高一数学空间距离

第二章小结——空间距离

一、教学目的

1．掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理；（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。

2．掌握点、直线到平面的距离，直线和平面所成的角；

3．掌握平行平面间的距离，会求二面角及其平面角；

二、教学过程

1．基本知识：

（1）空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的。

（2）求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

（3）点到平面的距离

平面外一点P在该平面上的射影为P′，则线段PP′的长度就是点到平面的距离；

求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。○2等体积法。

（4）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；

（5）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫

做两个平行平面的距离。

求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：

①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。

2、举例分析

例1、正方形ABCD 的边长是2，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角（如图所示）.M 为矩形AEFD 内一点，如果∠MBE =∠MBC ，MB 和平面BCFE 所成角的正切值为2

1，那么点M 到直线EF 的距离为 。

解析：过M 作MO ⊥EF ，交EF 于O ，则MO ⊥平面BCFE .

如图所示，作ON ⊥BC ，设OM =x ，又tan MBO =2

1，∴BO =2x 又S

△

MBE =

21BE ·MB ·sin MBE =2

1BE ·ME S △

MBC =2

1BC ·MB ·sin MBC =2

1

BC ·MN

∴ME =MN ，而ME =152-x ，MN =12+x ，解得x =

2

2。 点评：该题较典型的反映了解决空间几何问题的解题策略：化空间问题为平面问题来处理。 点面距离

例2．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、BC 的中点，CA =CB =CD =BD =2。△ABD 为等腰直角三角形。

（Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；

（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求点E 到平面ACD 的距离。 解：(1)证明：连结OC 。

∵BO=DO,AB=AD, ∴AO ⊥BD 。 ∵BO=DO,BC=CD, ∴CO ⊥BD 。

在△AOC 中，由已知可得AO=1,CO=3。

而AC=2，∴AO 2+CO 2=AC 2, ∴∠AOC=90°,即AO ⊥OC 。

,0=OC BD ∴AB ⊥平面BCD 。

（Ⅱ）解：取AC 的中点M ,连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB ,OE ∥DC 。

∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角。 在△OME 中，,12

1

,2221

===

=DC OE AB EM OM

是直角△AOC 斜边AC 上的中线，∴,12

1

==AC OM ∴

,4

2cos =

∠OEA ∴异面直线AB 与CD 所成角为,4

2cos =

∠OEA （Ⅲ）解：设点E 到平面ACD 的距离为h . CD E A ACD E V V --- , ∴

h 31·S △ACD =3

1

·AO ·S △CDE . 在△ACD 中，CA =CD =2,AD =

2

, ∴S

△

ACD =,272222213

2

=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⨯⨯ 而AO =1, S △CDE =,23

2432

12=⨯⨯

∴h =

,7212

7

23

1=⨯

=∙∆∆ACD

CDE S S AO

∴点E 到平面ACD 的距离为

7

21。 点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。

3、小结

（1）空间的距离问题，主要是求空间两点之间、点到直线、点到平

面、两条异面直线之间、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离． （2）求距离的一般方法和步骤是：一作——作出表示距离的线段；

二证——证明它就是所要求的距离；三算——计算其值．此外，我们还常用体积法求点到平面的距离．

（3）求距离的关键是化归。即空间距离与角向平面距离与角化归，各种具体方法如下：

①求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形。

②求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三