单摆初始摆角对单摆运动的影响

单摆初始摆角对单摆运动的影响

翁丰壕

（南昌航空大学飞行器学院 330063）

摘要：在大摆角情况下，单摆运动方程sinθ≈θ中假设不成立，所以，近似后得到的解在大摆角的情况下也不准确。单摆的运动方程是二阶常微分方程，本文利用MATLAB中ode函数直接对其求解，得到各初始摆角情况下的运动图像。分析其运动规律，表明摆角在某个临界值附近时，单摆的运动情况会有很大差别，即混沌现象。

关键词：摆角、周期、混沌现象

单摆模型是一个形状、大小都可以看成质点的小球系在不计伸长和质量的摆线上的理想模型。它是处理摆动问题中必不可少的模型，作为一种经典物理模型，已在大多大学物理教材中有涉及。在处理单摆模型时只讨论了小角度摆动时的近似运动状况，当单摆做大摆角运动时，运动微分方程为非线性方程，由于计算上的困难没有涉及。，其求解的精确度在全局下未必能够得到保证。学过常微分方程我们知道，对于高阶的常微分方程，可以降价为一阶微分方程组，进而可以使用数值分析中的相关理论得到较为精确的数值解。因此可以使用以上的方法对大摆角运动进行精确的求解[3]。本文将在以下几个方面对任意角度单摆问题进行研究：分析相空间轨迹随能量的变化；研究单摆运动周期与最大摆角的关系。

无阻尼单摆

无驱动力、无阻尼的单摆的运动可由的方程（1）描述，其中θ为铅直方向与摆线的夹角，l为摆长，g为重力加速度。

sinθ=0(1)

θ+g

l

数学理论表明，方程（1）没有严格的解析解，一般的情况下，sinθ≈θ的近似不成立。利用数值分析中的龙格库塔法可以求出方程（1）的数值解，参数取值为g=10m/s2，l=1m，m=1kg。单摆的周期性运动的图像如图1所示。可以看出，与小角度摆动不同的是，初始摆角影响单摆的周期，且初始摆角越大，周期越长，当初始摆角为π时，单摆的周期趋于无穷大，即系统出现了相变现象。

图1 不同初始摆角情况下单摆运动图像

文献[1]中给出了无驱动力、无阻尼单摆的周期公式为： T =∫√1−sin 2θ

2

sin 2φ

（2）

令R =T

T 0

，称做周期比，T 0=2π√l

g ，为小角度下周期。则R 表示为：

R =2

π∫√1−sin 22

sin 2φ

（3）

画出R 随初始摆角θ的关系图如下：

1

2

3

4

56

7

8

9

10

t/s

θ

图2 周期比R 与初始摆角θ关系图

可以看出随着单摆摆角的增大，它的周期比也会增加，即周期也会增大，而且，增加的速度也在增大，与图1的结果吻合。

单摆初始摆角越大，其机械能越大。从能量守恒角度来看，单摆遵守机械能守恒定律：

E =1

2m(lθ)2+mgl(1−cosθ) （4） θ=±√2E ml 2−2g

l (1−cosθ) （5）

画出速度与摆角的关系图（称之为相图[1],[5]），由图3可得，单摆在不同能量状态下的相轨迹．在一定能量范围内，相轨迹是一条闭合曲线；当能量大于临界能量值时，相轨迹是非闭合的，分为上下两支，按顺时针方向转（角速度小于零）和逆时针方向转动（角速度大于零）．当能量E =2mgl 时，单摆处于往复摆动与单向转动之间的“临界状态”．该情况下单摆的运动对能量参数十分敏感，当能量略小于E =2mgl 时发生往复摆动，当能量略大于E =2mgl 时为单向转动．从相图中可以看出θ=±π处发生分岔现象，该点成为鞍点，它是摆动与转动的转折点。系统在该处发生相变。在临界值附近一个微小的扰动能够造成结果的巨大差别．若δ是一个十分小的量以至于测量仪器测不出来，那么对能量E =2mgl ±δ的初值都将认为是E =2mgl 的初值，这时实验中将会观察到，对应“相同”的能

0.2

0.4

0.6

0.81

1.2

1.4

1.6

11.021.041.061.081.11.121.141.161.18

1.2θ/rad

R

量初值随着时间的变化有时演化成往复摆动，有时候演化成单向转动，运动出现了不可预测的“随机性”，单摆的这种“随机行为”称为“混顿现象”[4]。

图3 摆角与速度的关系图

结论

通过分析无阻尼情况下单摆的摆角和周期的关系，得出，在大摆角的情况下，单摆的周期和摆角相关。摆角越大周期也越大，因为大角摆动的运动方程不是一个线性微分方程，它的解不具有稳定性。会出现混沌现象。

参考文献

[1] 金亚平.单摆周期的相图求法[J].大学物理，2000,19(10):7-11.

[2] 万明理，何金娜.基于MATLAB 下对单摆实验中大摆角问题的讨论[J].2010,23(6):76-77 [3] 陶利.大角度单摆运动问题的计算机模拟[J].2010,9(8):42-43 [4] 李纪强，周斌，丁益民.单摆混沌现象的研究[J].2013,35(4):514-517 [5] 杨青勇.单摆的混沌运动[J].2013,9(2):21-25

-4

-3-2-1

01234

-8-6-4-202

468θ/rad

θ/(r a d /s

)