高一数学距离的向量计算方法

例3
已知正方体
AC1 的棱长为
a
，求
B1C
与
BD
间的距离 新疆 王新敞 奎屯
解：如图建立空间直角坐标系，则
z
B(a, a, 0),C(0, a, 0), B1(a, a, a), D(0, 0, 0) D1
所以 DB (a, a,0),CB1 (a,0, a) A1
C1 B1
n (x, y, z) 设公垂向量为 n
设平面的法向量 n (x，y，z）z
G
则 GE n 0，GF n 0
∴
2x 4y 4x 2y
2z 2z
0 0
∴
n
(1，1，3）D
∵ FB (0，2，0）
E
Cy
∴ d FB n 2 11 A
n
11 x
F
B
练3习. 点(用到向平量法面求的距距离离): 的向量计算示例 例21.如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a ,
A O
∴d=| PA||cos PA, n |= | PA | | n | | cos PA, n | = | PA n | .
|n|
|n|
2. 点到平面距离的向量计算公式
点B到平面α的距离:
AB n d
|n|
n 是平面 的法向量
Bβ
n
αC A
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值.
D1
C1 公垂向量n (1, 1, 2)
A1 D
连接向量DC (0, a, 0)
H B1
y C
d | DC n | a 6 a.
|n|
66
O
xA
B
小结
异面直线距离的求解法：
①求出两条异面直线的公垂向量
AB n
②给出连接两条异面直线的一个向量
d |n|
点到面、线到面、面到面距离的求解法：
2
2 22
∴ MC ( 2 a, a, 0) , MN (0, 1 a, 1 a) ,
2
22
MA ( 2 a, 0, 0) 2
设 n ( x, y, z) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n MN , n MC
练3习. 点(用到向平量法面求的距距离离): 的向量计算示例
例21.如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a ,
DB
ax ay
0
n
(1,1,1)
n CB1 ax az 0
D
即
A
x
d CB n | (a, 0, 0) (1,1,1) | 3 a.
|n|
3
3
Cy B
6.两异面直线距离的向量计算公式练习
棱长为a的正方体AC1，求异面直线A1C与DB的距离.
简解: A1C (a, a, a)
z
DB (a, a, 0)
①求出平面的一个法向量 ②给出连接点与面的一个向量
PQ n d
n
作业
C1
B1
A1
C
B
A
课后再做好复习巩固. 谢谢！
再见！
王新敞 特级教师 源头学子小屋 http://wxc.833200.com wxckt@126.com 新疆奎屯
·2007·
新疆 王新敞
奎屯
M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
解：如图,以D为原点建立空间直角坐 标系D－xyz. 则D(0,0,0),A( 2a ,0,0),
B( 2a ,a ,0),C(0,a ,0),P(0,0,a )
∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,∴ M ( 2 a , 0, 0) N ( 2 a , 1 a, 1 a)
n MN a y a z 0 22
解得 2 x y z , 2
∴可取 m ( 2,1, 1)
∴ MA 在 n 上的射影长 d MA n a 即点 A 到平面 MNC 的距离为 a .
n2
2
4.两异面直线的距离定义及向量计算公式
和两条异面直线都垂直 相交的直线，我们称之为异
b D1
3. 点到平面的距离的向量计算示例
例1. ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AD、AB的中点，
GC垂直平面ABCD，GC＝2，求点B到平Βιβλιοθήκη BaiduEFG的距离.
解：如图建立空间坐标系，
则 E(2,0,0), F(4,2,0), G(0,4,2) FB (0，2，0）
GF (4， 2， 2）,GE (2， 4， 2）
面直线的公垂线.
A1
C1 B1
两条异面直线的公垂线 在这两条异面直线间的线段
n
D
C
叫做公垂线段.
A
a
B
公垂线段的长度，叫做两条异面直线间的距离.
异面直线 a, b 之间的距离：
d AA1
AC1 n |n|
(n a, n b, 为方便，称n为公垂向量)
5. 两异面直线距离的向量计算公式示例
1. 距离的定义
一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这 一点到这个平面的距离.
当直线与平面平行时，直线上任一点到与它平 行的平面的距离，叫做这条直线到平面的距离.
当两平面平行时，一 个平面上任一点到另一 个平面的距离，叫做两 平行平面的距离.
以上都可以转化为： 点到平面的距离的求解问题。
P
β
α
A
2. 点到平面距离的向量计算公式
M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
∴ MC ( 2 a, a, 0) , MN (0, 1 a, 1 a) ,
2
22
设 n ( x, y, z) 为平面 MNC 的一个法向量,
MA ( 2 a, 0, 0) 2
∴ n MN , n MC
∴ n MC 2 ax ay 0 且 2
如图 A, 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
n
则 d=| PO |= | PA | cos APO.
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.