工程力学天津大学第10章答案

习题

10−1 一工字型钢梁，在跨中作用集中力F ，已知l =6m ，F =20kN ，工字钢的型号为20a ，求梁中的最大正应力。

解：梁内的最大弯矩发生在跨中 kN.m 30max =M

查表知20a 工字钢 3

cm 237=z W

则 MPa 6.126Pa 106.12610

237103066

3

max max =⨯=⨯⨯==-z W M σ 10−2 一矩形截面简支梁，受均布荷载作用，梁的长度为l ，截面高度为h ，宽度为b ，材料的弹性模量为E ，试求梁下边缘的总伸长。

解：梁的弯矩方程为 ()22

1

21qx qlx x M -=

则曲率方程为

()()⎪⎭

⎫ ⎝⎛-==2212111qx qlx EI EI x M x z z ρ 梁下边缘的线应变 ()()⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=

=

22121

22qx qlx EI h

x h x z

ρε

下边缘伸长为 ()23

020221212Ebh ql dx qx qlx EI h dx x l l

z l

=

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-==∆⎰

⎰ε 10−3 已知梁在外力作用下发生平面弯曲，当截面为下列形状时，试分别画出正应力沿横截面高度的分布规律。

解：各种截面梁横截面上的正应力都是沿高度线性分布的。中性轴侧产生拉应力，另一侧产生压应力。

10−4 一对称T 形截面的外伸梁，梁上作用均布荷载，梁的尺寸如图所示，已知l =1.5m ,q =8KN/m ，求梁中横截面上的最大拉应力和最大压应力。

l

A

B

b

h

F

l /2

l /2

A

B

解：

1、设截面的形心到下边缘距离为y 1

则有

cm 33.74

108410

4104841=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=

y

则形心到上边缘距离 cm 67.433.7122=-=y

于是截面对中性轴的惯性距为

4

2323cm 0.86467.24101241033.3841284=⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯=z I 2、作梁的弯矩图

设最大正弯矩所在截面为D ，最大负弯矩所在截面为E ，则在D 截面

MPa 08.15Pa 1008.15100.8641033.710778.16

8

231max t,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z D σ MPa 61.9Pa 1061.910

0.8641067.410778.168

2

32max c,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z D σ 在E 截面上

MPa 40.5Pa 1040.5100.8641067.4100.16

8

232max t,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z E σ MPa 48.8Pa 1048.810

0.8641033.7100.168

2

31max c,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z E σ 所以梁内MPa 08.15max t,=σ，MPa

61.9max c,=σ

10−5 一矩形截面简支梁，跨中作用集中力F ，已知l =4m ，b =120mm ，h =180mm ，弯曲时材料的许用应力[σ]=10Mpa ，求梁能承受的最大荷载F max 。

l /3

B C

q

A

l

10cm

8cm

4cm 4cm

0.667m

解：梁内的最大弯矩发生在跨中 4

max

Fl M =

矩形截面梁 6

2

bh W z =

则由 []σσ≤=z W M max max 得 []6

42

bh Fl σ≤

即 []N 64804

318.012.021*******

2=⨯⨯⨯⨯⨯=≤l bh F σ 10−6 由两个28a 号槽钢组成的简支梁，如图所示，已知该梁材料为Q235钢，其许用弯曲正应力[σ]=170Mpa ，求梁的许可荷载[F ]。

解：作弯矩图

梁内的最大弯矩发生在跨中 F M 4max

=

矩形截面梁 3'max

'

max cm 656.6802====z z z z W y I y I W

则由 []σσ≤=

z

W M max

max

得 []z W F σ≤4 即 []N 289274

10656.680101704

66=⨯⨯⨯=≤

-z

W F σ

10−7 圆形截面木梁，梁上荷载如图所示，已知l =3m ，F =3kN ，q =3kN/m ，弯曲时木材的许用应力[σ]=10MPa ，试选择圆木的直径d 。

F

l /2

l /2

A

B

b

h

F

2m

B

A

F

F

2m

2m 2m

3F

3F

解：作弯矩图

则由 []σσ≤=

z W M max max

得 []

σmax M

W z ≥ 即

6

3

3

101010332⨯⨯≤

d π，得145mm m 145.0=≥d

10−8 起重机连同配重等重P =50kN ，行走于两根工字钢所组成的简支梁上，如图所示。起重机的起重量F =10kN ，梁材料的许用弯曲应力[σ]=170Mpa ，试选择工字钢的型号。设全部荷载平均分配在两根梁上。

解：设起重机左轮距A 端为x ，则有 2650x M C

-=，803862++-=x x M D

从而确定出 kN.m

2.104max

=C M ，kN.m

2.140max

=D M

即梁内出现的最大弯矩为kN.m 2.140

则由 []σσ≤=z

W M max max 得 []3

46

3max m 1025.810170102.140-⨯=⨯⨯=≥σM W z 又对于本题 'max

'

max 2z z z z W y I y I W ===

所以3344

'

cm 5.412m 10125.42

1025.82=⨯=⨯==--z z

W W 查表选 25b 号工字钢。

A

B

P

F

1m

4m

10m

C D 1m q

d

F l

l /3

A

B C

1.167m