高一数学距离的向量计算方法
第六节_距离的计算
5.已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 内的射影为 的中心，则 与底面 所成角的正弦值等于（）
A． B． C． D．
6.已知线段AB、BC都在平面α内，BC⊥AB,线段DA⊥α,若AB=1,BC=2,CD=3,则DA=（）
A.1B.2C.3D.4
7.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，那么异面直线BC与AA1的距离为。
第二章空间向量与立体几何
第12课时第六节距离的计算【 Nhomakorabea堂互动】
新知1点到直线的距离
例1.如图3，在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是A1B1和B1C1的中点。求点D到BE的距离；
笔记：
新知2点到平面的距离
例2.如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高都是2，AB=4．求点P到平面QAD的距离
笔记：
【堂中精炼】
3.设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若 =
x +y +z ，则（x，y，z）为( )
A.（ ， ， ）B.（ ， ， ）C.（ ， ， ）D.（ ， ， ）
4.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=900,AC=AA1=a，则点A到平面A1BC的距离是（）
8.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，那么异面直线BA1与CC1的距离为
高一数学向量的加减法
A
. O
. N
2, 填空
AB - AD = DB BA - BC = CA
BC - BA =
OD - OA =
AC
AD
BA
OA - OB =
(3)填空
(1) (2) (3) AB - AC - CB = 0
AB + BC - AD
AB + BC - DC AB - AC + BC
=
= =
DC
AD
先复习向量的加法
b
a
a 三角形法则
-----首尾相接首到尾
平行四边形法则
----相同起点对角线
同学们学习了向量的加法，接 下来我们要学习
向量的减法
c
b
如图:
a+b= c
c-a = b
移项得:
a
c a b
这么说来，向量c与向量a进 行了减法运算，得到向量b。 像这样求两个向量的差的运 算叫做向量的减法。 那么向量的减法有什么 规律呢？
(4)
0
课堂小结:
(1)向量减法的概念.
(2)向量减法可以看作一个向量 加上另一个向量的相反向量. (3)a-b 几何作法:平移同起点,方向指向 被减数a 。 a a-b
o
b
作业: (1)课本105页第6 题
(2)同步做练习册
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一串地响了起来在这些不协调的声音中，其狐朋狗友们起身准备离开了。围堵在酒店门口的人们看到他们要走了，只给他们让开了一 条不够一人通过的小缝隙，他们只好一个接一个地侧着身子灰溜溜地挤出去走掉了。随后，那两桌衣着阔绰的外地大商人也站起来准 备走了。临走时，他们还都没有忘了对站在前台的耿正兄妹三人或拱拱手，或点点头。那些围堵在酒店门口的人看到他们出来，就让 开了更大一些的缝隙。他们也走了。90第五十二回 献艺期将满遇难坎儿|（酒店老板虽仁义，卑劣小人现丑行；兄妹献艺期将满，到 底还是遇难坎儿。）耿家兄妹仨与“盛元酒店”老板签署的三月期献艺契约眼见着就要到期了。老板提出来增加薪金续签，但耿正婉 言谢绝了。他真诚地对老板说：“非常感谢您的知遇之恩！不过，我们做完上次签的契约，就已经攒够做小生意的本钱了。在贵酒店 献艺固然不错，但我们更愿意改做生意！”这位老板人本不错，见耿正如此说，只能深表惋惜，别的也就不再说什么了。但实践已经 证明，这种拉奏演艺说唱班形式的艺人组合是非常有特色，也很吸引人的。为了确保酒店能够继续沿用这种组合形式的艺人班子，老 板就在酒店门口张贴出一张另招募一组这种艺人组合的启示。不成想，就是这个再平常不过的小小启示，却引来了一场天大的麻烦！ 说起来，出麻烦的那天距离契约期满只差一天了。那天的晚饭当口，耿正兄妹三人像往常一样有条不紊地在演唱台上拉奏演唱着。但 很快，情况就有些不对劲了：坐在台前主桌上的一个阔佬明显有意刁难，一个接一个地点一些先前不曾演唱过的怪异节目，和他同桌 吃饭的几个食客也帮着起哄，搞得整个大厅内的气氛骤然紧张起来。献艺三个月来，耿家兄妹仨第一次遭遇到了如此难以应付的尴尬 场面。酒店的伙计们原本知道这个姓吴的阔佬仗着自己很有钱，经常做一些为富不仁蛮不讲理的事情。和他同桌吃饭的几个食客都是 他的狐朋狗友，全都不是地道人儿。此时，看到形势不对劲儿了，领班的伙计头儿赶快吩咐一个机灵的小伙计去后面告知老板。听了 小伙计的述说，老板一点儿不敢怠慢，赶快整整衣冠来到前台，举止谦恭地去见那姓吴的阔佬。只见他人还没有走到那张饭桌前，就 已经开始拱手施礼了，并且以热情的笑脸连声说：“在下不知吴大员外光临，有失远迎啊，恕罪，恕罪！您也看到了，这三兄妹还年 幼呢，他们技艺不精，会演唱的曲目有限，还请大员外多多光照啊，不要难为他们！”但这蛮横的阔佬根本就不买这个账，反而傲慢 地斜眼儿瞧着谦恭的酒店老板，皮笑肉不笑地嘿嘿两声以后，这才阴阳怪气地说：“老板啊，你这个演唱班不错嘛，在咱们这个小小 的景德镇上还算有些名气呢！我嘛，实不相瞒，最近已经慕名来过你
6.2.3 向量的数乘运算-高一数学新教材配套课件(人教A版2019必修第二册)
课堂小结
1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如 λ＋a，λ－a 是没
有意义的．
2.若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，
→ → →→
→→
若AB＝λAC，则AB与AC共线，又AB与AC有公共点 A，从而 A，B，C 三点共线，
这是证明三点共线的重要方法．
D．2a－3b
解析: A→C＝A→B＋A→D＝2a＋3b.
3.在△ABC 中，若A→B＋A→C＝2A→P，则P→B等于( )
A．－12A→B＋32A→C
B. 12A→B－32A→C
√C. 12A→B－12A→C
D．－12A→B＋12A→C
解析：由A→B＋A→C＝2A→P得A→P＝12(A→B＋A→C)，所以P→B＝P→A＋A→B＝－12(A→B＋A→C) ＋A→B＝12A→B－12A→C.
总结
1.若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行． 2.若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合． 例如，若A→B＝λA→C，则A→B与A→C共线，又A→B与A→C有公共点 A，从而 A， B，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
二．向量共线定理 1.向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 λ，使 b＝λa ．
注意： (1)定理中，向量 a 为非零向量 (2)要证明向量 a，b 共线，只需证明存在实数 λ，使得 b＝λa 即可． (3)由定理知，若向量A→B＝λA→C，则A→B，A→C共线．又A→B，A→C有公共点 A，从而 A，B， C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
由O→D＝O→A＋O→B＝a＋b，得O→N＝12O→D＋16O→D＝23O→D＝23a＋23b.
高一数学《夹角和距离公式》
做一做： 教师备用：已知 a＝(0，－1,1)，b＝(1,2，－1)，则 a 与 b 的夹角等于( D ) (A)30° (B)60° (C)90° (D)150°
解析：a·b＝0－2－1＝－3，
|a|＝ 2，|b|＝ 1＋22＋1＝ 6，
∴cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
－3 ＝－ 2· 6
nn··ab＝ ＝00 .
④解方程组，取其中的一个解，即得法向量． (3)方法二必须建立空间直角坐标系，方法一不一定要建立空间直角坐标系． (4)在求平面的法向量时，要先找有没有和平面垂直的直线，若没有则用待定系数法．
(5)在利用方法二求解平面的法向量时，方程组nn··ab＝ ＝00 有无数多个解，只需给 x，y，z
角时可以在两条异面直线上分别取出两个向量，通过求这两个向量所成的角来求异面直线所
成的角，但需注意异面直线所成角范围(0°，90°]，注意这两个角相互转化时范围的不同．
知识要点二：线段的长度的求法
1．利用 a·a离公式来求．
知识要点三：对平面法向量的理解 1．所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然，一个平面的法向 量有无数多个，它们是共线向量．由于过直线外一点作与已知直线垂直的平面有且只有一个， 因此，在空间中，给定一个点 A 和一个向量 a，那么以向量 a 为法向量且经过 A 的平面是唯 一确定的． 2．求平面法向量的方法 (1)方法一：找到一条与已知平面垂直的直线，则该直线的任意方向向量都是该平面的法 向量． (2)方法二：待定系数法 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求 解，一般步骤如下： ①设出平面的法向量为 n＝(x，y，z)． ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)． ③根据法向量的定义建立关于 x、y、z 的方程组
高一数学空间直角坐标系知识点
高一数学空间直角坐标系知识点空间直角坐标系是由三个坐标轴构成的，分别为x轴，y轴和z轴。
通过将这三个轴相交于一点，我们就可以在三维空间中描述任意一个点的位置。
在空间直角坐标系中，每个点都可以表示成一个由三个有序实数（x，y，z）构成的三元组。
其中，x表示点在x轴上的距离，y表示点在y轴上的距离，z表示点在z轴上的距离。
除此之外，空间直角坐标系还有一些重要的知识点，以下列举三个例子：1. 距离公式在空间直角坐标系中，我们可以通过勾股定理计算两个点之间的距离。
假设点A的坐标为(x1，y1，z1)，点B的坐标为(x2，y2，z2)，则它们之间的距离d可以表示为：d=sqrt[(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²]其中sqrt表示开方运算。
这个距离公式在计算空间中两个点之间的距离时非常有用。
2. 长度、面积和体积的计算在空间直角坐标系中，我们可以通过计算线段长度、平面面积和立体体积来解决很多实际问题。
例如，我们可以使用勾股定理来计算线段的长度，使用向量积（叉积）来计算平面的面积，使用三元组的符号体积来计算立体体积。
3. 点、直线、平面的方程在空间直角坐标系中，点、直线、平面可以用方程来表示。
例如，点P的坐标为(x0，y0，z0)，则可以表示为P(x0，y0，z0)。
而直线和平面的方程则需要根据其特点来确定。
例如，一条直线可以表示为L：(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(a,b,c)，其中(x1,y1,z1)表示直线上一点的坐标，(a,b,c)表示直线的方向向量，t为参数。
而一个平面可以表示为Ax+By+Cz=D的形式，其中A、B、C为平面的法向量，D为平面的截距。
通过这些方程，我们可以方便地求解点、直线、平面的位置关系和交点等问题。
总之，空间直角坐标系是数学中非常重要的概念，对于工程学科、自然科学等领域的问题都有广泛的应用。
通过学习空间直角坐标系的知识点，我们可以更好地理解和解决很多实际问题。
平面几何中的向量方法课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
3
+
2
4
2．已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则
此四边形为( A )
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
由题意得 ＝(3,3)， ＝(2,2)，
∴ ∥，||≠||.
3．平面上有三个点A(－2，y)，B
0,
2
，C(x，y)(x≠0)，若
____________________________________________________________．
(2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或
线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：
a⊥b⇔a·
b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))
1
2
CD＝DA＝ AB，求证：AC⊥BC．
证法二
如图，建立直角坐标系，
设CD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．
∴ ＝(－1,1)， ＝(1,1)．
∴ · ＝(－1,1)·(1,1)＝－1＋1＝0.
∴AC⊥BC．
方法总结
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
___________________________________________________．
(3)求角问题，利用公式：cos〈a，b〉＝
⋅
1 2 +1 2
＝
_____________________
12 +12 22 +22
(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．
(1)向量的线性运算法的四个步骤
高一数学向量题50道
高一数学向量题50道每题2分，满分：100分，考试时间：60分钟1.计算a=(3,4)a=(3,4)和b=(1,2)b=(1,2)的和a+b a+b。
2.计算u=(−1,3)u=(−1,3)和v=(2,−5)v=(2,−5)的差u−v u−v。
3.计算向量a=(2,1)a=(2,1)的模∣a∣∣a∣。
4.计算向量b=(3,4)b=(3,4)的单位向量。
5.求u=(1,2)u=(1,2)和v=(3,4)v=(3,4)的点积u⋅v u⋅v。
6.求向量a=(4,0)a=(4,0)和b=(0,3)b=(0,3)的叉积a×b a×b。
7.判断向量m=(2,3)m=(2,3)和n=(4,6)n=(4,6)是否共线。
8.求向量a=(2,−1)a=(2,−1)和b=(3,4)b=(3,4)的夹角余弦。
9.求向量c=(−1,2)c=(−1,2)和d=(5,6)d=(5,6)的模。
10.计算向量a=(3,−1)a=(3,−1)乘以标量k=2k=2的结果。
11.计算向量b=(4,−3)b=(4,−3)乘以标量k=−1k=−1的结果。
12.判断向量p=(2,2)p=(2,2)和q=(−1,−1)q=(−1,−1)之间的夹角。
13.求在平面直角坐标系中，点A(2,3)A(2,3)和点B(5,7)B(5,7)的位置向量AB AB。
14.求向量u=(1,−4)u=(1,−4)和v=(4,3)v=(4,3)的和。
15.计算向量a=(2,3)a=(2,3)和b=(3,4)b=(3,4)的内积。
16.证明向量m∥n m∥n当且仅当存在非零数k k使得m=kn m=kn。
17.求向量a=(1,2,3)a=(1,2,3)和b=(4,5,6)b=(4,5,6)的叉积。
18.求通过两点A(1,2)A(1,2)和B(4,6)B(4,6)的直线方程。
19.确认向量c=(2,4)c=(2,4)，d=(3,6)d=(3,6)是否线性相关。
2-6距离的计算课件(北师大版选修2-1)(2)
设点 A1 到直线 BD 的距离为 d.
所以 d＝
规律方法
本题(1)利用基本定义直接求解距离， (2)利用向量方
法求解，通过训练熟练掌握向量公式法求解．
【训练 1】 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，点 E 是 A1B1 的中点，则点 A 到直线 BE 的距离是( )．
6 5 4 5 2 5 5 A. B. C. D. 5 5 5 5
题型一 点到直线的距离 【例 1】 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，已知 AB＝3， BC＝4，AA1＝5，求点 A1 到下列直线的距离． (1)直线 AC； (2)直线 BD. [思路探索] (1)AA1 即为所求；(2)建系，利用向量坐标计算，确 定直线 BD 的一个方向向量，代入公式求解．
解析
→ 如图所示，BA＝(2，0，0)．
→ BE＝(1，0，2)， → → |BA·BE| 2 ∴cos θ＝ ＝ ， → → 2 5 |BA||BE| → → BA·BE 2 5 ＝ 5 . → |BE| 4 ∴sin θ＝ 1－cos θ＝ ， 20
2
A 到直线 BE 的距离 d＝ ＝ 答案 4 4 5 4－ ＝ . 5 5 B
→ BC·n |－12| 12 61 为：d＝ |n| ＝ ＝ 61 .(12 分) 61
【题后反思】 七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化， 如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间 的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离．而且 我们在求解时往往又转化为空间向量的处理方法．
角度作出这个距离有很大的困难， 利用向量方法求解较为容易．
【训练 2】 四棱锥 PABCD 中， 四边形 ABCD 为正方形， PD⊥ 平面 ABCD，PD＝DA＝2，F、E 分别为 AD、PC 的中点． (1)证明：DE∥平面 PFB； (2)求点 E 到平面 PFB 的距离．
直线上向量的坐标及其运算
（1）a=3e，b=-6e；
解：
3，-6
(2)a=− ������e,b=2e;
������
− ������ ，2
��ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ���
2.设数轴上两点A,B的坐标分别为-1，3，求： （1）向量������������的坐标，以及A及B的距离； （2）线段AB中点的坐标。
解： （1）������������的坐标为4，AB之间距离为4.
������
������=− ������ ������，求 ������ ， ������ ， ������ + ������ ， ������������ − ������������ .
������
解：
������ =������， ������ =������，因为a+b=������ ������ + − ������ ������ = − ������ ������，所以 ������ + ������ = ������ ；
������
������
������
������
������
������
又因为2a-3b=2* ������ ������-3* − ������ ������ = ������������ ������，所以 ������������ − ������������ = ������������
新人教B版必修二
第六章 平面向量
主讲人：姜妍
复习提问
共线向量基本定理的内容：
如果������ ≠ 0且a∥b，则存在唯一的实数������，使得b=������a
新课讲解
1.直线上向量的坐标
直线上的向量特指始点和终点都在这条直线上的向量
向量的数乘运算课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
a
b
b
O
BA a b
a
A
新知探究
我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面
向量可以做乘法吗？它和实数可以做乘法吗？
探究 已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，它们
的长度和方向是怎样的？
a
O
a
A
a
a
B
C
OA AB AC
a a a 3a
注：①向量数乘结果仍然是向量，其长度、方向都与λ以及 a有关；
+ − a，
a 无意义；
②实数和向量可以相乘，但不能相加减，
习题演练
5
2
AC 5
，则 AC _____
2. 点C在线段AB上，且
AB
,
BC
=
______
AB.
7
7
CB 2
A
C
B
新知探究
探究:实数与向量积的运算律
3(2a )
∴AC 2 AB .
2b
A
∴AC与 AB共线.
因此,A,B,C 三点共线.
推论 : A, B , C 三点共线 存在 R, 使 AB AC
b
a
O
归纳小结
证明或判断A、B、C三点共线的方法：
AC BC
有公共点B
C
A、B、C三点共线
B
A
新知探究
追问：已知不共线向量a，b，作向量a+λ2b，你能发现向量
a
2a
= 6a
3(2a )
高一数学讲义 第七章 平面向量
高一数学讲义 第七章 平面向量7.1 向量的基本概念及表示现实生活中，有些量在有了测定单位之后只需用一个实数就可以表示，例如温度，时间，面积，这些只需用一个实数就可以表示的量叫作标量．还有些量不能只用一个实数表示，例如位移，力，速度等既有大小又有方向的量，这些既有大小又有方向的量叫作向量．向量既有大小又有方向，因此向量不能比较大小．数学中常用平面内带有箭头的线段来表示平面向量．以线段的长来表示向量的大小：以箭头所指的方向（即从始点到终点的方向）来表示向量的方向．一般地，以点P 为始点，点Q 为终点的向量记作PQ ．为书写简便，在不强调向量的起点与终点时，向量也可以用一个小写的字母并在上面画一个小箭头来表示，如a ．PQ 的大小叫作PQ 的模，记作PQ ，类似地，a 的模记作a ． 1．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0；0的方向是任意的． 2．单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．3．平行向量：方向相同或相反的向量叫做平行向量（也叫共线向量）． 4．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．5．负向量：与a 的模相等，方向相反的向量叫作a 的负向量，记作a -．我们规定：0的相反向量仍是零向量．易知对任意向量a 有()a a --=．向量共线与表示它们的有向线段共线不同：向量共线时表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在一条直线上；而有向线段共线则线段必须在同一条直线上．规定。
与任一向量平行．图7-1图7-1三个向量a 、b 、c 所在的直线平行，易知这三个向量平行，记作a b c ∥∥，我们也可以称这三个向量共线．例l ．如图7-2所示，128A A A 、是O 上的八个等分点，则在以128A A A 、及圆O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少??A 8A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1图7-2解：（1）模等于半径的向量只有两类，一类是()128i OA i =、共8个；另一类是()128iAO i =、也有8个．两类合计16个． （2）以128A A A 、为顶点的O 的内接正方形有两个，一个是正方形1257A A A A ；另一个是正方形2468A A A A ．在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边（看成有向线段，每一边对应两个向量）的√2倍的向量共有42216⨯⨯＝个． 注意：（1）在模等于半径的向量个数的计算中，要计算i OA 与()128i AO i =、两类．一般地我们易想到()128i OA i =、这8个，而易遗漏()128iAO i =、这8个．（2的两个向量，例如边13A A 对应向量13A A 与31A A ，因此与（1）一样，在解题过程中主要要防止漏算．认为满足条件的向量个数为8是错误的．例2．在平面中下列各种情形中，将各向量的终点的集会分别构成什么图形? （1）把所有单位向量的起点平移到同一点O ．（2）把平行于直线l 的所有单位向量的起点平移到直线l 上的p 点． （3）把平行于直线l 的所有向量的起点平移到直线l 的点p ． 解：（1）以点O 为圆心，l 为半径的圆．（2）直线l 上与点p 的距离为1个长度单位的两个点． （3）直线l ．例3．判断下列命题的真假：①直角坐标系中坐标轴的非负轴都是向量； ②两个向量平行是两个向量相等的必要条件；③向量AP 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上； ④向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ⑤四边形ABCD 是平行四边形的宽要条件是AB DC =．解：①直角坐标系中坐标轴的非负半轴，虽有方向之别，但无大小之分，故命题是错误的．②由于两个向量相等，必知这两个向量的方向与长度均一致，故这两个向量一定平行，所以，此命题正确； ③不正确．AB 与CD 共线，可以有AB 与CD 平行；④不正确．如果其中有一个是零向量，则其方向就不确定；⑤正确．此命题相当于平面几何中的命题：四边形ABCD是平行四边形的充要条件是有一组对边平行且相等．1．下列各量中是向量的有__________．（A）动能（B）重量（C）质量（D）长度（F）作用力与反作用力（F）温度2．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．3．回答下列问题，并说明理由．（1）平行向量的方向一定相同吗?（2）共线向量一定相等吗?（3）相等向量一定共线吗?不相等的向量一定不共线吗?4．命题“a b∥，b c∥（）∥，则a bA．总成立B．当0a ≠时成立C．当0b ≠时成立D．当0c ≠时成立5．已知正六边形ABCDEF（见图7-3），在下列表达式中：①BC CD EC+；③FE ED++；②2BC DC+；④2ED FA-；与AC相等的有__________．CF图737.2向量的加减法两个向量可以求和．一般地，对于两个互不平行的向量a、b，以A为共同起点平移向量，有AB a=，=叫作a和b这两个向量的和，即AD b=，则以AB、AD为邻边的平行四边形ABCD的对角线AC c+=．求两个向量和的运算叫做向量的加法．上述求两个向量的和的方法称为向量加法的平行四a b c边形法则，见图7-4．平行四边形法则B图74又AD BC = AB BC AC ∴+=由此发现，当第二个向量的始点与第一个向量的终点重合时．这两个向量的和向量即为第一个向量的始点指向第二个向量终点的向量．此法则称为向量加法的三角形法则，地图7-5．三角形法则图75特殊地．求两个平行向量的和，也可以用三角形法则进行（如图7-6）：（b ）（a ）a BA图76显然，对于任何a ，有0a a +=；()0a a +-=． 对于零向量与任一向量a ，有00a a a +=+=．向量的加法具有与实数加法类似的运算性质，向量加法满足交换律与结合律： 交换律：a b b a +=+结合律：()()a b c a b c ++=++与实数的减法相类似，我们把向量的减法定义为向量加法的逆运算．若向量a 与b 的和为向量c ，则向量b 叫做向量c 与a 的差，记作b c a =-．求向量差的运算叫做向量的减法．由向量加法的三角形法则以及向量减法的定义．我们可得向量减法的三角形法则，其作法：在平面内取一点O，作OA a=-，即a b-声可以表示为从向量b的终点指向向=，则BA a b=，OB b量a的终点的向量．注意差向量的“箭头”指向被减向量，见图7-7．CB图77此外，我们可以先做向量b的负向量OB b′，可根据向量加法的平行四边形法则得()=-OC a b=+-．易知向量OC BA=，因此，()+-=-．a b a b例1．如图7-8所示，已知向量a，b，c，试求作和向量a b c++．图78分析：求作三个向量的和的问题，首先求作其中任意两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后再求这个新向量与另一个向量的和．即可先作a b+，再作()++．a b c解：如图7-9所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA a=+，=，再作向量AB b=，则得向量OB a b然后作向量BC c=++即为所求．=，则向量OC a b cO图79例2．化简下列各式（1）AB CA BC ++； （2）OE OF OD DO -+--．解：（1）原式()0AB BC CA AB BC CA AC CA AC AC =++=++=+=-= （2）原式()()0OE OF OD DO EO OF EF =+-+=+-=例3．用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．分析：要证明四边形是平行四边形只要证明某一组对边平行且相等．由相等向量的意义可知，只需证明其一组对边对应的向量是相等向量．已知：如图7-10，ABCD 是四边形，对角线AC 与BD 交于0，且AO OC =，DO OB =．ODCBA图710求证：四边形ABCD 足平行四边形． 证明：由已知得AO OC =，BO OD =，AD AO OD OC BO BO OC BC =+=+=+=，且A D B C ，，，不在同一直线上，故四边形ABCD 是平行四边形．例4．已知平面上有不共线的四点O A B C ，，，．若320OA OB OC -+=，试求AB BC的值．解：因为23OA OC OB +=，所以()2OB OA OC OB -=-．于是有2AB BC =-．因此2AB BC=．基础练习1．若对n 个向量12n a a a ，，，存在n 个不全为零的实数12n k k k ，，，，使得11220n n k a k a k a +++=成立，则称向量12n a a a ，，，为“线性相关”，依此规定，能说明()110a =，，()211a =-，，()322a =，“线性相关”的实数123k k k ，，依次可以取____________________（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）．2．已知矩形ABCD 中，宽为2，长为AB a =，BC b =，AC c =，试作出向量a b c ++，并求出其模的大小．3．设a ，b 为两个相互垂直的单位向量．已知OP a =，OR ra kb =+．若PQR △为等边三角形，则k ，r 的取值为（ ）A．k r == B．k r =C．k r ==D．k r = 4．若A B C D 、、、是平面内任意四点，则下列四式中正确的是（ ）①AC BD BC AD +=+ ②AC BD DC AB -=+ ③AB AC DB DC --=④AB BC AD DC +-=A ．1B ．2C ．3D ．45．设a 表示“向东走10km ”，b 表示“5km ”，c 表示“向北走10km ”，d 表示“向南走5km ”．说明下列向量的意义．（1）a b +；（2）b d +；（3）d a d ++．6．在图7-11的正六边形ABCDEF 中，AB a =，AF b =，求AC ，AD ，AE ．FC图7117.3 实数与向量的乘法如图7-12，已知非零向量a ，可以作出a a a ++和()()()a a a -+-+-．P Q M N aaa-a图712aOC OA AB BC a a a =++=++，简记3OC a =；同理有()()()3PN PQ QM MN a a a a =++=-+-+-=-．观察得：3a 与a 方向相反相反且33a a -=．一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：a λ．a λ的模与方向规定如下：（1）a a λλ=；（2）a λ的方向定义为：0λ>时a λ与a i 方向相同；0λ<时a λ与a i 方向相反；0λ=或0a =时规定：0a λ=．以上规定的实数与向量求积的运算叫作实数与向量的乘法（简称向量的数乘）．向量数乘的几何意义就是：把向量a 沿向量a 的方向或反方向放大或缩小，a λ与a 是互相平行的向量．对于任意的非零向量a ，与它同方向的单位向量叫做向量a 的单位向量，记作0a ．易知01a a a =．向量共线定理：如果有一个实数λ，使()0b a a λ=≠，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与()0a b ≠是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b a λ=．通过作图，可以验证向量数乘满足以下运算定律：当m 、n ∈R 时，有 1．第一分配律()m n a ma na +=+． 2．第二分配律()m a b ma mb +=+． 3．结合律()()m na mn a =． 例1．计算：（1）()()63292a b a b -+-+；（2）原式12711332236227a a b b a a b ⎛⎫⎛⎫=-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()()64222a b c a b c a c -+--+--+． 解：（1）原式18121893a b a b b =---+=-． （2）原式12711332236227a a b b a a b ⎛⎫⎛⎫=-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭17732367a b a b ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 77106262b a a b =+--=． （3）原式66648442a bc a b c a c =-+-+-+-()()()64468642a a a b b c c c =-++-++-- 62a b =+．例2．已知O 为原点，A ，B ，C 为平面内三点，求证A ，B ，C 三点在一条直线上的充要条件是OC OA OB αβ=+，且αβ∈R ，，1αβ+=．分析：证明三点共线可从三点构成的其中两个向量存在数乘关系．证明必要条件也是从向量共线时向量的数乘关系入手．证明：必要性．设A B C ，，三点共线，则AC 与AB 共线．于是存在实数λ，使AC AB λ=． 而AC OC OA =-，AB OB OA =-，()OC OA OB OA λ∴-=-．()1OC OB OA λλ∴=+-． 令λβ=，1λα-=，有()11αβλλ+=-+=， OC OA OB αβ∴=+，且1αβ+=．充分性．若OC OA OB αβ=+，且1αβ+=，则()1OC OA OB ββ=-+，()OC OA OB OA β=+-，()OC OA OB OC β-=-，AC AB β∴=，β∈R ． AC ∴与AB 共线，而A 为AC 与AB 的公共端点，A B C ∴，，三点在一条直线上．在证明必要性时，A B C ，，三点共线还可用AB kBC =，AC kBC =表示．本题的结论还可有更一般的形式：A B C 、、三点在一条直线上的充要条件是存在实数h ，k ，l ，使0hOA kOB lOC ++=，且1h k l ++=，l k h ，，中至少有一个不为0．例3．如图7-13，设O 为ABC △内一点，PQ BC ∥，且PQt BC=，，OB b =，OC c =，试求OP ，OQ ． 解：由平面几何知，APQ ABC ⨯△∽△，且对应边之比为t ，图713故AP AQ PQt AB AC BC===， 又A P B 、、与A Q C 、、分别共线，即知 AP t AB =，AQ t AC =．()()OP OA AP OA t AB OA t OB OA a t b a ∴=+=+=+-=+-，即()1OP t a tb =-+，()()OQ OA AQ OA t AC OA t OC OA a t c a =+=+=+-=+-， 即()1OQ t a c =-+．例4．设两非零向量1e 和2e 不共线，（1）如果12AB e e =+，1228BC e e =+，()123CD e e =-，求证A B D ，，三点共线． （2）试确定实数k ，使12ke ke +共线． （1）证明12AB e e =+，()121212283355BD BC CD e e e e e e AB =+=++-=+=，AB BD ∴，共线，又有公共点B A B D ∴，，三点共线．（2）解12ke e +与12e ke +共线，∴存在λ使()1212ke e e ke λ+=+， 则()()121k e k e λλ-=-，由于1e 与2e 不共线， 只能有010k k λλ-=⎧⎨-=⎩则1k =±．例5．在ABC △中，F 是BC 中点，直线l 分别交AB AF AC ，，于点D ，G ，E （见图7-14）．如果AD AB λ=，AE AC μ=，λ，μ∈R ．证明：G 为ABC △重心的充分必要条件是113λμ+=．l GF E DCB A图714解：若G 为ABC △重心，则()221332AG AF AB AC ==⋅+=13AD AE λμ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭． 又因点D G E ，，共线，所以，()113AD AE AG t AD t AE λμ⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭， 因AD ，AE 不共线，所以，13t λ=且113t μ=-，两式相加即得113λμ+=． 反之，若113λμ+=，则()2xAG xAF AB AC ==+()12x AD AE t AD t AE λμ⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以，2x t λ=且12x t μ=-，相加即得23x =，即G 为ABC △重心． 基础练习1．已知向量a 、b 是两非零向量，在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是（ ） ①234a b e -=且23a b e +=-；②存在相异实数λ、u ，使0a ub λ+=； ③0xa yb +=（其中实数x y 、满足0x y +=）； ④已知梯形ABCD 中，其中AB a =、CD b =． A ．①② B ．①③C ．②④D ．③④2．判断下列命题的真假：（1）若AB 与CD 是共线向量，则A B C D ，，，四点共线． （2）若AB BC CA ++=0，则A B C ，，三点共线． （3）λ∈R ，则a a λ>．（4）平面内任意三个向量中的每一个向量都可以用另外两个向量的线性组合表示． 3．已知在ABC △中，D 是BC 上的一点，且BDDCλ=，试求证：1AB AC AD λλ+=+． 4．已知3AD AB =，3DE BC =．试判断AC 与AE 是否共线．5．已知在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，求证：四边形ABCD 是梯形．6．已知()2cos A αα，()2cos B ββ，()10C -，是平面上三个不同的点，且满足关系式CA BC λ=，求实数λ的取值范围．7．已知梯形ABCD 中，2AB DC =，M N ，分别是DC AB 、的中点，若1AB e =，2AD e =，用1e ，2e 表示DC BC MN 、、．8．四边形ABCD 是一个梯形，AB CD ∥且2AB CD =，M N 、分别是DC 和AB 的中点，已知AB a =，AD b =，试用a ，b 表示BC 和MN ．9．已知a b 、是不共线的非零向量，11c a b λμ=+，22d a b λμ=+，其中1122λμλμ、、、为常数，若c d ma nb +=+，求m n 、的值．10．设a 、b 是不共线的两个非零向量，OM ma =，ON nb =，OP a b αβ=+，其中m n αβ、、、均为实数，0m ≠，0n ≠，若M P N 、、三点共线，求证：1mnαβ+=．11．在ABC △中，BE 是CD 交点为P ．设AB a =，AC b =，AP c =，AD a λ=，（01λ<<），()01AE b μμ=<<，试用向量a ，b 表示c ．12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量()12OA =，，()21OB =-，若OP xOA yOB =+且12x y ≤≤≤，则求出点P 所有可能的位置所构成的区域面积．7.4 向量的数量积数量积定义：一般地．如果两个非零向量a 与b 的夹角为α．我们把数量cos a b α⋅叫做a 与b 的数量积（或内积），记作：a b ⋅，即：cos a b a b α⋅=⋅，其中记法“a b ⋅”中间的“⋅”不可以省略，也不可以用“×”代替．特别地，a b ⋅可记作2a ．规定：0与任何向量的数量积为0．非零向量夹角的范围：0≤口≤Ⅱ．投影的定义：如果两个非零向量a 与b 的夹角为α，则数量cos b θ称为向量b 在a 方向上的投影．注意：投影是一个数量．数量积的几何意义：如图7-15，我们把cos b α<叫做向量b 在a 方向上的投影，即有向线段1OB 的数量．图715当π02α<≤时，1OB 的数量等于向量1OB 的模1OB ； 当ππ2α<≤时，1OB 的数量等于向量1OB 的模－1OB ； 当π2α=时，1OB 的数量等于零． 当然，cos a α即为a 在b 方向上的投影．综上，数量积的几何意义：a b ⋅等于其中一个向量a 的模a 与另一个向量b 在a 的方向上的投影cos b α的乘积．向量的数量积的运算律： ①a b b a ⋅=⋅②()()()a b b a b λλλ⋅⋅=⋅（λ为实数）③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ 鉴于篇幅这里仅证明性质②：证明：（1）若0λ>，()cos a b a b λλθ⋅=，()cos a b a b λλθ⋅=，()cos a b a b λλθ⋅=，（2）若0λ<，()()()cos πcos cos a b a b a b a b λλθλθλθ⋅=-=--=，()cos a b a b a b λλλθ⋅=⋅=，()()()cos πcos a b a b a b λλθλθ⋅=-=--=cos a b λθ． （3）若0λ=，则()()()0a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅=． 综合（1）、（2）、（3），即有()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．例1．已知4a =，5b =，当（1）a b ∥，（2）a b ⊥，（3）a 与b 的夹角为30︒时，分别求a 与b 的数量积．解：（1）a b ∥，若a 与b 同向，则0θ=︒，cos04520a b a b ∴⋅=⋅︒=⨯=； 若a 与b 反向，则180θ=︒，()cos18045120a b a b ∴⋅=⋅︒⨯⨯⨯-=-． （2）当a b ⊥时，90θ=︒，cos900a b a b ∴⋅=⋅︒=．（3）当a 与b 的夹角为30︒时，cos3045a b a b ⋅=⋅︒=⨯= 例2．空间四点A B C D 、、、满足3AB =，7BC =，11CD =，9DA =，则AC BD ⋅的取值有多少个？解：注意到2222311113079+==+，由于0AB BC CD DA +++=， 则()()2222222DA DA AB BC CDAB BC CD AB BC BC CD CD AB ==++=+++⋅+⋅+⋅()()2222AB BC CD AB BC BC CD =-+++⋅+，即222220AC BD AD BC AB CD ⋅=+--=，AC BD ∴⋅只有一个值0．例3．已知a b 、都是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a b 、的夹角． 解：由()()223750716150a b a b a a b b +⋅-=⇒+⋅-= ①()()22472073080a b a b a a b b -⋅-=⇒-⋅+=②两式相减：22a b b ⋅=代入①或②得：22a b =． 不妨设a b 、的夹角为θ，则221cos 22a b ba bbθ⋅===，又因为0πθ≤≤，60θ∴=︒．例4．在凸四边形ABCD 中，P 和Q 分别为对角线BD 和AC 的中点，求证：2222224AB BC CD DA AC BD PQ +++=++．证明：联结BQ ，QD ，因为BP PQ BQ +=，DP PQ DQ +=， 所以()()2222BQ DQ BP PQ DP PQ +=+++ 222222BP DP PQ BP PQ DP PQ =+++⋅+⋅()22222BP DP PQ BP DP PQ =++++⋅ 2222BP DP PQ =++①又因为BQ QC BC +=，BQ QA BA +=，0QA QC +=， 同理222222BA BC QA QC BQ +=++② 222222CD DA QA QC QD +=++③由①、②、③可得()()2222222224222BA BC CD QA BQ QD AC BP PQ ++=++=++= 2224AC BD PQ ++．得证．例5．平面四边形ABCD 中，AB a =，BC b =，CD c =，DA d =，且a b b c c d d a ⋅=⋅=⋅=⋅，判断四边形ABCD 的形状．证明：由四边形ABCD 可知，0a b c d +++=（首尾相接）()a b c d ∴+=-+，即()()22a bc d +=+展开得222222aa b b c c d d +⋅+=+⋅+a b c d ⋅=⋅，222a b c d ∴+=+①同理可得2222a dbc +=+② ①-②得2222b a ac =⇒=，b d ∴=，ac =，即AB CD =，BC DA =， 故四边形ABCD 是平行四边形．由此a c =-，bd =-．又a b b c ⋅=⋅，即()0b a c -=()20b a ∴⋅=即a b AB BC ⊥⇒⊥， 故四边形ABCD 是矩形．例6．已知非零向量a 和b 夹角为60︒，且()()375a b a b +⊥-，求证：()()472a b a b -⊥-．证明：因为a 和b 夹角为60︒，所以1cos602a b a b a b ⋅=⋅⋅︒=⋅；又因为()()375a b a b +⊥-，所以，即()()3750a b a b +⋅-=．22222217161571615781502a ab b a a b b a a b b +⋅-=+⨯⋅-=+⋅-=． ()()7150a b a b ∴+⋅-=，0a b ∴-=，即a b =．因为()()22222214727308730871582a b a b a a b b a a b b a a b b -⋅-=-⋅+=-⨯+=-+，把a b =代入上式消去b 得()()2247271580a b a b a a a a -⋅-=-+=．所以()()472a b a b -⊥-．基础练习1．已知a b c 、、是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为（ ） ①a b a b a b ⋅=⋅⇔∥； ②a b 、反向a b a b ⇔⋅=-⋅； ③a b a b a b ⊥⇔+=-； ④a b a c b c =⇔⋅=⋅． A ．1B ．2C ．3D ．42．已知向量i j ，为相互垂直的单位向量，28a b i j +=-，816a b i j -=-+，求a b ⋅．3．如图7-16所示，已知平行四边形ABCD ，AB a =，AD b =，4a=，2b =，求：OA OB ⋅．C图7164．设6a =，10b =，46a b -=，求a 和b 的夹角θ的余弦值． 5．已知a b ⊥，2a =，3b =，当()()32a b a b λ-⊥+时，求实数λ的值．6．已知不共线向量a ，b ，3a =，2b =，且向量a b +与2a b -垂直．求：a 与b 的夹角θ的余弦值． 7．已知3a =，4b =，且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a kb +与a kb -互相垂直？ 8．在ABC △中，已知4AB AC ⋅=，12AB BC ⋅=-，求AB ．9．在ABC △中，AB a =，BC b =，且0a b ⋅>，则ABC △的形状是__________． 10．已知向量()24a =，，()11b =，．若向量()b a b λ⊥+，则实数λ的值是__________．11．如图7-17，在四边形ABCD 中，4AB BD DC ++=，0AB BD BD DC ⋅=⋅=，4AB BD BD DC ⋅+⋅=，求()AB DC AC +⋅的值．图717DCBA能力提高12．如图7-18，在Rt ABC △中，已知BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点．问PQ 与BC 的夹角θ为何值时，BP CQ ⋅的值最大?并求出这个最大值．PQ图71813．已知ABC △中满足()2ABAB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，a b c 、、分别是ABC △的三边．试判断ABC △的形状并求sin sin A B +的取值范围．14．设边长为1的正ABC △的边BC 上有n 等分点，沿点B 到点C 的方向，依次为121n P P P -，，，，若1121n n S AB AP AP AP AP AC -=⋅+⋅++⋅，求证：21126n n S n-=．15．在ABC △中，AB a =，BC c =，CA b =，又()()()123c b b a a c ⋅⋅⋅=∶∶∶∶，则ABC △三边长之比a b c =∶∶__________．16．在向量a b c ，，之间，该等式()()())132a b c a b b c c a ⎧++=⎪⎨⋅⋅⋅=-⎪⎩∶∶∶成立，当1a =时，求b 和c 的值．17．若a b c ，，中每两个向量的夹角均为60︒，且4a =，6b =，2c =，求a b c ++的值． 7.5 向量的坐标表示及其运算向量的坐标表示在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数()x y ，来表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示?前面的平面向量分解告诉我们，只要选定一组基底，就有唯一确定的有序实数对与之一一对应． 我们分别选取与x 轴、y 轴方向相同的单位向量i ，j 作为基底，由平面向量的基本定理．对于任一向量a ，存在唯一确定的实数对()x y ，使得()a xi y j x y =+∈R ，，我们称实数对()x y ，叫向量a 的坐标，记作()a x y =，．其中x 叫向量a 在x 轴上的坐标,y 叫向量a 在y 轴上的坐标，见图7-19．图719注意：（1）与a 相等的向量的坐标也是()x y ，．（2）所有相等的向量坐标相同；坐标相同的向量是相等的向量． 平面向量的坐标运算（1）设()11a x y =，，()22b x y =，，则()1212a b x x y y +=++，． （2）设()11a x y =，，()22b x y =，，则()1212a b x x y y -=--，． （3）设()11A x y ，，()22B x y ，，则()2121AB OB OA x x y y =-=--，． （4）设()11a x y =，，λ∈R ，则()a x y λλλ=，．（5）设()11a x y =，，()22b x y =，，则()1212a b x x y y ⋅=+． 向量平行的坐标表示设()11a x y =，，()22b x y =，，且0b ≠，则()1212a b x x y y =+∥． 向量的平行与垂直的充要条件设()11a x y =，，()22b x y =，，且0b ≠，0a ≠则 12210a b b a x y x y λ⇔=⇔-=∥． 121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=．重要的公式（1）长度公式：2221a a a x y ===+()()11a x y =，（2）夹角公式：()())1122cos a x y b x y θ===，，，．（3）平面两点间的距离公式： (()())1122A B d AB AB AB x A x y B xy ==⋅=，，，，．（4）不等式：cos a b a b a b θ⋅=≥．例1．已知()12a a a =，，()12b b b =，，且12210a b a b -≠，求证：（1）对平面内任一向量()12c c c ，，都可以表示为()xa yb x y +∈R ，的形式； （2）若0xa yb +=，则0x y ==．证明：（1）设c xa yb =+，即()()()()1212121122c c x a a y b b a x b y a x b y =+=++，，，，， 111222.a xb yc a x b y c +=⎧∴⎨+=⎩，12210a b a b -≠，∴上述关于x y ，的方程组有唯一解．1221122112211221.c b c b x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，1221122112211221c b c b a c a c c a b a b a b a b a b --∴=+--． （2）由（1）的结论，0c =，即120c c ==，则 122112210c b c b x a b a b -==-，122112210a c a c y a b a b -==-，0x y ∴==． 小结：证明（1）的过程就是求实数x ，y 的过程，而12210a b a b -≠是上面二元一次方程组有唯一解的不可缺少的条件．另外，本题实际上是用向量的坐标形式表述平面向量基本定理．其中1x λ=，2y λ=，这里给出了一个具体的求12λλ，的计算方法．例2．向量()10OA =，，()11OB =，，O 为坐标原点，动点()P x y ，满足0102OP OA OP OB ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩≤≤≤≤，求点()Q x y y +，构成图形的面积．解：由题意得点()P x y ，满足0102x x y ⎧⎨+⎩≤≤≤≤，令x y uy v +=⎧⎨=⎩，则点()Q u v ，满足0102u v u -⎧⎨⎩≤≤≤≤，在uOv 平面内画出点()Q u v ，构成图形如图7-20所示，∴其面积等于122⨯=．图720例3．在直角坐标系中，已知两点()11A x y ，，()22B x y ，；1x ，2x 是一元二次方程222240x ax a -+-=两个不等实根，且A B 、两点都在直线y x a =-+上． （1）求OA OB ⋅；（2）a 为何值时OA 与OB 夹角为π3． 解：（1）12x x 、是方程222240x ax a -+-=两个不等实根，()224840a a ∴∆=-->解之a -<()212142x x a =-，12x x a +=又A B 、两点都在直线y x a =-+上，()()()()2212121212142y y x a x a x x a x x a a ∴=-+-+=-++=- 121224OA OB x x y y a ∴⋅=+=-（2）由题意设1x =，2x =112y x a x ∴=-+==，同理21y x =(()22212121224OA OB xx x x x x x ∴==+=+-=当OA 与OB夹角为π3时，π1cos 4232OA OBOA OB ⋅==⨯= 242a ∴-=解之(a =- a ∴=即为所求． 例4．已知()10a =，，()21b =，． ①求3a b +；②当k 为何实数时，ka b -与3a b +平行，平行时它们是同向还是反向？解：①()()()31032173a b +=+=，，，，2373a b ∴+=+ ②()()()102121ka b k k -=-=--，，，． 设()3ka b a b λ-=+，即()()2173k λ--=，，， 12731313k k λλλ⎧=-⎪-=⎧⎪∴⇒⎨⎨-=⎩⎪=-⎪⎩．故13k =-时，它们反向平行．例5．对于向量的集合(){}221A v x y x y ==+，≤中的任意两个向量12v v 、与两个非负实数αβ、；求证：向量12v v αβ+的大小不超过αβ+．证明：设()111v x y =，，()222v x y =，，根据已知条件有：22111x y +≤，22221x y +≤， 又因为(12v v αβα+==其中12121x x y y +所以12v v αβααβαβ+=+=+≤． 基础练习1．已知()21a =，，()34b =-，，求a b +，a b -，34a b +的坐标． 2．设O 点在ABC △内部，且有230OA OB OC ++=，求ABC △的面积与AOC △的面积的比． 3．已知平行四边形ABCD 的三个顶点A B C ，，的坐标分别为（-2，1），（-1，3），（3，4），求顶点D 的坐标．4．已知向量i ，j 为相互垂直的单位向量，设()12a m i j =+-，()1b i m j =+-，()()a b a b +⊥-，求m 的值．5．已知等腰梯形ABCD ，其中AB CD ∥，且2DC AB =，三个顶点()12A ，，()21B ，，()42C ，，求D 点的坐标．6．如图7-21所示，已知()20OA =，，(1OB =，将BA 绕着B 点逆时针方向旋转60︒，且模伸长到BA 模的2倍，得到向量BC ．求四边形AOBC 的面积S ．图7217．如图7-22所示，已知四边形ABCD 是梯形，AD BC ∥，2BC AD =，其中()12A ，，()31B ，，()24D ，，求C 点坐标及AC 的坐标．图7228．已知向量()2334a x x x =+--，与AB 相等，其中()12A ，，()32B ，，求x ． 9．平面内有三个已知点()12A -，，()70B ，，()56C -，，求 （1）AB ，AC ；（2）AB AC +，AB AC -；（3）122AB AC +，3AB AC -． 10．已知向量()12a =，，()1b x =，，2u a b =+，2v a b =-，且u v ∥，求x ． 11．已知()23a =，，()14b =-，，()56c =，，求()a b c ⋅，和()a b c ⋅⋅．12．已知两个非零向量a 和b 满足()28a b +=-，，()64a b -=--，，求a 与b 的夹角的余弦值． 能力提高13．已知平面上三个向量a ，b ，c 均为单位向量，且两两的夹角均为120︒，若()1ka b c k ++>∈R ，求k 的取值范围．14．已知OA ，OB 不共线，点C 分AB 所成的比为2，OC OA OB λμ=+，求λμ-． 7.6 线段的定比分点公式与向量的应用线段的定比分点公式设点P 是直线12P P 上异于1P 、2P 的任意一点，若存在一个实数()1λλ≠-，使12PP PP λ=，则λ叫做点P 分有向线段12P P 所成的比，P 点叫做有向线段12P P 的以定比为λ的定比分点．当P 点在线段12P P 上时0λ⇔≥；当P 点在线段12P P 的延长线上时1λ⇔<-； 当P 点在线段21P P 的延长线上时10λ⇔-<<；设()111P x y ，，()222P x y ，，()P x y ，是线段12P P 的分点，λ是实数且12P P PP λ=，则121211x x x OP y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⇔=⎨+⎪=⎪+⎩()12121111OP OP OP tOP t OP t λλλ+⎛⎫⇔=+-= ⎪++⎝⎭．()1λ≠-由线段的定比分点公式得：中点坐标公式设()111P x y ，，()222P x y ，，()P x y ，为12P P 的中点，（当1λ=时） 得121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩三角形的重心坐标公式ABC △三个顶点的坐标分别为()11A x y ，、()22B x y ，、()33C x y ，，则ABC △的重心的坐标是12312233x x x y y y G ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 利用向量可以解决许多与长度、距离及夹角有关的问题．向量兼具几何特性和代数特性，成为沟通代数、三角与几何的重要工具，同时在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用． 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC △所在平面上一点，角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c 则（1）O 为ABC △的外心222OA OB OC ⇔==． （2）O 为ABC △的重心0OA OB OC ⇔++=．（3）O 为ABC △的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅． （4）O 为ABC △的内心0aOA bOB cOC ⇔++=． （5）O 为ABC △的A ∠的旁心()aOA b OB cOC ⇔=+．例1．如图7-23所示，已知矩形ABCD 中，()21A ，，()54B ，，()36C ，，E 点是CD 边的中点，联结BE 与矩形的对角线AC 交于F 点，求F 点坐标．图723解：四边形ABCD 是矩形，E 是CD 边的中点，ABF CEF ∴△∽△，且2AB CE =2AF CF ∴=即点F 分AC 所成的比2λ=．设()F x y ，．由(21)A ，，(36)C ，，根据定比分点坐标公式得2238123x +⨯==+，12613123y +⨯==+ F ∴点坐标是81333⎛⎫⎪⎝⎭，． 例2．证明：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．证明：在单位圆O 上任取两点A ，B ，以Ox 为始边，以OA ，OB 为终边的角分别为β，α，见图7-24．β，sin β）B （cos α图724则A 点坐标为()cos sin ββ，，B 点坐标为()cos sin αα，；则向量()cos sin OA ββ=，，()cos sin OB αα=，，它们的夹角为αβ-，1OA OB ==，cos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=+， 由向量夹角公式得：()cos cos cos sin sin OA OB OA OBαβαβαβ⋅-==+，从而得证．注意：用同样的方法可证明()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-．例3．证明柯西不等式()()()2222211221212x y x y x x y y +⋅++≥．证明：令()11a x y =，，()22b x y =，（1）当0a =或0b =时，12120a b x x y y ⋅=+=，结论显然成立； （2）当当0a ≠且0b ≠时，令θ为a ，b 的夹角，则[]0πθ∈，1212cos a b x x y y a b θ⋅=+=．又cos 1θ≤，a b a b ∴⋅≤（当且仅当ab ∥时等号成立）． 1212x x y y ∴+()()()2222211221212x y x y x x y y ∴+⋅++≥（当且仅当1212x x y y =时等号成立）． 例4．给定ABC △，求证：G 是ABC △重心的充要条件是0GA GB GC ++=．证明：必要性 设各边中点分别为D E ，，F ，延长AD 至P ，使DP GD =，则2AG GD =GP =． 又因为BC 与GP 互相平分，所以BPCG 为平行四边形，所以BG PC ∥，所以GB CP =． 所以0GA GB GC GC CP PG ++=++=．充分性 若0GA GB GC ++=，延长AG 交BC 于D ，使GP AG =，联结CP ，则GA PG =． 因为0GC PG PC ++=，则GB PC =，所以GB CP ∥，所以AG 平分BC ．同理BG 平分CA ．所以G 为重心． 例5 ABC △外心为O ，垂心为H ，重心为G ．求证：O G H ，，为共线，且12OG GH =∶∶． 证明：首先()()2112333OG OA AG OA AM OA AB AC OA AO OB OC =+=+=++=+++= ()13OA OB OC ++． 其次设BO 交外接圆于另一点E ，则联结CE 后得CE BC ⊥． 又AH BC ⊥，所以AH CE ∥．又EA AB ⊥，CH AB ⊥，所以AHCE 为平行四边形．所以AH EC =． 所以OH OA AH OA EC OA EO OC OA OB OC =+=+=++=++， 即3OH OG =，所以OG 与OH 共线，所以O G H ，，共线． 即12OG GH =∶∶． 注意：O G H ，，所在的直线称为欧拉线．例6．已知ABC △，AD 为中线，求证()2222122BC AD AB AC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（中线长公式）． 证明：以B 为坐标原点，以BC 所在的直线为x 轴建立如图7-25所示的直角坐标系，图725设()A a b ，，()0C c ，，02c D ⎛⎫⎪⎝⎭，，则()22222024c c AD a b ac a b ⎛⎫=-+-=-++ ⎪⎝⎭，()()22222222221122244BC c c AB AC a b c a b a b ac ⎛⎫⎡⎤⎪+-=++-+-=+-+⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭， 从而()2222122BC AD AB AC ⎛⎫ ⎪=+- ⎪⎝⎭，()2222122BC AD AB AC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 例7．是否存在4个两两不共线的平面向量，其中任两个向量之和均与其余两个向量之和垂直？解：如图7-26所示，在正ABC △中，O 为其内心，P 为圆周上一点，满足PA ，PB ，PC ，PO 两两不共线，有POCBA图726()()PA PB PC PO +⋅+=()()PO OA PO OB PO OC PO +++⋅++()()22PO OA OB PO OC =++⋅+ ()()22PO OC PO OC =-⋅+ 2240PO OC =-=有()PA PB +与()PC PO +垂直． 同理可证其他情况．从而PA ，PB ，PC ，PO 满足题意、故存在这样四个平面向量．例8．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1230OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，求证：123PP P △是正三角形．解：令O 为坐标原点，可设()111cos sin P θθ，，()222cos sin P θθ，，()333cos sin P θθ， 由123OP OP OP +=-，即()()()112233cos sin cos sin cos sin θθθθθθ+=--，，， 123123cos cos cos sin sin sin θθθθθθ+=-⎧⎪⎨+=-⎪⎩①② 两式平方和()1212cos 11θθ+-+=，()121cos 2θθ-=-，由此可知12θθ-的最小正角为120︒，即1OP 与2OP 的夹角为120︒， 同理可得1OP 与3OP 的夹角为120︒，2OP 与3OP 的夹角为120︒， 这说明123P P P ，，三点均匀分布在一个单位圆上， 所以123PP P △为等腰三角形． 基础练习1．在ABC △中，若321AB BC BC CA AB CA⋅⋅⋅==，则tan A =__________． 2．已知P 为ABC △内一点，且满足3450PA PB PC ++=，那么PAB PBC PCA S S S =△△△∶∶__________． 3．如图7-27，设P 为ABC △内一点，且2155AP AB AC =+，求ABP △的面积与ABC △的面积之比． PCA图7274．已知ABC △的三顶点坐标分别为()11A ，,()53B ，，()45C ，，直线l AB ∥，交AC 于D ，且直线l 平分ABC △的面积，求D 点坐标． 5．已知()23A ，，()15B -，，且13AC AB =，3AD AB =，求点C D 、的坐标． 6．点O 是平面上一定点，A B C ，，是此平面上不共线的三个点，动点P 满足AC AB OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，[)0λ∈+∞，．则点P 的轨迹一定通过ABC △的__________心．能力提高7．设x y ∈R ，，i j 、为直角坐标系内x y 、轴正方向上的单位向量，若()2a xi y j =++，()62b xi y j =+-且2216a b +=．（1）求点()M x y ，的轨迹C 的方程；（2）过定点()03，作直线l 与曲线C 交于A B 、两点，设OP OA OB =+，是否存在直线l 使四边形OAPB 为正方形？若存在，求出l 的方程，或不存在说明理由．8．（1）已知4a =，3b =，()()23261a b a b -⋅+=，求a 与b 的夹角θ；（2）设()25OA =，，()31OB =，，()63OC =，，在OC 上是否存在点M ，使MA MB ⊥，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由． 9．设a b 、是两个不共线的非零向量()t ∈R （1）记OA a =，OB tb =，()13OC a b =+，那么当实数t 为何值时，A B C 、、三点共线？ （2）若1a b ==且a 与b 夹角为120︒，那么实数x 为何值时a xb -的值最小？10．设平面内的向量()17OA =，，()51OB =，，()21OM =，，点P 是直线OM 上的一个动点，求当PA PB ⋅取最小值时，OP 的坐标及APB ∠的余弦值．11．已知向量()11m =，，向量n 与向量m 夹角为3π4，且1m n ⋅=-． （1）求向量n ；（2）若向量n 与向量()10q =，的夹角为π2，向量22sin 4cos 2A p A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，求2n p +的值．12．已知定点()01A ，，()01B -，，()10C ，．动点P 满足：2AP BP k PC ⋅=． （1）求动点P 的轨迹方程；（2）当0k =时，求2AP BP +的最大值和最小值．13．在平行四边形ABCD 中，()11A ，，()60AB =，，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ．（1）若()35AD =，，求点C 的坐标； （2）当AB AD =时，求点P 的轨迹．14．已知向量()22a =，，向量b 与向量a 的夹角为3π4，且2a b ⋅=-， （1）求向量b ；（2）若()10t =，且b t ⊥，2cos 2cos 2C c A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，其中A C 、是ABC △的内角，若三角形的三内角A B C 、、依次成等差数列，试求b c +的取值范围．。
北师版数学高一-必修4课件 2.7.1-7.2 点到直线的距离公式 向量的应用举例
7.1 点到直线的距离公式 7.2 向量的应用举例
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则D→M∥D→E，D→M＝(x＋1，y－1)，D→E＝(－2，－2)， ∴(－2)×(x＋1)－(－2)(y－1)＝0， 即x－y＋2＝0为直线DE的方程. 同理可求，直线EF、FD的方程分别为x＋5y＋8＝0， x＋y＝0.
7.1 点到直线的距公式 7.2 向量的应用举例
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在 Rt△OEB 中，OB＝ OE2＋BE2＝150 2， sin∠BOE＝OBEB＝12，∴|O→B|＝150 2，∠BOE＝30°. 故没有风时飞机的航速为 150 2 km/h，航向为西偏北 30°.
7.1 点到直线的距离公式 7.2 向量的应用举例
2 2.
整理得 2m2－3m－2＝0，解得 m＝2 或 m＝－21.
7.1 点到直线的距离公式 7.2 向量的应用举例
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2.已知A(1,2)，B(－2,1)，以AB为直径的 圆的方程是 x2＋y2＋x－3y＝0. 解析 设P(x，y)为圆上任一点，则 A→P＝(x－1，y－2)，B→P＝(x＋2，y－1)， 由A→P·B→P＝(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y－1)＝0，
∴|B→C|＝ 1＋－2 32＝ 13.
7.1 点到直线的距离公式 7.2 向量的应用举例
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要点三 利用向量解决物理中的问题 例3 在风速为75( 6－ 2) km/h的西风中，飞机以150 km/h的 航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向. 解 设向量a表示风速，b表示无风时飞机的航行速度，c表 示有风时飞机的航行速度，则c＝a＋b. 如图，作向量O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，
7.1 点到直线的距离公式 7.2 向量的应用举例
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2022-2023学年高一数学：空间向量解决距离问题
(2)在三棱锥中用等体积法求解.
|·|
(3)向量法:d= || (n 为平面的法向量,A 为平面上一点,MA 为过点 A
的斜线段)
练一练
2.如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，
E，F分别为AB，BC的中点.
(1)求点D到平面PEF的距离；
解
则
建立如图所示的空间直角坐标系，
解:以B为坐标原点,分别以BA,过B垂直于BA的直线,BB1为x轴,y轴,z轴建立
如图所示的空间直角坐标系,
则B(0,0,0),A1(2,0,2),
C1(1, 3,2),
所以 A1C1 的方向向量1 1 =(-1, 3,0),1 =(1, 3,2),
所以点 B 到直线 A1C1 的距离
2
1 1
∴SO⊥平面ABC.
又BO⊂平面ABC,∴SO⊥BO.
如图所示,分别以OA,OB,OS所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,
则 B(0,2 3,0),C(-2,0,0),S(0,0,2 2),M(1, 3,0),N(0, 3, 2).
∴=(3, 3,0),=(-1,0, 2),=(-1, 3,0).
→ ———→
|BC
· A′C |
4
→ ———→
所以BC在 A′C 上的投影长为
＝
.
———→
14
| A′C |
所以点 B 到直线 A′C 的距离 d＝
→ ———→
→ 2 BC· A′C 2
|BC| －
＝
———→
| A′C |
16 2 35
4－14＝ 7 .
归纳
用向量法求点到直线的距离的一般步骤
2022-2023学年高一数学：点到直线的距离公式
=
=
边AB上的高h就是点C到直线AB的距离.
边AB所在直线 l 的方程为
− −
=
− −
即 x+y-4=0
点C（-1，0）到直线 l： x+y-4=0 的距离 =
因此，
△ =
× ×
=
− + −
+
=
练一练
2.求点 P(3，－2)到下列直线的距离：
D．x－3y－4＝0
)
7 x 5 y 24 0
x 2
【解析】选C.解方程组
,得
, 所以交点坐标为
x y 0
y 2
（2, 2），设直线方程为y 2 k ( x 2), 即kx y 2k 2 0,
| 5k 1 2k 2 | | 3k 1|
得
∙ =
+
− − −
因此,
= = ∙ =
+ +
+
方法四：用三角形面积公式推导
合作探究
如图
=
提示： 当A、B≠ 时，分别作平行于x轴，y轴的两条直线，
分别交直线 Ax + By + C=0 于点
A.
B．2－
C.
－1
D. ＋1
3. 已知P（1，2），则当点P到直线2ax+y-4=0的距离最大时，a=( B )
A. 1
B．−
C.
D.
解：因为直线2ax+y-4=0恒过定点A（0，4）
平面几何中的向量方法 高一数学课件(人教A版2019必修第二册)
向量具有“几何”与“代数”的双重身份
1、我们学了向量的线性运算与数量积运算，你能说出它们的 几何意义吗？这与平面几何哪些内容可以相互联系与转化？
B A
O D
A
B C
O B
A B
)
O
A
数量积性质？
求模 求夹角 证垂直
2、向量的代数身份是通过什么来实现的？坐标表示
当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数” 的计算
又有公共点 P，则 A,C, P 三点共线．所以 B 正确．
故选：B
5．(多选)点 P 是ABC 所在平面内一点,满足
PB PC PB PC 2PA 0 ,则ABC 的形状不可能是
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【详解】∵P 是 ABC 所在平面内一点，且
，∴ ， | PB PC | | PB PC 2PA | 0
例 7．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1， 点 E 是 AB 边上的动点，求：
(1) DE CB 的值；(2) DE DC 的最大值．
（2）因为 DE 1, x, DC 0,1 ，所以 DE CB 1 0 x 1 x ， 因为0 x 1， 所以 DE DC 的最大值是 1.
例 8．如图，在
(1)当 a ， b 满足什么条件时，a b a b ? (2)当 a ，b 满足什么条件时， a b a b ?
（2）由（1）可得， a b AC, a b BD a b a b ，即 AC BD ，此时四边形 ABCD 为矩 形从而可得 AB AD a b 时， a b a b .
（5）、两向量垂直的充要条件：向量 a b a •b 0
有关高一数学向量的知识点
有关高一数学向量的知识点高一数学是学习数学的重要阶段，其中向量是一个关键的概念和工具。
向量在数学中有非常广泛的应用，并且与其他学科，如物理学和计算机科学等，有着紧密的联系。
在高一数学中，学生将开始了解向量的基本概念、性质和运算法则。
下面将逐步介绍向量的知识点。
1. 向量的定义与表示向量是具有大小和方向的量。
在数学中，向量通常用有序数组表示，其中每个元素表示矢量在每个坐标轴上的分量。
例如，一个二维平面上的向量可以表示为 (x, y)，其中 x 和 y 分别代表向量在 x 和 y 轴上的分量。
2. 向量的运算向量可以进行加法和数乘运算。
向量的加法是将两个向量的相应分量相加而得到一个新的向量。
例如，向量 (1, 2) 和向量 (3, 4) 的加法结果为 (4, 6)。
向量的数乘是将向量的每个分量乘以一个常数。
例如，向量 (1, 2) 乘以 2 的结果为 (2, 4)。
3. 向量的模长和方向角向量的模长是向量的长度，可以通过使用勾股定理计算得到。
例如，向量 (3, 4) 的模长为 5。
向量的方向角是向量与坐标轴之间的夹角。
在二维平面上，可以使用反三角函数来计算方向角。
4. 向量的坐标表示和单位向量向量可以通过两点之间的坐标表示。
例如，从点 A (x1, y1) 到点 B (x2, y2) 的向量可以表示为 (x2 - x1, y2 - y1)。
特殊的向量是单位向量，其模长为 1。
单位向量在很多数学和物理问题中起着重要的作用。
5. 平行向量和垂直向量两个向量是平行的，当且仅当它们的方向相同或相反。
两个向量是垂直的，当且仅当它们的内积为 0。
平行向量和垂直向量在几何和物理学中有着广泛的应用。
6. 向量的点积和叉积向量的点积是两个向量的对应分量相乘之和。
点积可以用来计算向量的模长和夹角。
向量的叉积是两个向量的乘积向量，其方向垂直于原有的两个向量。
点积和叉积在向量代数和物理学中扮演着重要角色。
7. 向量的投影向量的投影是一个向量在另一个向量上的投影。
向量求点到平面的距离和两异面直线间距离
教师姓名 学生姓名 教材版本 人教版学科名称 数学年 级高一上上课时间2012.课题名称 利用向量解决立体几何教学目标 1掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法； 2.熟练掌握向量方法在实际问题中的作用 教学重点向量运用方法。
教 学 过 程备 注一、课前准备复习1：已知()()1,2,0,0,1,1,A B ()1,1,2C ，试求平面ABC 的一个法向量.复习2：什么是点到平面的距离？什么是两个平面间距离？二、新课导学探究一：点到平面的距离的求法问题：如图A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,已知平面α的一个法向量为n ,且AP 与n 不共线,能否用AP 与n 表示d ? 分析:过P 作PO ⊥α于O ,连结OA ,则d =|PO |=||cos .PA APO ⋅∠ ∵PO ⊥α,,n α⊥ ∴PO ∥n .∴cos ∠APO=|cos ,PA n 〈〉| ∴D. =|PA ||cos ,PA n 〈〉| =|||||cos ,|||PA n PA n n ⋅⋅〈〉=||||PA n n ⋅αnA ⋅O⋅P⋅新知：用向量求点到平面的距离的方法：设A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,平面α的一个法向量为n ，则D. =||||PA n n ∙ 试：在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，求点'C 到平面''A BCD 的距离.三、典型例题例1 已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离.变式：如图,ABCD 是矩形,PD ⊥平面ABCD ,PD DC a ==,2AD a =,M N 、分别是AD PB 、的中点,求点A 到平面MNC 的距离.APD C BMN小结：求点到平面的距离的步骤：⑴ 建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；⑵ 求平面的一个法向量的坐标； ⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；⑷ 代入公式求出距离.探究任务二：两条异面直线间的距离的求法例 2 如图，两条异面直线,a b 所成的角为θ，在直线,a b 上分别取点',A E 和,A F ,使得'AA a ⊥,且'AA b ⊥.已知',,A E m AF n EF l ===，求公垂线'AA 的长.变式：已知直三棱柱111ABC A B C ─的侧棱14AA =,底面ABC △中, 2AC BC ==，且90BCA ∠=,E 是AB 的中点,求异面直线CE 与1AB 的距离.四、当堂检测1. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，平面''ABB A 的一个法向量为 ；2. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线'A B 和'CB 所成角是 ；3. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，两个平行平面间的距离是 ；4. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线'A B 和'CB 间的距离是 ；5. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，点O 是底面''''A B C D 中心，则点O 到平面''ACDB 的距离是 .6. 如图，正方体1111ABCD A B C D 的棱长为1，点M 是棱1AA 中点，点O 是1BD 中点，求证：OM 是异面直线1AA 与1BD 的公垂线，并求OM 的长.7. 如图，空间四边形OABC 各边以及,AC BO 的长都是1，点,D E 分别是边,OA BC 的中点，连结DE .⑴ 计算DE 的长；⑵ 求点O 到平面ABC 的距离.课后小结上课情况：课后需再巩固的内容：配合需求家 长学管师学科组长审批教研主任审批。
2022-2021学年高一数学北师大版必修4学案：2.7.1 点到直线的距离公式 Word版含答案
7．1 点到直线的距离公式明目标、知重点 1.理解直线方向向量和法向量的含义.2.能应用直线的法向量推导点到直线的距离公式.3.能应用直线的方向向量、法向量解决有关问题．1．直线的法向量(1)直线l ：ax ＋by ＋c ＝0 (a 2＋b 2≠0)的一个方向向量是(b ，－a )，它的一个法向量是(a ，b )． (2)直线l ：y ＝kx ＋b 的一个方向向量是(1，k )，它的一个法向量是(k ，－1)． 所以，一条直线的法向量有很多多个，它们都是共线向量． 2．点到直线的距离公式设点M (x 0，y 0)为平面内任一点，则点M 到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0 (a 2＋b 2≠0)的距离d ＝|ax 0＋by 0＋c |a 2＋b 2.3．两平行线间距离直线l 1：ax ＋by ＋c 1＝0与直线l 2：ax ＋by ＋c 2＝0 (a 2＋b 2≠0且c 1≠c 2)的距离d ＝|c 1－c 2|a 2＋b 2.4．两直线的位置关系设直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，直线l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0的法向量依次为n 1，n 2.则： (1)l 1⊥l 2⇔n 1·n 2＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＝0；(2)l 1与l 2重合或平行⇔n 1∥n 2⇔a 1b 2－a 2b 1＝0.探究点一 直线的方向向量与两直线的夹角导引1 直线y ＝kx ＋b 的方向向量：假如向量v 与直线l 共线，则称向量v 为直线l 的方向向量． 对于任意一条直线l ：y ＝kx ＋b ，在它上面任取两点A (x 0，y 0)，B (x ，y )，则向量AB →＝(x －x 0，y －y 0)与直线l共线，即AB →为直线l 的方向向量．由于(x －x 0，y －y 0)＝1x －x 0(1，y －y 0x －x 0)＝1x －x 0(1，k )，所以向量(x －x 0，y －y 0)与向量(1，k )共线，从而向量(1，k )是直线y ＝kx ＋b 的一个方向向量． 导引2 直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量当B ≠0时，k ＝－AB ，所以向量(B ，－A )与(1，k )共线，所以向量(B ，－A )是直线Ax ＋By ＋C ＝0的一个方向向量；当B ＝0时，A ≠0，直线x ＝－CA 的一个方向向量为(0，－A )，即(B ，－A )．综上所述，直线Ax ＋By ＋C ＝0的一个方向向量为v ＝(B ，－A )． 思考1 已知直线l ：2x －y ＋1＝0和下列向量：①v 1＝(1,2)；②v 2＝(2,1)；③v 3＝⎝⎛⎭⎫－12，－1；④v 4＝(－2，－4)．其中能作为直线l 方向向量的有________． 答 ①③④导引3 应用直线的方向向量求两直线的夹角已知直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2，它们的方向向量依次为v 1＝(1，k 1)，v 2＝(1，k 2)．当v 1⊥v 2，即v 1·v 2＝1＋k 1k 2＝0时，l 1⊥l 2，夹角为直角；当k 1k 2≠－1时，v 1·v 2≠0，直线l 1与l 2的夹角为θ(0°<θ<90°)．不难推导利用k 1、k 2表示cos θ的夹角公式： cos θ＝|v 1·v 2||v 1||v 2|＝|1＋k 1k 2|1＋k 21·1＋k 22.思考2 直线x －2y ＋1＝0与直线2x ＋y －3＝0的夹角为________；直线2x －y －1＝0与直线3x ＋y ＋1＝0的夹角为________． 答 90° 45°探究点二 直线的法向量与两直线的位置关系导引 (1)直线Ax ＋By ＋C ＝0的法向量：假如向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量．因此若直线的方向向量为v ，则n ·v ＝0.从而对于直线Ax ＋By ＋C ＝0而言，其方向向量为v ＝(B ，－A )，则由于n ·v ＝0，于是可取n ＝(A ，B )，这时由于(B ，－A )·(A ，B )＝AB －AB ＝0.直线的法向量也有很多个．(2)直线法向量的简洁应用：利用直线的法向量推断两直线的位置关系：对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，它们的法向量分别为n 1＝(A 1，B 1)，n 2＝(A 2，B 2)． 当n 1∥n 2时，l 1∥l 2或l 1与l 2重合．即A 1B 2－A 2B 1＝0⇔l 1∥l 2或l 1与l 2重合； 当n 1⊥n 2时，l 1⊥l 2.即A 1A 2＋B 1B 2＝0⇔l 1⊥l 2.思考 直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与直线l 2：(a －1)·x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0垂直，则a 的值为________． 答案 ±1解析 n 1＝(a ＋2,1－a )，n 2＝(a －1,2a ＋3)， ∵l 1⊥l 2，∴n 1·n 2＝(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3) ＝(a －1)(－a －1)＝0， ∴a ＝±1.例1 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，求实数a 的值． 解 直线l 1的法向量n 1＝(a,2)， 直线l 2的法向量n 2＝(1，a －1)， ∵l 1∥l 2，∴n 1∥n 2，∴a (a －1)－1×2＝0，解得：a ＝－1或a ＝2. 当a ＝－1时，l 1：x －2y －6＝0，l 2：x －2y ＝0， ∴l 1∥l 2.当a ＝2时，l 1：x ＋y ＋3＝0，l 2：x ＋y ＋3＝0. ∴l 1与l 2重合，则a ＝2(舍去)． 综上所述，a ＝－1.反思与感悟 由n 1∥n 2解出参数a 的值后要留意检验，由n 1·n 2＝0推断两直线垂直，则不需要检验． 跟踪训练1 已知直线l 1：(m ＋3)x ＋(m －1)y －5＝0与直线l 2：(m －1)x ＋(3m ＋9)y －1＝0相互垂直，求实数m 的值．解 l 1的法向量n 1＝(m ＋3，m －1)，l 2的法向量n 2＝(m －1,3m ＋9)，∵l 1⊥l 2，∴n 1⊥n 2. ∴n 1·n 2＝(m ＋3)(m －1)＋(m －1)(3m ＋9) ＝(m －1)(4m ＋12)＝0.∴m ＝1或m ＝－3. 探究点三 直线的法向量与点到直线的距离公式思考1 如何应用直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的法向量推导点M (x 0，y 0)到直线l 的距离公式． 答 设P (x 1，y 1)是直线l ：ax ＋by ＋c ＝0上任一点，n 是直线l 的一个法向量，不妨取n ＝(a ，b )．则M (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的距离d 等于向量PM →在n 方向上射影的长度，如图所示：设PM →与n 的夹角为θ， d ＝|PM →|·|cos θ| ＝|PM →·n ||n |＝|(x 0－x 1，y 0－y 1)·(a ，b )|a 2＋b 2＝|a (x 0－x 1)＋b (y 0－y 1)|a 2＋b 2＝|ax 0＋by 0－(ax 1＋by 1)|a 2＋b2. ∵点P (x 1，y 1)在直线l 上，∴ax 1＋by 1＋c ＝0，∴ax 1＋by 1＝－c ， ∴d ＝|ax 0＋by 0＋c |a 2＋b 2.思考2 利用直线的法向量推导两条平行线之间的距离公式．答 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别为直线l 1：ax ＋by ＋c 1＝0，直线l 2：ax ＋by ＋c 2＝0上任意两点，取直线l 1，l 2的一个法向量n ＝(a ，b )，则P 1P 2→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)在向量n 上的射影的长度，就是两平行线l 1、l 2的距离． 设P 1P 2→与n 的夹角为θ， d ＝|P 1P 2→||cos θ| ＝|P 1P 2→·n ||n |＝|(x 2－x 1，y 2－y 1)·(a ，b )|a 2＋b 2＝|a (x 2－x 1)＋b (y 2－y 1)|a 2＋b 2＝|(ax 2＋by 2)－(ax 1＋by 1)|a 2＋b 2＝|c 1－c 2|a 2＋b 2. 例2 求点P 0(－1,2)到直线l ：2x ＋y －10＝0的距离． 解 方法一 取直线l 的一个法向量为n ＝(2,1)， 在直线l 上任取一点P (5,0)，∴PP 0→＝(－6,2)，∴点到直线l 的距离d 就是PP 0→在法向量n 上的射影． 设PP 0→与n 的夹角为θ. ∴d ＝|PP 0→||cos θ|＝|PP 0→|·|PP 0→·n ||PP 0→|·|n |＝|PP 0→·n ||n |＝|－12＋25|＝2 5.故点P 0到直线l 的距离为2 5. 方法二 由点到直线的距离公式得d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2＝|2×(－1)＋1×2＋(－10)|5＝2 5.反思与感悟 求点到直线的距离公式时，既可以利用向量法，也可以直接带入点到直线的距离公式计算．利用向量法时留意公式d ＝|P 0P →·n ||n |中每个符号的含义．跟踪训练2 求两条平行线l 1：3x ＋4y －2＝0与l 2：6x ＋8y －3＝0之间的距离． 解 取直线l 2的一个方向向量为(－8,6)． 则直线l 2的一个法向量为n ＝(6,8)，分别在直线l 1和l 2上任取一点M (0，12)和P (12，0)．则PM →＝(－12，12)，设PM →与n 的夹角为θ.∴点M 到直线l 2的距离 d ＝|PM →|·|cos θ|＝|PM →|·|PM →·n |PM →|·|n ||＝|PM →·n ||n |＝|－3＋410|＝110.又∵两条平行线间的距离处处相等，∴点M 到直线l 2的距离即为两平行线l 1与l 2间的距离，∴两平行线l 1：3x ＋4y －2＝0与l 2：6x ＋8y －3＝0之间的距离为110.例3 已知△ABC 的三个顶点A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)，点D 、E 、F 分别为边BC 、CA 、AB 的中点． (1)求直线DE 、EF 、FD 的方程；(2)求AB 边上的高线CH 所在的直线方程．解 (1)由已知得点D (－1,1)，E (－3，－1)，F (2，－2)． 设点M (x ，y )是直线DE 上任意一点，则DM →∥DE →，DM →＝(x ＋1，y －1)，DE →＝(－2，－2)， ∴(－2)×(x ＋1)－(－2)×(y －1)＝0， 即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程．同理可求，直线EF ，FD 的方程分别为x ＋5y ＋8＝0，x ＋y ＝0. (2)设点N (x ，y )是CH 所在直线上任意一点， 则CN →⊥AB →，∴CN →·AB →＝0. 又CN →＝(x ＋6，y －2)，AB →＝(4,4)， ∴4(x ＋6)＋4(y －2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求直线CH 所在的直线方程．反思与感悟 对于解析几何中有关直线平行与垂直的问题，经常可以转而考虑与直线相关的向量的共线与垂直，这样就将形的问题转化为相关数的问题，从而更简洁将问题解决． 跟踪训练3 已知M (x 0，y 0)为直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0 (AB ≠0)外一点． (1)求过点M 与直线l 垂直的直线l 1； (2)求过点M 与直线l 平行的直线l 2. 解 (1)设P (x ，y )为直线l 1上任一点． 由MP →·(B ，－A )＝0，得(x －x 0，y －y 0)·(B ，－A )＝0， ∴B (x －x 0)－A (y －y 0)＝0.(2)设P (x ，y )为直线l 2上任一点，由MP →·(A ，B )＝0. ∴(x －x 0，y －y 0)·(A ，B )＝0.∴A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0.1．已知A (1,2)，B (－2,1)，以AB 为直径的圆的方程是__________________． 答案x 2＋y 2＋x －3y ＝0解析 设P (x ，y )为圆上任一点，则 AP →＝(x －1，y －2)，BP →＝(x ＋2，y －1)， 由AP →·BP →＝(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y －1)＝0， 化简得x 2＋y 2＋x －3y ＝0.2．已知直线l 1：ax ＋2y －1＝0，l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0.若l 1∥l 2，则a ＝________. 答案 －2或1解析 l 1的法向量n 1＝(a,2)，l 2的法向量n 2＝(1，a ＋1)． ∵l 1∥l 2，∴a (a ＋1)－2＝0.解得a ＝－2或a ＝1.经检验，都符合题意．3．已知直线l 1：3x ＋y －2＝0与直线l 2：mx －y ＋1＝0的夹角为45°，则实数m 的值为________． 答案 2或－12解析 设直线l 1，l 2的法向量为n 1，n 2， 则n 1＝(3,1)，n 2＝(m ，－1)． 由题意： cos 45°＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝|3m －1|10·1＋m 2＝22. 整理得：2m 2－3m －2＝0， 解得：m ＝2或m ＝－12.4．已知三点A (－1,2)，B (3,4)，C (－2,5)，求符合下列条件的直线l . (1)经过点A ，且平行BC ； (2)经过点A ，且垂直BC .解 BC →＝(－5,1)，设P (x ，y )为直线l 上任一点．(1)当l ∥BC 时，P A →＝(x ＋1，y －2)，P A →∥BC →， ∴(x ＋1)－(－5)×(y －2)＝0，化简得x ＋5y －9＝0.(2)当l ⊥BC 时，P A →＝(x ＋1，y －2)，P A →⊥BC →. ∴(x ＋1)×(－5)＋1×(y －2)＝0， 化简得5x －y ＋7＝0. [呈重点、现规律]1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)上任取两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2→(λ∈R 且λ≠0)也是直线l 的方向向量．所以，一条直线的方向向量有很多多个，它们都共线．同理，与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直的向量都叫直线l 的法向量．一条直线的法向量也有很多多个．熟知以下结论，在解题时可以直接应用． ①y ＝kx ＋b 的方向向量v ＝(1，k )，法向量为n ＝(k ，－1)．②Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的方向向量v ＝(B ，－A )，法向量n ＝(A ，B )．一、基础过关1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A.12 B.32 C.22D.322答案 D2．已知三点A (－2，－3)，B (19,4)，C (－1，－6)，则△ABC 是( ) A ．以A 为直角顶点的直角三角形 B ．以B 为直角顶点的直角三角形 C ．以C 为直角顶点的直角三角形 D ．锐角三角形或钝角三角形 答案 A3．已知直线l 1：(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线l 2：(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直，则实数m 的值是( )A ．－2 B.12 C ．－2或12D ．－12或2答案 C解析 (m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝(m ＋2)(4m －2)＝0， ∴m ＝－2或12.4．过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为________． 答案25．过点A (－2,1)且平行于向量a ＝(3,1)的直线方程为________________． 答案 x －3y ＋5＝0解析 设P (x ，y )是所求直线上的任一点，AP →＝(x ＋2，y －1)．∵AP →∥a .∴(x ＋2)×1－3(y －1)＝0. 即所求直线方程为x －3y ＋5＝0.6．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值是________． 答案 5解析 ∵BC →＝AC →－AB →＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)，AC →＝(2,3)，∴BC →·AC →＝2(2－k )＋6＝0，∴k ＝5. 7．已知直线l 1：3x ＋4y －12＝0，l 2：7x ＋y －28＝0，求直线l 1与l 2的夹角θ. 解 设l 1、l 2的方向向量为v 1、v 2，则 v 1＝(4，－3)，v 2＝(1，－7)， ∴|cos θ|＝|v 1·v 2||v 1|·|v 2|＝255×52＝22. ∴l 1与l 2的夹角θ为45°. 二、力气提升8．已知直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量为b ＝(－1，k )，若直线l 2过点(0,5)，且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程是( ) A ．x ＋3y －5＝0 B ．x ＋3y －15＝0 C ．x －3y ＋5＝0 D ．x －3y ＋15＝0答案 B解析 ∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝－1＋3k ＝0，∴k ＝13，∴l 2的方程为y ＝－13x ＋5，即x ＋3y －15＝0.故选B.9．过点(1,2)且与直线3x －y ＋1＝0垂直的直线的方程是____________． 答案 x ＋3y －7＝0解析 设P (x ，y )是所求直线上任一点， 直线3x －y ＋1＝0的方向向量为(1,3)， 由(x －1，y －2)·(1,3)＝0得x ＋3y －7＝0.10．在直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)和点B (－3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC →|＝2，则OC →＝_____________________________________________________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－105，3105解析 已知A (0,1)，B (－3,4)， 设E (0,5)，D (－3,9)， ∴四边形OBDE 为菱形．∴∠AOB 的角平分线是菱形OBDE 的对角线OD . 设C (x 1，y 1)，|OD →|＝310， ∴OC →＝2310OD →.∴(x 1，y 1)＝2310(－3,9)＝⎝⎛⎭⎫－105，3105，即OC →＝⎝⎛⎭⎫－105，3105.11．若两平行线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，求c 的值．解 ∵3x －2y －1＝0与6x ＋ay ＋c ＝0平行， ∴36＝－2a ≠－1c ， ∴a ＝－4，且c ≠－2. 由d ＝|c ＋2|62＋a 2＝|c ＋2|62＋(－4)2＝21313，化简得：|c ＋2|＝4， ∴c ＝－6或c ＝2.12．已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0，直线l 2：2x ＋my －1＝0，l 1∥l 2，两平行直线间距离为5，而过点A (m ，n )(m >0，n >0)的直线l 被l 1、l 2截得的线段长为10，求直线l 的方程． 解 ∵l 1∥l 2，∴m 2－16＝0得m ＝±4. ∵m >0，∴m ＝4.故l 1：4x ＋8y ＋n ＝0，l 2：4x ＋8y －2＝0. 又l 1与l 2间距离为5，∴|n ＋2|42＋82＝5，解得n ＝18或n ＝－22(舍)． 故A 点坐标为(4,18)．再设l 与l 1的夹角为θ，斜率为k ，l 1斜率为－12，∵sin θ＝22， ∴θ＝π4，tan π4＝1＝⎪⎪⎪⎪k －(－12)⎪⎪⎪⎪1＋(－12)k ，解得k ＝13或k ＝－3.∴直线l 的方程为y －18＝13(x －4)或y －18＝－3(x －4)．即x －3y ＋50＝0或3x ＋y －30＝0.三、探究与拓展13．已知向量c ＝(0,1)，i ＝(1,0)，经过原点O 以c ＋λi 为方向向量的直线与经过定点A (0,1)，以i －2λc 为方向向量的直线交于点P ，其中λ∈R ，求点P 的轨迹方程． 解 设P 点坐标为(x ，y )， ∵i ＝(1,0)，c ＝(0,1)，∴c ＋λi ＝(λ，1)，i －2λc ＝(1，－2λ)，直线OP 与AP 的方程分别为λy ＝x 和y －1＝－2λx ， 消去参数λ，所求的轨迹方程为2x 2＋y 2－y ＝0.。
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一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这 一点到这个平面的距离.
当直线与平面平行时，直线上任一点到与它平 行的平面的距离，叫做这条直线到平面的距离.
当两平面平行时，一 个平面上任一点到另一 个平面的距离，叫做两 平行平面的距离.
以上都可以转化为： 点到平面的距离的求解问题。
P
β
α
A
2. 点到平面距离的向量计算公式
D1
C1 公垂向量n (1, 1, 2)
A1 D
连接向量DC (0, a, 0)
H B1
y C
d | DC n | a 6 a.
|n|
66
O
xA
B
小结
异面直线距离的求解法：
①求出两条异面直线的公垂向量
AB n
②给出连接两条异面直线的一个向量
d |n|
点到面、线到面、面到面距离的求解法：
例3
已知正方体
AC1 的棱长为
a
，求
B1C
与
BD
间的距离 新疆 王新敞 奎屯
解：如图建立空间直角坐标系，则
z
B(a, a, 0),C(0, a, 0), B1(a, a, a), D(0, 0, 0) D1
所以 DB (a, a,0),CB1 (a,0, a) A1
C1 B1
n (x, y, z) 设公垂向量为 n
DB
ax ay
0
n
(1,1,1)
n CB1 ax az 0
D
即
A
x
d CB n | (a, 0, 0) (1,1,1) | 3 a.
|n|
3
3
Cy B
6.两异面直线距离的向量计算公式练习
棱长为a的正方体AC1，求异面直线A1C与DB的距离.
简解: A1C (a, a, a)
z
DB (a, a, 0)
①求出平面的一个法向量 ②给出连接点与面的一个向量
PQ n d
n
作业
C1
B1
A1
C
B
A
课后再做好复习巩固. 谢谢！
再见！
王新敞 特级教师 源头学子小屋 wxckt@ 新疆奎屯
·2007·
新疆 王新敞
奎屯
M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
解：如图,以D为原点建立空间直角坐 标系D－xyz. 则D(0,0,0),A( 2a ,0,0),
B( 2a ,a ,0),C(0,a ,0),P(0,0,a )
∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,∴ M ( 2 a , 0, 0) N ( 2 a , 1 a, 1 a)
2
2 22
∴ MC ( 2 a, a, 0) , MN (0, 1 a, 1 a) ,
2
22
MA ( 2 a, 0, 0) 2
设 n ( x, y, z) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n MN , n MC
练3习. 点(用到向平量法面求的距距离离): 的向量计算示例
例21.如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a ,
n MN a y a z 0 22
解得 2 x y z , 2
∴可取 m ( 2,1, 1)
∴ MA 在 n 上的射影长 d MA n a 即点 A 到平面 MNC 的距离为 a义及向量计算公式
和两条异面直线都垂直 相交的直线，我们称之为异
b D1
面直线的公垂线.
A1
C1 B1
两条异面直线的公垂线 在这两条异面直线间的线段
n
D
C
叫做公垂线段.
A
a
B
公垂线段的长度，叫做两条异面直线间的距离.
异面直线 a, b 之间的距离：
d AA1
AC1 n |n|
(n a, n b, 为方便，称n为公垂向量)
5. 两异面直线距离的向量计算公式示例
如图 A, 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
n
则 d=| PO |= | PA | cos APO.
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.
A O
∴d=| PA||cos PA, n |= | PA | | n | | cos PA, n | = | PA n | .
|n|
|n|
2. 点到平面距离的向量计算公式
点B到平面α的距离:
AB n d
|n|
n 是平面 的法向量
Bβ
n
αC A
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值.
设平面的法向量 n (x，y，z）z
G
则 GE n 0，GF n 0
∴
2x 4y 4x 2y
2z 2z
0 0
∴
n
(1，1，3）D
∵ FB (0，2，0）
E
Cy
∴ d FB n 2 11 A
n
11 x
F
B
练3习. 点(用到向平量法面求的距距离离): 的向量计算示例 例21.如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a ,
M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
∴ MC ( 2 a, a, 0) , MN (0, 1 a, 1 a) ,
2
22
设 n ( x, y, z) 为平面 MNC 的一个法向量,
MA ( 2 a, 0, 0) 2
∴ n MN , n MC
∴ n MC 2 ax ay 0 且 2
3. 点到平面的距离的向量计算示例
例1. ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AD、AB的中点，
GC垂直平面ABCD，GC＝2，求点B到平面EFG的距离.
解：如图建立空间坐标系，
则 E(2,0,0), F(4,2,0), G(0,4,2) FB (0，2，0）
GF (4， 2， 2）,GE (2， 4， 2）