数形结合相关理论

数学中的两大研究对象“形”与“数”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是推动数学发展的动力。数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种基本的、重要的数学思想来学习，研究和掌握运用。数形结合能力的提高，有利于从形与数的结合上深刻认识数学问题的实质，有利于扎实打好数学基础，有利于数学素质的提高，同时必然促进数学能力的发展。

数学最本质的东西是抽象,然而数学又要把抽象的东西形象化,再通过直观的形象来深化抽象的内容,这种抽象中的形象就是数形结合的思想。在教学实践中,我注重数形结合,在发展学生思维的形象性、创造性方面,收到了良好的效果。一、通过坐标,数形结合数学的进步与活力,总是依赖

摘要：匈牙利著名的数学家G·Polya曾经说过：数学教学就是解题教学，数学解题就是由条件指向结论的一系列思维过程。—些数学问题，单方面从条件或从结论去着手，往往不是头绪繁多就是运算冗繁，若能从一些算式的结构特点考虑，找出题目中蕴含的几何图形，数形结合，常常能取得事半功倍的效果。

众所周知，数学是研究客观世界的数量关系和空闻形式的一门科学，高度的抽象性是数学科学的一个明显特征。对于大多数中学生来说，为什么他们看到一些数学问题，往往感到无所适从，甚至对教学产生了一种“望而生畏”的感觉，长久下去，必然影响这部分学生的学习积极性。因此，作为一名中学数学教师，一定要注意研究数学教学规律，要启发学生把抽象的数量关系和直观的几何图形结合起来口即要启发学生的“数形结合”思想，使之内化为学生的一种能力。实践表明：“一个学生的数学能力的高低，常常与他的数形结合的方法运用和空闻想象力的素养有关。”反之，如果一个数学教师不注意在教学中给学生灌输“数形结合”的思想，学生就很难把数学知识融会贯通，学生的能力特别是创新思维的能力就不能得到充分的发展。

一、数和形是截然不可分的

数学的发展经历了一从直观的“形”向抽象的“数”发展的过程，数学从早期的实物记数，到结绳记数，发展到由抽象的数学符号来记录数学信息，由研究具体的实物图形发展到研究—般的、普遍的科学原理和科科学现象，数学越来越脱离了具体的形态特征，从而也使得数学的应用越来越广泛了。可以想见：今后随着现代科学技术的发展，数学必将深入到教育、科研、生产和生活的各个领域，特别是在高科技领域，如信息技术，生物技术等等。可以这样说：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用到数学。使得数学变得越来越抽象，人们研究数学越来越离不开形的导引。另一方面，很多有关形的信息的记录，很多有关形的问题的处理，都离不开形而抽象出的数学公式，数学方法和数学算律的运用。所以说，数形结合，它根本体现了几何和代数的不可分割。正如已故数学家华罗庚教授所说的那样：“数与形，相依相存，不可分离，数缺形少直觉，形缺数时难入徽，数形结合百般好，隔裂分离万事难。”

二、“数形结合”问题中的“形”的特征

(1)相似性━━问题所涉及的表达式的条件和结论同某类几何图形中所包含的信息的结构相似。本质上，数与形的联系也就是它们二者结构的相似性。我们经常在课堂上向学生强调的也是这一点，因此，教师要引导学生去探索这种相似性，要有意识地培养学生的这种思维品

摘要：数形结合是数学解题中常用的思想方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化；能够变抽象的数学语言为直观的图形、抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。所谓数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系分析其代数含义，又揭示其几何直观，使数量关系与空间形式和谐结合在一起的方法。本文通过“以形助数”和“以数助形”这两大题型的具体分析，揭示出“数”与“形”之间的紧密关系，从而把问题优化，获得解决。

数学以现实世界的数量关系和空间形式作为其研究的对象，而数和形是相互联系，也是可以相互转化的。把问题的数量关系与空间形式结合起来考察，或者把数量关系转化成图形的性质问题，或者把图形的性质转化成数量关系问题，这种处理问题的思想与方法就是数形结合的思想方法。

早在数学萌芽时期，人们在度量长度、面积和体积的过程中，就把数和形联系起来了。我国宋元时期，系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形之间的几何关系表

达成代数式之间的代数关系。17世纪上半叶，法国数学家笛卡儿以坐标为桥梁，在点与数对之间、曲线与方程之间建立起来对应关系，用代数方法研究几何问题，从而创立了解析几何学。后来，几何学中许多长期不能解决的问题，例如立方倍积、三等分任意角、化圆为方等问题，最终也借助于代数方法得到了完满的解决。即使在近代和现代数学的研究中，几何问题的代数化也是一条重要的方法原则，有着广泛的应用。

沟通数与形的内在联系，不仅使几何学获得了代数化的有力工具，也使许多代数学和数学分析的课题具有了明显的直观性，在数学解题中，运用数形结合思想，就是根据问题的具体情形，或者把图形性质问题转化成数量关系来研究，后者把数量关系问题转化成图形性质来研究，以便以数助形或以形助数，使问题简单化、抽象问题具体化。

在数学学习中，不单纯是数的计算与形的研究，更多的是用数形结合思想解题。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

以下就对数形结合思想在解题中的应用从“以形助数”和“以数助形”这两方面试做一番探讨。

一、由数到形，利用形的直观性开拓解题思路

很多数学问题，本身是代数方面的问题，但通过观察可发现它具有某种几何特征，由于这种几何特征可以发现数与形之间的新关系，使问题获解。

综上所述，代数方法的特点是解答过程严密，规范，思路清晰，几何方法具有直观，形象的优势。华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直觉，形少数时难人微。”应用数形结合的思想就能扬这两种方法之长，避呆板单调解法之短。

在解决有关问题时，数形结合思想方法所表现出来的思路上的灵活，过程上的简便，方法上的多样化是一目了然的，它为我们提供了多条解决问题的通道，使灵活性，创造性的思维品质在其中得到了更大限度的发挥。