摄像机标定原理

（3）图像坐标系，分为图像像素坐标系和图像物理 坐标系两种： a) 图像物理坐标系：其原点为透镜光轴与成像平面的 交点，X 与Y 轴分别平行于摄像机坐标系的x与y X Y x y 轴，是平面直角坐标系，单位为毫米。 b) 图像像素坐标系[计算机图像（帧存）坐标系]：固 定在图像上的以像素为单位的平面直角坐标系，其 原点位于图像左上角, Xf，Yf 平行于图像物理坐标 系的X 和Y轴。对于数字图像，分别为行列方向。
► 1.世界坐标与摄像机坐标之间的转换关系： 1.世界坐标与摄像机坐标之间的转换关系：
xw r11 r12 r13 x y R T y r r r w = 21 22 23 = ⋅ T z 0 1 zw r31 r32 r33 1 1 0 0 0 t x xw t y yw ⋅ t z zw 1 1
效焦距。f 效焦距。fx、fy、u0、v0这4个参数只与摄像机 内部结构有关，因此称为摄像机的内部参数。
► 世界坐标系与图像坐标系变换关系：
X u − u0 r11xw + r12 yw + r13 zw + tx f = f = r x +r y +r z +t x 31 w 32 w 33 w z Y = v − v0 = r21xw + r22 yw + r23 zw + t y f fy r31xw + r32 yw + r33 zw + tz
► 因此可得物点p与图像像素坐标系中像点pf的 因此可得物点p与图像像素坐标系中像点p
变换关系为：
u − u0 = fsx x / z = fx x / z v − v0 = fsy y / z = f y y / z
(6)
► 其中，fx=fsx，fy=fsy分别定义为X和Y方向的等 其中，f 分别定义为X
► 其中R为正交旋转矩阵，T为平移矢量 其中R为正交旋转矩阵，T
► 设R1,T1为摄像机１的外wenku.baidu.com数矩阵， R2,T2为摄 为摄像机１
像机２ 像机２的外参数矩阵，则两个摄像机的关系 矩阵可以表示为： −1 R = R1 ⋅ R2
T = T1 − R1 ⋅ R2 ⋅T2
−1
经典标定方法简介
► 利用透视变换矩阵的摄像机标定技术
其中，（X 其中，（Xw,Yw,Zw,1）是空间三维点的世界坐标， （u,v,1）为相应的图像坐标，mij为透视变换矩阵M的 u,v,1）为相应的图像坐标，m 为透视变换矩阵M 元素。整理消去z后，得到如下关于m 元素。整理消去z后，得到如下关于mij 的线性方程：
m11 xw + m12 yw + m13 zw + m14 − uzw m31 − uyw m32 − uzw m33 = um34 m21 xw + m22 yw + m23 zw + m24 − vzw m31 − vyw m32 − vzw m33 = vm34
经典标定方法简介
由成像模型可知，径向畸变不改变L 由成像模型可知，径向畸变不改变L1 的方向，因 此，无论有无透镜畸变都不影响以上等式。有效焦距 的变化，也不影响这个等式，因为焦距的变化只会影 响L1 的长度而不影响其方向。又因为：
x r11 r12 r13 xw y = r r r23 ⋅ yw + T 21 22 z r31 r32 r33 zw
X = fx / z Y = fy / z (3)
► 齐次坐标表示为：
f X 0 z Y = 0 1 0 0 f 0 0 0 0 f 1 0 x 0 y 0 z 0 1
(4)
► 将上式图像物理坐标系进一步转化为图像坐
在摄像机内部参数确定的条件下，利用若 干个已知的物点和相应的像点坐标，就可 以求解出摄像机的内部和外部参数。
Zw Yw
Xw M(x ,y ,z ) w w w z2 Y1 z 1
m1(X1,Y1)
Y2 X2 y2
m2(X2,Y2)
y1 o1 摄像机1 x1
X1 摄像机2 o2
双目成像原理
x2
► 双目标定的关键是确定两个相机的位置关
系．两个摄像机的空间位置关系可以表示为： 系．两个摄像机的空间位置关系可以表示为：
x2 y R 2 = z 2 0T 1 T 1 x1 r1 y r 1 = 4 z 1 r7 1 0 r2 r5 r8 0 r3 r6 r9 0 tx ty tz 1 x1 y 1 z1 1 (9 )
► 三个层次的坐标系统
（1）世界坐标系（Xw，Yw，Zw）：也称真实或现实 世界坐标系，或全局坐标系。它是客观世界的绝对 坐标，由用户任意定义的三维空间坐标系。一般的 3Ｄ场景都用这个坐标系来表示。 （2）摄像机坐标系(xoy)：以小孔摄像机模型的聚焦 中心为原点，以摄像机光轴为oz 轴建立的三维直角 坐标系。x，y 一般与图像物理坐标系的Ｘ，Ｙ 平 行。
如果已知三维世界坐标和相应的图像坐标，将变换矩 阵看做未知数，则共有12个未知数。对于每一个物体 阵看做未知数，则共有12个未知数。对于每一个物体 点，都有如上的两个方程，因此，取6 点，都有如上的两个方程，因此，取6个物体点就可 以求得变换矩阵M 以求得变换矩阵M的系数。
经典标定方法简介
►利用径向排列约束（RAC）的摄像机标定技术 利用径向排列约束（RAC）的摄像机标定技术
[ xwYd
xwYd
Yd
− xwYd
r11 / Ty r / T 12 y − xwYd ] Tx / Ty = X d r21 / Ty r22 / Ty
(14)
经典标定方法简介
► 利用（14）和旋转矩阵为正交的特点，可以 利用（14）和旋转矩阵为正交的特点，可以
o Of y O L1 Yf Y L2 z
x Xf X P(X,Y) Pf (u,v) Zw Xw Yw
p(x,y,z) (xw,yw,zw)
图1 摄像机标定中常用坐标系
计算机视觉常用坐标系采用右手准则来定 义，图1 表示了三个不同层次的坐标系统： 1.世界坐标系 2.摄像机坐标系 3.图像坐标系（图像像素坐标系和图像物理 坐标系）。
Ry，Rz，再加上tx ,ty ,tz 总共六个参数决定了摄 ，再加上t 像机光轴在世界坐标系中的坐标，因此这六 个参数称为摄像机的外部参数。
►2.图像坐标系与摄像机坐标系变换关系 2.图像坐标系与摄像机坐标系变换关系
摄像机坐标系中的一点p 摄像机坐标系中的一点p在图像物理坐标系中像 点P坐标为：
[ xwYd
ywYd
zwYd Yd
− xwYd
− ywYd
(13)
经典标定方法简介
对每一个物体点，已知其x 对每一个物体点，已知其xw , yw ,Xd ,Yd, 就可以写出方程 （13），选取合适的7个点就可以解出列矢量中7个分 13），选取合适的7个点就可以解出列矢量中7 量。同一平面上的点标定，并选取世界坐标系，使 Zw=0，这样，方程（13）就可以简化为： =0，这样，方程（13）就可以简化为：
标系：
u − u 0 = X / d x = s x X v − v0 = Y / d y = s y Y (5)
► 其中，u0，v0是图像中心（光轴与图像平面
的交点）坐标，dx ，dy分别为一个像素在X与 Y方向上的物理尺寸，sx=1/dx ，sy=1/dy 分别 为X与Y方向上的采样频率，即单位长度的像 素个数。
确定旋转矩阵R和平移分量T 确定旋转矩阵R和平移分量Tx，Ty。 ► 利用RAC方法将外部参数分离出来，并用求 利用RAC方法将外部参数分离出来，并用求 解线性方程的方法求解外部参数。 ► 特别地，可将世界坐标和摄像机坐标重合， 这样，标定时只求内部参数，从而简化标定。
谢谢大家！
将式（8 将式（8）写成：
u m11 m12 m13 v = m m m z 21 22 23 1 m31 m32 m33
xw m14 yw m24 zw m34 1
(10)
经典标定方法简介
(7)
► 转化为齐次坐标为： xw u fx 0 u0 0 R T yw v = 0 f v 0 z (8) T = M1M2 X = MX y 0 0 1 z w 1 0 0 1 0 1 ► 这是针孔模型或者中心投影的数学表达式。
(1)
► T是世界坐标系原点在摄像机坐标系中的坐标，
矩阵R是正交旋转矩阵．
► R满足约束条件：
r1 1 2 + r1 2 2 + r1 3 2 = 1 r2 1 2 + r2 2 2 + r2 3 2 = 1 r3 1 2 + r3 2 2 + r3 3 2 = 1 (2)
► 正交旋转矩阵实际上只含有三个独立变量Rx ， 正交旋转矩阵实际上只含有三个独立变量R
基于RAC（ 基于RAC（Radial alignment constraint）的摄像机 constraint）的摄像机 标定方法属于两步法，第一步是利用最小二乘求解超定 线性方程，给出外部参数；第二步求解内部参数，如果 摄像机无透镜畸变，则由一个超定线性方程解出。如果 存在一个以二次多项式近似的径向畸变，则可以用一个 三变量的优化搜索求解。 径向排列约束就是矢量 L1 和矢量 L 2具有相同的方 方向（L 向，即方向（L 向，即方向（L1 ）=方向（L 2）
(11)
经典标定方法简介
RAC意味着存在下式： RAC意味着存在下式： Xd r1 1 x w + r1 2 y w + r1 3 z w + T x x = = (1 2 ) y Yd r2 1 x w + r2 2 y w + r2 3 z w + T y 整理上式并化成矢量形式可得：
r11 / Ty r / T 12 y r13 / Ty − zwYd ] Tx / Ty = X d r21 / Ty r22 / Ty r / T 23 y