迭代法的收敛条件

充分性. 若 ( A) 1,
取 1 ( A) 0,
2
由定理3.4存在一种存在一种 , 使得
A (A) 1 ( A) 1
2
而
Ak A k , 于是
所以
lim Ak lim A k
k
k
lim Ak 0
k
0
5
解线性方程组的迭代法
种矩阵范数 使得
A (A)
证明参看［１］ .
对任意n 阶方阵 A, 一般不存在矩阵范数 ,
使得 ( A) A . 但若 A为对称矩阵，则
( A) A 2
下面的结论对建立迭代法的收敛性条件非常重要。
3
解线性方程组的迭代法
定理3.5 设 A 为n阶方阵， 则
lim Ak 0
k
即由迭代公式(3-24)产生的向量序列 xk 收敛.
8
p7
解线性方程组的迭代法
由定理3.4即得
推论１在定理3.6的条件下,若 M 1, 则 xk 收敛.
推论２ 松弛法收敛的必要条件是 0 2。
［证明］ 设松弛法的迭代矩阵 M 有特征值
1, 2 ,L n . 因为
(1)D U (1 )n a11a22 ann
于是有 det(M ) (1 )n 1 所以
0 2
10
解线性方程组的迭代法
定理3.6表明，迭代法收敛与否只决定于迭代 矩阵的谱半径，与初始向量及方程组的右端项无关。 对同一方程组，由于不同的迭代法迭代矩阵不同， 因此可能出现有的方法收敛，有的方法发散的情 形.
( A) A
为任意由向量
[证明] 对 A 的任一特征值 i 及相应的特征向量 ui ,
都有
i ui iui Aui A ui
因为 ui 为非零向量，于是有
i A
由 i 的任意性即得
(A) A
2
解线性方程组的迭代法
定理3.4 设A为n阶方阵，则对任意正数 , 存在一
解线性方程组的迭代法
由特征值的定义容易得出，矩阵
Ak AAA
k个
的谱是 (1k ,2k ,L ,nk ) (k 1, 2,L ),
因而
(Ak ) [( A)]k
(3 23)
矩阵的谱半径与范数有以下关系。
1
解线性方程组的迭代法
定理3.3 设 A为任意n阶方阵， 范数诱导出的矩阵范数，则
xk 1 Bx(k ) g
迭代矩阵为 B I D1A 13 p16
解线性方程组的迭代法
1 2 2 0 2 2
B I D1A I 1 1
1


1
0
1
其特征方程为
2 2 1 2 2 0
2 2 I B 1 1 3 4 4 4 2 2
因为
12
解线性方程组的迭代法
1 2 2 1
1 0 0 D 0 1 0
0 0 1
0 0 0
L


1
0
0
2 2 0
0 2 2 U 0 0 1
0 0 0
Jacobi迭代法的迭代格式为
即 x Mx g 并且 lim M k 0
又因为
k
x(k) x M (x(k1) x ) M k (x(0) x )
所以，对任意初始向量 x(0), 都有
lim (x(k) x) lim M k (x(0) x) 0
k
2 2 3 0
因此有 1 2 3 0, 于是 (B) 0 1,
所以Jacobi迭代法收敛.
14
解线性方程组的迭代法
如果用Gauss-Seidel迭代，x(k1) Mx(k ) d ,
3.5.2 迭代法的收敛条件
定理３.６ 对任意初始向量 x(0) 和右端项 g,
由迭代格式
x(k 1) Mx(k ) g
(k 0,1,2, )
产生的向量序列 x(k) 收敛的充要条件是
(M ) 1
(3 24)
［证明］设存在n 维向量 x* 使得 lim x(k) x*
det(M ) 12 L n (M )n
由定理3.6，松弛法收敛必有
det(M ) 1
9
p19
解线性方程组的迭代法
又因为
M (D L)1[(1 )D U ]
det(M ) (D L)1 (1)D U
(D L)1
1
a11a22 ann
x 则 * 满足 k
x Mx g
6
p9
解线性方程组的迭代法
由迭代公式(3-24),有
x(k ) x Mx(k1) g Mx g M (x(k1) x )
M 2 (x(k2) x) L M k (x(0) x)
于是有
lim M k (x(0) x) lim (x(k) x) 0
k
k
因为 x(0) 为任意n维向量, 因此上式成立必须
lim M k 0
k
由定理3.5
(M ) 1
7
解线性方程组的迭代法
反之，若 (M ) 1, 则 1 不是M 的特征值，因而有
I M 0, 于是对任意n维向量 g, 方程组
(I M )x g 有唯一解，记为 x,
11
解线性方程组的迭代法
例３ 讨论用Jacobi迭代法与Gauss-Seidel
迭代法求解方程组
x1 2x2 2x3 1

x1

x2

x3

2
2x1 2x2 x3 3
的收敛性．
［解］由定理3.6，迭代法是否收敛等价于迭代
矩阵的谱半径是否小于１， 故应先求迭代矩阵。
k
的充要条件为 ( A) 1.
［证明］必要性. 若 lim Ak 0 k
由定义3.2得
lim Ak 0
k
而 0 ( Ak ) [( A)]k Ak
于是由极限存在准则，有
lim[ ( A)]k 0
k
所以 ( A) 1. 4
解线性方程组的迭代法