第2章 抽样分布资料
第5章--抽样分布与参数估计教案资料
(5)
(5.5)
(6)
(6.5)
(7)
(7.5)
(8)
(8.5)
(9)
9
9,1
9,2
9,3
9,4
9,5
9,6
9,7
9,8
9,9
9,10
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(5.5)
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(6.5)
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(8)
(8.5)
(9)
(9.5)
10
10,1
10,2
10,3
10,4
10,5
10,6
10,7
10,8
10,9
10,10
数是 ，标准差是 ，从这个总体中抽出一 个容量是 n 的样本，则样本平均数 X 也服从 正态分布，其平均数 E( X ) 仍为 ，其标准
差为 。 X 5-19
从正态分布的再生定理可以看出，只要总体 变量服从正态分布，则从中抽取的样本，不管n 是多少，样本平均数都服从正态分布。但是在 客观实际中，总体并非都是正态分布。对于从 非正态分布的总体中抽取的样本平均数的分布 问题，需要由中心极限定理来解决。
第5章--抽样分布与参数估计
第一节 抽样的基本概念与数学原理
一、有关抽样的基本概念 二、大数定理与中心极限定理
5-2
一、有关抽样的基本概念
（一）样本容量与样本个数 1.样本容量。样本是从总体中抽出的部分
单位的集合，这个集合的大小称为样本容量， 一般用n表示，它表明一个样本中所包含的单 位数。
lim
n
1 n
p
n
i 1
X
i
1
(5.5)
5-17
大数定理表明：尽管个别现象受偶然因 素影响，有各自不同的表现。但是，对总体 的大量观察后进行平均，就能使偶然因素的 影响相互抵消，消除由个别偶然因素引起的 极端性影响，从而使总体平均数稳定下来， 反映出事物变化的一般规律。
抽样分布与参数估计
三、t分布曲线下的面积分布规律
自由度为 的t分布曲线
t 分布曲线下 的整个面积为1, t 分布曲线下从a到b 的面积为t值分布 在此范围内的百分 比，即t值落在此 范围内的概率P。
双侧：由于t分布以0为中心对称，即 P（t≤- t, ）＝ P（t≥ t, ）＝ /2 于是有P（- t, ≤t≤ t, ）＝1-
sx
u X
X
t X ＝n-1
s X
u分布 t分布
二、t分布图形的特点
• 1. t分布是一簇曲线。 t分布有一个参数， 即自由度 ，与标准差的自由度一致。
• 2. t分布曲线以0为中心，左右对称； 越小， t变量值的离散程度越大，曲线越扁平。
• 3. t分布曲线较标准正态曲线要扁平些（高 峰低些，两尾部翘得高些）， 逐渐增大， t分布曲线逐渐的逼近于标准正态曲线，若 ＝，则t分布曲线和标准正态曲线完全吻 合。
参数估计在统计方法中的地位
统计方法
描述统计
推断统计
点值估计
参数估计
假设检验
区间估计
一、基本概念
➢ 参数估计：用样本统计量来估计总体参数。
点值估计：不计抽样误差，直接用样本均数来 估计μ。
区间估计：根据抽样误差的规律，按一定的概 率估计总体均数的所在范围。统计上习惯用95% 或99%可信区间表示总体均数可能所在范围。
第一节 均数的抽样误差 第二节 t分布 第三节 总体均数可信区间的估计
一、抽样研究:从总体中随机抽取部分 观察单位构成样本，用样本信息去 推断总体特征的研究方法。
统计推断的过程
总体
样
样本统计量
本
例如：样本均
值、比例
二、抽样误差：在抽样研究中，因抽样造 成的样本统计量与样本统计量、样本统计 量与总体参数的差值。
概率论与数理统计教案统计量和抽样分布
概率论与数理统计教案-统计量和抽样分布一、教学目标1. 理解统计量的概念，掌握常见统计量的计算方法。
2. 了解抽样分布的定义，掌握正态分布、t分布、卡方分布等常见抽样分布的特点及应用。
3. 学会使用抽样分布进行假设检验和置信区间的估计。
二、教学内容1. 统计量的概念及计算方法统计量的定义样本均值、样本方差、样本标准差等常见统计量2. 抽样分布的定义及特点抽样分布的定义正态分布、t分布、卡方分布等常见抽样分布的特点3. 抽样分布的应用假设检验置信区间的估计三、教学方法1. 讲授法：讲解统计量的概念、计算方法，抽样分布的定义及特点。
2. 案例分析法：通过具体案例，让学生学会使用抽样分布进行假设检验和置信区间的估计。
3. 互动教学法：引导学生参与课堂讨论，提问、解答问题，提高学生的积极性和主动性。
四、教学步骤1. 引入统计量的概念，讲解样本均值、样本方差、样本标准差等常见统计量的计算方法。
2. 讲解抽样分布的定义，介绍正态分布、t分布、卡方分布等常见抽样分布的特点及应用。
3. 通过具体案例，让学生学会使用抽样分布进行假设检验和置信区间的估计。
五、课后作业1. 复习本节课的内容，整理笔记。
2. 完成课后习题，加深对统计量和抽样分布的理解。
3. 选择一个感兴趣的话题，运用抽样分布进行实际问题的分析。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对统计量和抽样分布的理解程度。
2. 课后习题：检查学生对课堂内容的掌握情况。
3. 实际案例分析：评估学生运用抽样分布解决实际问题的能力。
七、拓展与延伸1. 引导学生探讨抽样分布在其他领域的应用，如经济学、生物学等。
2. 介绍与抽样分布相关的高级主题，如非参数统计、贝叶斯统计等。
3. 鼓励学生参加相关竞赛、研究项目，提高实践能力。
八、教学资源1. 教材：概率论与数理统计相关教材。
2. 课件：PPT课件，辅助学生理解统计量和抽样分布的概念及应用。
3. 案例资料：提供具体案例，方便学生学会使用抽样分布进行假设检验和置信区间的估计。
抽样分布及总体平均数的推断
于是需用t分布来估计该校三年级学生阅读
能力总体平均数95％和99％的置信区间。
由原始数据计算出样本统计量为
X 29.917
S 3.926
当Ｐ＝0.95时， t11 2.201 0.05
因此，该校三年级学生阅读能力2 得分95％的置信区间为：
X t11 0.05
S n 1
检验的思路是：假定研究样本是从平均数为μ 的总体随机抽取的，而目标总体的平均数 为μ0，检验μ与μ0之间是否存在差异。如果 差异显著，可以认为研究样本的总体不是 平均数为μ0的总体，也就是说，研究样本 不是来自平均数为μ0的总体。
二、总体平均数显著性检验的步骤
一个完整的假设检验过程，一般经过四个 主要步骤：
2．平均数区间估计的计算
①总体正态，σ已知（不管样本容量大小），
或总体非正态，σ已知，大样本
平均数离差的的抽样分布呈正态，平均数的 置信区间为：
X
Z
2
n
X
Z
2
n
（9．1）
例题1：某小学10岁全体女童身 高历年来标准差为6.25厘米， 现从该校随机抽27名10岁女童， 测得平均身高为134.2厘米，试 估计该校10岁全体女童平均身 高的95％和99％置信区间。
⑴．提出假设 ⑵．选择检验统计量并计算统计量的值 ⑶．确定显著性水平 ⑷．做出统计结论
⑴.提出假设
即根据研究假设提出相应的统计检验的假设。
双侧检验的假设形式为： H0：μ＝μ0， H1：μ≠μ0 单侧检验的假设形式为： H0：μ≥μ0，H1:μ＜μ0 （左侧检验） 或者 H0：μ≤μ0，H1:μ＞μ0 （右侧检验）
在确定检验形式时，凡是检验是否与假设 的总体一致的假设检验，α被分散在概率 分布曲线的两端，因此称为双侧检验。
抽样与抽样分布.pptx
用计来量估，计用总符体号参 数表的示统计量的名称，称为估
用来估计总体参数时计算出来的估计量的具 体数值，称为估计值
点估计与区间估计
参数估计的方法有点估计和区间估计 ◆（一）点估计
x 的分布形式与原有总体和样本容量n的大
小有关 .3 总体分布
.3 P ( x ) 抽样分布
.2
.2
.1
0 1
234
.1
0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x
= 2.5
σ2 =1.25
当总体服从正态分布N(μ, 2 )n时，样本均值的抽
样分布仍然是服从正态分布的，其均值仍为 μ ， 方差为 ，即2 n样本均值的方差比原总体的方差 要小，而且样本容量n越大，方差越小。
点估计又称定值估计。它是用实际样本指标 数值代替总体指标数值，即总体平均数的点 估计值就是样本平均数，总体成数的点估计 值就是样本成数。这种估计不考虑是否有抽 样误差。
例如，对一批某种型号的电子元件10000只 进行耐用时间检查，随机抽取100只，测试的 平均耐用时间子元件的平均耐用时 间为1055小时，全部电子元件的合格率也是 91%。
.2
.1 0
1
234
现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件 下，共有42=16个样本。所有样本的结果为
所有可能的n = 2 的样本（共16个）
第一个
第二个观察值
观察值
1
2
3
4
1
1,1
1,2
1,3
1,4
抽样分布知识点总结
抽样分布知识点总结抽样分布是统计学中一个重要的概念，它描述了在进行抽样时得到的样本统计量的分布情况。
抽样分布是统计推断的基础，它可以帮助我们理解抽样误差以及估计参数的可信度。
在本文中，我们将对抽样分布的基本概念、性质和相关理论进行总结和讨论。
一、基本概念1.1 抽样与总体在统计学中，总体是指我们想要研究的所有个体的集合，而抽样则是从总体中选取一部分个体作为样本，以获得对总体特征的估计。
抽样可以是随机抽样、分层抽样、系统抽样等方法，目的是代表性地反映总体的特征。
1.2 样本统计量在抽样中，对样本数据进行统计分析得到的统计量称为样本统计量，常见的样本统计量有均值、方差、标准差、比例等。
样本统计量能够提供有关总体参数的估计和推断。
1.3 抽样分布抽样分布是描述样本统计量的分布情况的统计学概念。
当我们从总体中抽取多个样本，并计算每个样本的统计量时，得到的这些统计量的分布就是抽样分布。
抽样分布可以反映出样本统计量的可变性、偏移和分布形态等特征。
二、性质2.1 中心极限定理中心极限定理是抽样分布理论中的重要定理，它描述了在一定条件下，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
中心极限定理对于理解抽样分布的性质和应用具有重要意义，也为许多统计推断方法提供了理论基础。
2.2 大数定律大数定律是另一个重要的抽样分布性质，它描述了当样本容量足够大时，样本均值会收敛于总体均值，即样本均值的抽样分布会集中在总体均值附近。
大数定律为我们理解样本统计量的稳定性和准确性提供了重要参考。
2.3 置信区间置信区间是根据抽样分布推断总体参数的一种方法，通过对抽样分布的分布情况进行分析，我们可以建立对总体参数的置信区间，从而对总体特征进行推断。
置信区间对于统计推断的可信度和精度有着重要的作用。
三、理论基础3.1 样本容量样本容量是影响抽样分布的一个重要因素，在实际抽样中，样本容量的大小对于样本统计量的分布情况有着重要的影响。
通常情况下，样本容量越大，抽样分布的稳定性和准确性越高。
样本均值的抽样分布(详细资料)
抽样分布根据样本统计量去估计总体参数，必须知道样本统计量分布。
定义6.2 某个样本统计量的抽样分布，从理论上说就是在重复选取容量为n 的样本时，由每一个样本算出的该统计量数值的相对数频数分布或概率分布。
由于现实中我们不可能将所有的样本都抽出来，因此，统计的抽样分布实际上是一种理论分布。
（一）样本均值的抽样分布从单位数为N 的总体中抽取样本容量为n 的随机样本，在重复抽样的条件下共有n N 个可能的样本，在不重复抽样条件下，共有!!()!nNN C n N n =-个可能样本。
对于每一个样本，我们都可以计算出样本的均值2()x s 或或p ，因此，样本均值是一个随机变量。
所有的样本均值形成的分布就是样本均值的抽样分布。
[例6.4]设一个总体含有4个个体（元素），即N=4，取值分别为：12341234x x x x ====总体分布为均匀分布，如图6.1所示。
图6.1总体均值：102.54X μ=== x总体方差：22() 1.25x x nσ-==∑若重复抽样，n=2 则共有2416=个可能样本。
具体列示如表5.1.1。
表6.1 可能的样本及其均值每个样本被抽中的概率相同，均值为116样本均值的抽样分布如表5.1.2和图5.1.2所示。
样本均值x 抽样分布的形状与原有总体的分布有关，如果原有总体是正态分布，样本均值也服从正态分布。
如果总体分布是非正态分布，当x 为大样本（30n ≥）时，样本均值的分布趋于服从正态分布；当x 为小样本时，其分布不是正态分布。
下面再让我们来看看样本均值x 抽样分布的特征：数学期望和方差。
设总体共有N 个元素，其均值为μ，方差为2σ，从中抽取容量为n 的样本。
E()x x X μ=== （6.1）22xnσσ=（重复抽样） （6.2）22()1xN nn N σσ-=-（不重复抽样） （6.3）对于无限总体，样本均值的方差，不重复抽样也可按重复抽样来处理；对于有限总体，当N 很大，而/n N 又很小，修正系数1N nN --会趋于1，不重复抽样也可按重复抽样来处理。
应用抽样技术课后习题答案.
第二章 抽样技术基本概念
2.7（1）抽样分布： 3 3.67 4.33 5 5.67 6.33 7
1/10 1/10 2/10 2/10 2/10 1/10 1/10 （2）期望为5，方差为4/3 （3）抽样标准误1.155 （4）抽样极限误差2.263 （5）置信区间（3.407，7.933）
第三章 简单随机抽样
3.3为调查某中学学生的每月购书支出水平，在全校 名学生中，用不放回简单随机抽样的方法抽得一 个的样本。对每个抽中的学生调查其上个月的购 书支出金额 （如表1所示）。
(1)在95%的置信度下估计该校学生该月平均购书支 出额；
(2)试估计该校学生该月购书支出超出70元的人数；
(3)如果要求相对误差限不超过10%，以95%的置信 度估计该校学生该月购书支出超出70元的人数比 例，样本量至少应为多少。
故 n ≈ 92.26 ≈93
4.8 解 已知W1=0.7，W2=0.3，p1=1/43，p2=2/57 （1）简单随机抽样 (1+2)/100=0.03 V(P)(1)=0.03*0.97/99=0.0002937 （2）事后分层 Σ0.7*1/43+0.3*2/57=0.0268 V() =Σ2[(1—)/(—1)] =0.72*[1/42](1/43)(42/43)+0.32*[1/56](2/57)(55/57) =0.00031942
由此可计算得：
n0
t2q r2 p
1.962 0.733 0.01 0.267
1054.64
n = n0/[1+(n0—1)] = 1054.64/[1+1053.64/1750]=658.2942 = 659
计算结果说明，至少应抽取一个样本量为659的简单随机样本，才能 满足95%置信度条件下相对误差不超过10%的精度要求。
统计学抽样与抽样分布培训课件
置信区间的计算与应用
应用示例
1. 估计总体均值：通过样本均值构建均值的置信区间，可以了解总体均值的可能取值范围。
2. 估计总体比例：通过样本比例构建比例的置信区间，可以了解总体中某一特征或属性的分 布情况。
置信区间的计算与应用
3. 假设检验：置信区间也可以用于 假设检验，通过比较构建的置信区间 与假设值来判断是否拒绝原假设。
统计学抽样与抽样分布培训课件
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目录
• 统计学抽样概述 • 抽样方法 • 抽样分布 • 抽样误差与置信区间 • 抽样检验与假设检验 • 案例分析与实践
01
统计学抽样概述
抽样的定义和目的
定义
抽样是从总体中按照一定方法选 取部分观测单位构成样本的过程 。
目的
抽样的目的是通过样本的统计特 征推断总体的参数，以减小调查 成本，提高调查效率，并获得更 加准确、可靠的统计推断结果。
抽样过程实施
按照抽样方案进行实地抽样，记录抽样过程中的关键信息，如抽样 时间、地点、样品编号等，确保抽样过程的规范性和可追溯性。
抽样结果分析
对抽取的样品进行质量检验，根据检验数据计算合格率、不合格率等 关键指标，评估产品质量水平和生产过程中的问题。
案例二：民意调查的抽样设计
1 2 3
抽样框确定
明确调查的总体范围和目标人群，选择合适的抽 样框，如电话簿、户籍名册等，确保抽样框具有 代表性和覆盖性。
决策准则
如果检验统计量的值落在拒绝 域内，则拒绝原假设，否则接
受原假设。
两类错误
第一类错误（拒真错误）、第 二类错误（纳伪错误），需要
控制两类错误的概率。
功效函数
统计学习题(抽样分布、参数估计)
统计学习题(抽样分布、参数估计)练习题第1章绪论（略）第2章统计数据的描述2.1某家商场为了解前来该商场购物的顾客的学历分布情况，随机抽取了100名顾客。
其学历表示为：1.初中;2.高中/中专;3.大专;4.本科及以上学历。
调查结果如下：4222434414 2244432422 3121441424 2332134344 3312424324 2322212244 2123333334 2343313232 4313434214 2242334121（1）制作一张频数分布表。
（2）绘制一张条形图，反映学历分布。
2.2为了解某电信客户对该电信公司的服务的满意度情况，某调查公司分别对两个地区的电信用户在以下五个方面对受访用户的满意情况进行了问卷调查得到的数据如下（表中数据为平均满意度打分，从1分到10分满意度依次递增）：地区企业形象客户期望质量感知价值感知客户总体满意度A 8.269504 7.51773 9.2624117.9148948.411348B 7.447368 8.3684218.9736848.1052637.394737试用条形图反映将两地区的满意度情况。
2.3下面是一个班50个学生的经济学考试成绩：88569179699088718279 988534744810075956092 83646569996445766369 6874948167818453912484628183698429667594（1）对这50名学生的经济学考试成绩进行分组并将其整理成频数分布表，绘制直方图。
（2）用茎叶图将原始数据表现出来。
2.4如下数据反映的是某大学近视度数的情况，共120名受访同学，男女同学各60名。
男149 161761821310 80 951081414 0 144145151515161681882121 0 21211052121211116817521 0 356462121212121312121 0 2121212121375375383838 8 45566065120 30120 7521女120 3334537437538700 90700 60141516212121211517170 0 0 0 0 0 0 0 5 521 0 1752121214043451217517 8 181818518519195196202021 0 21212121212121333335 0 3636363840474865055（1）按近视度数分别对男女学生进行分组。
抽样调查基本原理
第二章抽样调查基本原理第一节有关基本概念一、总体总体也叫母体，它是所要认识对象的全体，是具有同一性质的许多单位的集合。
组成总体的每个个体叫做单位。
总体可以是有限的，也可以是无限的。
如果总体中所包含个体的数目为有限多个，则该总体就是有限总体，反之是无限总体。
总体也可区分成汁量总体（由测量值组成的）与计数总体（由品质特征组成的）。
在抽样以前，必须根据实际情况耙总体划分成若干个互不重叠并且能组合成总体的部分，每个部分称为一个抽样单元，不论总体是否有限，总体中的抽样单元数一泄是有限的, 而且是已知的，因此说抽样调查的总体总是有限的。
抽样单元又有大小之分，一个大的抽样单元可以分成若干个小的抽样单元，最小的抽样单元就是每一个个体。
如一项全国性的调查, 如果把省作为一级单元，则可以把县作为二级单元，乡作为三级单元，村作为四级单元等等。
又如在流动人口抽样中，可以以居委会作为抽样单元，而在家计调查中，则以户为抽样单元。
总体应具备同质性、大量性与差异性的特征。
在抽样调査中，通常将反映总体数呈:特征的综合指标称为总体参数。
常见的总体参数主要有：1•总体总与Y：例如全国人口数。
Y 二L y:=yi+y:+**.+y x2.总体均值Y :例如职工平均工资。
r =Y/N=z yi /N3•总体比率R：是总体中两个不同指标的总与或均值的比值。
如总收入与总支出之比。
R二Y/X二Y/X4.总体比例P：是总体中具有某种特性的单元数目所占比重。
如产品的合格率。
二、样本样本是由从总体中所抽选出来的若干个抽样单元组成的集合体。
抽样前，样本是一个n 维随机变量，属样本空间；抽样后，样本是一个n元数组，是样本空间的一个点。
样本是总体的缩影，是总体的代表。
抽样的效果好不好，依赖于样本对总体是否有充分的代表性。
样本的代表性愈强，用样本指标对总体全而特征的推断就愈精确，即推断的误差就愈小；反之，如果样本的代表性愈弱，推断的误差就愈大，推断结果就愈不可靠。
第二章 抽样技术的基本概念
2、中心极限定理；
3、t分布定理；
对于样本比例，在重复抽样时服从二项分布，在 不重复抽样时服从超几何分布，它们的极限形式都是 正态分布。
正态分布是最重要、最常用的抽样分布。 我们可 以根据正态分布理论，在一定的概率保证下，以所抽 样本所给出的估计值为依据对总体指标作出区间估计。
4、在实践中，我们还经常要对总体中某 特定的组或类进行调查研究，这样的组或类就 称为研究域或子总体。
5
二、调查单位与抽样单位
总体是由单位构成的，单位有调查单位与 抽样单位之分。
调查单位就是调查项目的承担者，即我们 想通过调查取得其观测值的单位，它通常是构 成总体的最基本单位。但有时调查单位与基本 单位并不相同。
标θ ，也就是要在一定的概率保证下，想办 法找出两个数值θ1和θ2（θ1≤θ2），使θ处
于这两个数值之间，即：
Pr(θ1 ≤ θ ≤ θ2 )=1- α
27
区间（θ1,θ2）就被称为抽样的置信区 间或估计区间，θ1被称为置信区间的下限， θ2被称为置信区间的上限 。
在正态分布下，估计量关于总体指标对称
23
二、抽样误差的表现形式
抽样误差的表现形式一般有三种：抽样实 际误差、抽样标准误和抽样极限误差。
抽样实际误差是指抽样估计值与总体指标 值之间的离差。
特点： 1、若估计量无偏，所有可能的实际误差 的总和为0； 2、每一次抽样的实际误差是不可知的； 3、抽样实际误差是随机变量。
24
抽样标准误是衡量抽样误差大小的核心指标，是对总 体指标作出区间估计的一个重要因素，狭义上所指的抽样 误差就是抽样标准误。它就是抽样分布或抽样估计量的标 准差，是抽样分布方差或抽样估计量方差（均方误差）的 平方根。
统计学之抽样与抽样分布培训课件
2021/3/5
第四章 抽样和抽样分布
36
3.3 不重置抽样下的抽样分布
例 解：已知 X， N 100 000人 ； 总体
n4＝-4300 ， n1 360
样本
为 样本了签解约某率地p区 31600万 9名0％农民工签 重置订抽样劳下动： 合同的签4约00率，随机抽取
F x2 F x1
X
F x1 XXP X x1 FPx 2x1PXX x 2x2
x1
x2
2021/3/5
第四章 抽样和抽样分布
4
2.1 离散型随机变量概率分布
在统计中，通常要求 X 落入[ x1 , x2 )的概率。 对于离散型随机变量：
Px1 X x2 F x2 F x1 F X x1 F X x2
x
n
（ x11 … x1n ）
x1
X
X1
（ x21 … x2n ）
x2
X3 X2
…
……
……
XN
（xm1 …xmn ）
xm
E x X ； x X n
2021/3/5
第四章 抽样和抽样分布
25
3.2 重置抽样下的抽样分布
x
x X
X
n
X
2021/3/5
第四章 抽样和抽样分布
26
3.2 重置抽样下的抽样分布 样本平均数的分布： 1. 样本平均数的期望（平均数）
x2
3. Pf xx1 — XX 的x密2 度 函 数f xdx
x1
2021/3/5
第四章 抽样和抽样分布
9
2.2 连续型随机变量概率分布
北京理工大学《概率论与数理统计2》课件-第七章 总复习
S
S2
1 n1
n i 1
(Xi
X
)2
它反映了总体 标准差的信息
37
它反映了总体k
阶矩的信息
3(1) 样本k阶原点矩
an,k
1 n
n
X
k i
,
Байду номын сангаас
k
1,
2,
i1
(2)样本k阶中心矩
它反映了总体k 阶
中心矩的信息
mn,k
1 n
n i1
(Xi
X )k ,k
2, 3,
特别
an,1 X
mn,2
1 n
有时也根据总体分布的类型来称呼总体 的名称，如正态总体、二项分布总体、0-1分 布总体等等.
11
1.2.2. 样本空间和样本的两重性 1 样本空间
为推断总体分布及各种特征，按一定规 则从总体中抽取若干个体进行观察试验， 以获得有关总体的信息，这一抽取过程称 为 “抽样”
所抽取的部分个体称为样本(或子样). 样本中所包含的个体数目称为样本容量.
设样本X1, X 2 , , X ni.i.d., X1 ~ N (, 2 ), 其中和 2未知.
设样本X1, X 2 , , X ni.i.d., X1 ~ Exp(), 其中未知.
这些未知的量只有通过样本去估计. 统计学上把出现在样本分布中的未知的 常数称为参数.
25
在一些问题中，参数虽然未知，但根据 参数的性质可以给出参数取值范围.
33
注1：统计量只与样本有关，不能依赖 任何未知参数
注2：统计量既然是依赖于样本的，而
后者又是随机变量，即统计量是随机变量
的函数，故统计量是随机变量，具有概率
【数据分析师Level1】3.抽样分布及参数估计
【数据分析师Level1】3.抽样分布及参数估计【数据分析师 Level 1 】3.抽样分布及参数估计1.随机实验随机实验是概率论的⼀个基本概念。
概括的讲，在概率论中把符合下⾯三个特点的试验叫做随机试验可以在相同的条件下重复的进⾏每次试验的可能结果不⽌⼀个，并且能事先明确试验的所有可能结果进⾏⼀次试验之前不能确定哪⼀个结果会出现随机事件在概率论中，随机事件（或简称事件）指的是⼀个被赋予⼏率的事物的集合，也就是样本空间中的⼀个⼦集。
简单来说，在⼀次随机试验中，某个特定时间可能会出现也可能不会出现；但是当试验次数增多，我们可以观察到某种规律性的结果，就是随机事件。
随机变量设随机试验的样本空间S=e,X=X(e)S = {e},X=X(e)S=e,X=X(e)是定义在样本空间S上的单值实值函数，称X为随机变量2.正态分布的图像形式既然介绍变量的分布情况，就要介绍⼀下正态分布。
⾸先，正态分布是关于均值左右对称的，呈钟形，如下图所⽰。
其次，正态分布的均值和标准差具有代表性，只要知道其均值和标准差，这个变量的分布情况就完全知道了。
在正态分布中，均值=中位数=众数3.中⼼极限定理从均值为 µ\muµ,⽅差为σ2\sigma^2σ2的⼀个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分⼤时，样本均值的抽样分布近似服从均值为 µ\muµ ,⽅差为σ2n\frac{\sigma^2}{n}nσ2的正态分布根据中⼼极限定理，我们知道如果做很多次抽样的话会得到很多个样本均值，⽽这些样本均值排列起来会形成正态分布,他们的平均数是µ\muµ,标准差是σn\frac{\sigma}{\sqrt{n}}nσ换句话说，有约68% 的样本均值会落在 µ±σn\mu \pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}}µ±nσ之间，有约 95 %的样本均值会落在 µ±2σn\mu \pm 2\frac{\sigma}{\sqrt{n}}µ±2nσ有约 99.7 %的样本均值会落在 µ±3σn\mu \pm 3\frac{\sigma}{\sqrt{n}}µ±3n σ把上述说法稍微转换⼀下就变成：有68 %的 x‾±σn\overline x \pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}}x±nσ会包含着 µ\muµ有95 %的 x‾±2σn\overline x \pm 2\frac{\sigma}{\sqrt{n}}x±2nσ会包含着 µ\muµ有99.7 %的 x‾±3σn\overline x \pm 3\frac{\sigma}{\sqrt{n}}x±3nσ会包含着µ\muµ⽽这就是抽样和估计最根本的道理我们从全体之中以随机抽样⽅式抽取n个样本，取得样本观察值，计算它们的平均数 x‾\overline xx ,然后加减两倍的σn\frac{\sigma}{\sqrt{n}}nσ得到⼀组上下区间，然后说：我们有95 % 的信⼼，这个上下区间⼀定会包含着全体的平均数 µ\muµ。
《数理统计》教案——抽样分布
lim
n
Cnk
pk (1
p)nk
k e
k!
注意到：
ke 1
k0 k !
该实数序列可构成一分布列
3. 泊松分布（ The Poisson Distribution ）
若随机变量 X 的概率分布列是
PX k k e , k 0,1, 2,,
k!
则称 X 服从参数为的泊松分布，记为 X ~ P()
盖洛普 预测 51% 59.5% 51% 64% 43% 62% 48.0% 47.0%
实际 得票 55.4% 57.8% 50.1% 61.3% 43.5% 61.8% 50.1% 50.8%
误差 -4.4% +1.7% +0.9% +2.7% -0.5% +0.2% -2.1% -3.8
2）康泰克为什么可以重来
1936年民主党人罗斯福任美国总统第一任满。共和党 人兰登与他竞争总统。《文学摘要》杂志根据有约二百 四十万人参加的民意测验，预测：
兰登的得票率：57% 罗斯福的得票率：43% 样本：240万
1936年盖洛普刚刚设立起他的调查机构，他根据一个约五 万人的样本，预测：
兰登得票率：44%
罗斯福得票率：56%
《文学摘要》杂志选取调查对象的方法有误。尽管他的调 查数据非常多，但有偏差。他选取的样本不能代表总体。
《文学摘要》杂志的调查对象选择了共和党人兰登，而全 体选民却选择了民主党人罗斯福。
尽管盖洛普的样本只有五万人，但他的样本能比较好地代表 总体。盖洛普用的是“定额抽样法” 。
所谓定额抽样法可简单地用下面的例子加以说明。若某地区 有40万选民，其中黑人与白人选民分别有15%与85%。若计 划在该地区调查20个选民，则定额抽样法就要求调查员访问 的20个选民中有3个黑人选民与17个白人选民。调查对象的性 别、收入高低、年龄等有类似的要求。
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第2章 抽样分布第1节 常用分布类型数理统计中常用的分布有4个：标准正态分布(0,1)N ，2χ分布，t 分布和F 分布。
一、标准正态分布(0,1)N ①密度函数:22()x x ϕ-=,x -∞<<+∞标准正态分布图x 轴②百分位点：{}P Z z αα>=，z α称为标准正态分布的百分位点。
查表0.025z ，0.05z ，0.975z 。
1z z αα-=- 二、2χ分布 ①定义：设12,,,n X X X 相互独立，都服从标准正态分布(0,1)N ，称222212n X X X χ=+++ 服从自由度为n 的2χ分布，记为22~)n χχ（。
密度函数：12221()2()2n x n f x xen --=Γ,0x >当2n =时，21,0()20,0xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩成为1=2λ的指数分布，即21(2)()2e χ= ②密度函数的形状是右偏的。
x2分布图y 轴x 轴不同自由度的2χ分布密度函数曲线 ③性质性质1（可加性） 若21~)X n χ（，22~)Y n χ（，X 与Y 相互独立，则212~)X Y n n χ++（性质2（矩的性质）2[)]E n n χ=（，2[)]2D n n χ=（ ④百分位点：22{))}P n n αχχα>=（（，称2)n αχ（为2χ分布的百分位点。
查表20.02520)χ（，20.02515)χ（，20.97515)χ（英国统计学家Fisher 曾证明，当45n >时，221)(2n z ααχ≈（比如，查表20.0550)=67.505χ（2220.050.051150)(=(1.645=67.22122z χ≈+（数学史：历史上，2χ分布曾被多位科学家以不同的途径引进。
2χ分布最早是由法国数学家比埃奈梅(I.J.Bienayme,1796-1878)在1852年导出。
英国物理学家麦克维斯(James Clerk Maxwell,1831-1879)在1859年证明了气体分子运动速度v 的模的平方2||||v 服从2(3)χ。
德国大地测量学者赫尔梅特(F.Helmert)1876年在研究正态总体的样本方差时也发现了2χ分布。
奥地利物理学家波尔兹曼(Ludwig Eduard Boltzmamt,1844-1906)分别在1878年和1881年导出了2(2)χ分布和2()a χ（a 不必为整数）。
三、t 分布(Student 分布)①定义：设~(0,1)X N ，2~)Y n χ（，且X 与Y相互独立，称 t =为服从自由度为n 的t 分布，记为~()t t n密度函数1221()2()(1)()2n n x f x n n +-+Γ=+，x -∞<<+∞ ②密度曲线的形状与标准正态分布密度曲线的形状及其相似。
标准正态分布图x轴利用Γ函数的性质（Stirling（1730）公式：已知对每一0x>，存在一0 1θ∈（，），使得1122()x x xx e eθ---Γ=）可得1()2lim()2nnn→∞+Γ=再利用第二个重要极限，2221122()222lim(1)=lim[(1)]n n xn xx nn nx xen n++---→∞→∞++=所以212221()2lim()lim(1)=()()2n xn nnxf x xn nϕ+--→∞→∞+Γ=+③百分位点：{)()}P t n t nαα≥=（，称()t nα为t分布的百分位点。
查表0.05(10)t，0.05(15)t，0.025(15)t，0.975(15)t1()=()t n t nαα--数学史：t分布(Student分布)的由来：英国的Cosset,W.S.(1876-1937)发现的。
Cosset,W.S.，在英国的牛津大学学习数学与化学，1899年在酿酒厂任化学技师。
记11n ii X X n ==∑，2211()1n i i S X X n ==--∑，X t =发现t 落在区间 （-1，1）， （-2，2）， （-3，3） 的频率 0.626 0.884 0.960 与(0,1)N 在的概率 0.683 0.995 0.997 相差较大，于是他在1906年至1907年间去伦敦大学学习统计方法。
1908年，以Student 为笔名发表论文《均值的或然误差》，给出t 分布的密度曲线，所以后人称之为学生氏分布。
直到1923年，Fisher 给出了t 分布严格的数学推导，1925年，又编制了t 分布表。
四、F 分布①定义：设21~)X n χ（，22~)Y n χ（，且X 与Y 相互独立，称12//X n F Y n =为服从自由度为1n ，2n 的F 分布，记为12~(,)F F n n ②密度函数的图形为右偏的F-分布图y 轴x 轴不同自由度的F 分布密度函数曲线③性质性质1 若12~(,)F F n n ，则211~(,)F n n F性质2 若~()t t n ，则2~(1,)t F n ，21~(,1)F n t④百分位点：1212{(,)(,)}P F n n F n n αα≥=，称12(,)F n n α为F 分布的百分位点。
查表0.05(10,8)F ，0.025(10,8)F ，0.025(8,10)F ，0.975(8,10)F性质3 1-12211(,)=(,)F n n F n n αα0.9750.02511(8,10)==(10,8) 4.30F F数学史：F 分布统计量最早见于英国统计学家费歇尔(Ronald Aylmer Fisher,1809-1963)1822年发表的论文《回归公式的拟合优度及回归系数的分布》，其中，他导出了一个自由度为(,)k p n k --的分布统计量Q 。
F 分布的名称由美国统计学家斯纳德柯(G.W.Snedecor)在1932年引进，以纪念Fisher 的功绩。
第2节 正态总体的抽样分布定理1* 设12,,,n X X X 是来自于总体2(,)N μσ的简单随机样本，X 和2S 分别是样本均值和样本方差，则（1）222(1)~(1)n S n χσ--；（2）X 和2S 相互独立。
证明：构造n 阶正交矩阵()ij n n A a ⨯=000000000(n n n ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪-令 1212(,,,)(,,,)TT n n Y Y Y A X X X =1, 1,2,,ni ij j j Y a X i n ===∑由于12,,,n X X X 是来自于总体2(,)N μσ的简单随机样本，1,2,,i Y i n =（）是12,,,n X X X 的线性组合，所以 1,2,,i Y i n =（）都服从正态分布，且11njj Y X ===∑往证12,,,n Y Y Y 相互独立，并求出其分布。
定理1（单正态总体的抽样分布） 设12,,,n X X X 是来自于总体2(,)N μσ的简单随机样本，X 和2S 分别是样本均值和样本方差，则（1）2~(,)X N nσμ （2）~(0,1)X N（3）222(1)~(1)n S n χσ-- （4）~(1)X t n - （5）22211()~()ni i X n μχσ=-∑ （6）X 和2S 相互独立。
定理2（双正态总体的抽样分布） 设112,,,n X X X 是来自于总体211(,)N μσ的简单随机样本，X 和21S 分别是样本均值和样本方差；212,,,n Y Y Y 是来自于总体222(,)N μσ的简单随机样本，Y 和22S 分别是样本均值和样本方差。
且两样本相互独立，则 （1）22121212~(,)X Y N n n σσμμ--+（2）()()~(0,1)X Y N μμ---（3）221212()()~(2)()X Y t n n σσ---+-=（4）2212122212/~(1,1)/S S F n n σσ--（5）1122221222111111122222222121121()()/=/~(,)1()()n n i i i i n n i i i i X n X n F n n Y n Y n μμσσσσμμ====----∑∑∑∑例1 求总体(20,3)N 的容量分别为10、15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。
已知(0.424)0.6628Φ= 例2 设1210,,,X X X 是来自于总体2(0,0.3)N 的简单随机样本，求1021{ 1.44}i i P X =>∑例3 设在总体2(,)N μσ中抽取一容量为16的样本，2,μσ未知，（1）求22{2.041}S P σ≤；（2）求2()D S例4 设总体211~(,)X N μσ，222~(,)Y N μσ，从两个总体中分别抽样，得到结果如下：2211228,8.7510, 2.66n s n s ====；，求：2212{}P σσ>例5 设21234,,,~(1,)X X X X N σ，统计量1234|2|X X X X -+-服从什么分布，试说明你的理由。
例 6 设2129,,,~(,)X X X N μσ，11261()6Y X X X =+++，27891()3Y X X X =++，922271()2i i S X Y ==-∑，12)Y Y Z S-=，统计量Z 服从什么分布，试说明你的理由。
第3节 顺序统计量的分布设总体X 的概率密度函数为()f x ，分布函数为()F x ，12,,,n X X X 为取自总体X 的样本，该样本的次序统计量为(1)(2)()n X X X ≤≤≤。
一、第k 个次序统计量()k X 的密度函数()k f x1!()[()][1()]()(1)!()!k n k k n f x F x F x f x k n k --=---特别地，最小次序统计量(1)X 的密度函数1()f x11()[1()]()n f x n F x f x -=-最大次序统计量()n X 的密度函数()n f x1()[()]()n n f x n F x f x -=二、第j 个次序统计量()j X 与第k 个次序统计量()k X 的联合密度函数,(,)(1)k j f x y j k n ≤<≤11,!(,)[()][()()][1()]()()(1)!(1)!()!j k j n k j k n f x y F x F y F x F y f x f y j k j n k ----=------x y -∞<<<+∞特别地，最小次序统计量(1)X 与最大次序统计量()n X 的联合密度函数1,(,)n f x y x y -∞<<<+∞（）21,(,)(1)[()()]()()n n f x y n n F y F x f x f y -=--，x y -∞<<<+∞（）三、前k 个次序统计量(1)(2)()k X X X ≤≤≤的联合密度函数12121,!(,,,)[1()]()()()()!n k k k k kn f x x x F x f x f x f x n k ---=--12k x x x -∞<<<<<+∞（）特别地，当k n =时，12121,1(,,,)!()()()!()nn n i n i f x x x n f x f x f x n f x --===∏ 12n x x x -∞<<<<<+∞（）例1设总体X 的概率密度函数为2()=3,01f x x x ≤≤，125,,,X X X 为取自总体X 的样本，该样本的次序统计量为(1)(2)(5)X X X ≤≤≤，求第3个次序统计量(3)X 的密度函数3()f x 解：331353283235!()[][1]390(1)2!2!f x x x x x x --=-=-，01x ≤≤ 例2 设电子元件的寿命（耐用时间）X 服从参数为=0.0015λ的指数分布。