主题.让学生发现知识源于实践，又可应用于实践，培养学生应用意识，激发学生学习的激情.探索新知教学中投影与平行投影.中心投影：光由一点向外散射形成的投影.平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影. 分正投影、斜投影.讨论：三角形在平行投影和中心投影后的结果.师：要学习三视图，首先我们要学习两个知识.中心投影与平行投影……生1：联想到棱柱的结构特征，无论是正投影还是斜投影，三角形在平行投影后为结果是与原三角形全等的三角形.生2：三角形在中心投影后得到了一个相似的放大了的三角形.以旧带新，提高知识的系统性和思维的严谨性.探索新知教学柱、锥、台、球的三视图：1.定义三视图：正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图.侧视图：光线从几何体的左师：把一空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形，但是只有一个平面图形难以把握几何体的全貌. 通常，总是选择三种正投影……面向后面正投影得到的投影图.俯视图：光线从几何体的左面向后面正投影得到的投影图.2.观察长方体的三视图. 讨论三视图有何基本特征.生：长方体的正视图和侧视图高度一样（等于长方体的高）.俯视图与正视图长度一样（等于长方体的和）. 俯视图和侧视图宽度一样（等于长方体的宽）. 这个结论可推广到一般简单几何体. 我们用“长对正高平齐、宽相等”来概括三视图的基本特征.通过讨论掌握三视图的基本特征，同时通过精炼的语言概括提高学生的记忆效果.应用举例1．正向应用（幻灯片） 画出球、圆柱、圆锥、棱柱的三视图.2．逆向练习（幻灯片）下图（1）、（2）分别是两个几何体的三视图，你能说出它们对应的几何体的名称吗？答案：（1）圆台；（2）三棱锥学生独立完成. 教师用幻灯片公布答案，然后讲解注意事项.注意事项：画三视图时棱要用实线画出，被挡的轮廓线用虚线画出；有尺寸要求的，标好尺寸. 此外，一般情况下光画正视图，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.通过正向应用巩固所学知识. 通过逆向应用培养学生空间想象能力，然后综合学生问题点拨注意事项，构建完整的知识体系培养学生严谨的思维习惯.探索新知教学简单组合体的三视图学生回答几何体的结弄清简单正视图侧视图俯视图（2）1．讨论教材P16. 图1.2－7四个几何体的结构特征.2．画出上面（2）（3）（4）的三视图.3．总结画简单组合体三视图的基本步骤.第一步：分清几何体的结构特征.第二步：画三视图.构特征.教师再讲明图(1)的三视图. 然后学生独立完成（2）（3）（4）的三视图.师生一起归纳画简单组合体三视图的基本步骤.组合体的结构特征是画好简单组合体三视图的关键.小结1．投影法2．三视图定义及三视图基本特征3．画出三视图注意事项学生归纳后老师补充回顾、反思、归纳所学知识、培养整合知识的能力.课堂作业1. 画出下列空间几何体的三视图．如图1是截去一角的长方体，画出它的三视图.【解析】物体三个视图的构成都是矩形，长方体截角后，截面是一个三角形，在每个视图中反映为不同的三角形，三视图为图2.2. 由5个小立方块搭成的几何体，其三视图分别如下，请画出这个的几何体（正视图） (俯视图) （右视图）【解析】先画出几何体的正面，再侧面，然后结合俯视图完成几何体的轮廓，如图.3. 某建筑由相同的若干个房间组成，该楼的三视图如图所示，问：（1）该楼有几层？从前往后最多要走过几个房间？ （2）最高一层的房间在什么位置？画出此楼的大致形状.【解析】（1）由主视图与左视图可知，该楼有3层. 由俯视图可知，从前往后最多要经过3个房间. （2）由主视图与左视图可知，最高一层的房间在左侧的最后一排的房间. 楼房大致形状如右图所示. 板书展示1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 中心投影与平行投影 1.2.2 空间几何体的三视图1.情景导入 4.例题2.提出问题3.平行投影与中心投影的概念4.三视图正视图侧视图俯视图（1）。
高中数学教案之空间几何体的三视图与直观图
.
（ 2）判断简单组合体的三视图是由哪几个基本几何体生成的，注意它们的生成方式，特别是它们的 交线位置 .
（ 3）若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都
用实线画出，不可见轮廓线，用虚线画出 . （ 4）要检验画出的三视图是否符合 “长对正、 高平齐、 宽相等 ”的基本特征， 即正、 俯视图长对正； 正、
A. ④③②
B.②①③
C.①②③
D.③②④
分析： 由于甲的俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又因正视图和侧视图均是矩形，则甲是圆柱；由
于乙的俯视图是三角形，则该几何体是多面体，又因正视图和侧视图均是三角形，则该多面体的各个面都
是三角形， 则乙是三棱锥； 由于丙的俯视图是圆， 则该几何体是旋转体， 又因正视图和侧视图均是三角形，
“正视
图 ”，自左向右投影所得的投影图称为 “侧视图 ”，自上向下投影所得的投影图称为 “俯视图 ”用．这三种视图
即可刻画空间物体的几何结构，这种图称之为
“三视图 ”．
教科书从复习初中学过的正方体、 长方体 …… 的三视图出发， 要求学生自己画出球、 长方体的三视图；
接着， 通过 “思考 ”提出了 “由三视图想象几何体 ”的学习任务 .进行几何体与其三视图之间的相互转化是高中
图9 .对于简单空间几何体的组合体， 一定要认真观察， 先认识它
图 10 答案： 三视图如图 11 所示 .
图 11
思路 2 例 1 （2007 安徽淮南高三第一次模拟，文 16）如图 12 甲所示，在正方体 ABCD — A 1B1C1D 1 中， E、 F 分别是 AA 1、C1D1 的中点， G 是正方形 BCC1B1 的中心，则四边形 AGFE 在该正方体的各个面上的投影可 能是图 12 乙中的 ____________.
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1.1.4 投影与直观图
1.1.5 三视图
知识梳理
1.用平面图形表示空间图形的方法
(1)平行投影:所有的投射线都互相平行,这样的投影称为平行投影.
图1-1-(4,5)-1
(2)中心投影:投射线汇交于一点的投影叫中心投影.
图1-1-(4,5)-2
2.平行投影的性质
(1)直线或线段的平行投影是直线或线段.
(2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线.
(3)平行于投射面的线段,它的投影与这条线段平行且相等.
(4)与投射面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等.
(5)在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.
3.平行投影的应用
(1)斜二测画法:画图时,Oz轴铅直放置,Ox轴水平放置,Oy轴与水平线成45°角,凡平行于x 轴和z轴的线段按1∶1量取,平行于y轴的线段按1∶2量取.
(2)正等测画法:画圆的直观图时使用(了解即可).
4.三视图
(1)正投影:在物体的平行投影中,如果投射线和投射面垂直,则称这样的平行投影为正投影.
(2)正投影除了具有平行投影的性质外,还具有下列性质:
①垂直于投射面的直线或线段的正投影是点.
②垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分.
(3)通常都是选择三个两两垂直的平面作为投射面.一个投射面水平放置,叫做水平投射面.投射到这个面的图形叫做俯视图.一个投射面放置在正前方,这个投影面叫做直立投射面,投射到这个面的图形叫做主视图.和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面.通常把这个平面放置在直立投射面的右面,投射到这个面的图形叫做左视图.将空间图形向这三个平面作正投影,然后把这三个正投影按一定的布局放在一个平面内,这样构成的图形叫做空间图形的三视图.
知识导学
正投影是反映立体几何性质的一个重要概念,也是用平面图形表示空间图形的基础.要学会画正投影,结合实际几何体进行观察加深对这一部分知识的认识.
对于三视图需要理解其含义,而几何体直观图的画法,主要掌握斜二测画法的规则,在理
解的基础上加以应用,也可以通过实际图形加深对几何体及空间概念的认识.
疑难突破
1.画物体三视图的作图步骤是什么？
剖析:(1)根据物体的复杂程度及大小,确定图幅和比例；
(2)确定主视图的观察方向(使其主要表面平行或垂直于投影面,能表达更多的结构形状)；
(3)布置各视图的位置(画出基准线、对称中心线、轴线)；
(4)按照三等规律画其三视图(可见轮廓线画实线,不可见轮廓线画虚线)；
(5)校核有无错漏,擦去多余线条；
(6)按标准图线加深视图,顺序为:圆形、圆弧、水平线、垂直线、斜线.
2.学习立体几何知识时需要注意运用哪些重要的数学方法？
剖析:立体几何是初中平面几何的延续和扩充.空间图形中的一些元素的计算都可以依据平面几何中的一些结论和方法来解决,因此,等价转化的数学思想贯穿整个立体几何的始终.立体几何知识是建立在平面几何知识基础上的,因此把立体几何问题通过化归的数学思想转化为平面几何问题来解决是学好立体几何的基本方法.教材中处处都渗透了这种转化的数学思想,比如通过三视图(平面图形)来表示空间图形,通过几何体的侧面展开求表面积等.
3.由物体的三视图确定物体的空间形状.
剖析：一个物体的三视图从不同侧面反映了物体的基本特征,要根据三视图确定物体的形状,首先要理解三视图及其特点、从各个面所体现的投影,并运用空间想象能力对三视图进行分析,还要结合具体实际进行判断,因为同样的三视图对应的几何体不一定只有一个.这就要求我们平时多训练观察事物、总结规律的能力.对于一些由多个几何体构成的几何体更应该多观察,分析每一部分的特点,得出相应的结论.
要确定物体的空间形状,至少要有三面投影.如图图1-1-(4,5)-3.
图1-1-(4,5)-3
这三个互相垂直的投影面,称为三面投影体系,其中:正立投影面,简称正立面,用“V”标记；侧立投影面,简称侧立面,用“W”标记；水平投影面,简称水平面,用“H”标记.三投影面之间两两的交线,称为投影轴,分别用Ox、Oy、Oz表示,三根轴的交点O称为原点.
现将物体放在三面投影体系中,将物体分别向三个投影面作投影,就得到物体的三视图.注意:三视图是以正投影法为依据的,但具体绘制时,是用人的视线代替投影线的.将物体向三个投影面作投影,即从三个方向去观看,从前向后看,即得V面上的投影,称为主视图；从左向右看,即得在W面上的投影,称为左视图；从上向下看,即得在H面上的投影,称为俯视图,如图1-1-(4,5)-4.
图1-1-(4,5)-4
为使三视图位于同一平面内,需将三个互相垂直的投影面摊平.方法:V面不动,将H面绕
Ox轴向下旋转90°,W面绕Oz轴向右旋转90°,如图1-1-(4,5)-5.
图1-1-(4,5)-5
三视图的投影关系:
图1-1-(4,5)-6
由三视图可以看出,俯视图反映物体的长和宽,正视图反映它的长和高,左视图反映它的宽和高.因此,物体的三视图之间具有如下的对应关系:
主视图与俯视图的长度相等,且相互对正,即“长对正”；
主视图与左视图的高度相等,且相互平齐,即“高平齐”；
俯视图与左视图的宽度相等,即“宽相等”.
在三视图中,无论是物体的总长、总宽、总高,还是局部的长、宽、高都必须符合“长对正”“高平齐”“宽相等”的对应关系.。