2020年高考物理一轮复习第11章电磁感应热点专题七第55讲电磁感应中的“杆+轨”模型学案含解析

第55讲电磁感应中的“杆＋轨”模型

热点概述电磁感应“杆轨模型”中的杆有“单杆”和“双杆”等，有的回路中还接有电容器；电磁感应“杆轨模型”中的轨有“直轨”和“折轨”等，导轨有竖直的，也有水平的，还有放在斜面上的等各种情况。分析这类问题重在结合电动势的变化情况分析清楚其中的动力学过程，处理问题时经常涉及力学和电磁学中的几乎所有规律，综合性较强。

热点一单杆模型

单杆模型的常见情况

[例1] (2018·广州毕业综合测试(一))如图甲，两根足够长的平行光滑金属导轨固定在水平面内，导轨间距为1.0 m ，左端连接阻值R ＝4.0 Ω的电阻；匀强磁场磁感应强度B ＝0.5 T 、方向垂直导轨所在平面向下；质量m ＝0.2 kg 、长度l ＝1.0 m 、电阻r ＝1.0 Ω的金属杆置于导轨上，向右运动并与导轨始终保持垂直且接触良好。t ＝0时对杆施加一平行于导轨方向的外力F ，杆运动的v ­t 图象如图乙所示。其余电阻不计。求：

(1)从t ＝0开始，金属杆运动距离为5 m 时电阻R 两端的电压； (2)在0～3.0 s 内，外力F 大小随时间t 变化的关系式。

解析 (1)根据v ­t 图象可知金属杆做匀减速直线运动时间Δt ＝3 s ，t ＝0时杆的速度为v 0＝6 m/s ，由运动学公式得其加速度大小a ＝

v 0－0

Δt

，① 设杆运动了s 1＝5 m 时速度为v 1，则v 2

1－v 2

0＝－2as 1，② 此时，金属杆产生的感应电动势E 1＝Blv 1，③ 回路中产生的电流I 1＝

E 1

R ＋r

，④

电阻R 两端的电压U ＝I 1R ，⑤ 联立①～⑤式解得U ＝1.6 V 。⑥

(2)由t ＝0时BIl ＜ma ，可分析判断出外力F 的方向与v 0反向。 金属杆做匀减速直线运动，由牛顿第二定律有

F ＋BIl ＝ma ，⑦

设在t 时刻金属杆的速度为v ，杆的电动势为E ，回路电流为I ，则v ＝v 0－at ，⑧ 又E ＝Blv ，⑨

I ＝E R ＋r

，⑩ 联立①⑦⑧⑨⑩式解得F ＝0.1＋0.1t 。 答案 (1)1.6 V (2)F ＝0.1＋0.1t

方法感悟 1

若杆上施加的力为恒力，对杆做动力学分析可得出，其运动形式为变加速运动或

匀速运动。

2若使杆做匀变速运动，在杆上施加的力与时间成一次函数关系才行。

[例2] (2018·衡阳模拟)如图所示，足够长的光滑平行金属导轨CD 、EF 倾斜放置，其所在平面与水平面间的夹角为θ＝30°，两导轨间距为L ，导轨下端分别连着电容为C 的电容器和阻值R ＝2r 的电阻。一根质量为m ，电阻为r 的金属棒放在导轨上，金属棒与导轨始终垂直并接触良好，一根不可伸长的绝缘轻绳一端拴在金属棒中间、另一端跨过定滑轮与质量M ＝4m 的重物相连。金属棒与定滑轮之间的轻绳始终在两导轨所在平面内且与两导轨平行，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直于导轨所在平面向上，导轨电阻不计，初始状态用手托住重物使轻绳恰处于伸长状态，由静止释放重物，求：(重力加速度大小为g ，不计滑轮阻力)

(1)若S 1闭合、S 2断开，重物的最大速度。 (2)若S 1和S 2均闭合，电容器的最大带电量。

(3)若S 1断开、S 2闭合，重物的速度v 随时间t 变化的关系式。

解析 (1)S 1闭合，S 2断开时，M 由静止释放后拉动金属棒沿导轨向上做加速运动，金属棒受到沿导轨向下的安培力作用，设最大速度为v m ，根据法拉第电磁感应定律可得感应电动势E ＝BLv m

根据闭合电路的欧姆定律可得感应电流

I ＝E R ＋r ＝BLv m

3r

当金属棒速度最大时有：Mg ＝mg sin30°＋BIL 解得：v m ＝

3r

4m －0.5m g B 2L 2＝21mgr

2B 2L

2。

(2)S 1，S 2均闭合时，电容器两板间的最大电压

U ＝U R ＝IR ＝

7mgr BL

电容器的最大带电量Q ＝CU ＝7mgrC

BL

。

(3)S 1断开、S 2闭合时，设从释放M 开始经时间t 金属棒的速度大小为v ，加速度大小为

a ，通过金属棒的电流为i ，金属棒受到的安培力F ＝BiL ，方向沿导轨向下，设在时间t 到

(t ＋Δt )内流经金属棒的电荷量为ΔQ ，ΔQ 也是平行板电容器在t 到(t ＋Δt )内增加的电荷量，ΔQ ＝CBL ·Δv ，

根据运动学公式可得Δv ＝a Δt ，则i ＝ΔQ

Δt ＝CBLa ，

设绳中拉力为T ，由牛顿第二定律，对金属棒有：

T －mg sin30°－BiL ＝ma

对M 有：Mg －T ＝Ma 解得：a ＝7mg

10m ＋2CB 2L

2

可知M 做初速度为零的匀加速直线运动

v ＝at ＝

7mg

10m ＋2CB 2L

2·t

答案 (1)21mgr 2B 2L 2 (2)7mgrC

BL

(3)v ＝7mg

10m ＋2CB 2L 2·t

方法感悟

单杆＋电容器＋恒力模型可用微元法或动量定理分析，其运动形式恰好为匀变速直线运动，不同于其他单杆模型。

1. (多选)如图所示，间距为L 的两根平行光滑导轨竖直放置，导轨间接有电容C ，处于垂直轨道平面的匀强磁场B 中，质量为m 、电阻为R 的金属杆ab 接在两导轨之间并静止释放，ab 下落过程中始终保持与导轨接触良好，设导轨足够长，电阻不计，下列说法正确的是( )