第2章 抽样分布资料

第2章 抽样分布

第1节 常用分布类型

数理统计中常用的分布有4个：标准正态分布(0,1)N ，2χ分布，t 分布和F 分布。

一、标准正态分布(0,1)N ①密度函数

:22

()x x ϕ-=

,

x -∞<<+∞

标准正态分布图

x 轴

②百分位点：{}P Z z αα>=，z α称为标准正态分布的百分位点。 查表0.025z ，0.05z ，0.975z 。1z z αα-=- 二、2χ分布 ①定义：设12,,

,n X X X 相互独立，都服从标准正态分布(0,1)N ，称

2222

12n X X X χ=+++ 服从自由度为n 的2χ分布，记为22

~)n χχ（

。

密度函数：

122

2

1()2()

2

n x n f x x

e

n --=

Γ,

0x >

当2n =时，2

1,0()20,0x

e x

f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩

成为1=2λ的指数分布，即

21(2)()2e χ= ②密度函数的形状是右偏的。

x2分布图

y 轴

x 轴

不同自由度的2χ分布密度函数曲线 ③性质

性质1（可加性） 若21~)X n χ（，2

2~)Y n χ（，X 与Y 相互独立，则2

12~)X Y n n χ++（

性质2（矩的性质）2[)]E n n χ=（

，2

[)]2D n n χ=（ ④百分位点：22

{))}P n n αχχα

>=（（，

称2)n αχ（为2

χ分布的百分位

点。

查表20.02520)χ（，20.02515)χ（，2

0.975

15)χ（

英国统计学家Fisher 曾证明，当45n >

时，221

)(2

n z ααχ≈（

比如，查表2

0.05

50)=67.505χ（

2220.050.051

150)(=(1.645=67.22122

z χ≈+（

数学史：历史上，2χ分布曾被多位科学家以不同的途径引进。2χ分布最早是由法国数学家比埃奈梅(I.J.Bienayme,1796-1878)在1852年导出。英国物理学家麦克维斯(James Clerk Maxwell,1831-1879)在1859年证明了气体分子运动速度v 的模的平方2||||v 服从2(3)χ。德国大地测量学者赫尔梅特(F.Helmert)1876年在研究正态总体的样本方差时也发现了2χ分布。奥地利物理学家波尔兹曼(Ludwig Eduard Boltzmamt,1844-1906)分别在1878年和1881年导出了2(2)χ分布和

2()a χ（a 不必为整数）。

三、t 分布(Student 分布)

①定义：设~(0,1)X N ，2

~)Y n χ（，

且X 与Y

相互独立，称 t =为服从自由度为n 的t 分布，记为~()t t n

密度函数1

221

(

)2()(1)()2n n x f x n n +-+Γ=

+，

x -∞<<+∞ ②密度曲线的形状与标准正态分布密度曲线的形状及其相似。

标准正态分布图

x轴

利用Γ函数的性质（Stirling（

1730）公式：已知对每一0

x>，存在一

0 1

θ∈（，），使得

1

12

2

()x x x

x e e

θ

---

Γ=）

可得

1

()

2

lim

()

2

n

n

n

→∞

+

Γ

=

再利用第二个重要极限，

22

2

1

1

22

()

2

22

lim(1)=lim[(1)]

n n x

n x

x n

n n

x x

e

n n

+

+

-

--

→∞→∞

++=

所以

2

1

2

22

1

()

2

lim()lim(1)=()

()

2

n x

n n

n

x

f x x

n n

ϕ

+

--

→∞→∞

+

Γ

=+

③百分位点：{)()}

P t n t n

α

α

≥=

（

，

称()

t n

α

为t分布的百分位点。查表0.05(10)

t，

0.05

(15)

t，

0.025

(15)

t，

0.975

(15)

t

1

()=()

t n t n

αα

-

-

数学史：t分布(Student分布)的由来：英国的Cosset,W.S.(1876-1937)发现的。

Cosset,W.S.，在英国的牛津大学学习数学与化学，1899年在酿酒厂任