导数与函数的单调性、极值、最值

§3.2 导数与函数的单调性、极值、最值

1．函数的单调性

在某个区间(a，b)，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间单调递减．

2．函数的极值

(1)判断f(x0)是极值的法

一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．

(2)求可导函数极值的步骤

①求f′(x)；

②求程f′(x)＝0的根；

③检查f′(x)在程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在

这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．

3．函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函

数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步

骤如下：

①求f(x)在(a，b)的极值；

②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小

值．

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．

( ×)

(2)函数在某区间上或定义域极大值是唯一的．

( ×)

(3)函数的极大值不一定比极小值大．

( √)

(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．

( ×)

(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．

( √ )

(6)函数f (x )＝x sin x 有无数个极值点．

( √ )

2． 函数f (x )＝x 2

－2ln x 的单调减区间是

( )

A ．(0,1)

B ．(1，＋∞)

C ．(－∞，1)

D ．(－1,1)

答案 A

解析 ∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)

x

(x >0)．

∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．

3． (2013·)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x

－1)(x －1)k

(k ＝1,2)，则 ( )

A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值

B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值

C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值

D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值 答案 C

解析 当k ＝1时，f ′(x )＝e x

·x －1，f ′(1)≠0. ∴x ＝1不是f (x )的极值点．

当k ＝2时，f ′(x )＝(x －1)(x e x

＋e x

－2)

显然f ′(1)＝0，且x 在1的左边附近f ′(x )<0，

x 在1的右边附近f ′(x )>0，

∴f (x )在x ＝1处取到极小值．故选C.

4． 函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )

A ．(－1,1)

B ．(－1，＋∞)

C ．(－∞，－1)

D ．(－∞，＋∞)

答案 B

解析 设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)， ∵m ′(x )＝f ′(x )－2>0， ∴m (x )在R 上是增函数． ∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0， ∴m (x )>0的解集为{x |x >－1}，

即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．

5．函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值围是________．答案[－3，＋∞)

解析f′(x)＝3x2＋a，f′(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，

则f′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立，

即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立．∴a≥－3.

题型一利用导数研究函数的单调性

例1 已知函数f(x)＝e x－ax－1.

(1)求f(x)的单调增区间；

(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值围，若不存在，请

说明理由．

思维启迪函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论．

解f′(x)＝e x－a，

(1)若a≤0，则f′(x)＝e x－a≥0，

即f(x)在R上单调递增，

若a>0，e x－a≥0，∴e x≥a，x≥ln a.

因此当a≤0时，f(x)的单调增区间为R，

当a>0时，f(x)的单调增区间是[ln a，＋∞)．

(2)∵f′(x)＝e x－a≤0在(－2,3)上恒成立．

∴a≥e x在x∈(－2,3)上恒成立．

又∵－2

当a＝e3时，f′(x)＝e x－e3在x∈(－2,3)上，