绵阳南山中学(实验学校)自主招生考试数学试题及答案

2
C ． ( －8, 4)或( 8, － 4) D. ( －
2, 1)或( 2, －1) 8. 如图，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， AC=6 ， BC=8 ，⊙ O 为△ ABC 的内切圆，点 D
是斜边 AB 的中点，则 tan ∠ ODA 的值为（ ）
C 保密★启用前
绵阳南山中学 ( 实验学校 )2015 年自主招生考试试题
3 3 A.
B. O
2
3
B
A
数 学
本套试卷分试题卷和答题卷两部份 ,试题卷共 6 页,答题卷共 6 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟 .
注意事项 :
C. 3
D.2
9. 若关于 x 的一元二次方程 kx 2
2 x A. k
1
B.
k 1 且 k 0 D
1 0 有两个不相等的实数根，则
k 的取值范围是 ( )
C. k
1
D.
k 1 且 k 0
1. 答卷前 ,考生务必将自己的姓名、考试号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填写在答
题卷与机读卡对应位置上 ,并认真核对姓名与考号 ;
10. 如图，△ ABC 的周长为 26，点 D ， E 都在边 BC 上，∠ ABC 的平分线垂直于 AE ，垂足为 Q ，
∠ACB 的平分线垂直于
AD ，垂足为 P ，若 BC=10，则 PQ 的长为（ ）。

2. 选择题每小题选出答案后
,用 2B 铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑
,如需改动 ,用橡皮擦
干净后 ,再选涂其它答案标号 ,答在试题卷上无效 ;
A. 3
2 B. 5
A 2 3. 非选择题 (主观题 )用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的
位置上 ,答在试题卷上无效 .作图一律用 2B 铅笔或 0.5 毫米黑色签字笔 ;
4. 考试结束后 ,请将本试题卷、答题卷与机读卡一并上交
.
C.3
D.4
P
Q
B
D E C
（第 10 题）
第 I 卷( 选择题, 共 36 分)
11.如图，在平面直角坐标系中，点
A 的坐标为（ 0,3），△ OA
B 沿 x 轴向右平移后得到△
O ′A ′B
一.选择题 (本大题共 12 个小题 ,每小题 3 分,共 36 分) 1.
－ 4 的倒数是（ ） A ． 4
B ．－ 4
C ． 1
4
D ．－ 1
4
点 A 的对应点在直线 y 9
A.
4
3
x 上一点，则点 B 与其对应点 B ′间的距离为（
）
4
B. 3
C. 4
D. 5
2. 下列运算正确的是（
） A . a 3
a 3
2a
3
B . a
3
a
3
a
6
C . ( 2 x ) 3
6x 3
D . a 6
a
2
a 4
12．如图 12，抛物线 y ax bx+c(a 0) 过点（ 1，0）和点（ 0，-2），且顶点在第三象限， 设 P= a b c ，
则 P 的取值范围是（
） .
3.
用科学记数法表示 0.000031 ，结果是（ ）
A ． 3.1 ×10-4
B ． 3.1 ×10-5
C ． 0.31 ×10
-5
D ．31×10-6
A ． - 4＜ P ＜0
B ． - 4＜ P ＜ -2 a 2
C ． - 2＜ P ＜ 0
D ． - 1＜ P ＜0
4. 要使式子
有意义，则 a 的取值范围为 ( )
a
二、填空题（每小题
4 分，共 24 分）
A. a
2 B.a 2 C.a 2且a 0 D. a 2
13．分解因式： 4ax
12ax 9 a ＝
．
图 12
16 题图 5. 如图是由 5 个大小相同的正方体摆成的立方体图形 ,它的左视图是（
）
14：已知 2
2
m -6m-1=0 求 2m 1 -6m+
2 =
.
C
m
2x m 15. 已知关于
x 的方程
3 的解是正数，则 m 的取值范围为 ：
.
x 1
A
O
B
A
B C D
16. 在平面直角坐标系中，点
O 是原点，点 B （ 0， 3），
17 题图
6. 如图，已知直线
AB ∥ CD ， C 125°，
点 A 在第一象限且 AB ⊥BO ，点 E 是线段 AO 的中点，点 M 在线段 AB 上．若点 B 和点 E 关于直线
A 45°，那么 E 的大小为（ ） OM 对称，且则点 M 的坐标是 ( ，
) ．
A. 70°
B. 80° 17．如图， AB 是半圆 O 的直径，且 AB 8 ，点 C 为半圆上的一点．将此
C.90°
D. 100° 7. 在平面直角坐标系中，已知点 E( －4, 2)， F(－ 2, －2)，以原点 O 为位似中心，
相似比为
1 ，把△ EFO 缩小，则点 E 的对应点 E ′的坐标是（
）
2
半圆沿 BC 所在的直线折叠，若圆弧 BC 恰好过圆心 O ，则图中阴影部分
的面积是
（结果保留
）．
18.射线 QN 与等边△ ABC 的两边 AB ， BC 分别交于点 M ，N ，且 AC ∥ QN ，
18 题
A ． ( －2, 1)
B. ( －8, 4)
AM=MB=2cm ，QM=4cm 。

动点 P 从点 Q 出发，沿射线 QN 以每秒 1cm 的速度向右移动，经过
t 秒，
2
4 A B
以点 P 为圆心，
3 cm 为半径的圆与△ ABC 的边相切（切点在边上） ，
23. （本题满分 12 分）某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的 4200 盆甲种花卉和 3090
盆乙种花卉，搭配 A 、B 两种园艺造型共 60 个，摆放于入城大 请写出 t 可取的一切值 （单位：秒）
三．解答题
19. 计算：（本小题满分 16 分） （ 1）计算：
3
2
( 1 ) 3
( 2 3)
2
2sin 45
(
4
)
2
2014
道的两侧， 搭配每个造型所需花卉数量的情况下表所示， 结合上
述信息，解答下列问题：
（ 1）符合题意的搭配方案有几种？
（ 2）如果搭配一个 A 种造型的成本为 1000 元，搭配一个 B
种造型的成本为 1500 元，试说明选用那种方案成本最低？最低成本为多少元？
造型花卉
甲 乙 A 80 40 B
50
70
（ 2）先化简，再求值：
a ( a
2
2
a 1 2a a 2 4a )
a 4 ,其中a a 2
2 1.
24. （本小题满分 12 分）如图：已知 AB 是⊙ O 的直径， AB=10，点 C 、D 在⊙ O 上， DC 平分∠ ACB ，
点 E 在⊙ O 外，∠ EAC=∠D 。

（ 1）求证： AE 是⊙ O 的切线； （ 2）若 BC=6，求 CD 的长；
B
B
C
C
D
O D
O 20. 某中学为了了解七年级
600 名学生在 “学雷锋活动月 ”中做好事的情况， 随机调查了七年级
50 名学
生在一个月内做好事的次数，并将所得数据绘制成统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： （ 1）所调查的七年级 50 名学生在这个月内做好事次数的平均数是 ，众数是
，极差是。

（ 2）根据样本数据，估计该校七年级
600 名学生在 “学雷锋活动月 ”中做好事不少于 4 次的人数．
（ 3） 若∠ O
D=60 ，求阴影部分的面积。

A
E
A
E
25. （本小题满分 14 分）如图，抛物线与
x 轴交于 A x 1,0 ， B x 2 ,0 两点，且 x 1＜
x 2，与 y 轴交
于点 C 0, 5 ，其中 x 1， x 2 是方程 x
2
4 x
5 0 的两个根。

21. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 BD 的垂直平分线 MN 与 AD 相 A
M
D
交于点 M ，与 BD 相交于点 N ，连 BM ，DN 。

（ 1）证：四边形 BMDN 为菱形；
O
（ 2）若 AB=4 ， AD=8 ，求 Sin ∠ABM 的值。

（ 1）求这条抛物线的解析式； （ 2）点 M 是线段 AB 上的一个动点 ,过点 M 作 MN ∥ BC,交 AC 于点 N,连接 CM ,当△ CMN 的面积最大
时，求点 M 的坐标。

；
B
N
C
（ 3）点 D 4,k 在（ 1）中抛物线上，点 E 为抛物线上一动点，在 x 轴是否存在点 F ，使以 A ，
D ，
22. 已知直线 l 分别与 x 轴.y 轴交于 A.B 两点，与双曲线 y
a （ a ≠0， x ＞ 0）分别交于 D .E 两点 . 若
E ，
F 四点为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出所有满足条件的点 F 的坐标；如果不
存在，请说明理由。

y
x
点 D 的坐标为（ 3， 1），点 E 的坐标为（ 1， n ）
（ 1）分别求出直线 l 与双曲线的解析式； （ 2）求 △EOD 的面积 （ 3）若将直线 l 向下平移 m （ m ＞ 0）个单位，当 m 为何值时，
O x
直线 l 与双曲线有且只有一个交点？
C
图 22
一、选择题
参考答案
1、D
2、D
3、B
4、C
5、B
6、B
7、D
8、D
9、B 10、C
11、C 12、A
二、填空题
13、a(2x-3)2 14、39 15、m>-3 且m≠2 16、(1, 3) 17、8 3
18、2 或8 或3≤t ≤7 三、
19. ①原式9 8 3 2 2
2
1 2
3
②原式= ( a 2) a 1 a 4
a(a 2) (a 2)2 a 2
( a 2)(a 2) a(a 1) a 2
a2 4
a(a a(a
a2
2)2
2)2 a 4
a a 2
a 4
a 4 a 2 1
a(a
1 a
2 2)2 a 4
2a
a(a 2)
a 2
a 1 2
a 2 2a 1 2
a 2 2 a 1
原式 1
20. ①平均数是 4 ，众数 5 ，极差是 4 。

x 5 2 6 3 13 4 16 5 10 4 10 18 52 80 40
4
50 50
②
5 6 13 24
50 50
24
600 288( 人)
50
A M D
21. 证明
①∵四边形ABCD为矩形
∴MD//BN
∴∠MDB∠=NBO
又MN∠平分BO
∴BO=DO
∴△MO≌D△NOB
∴MO=NO
又MN⊥BD
∵四边形BNDM为菱形
②∴由①四边形BNDM为菱形
∴BM=MD=x ∴AM=8-x AB=4
O
B N C
2 2 2 ∴在△ABM中4+（8-x）=x
2 2
∴16+64-16x+x=x
∴AM=3
∴SM∠AM 3
ABM=
BM 5
2
O
22. ①y
3
x
y x 4 A(4,10)
②S EOD S EOA S ODA 1 4 3 1
4 1 4
y
△ △ △
③平移不改变 ks 点 k -1 y -x 4 - m y
3
x
3 x
4 x
m x 2
( m 4)x 3 0 D
△ ( m- 4) 2
12 0
m 4 2 3
Q m 4 m 4 2 3
A
x
23. 设 A 型 x 个 B 型（60-x ）个
80x+50(60-x)≤420V x ≤ 40
40x+70(60-x)≤3090 x ≥37
∴37≤x ≤40
∴x=37、38、39、40 四种方案
方案 A B 一 37 23 二 38 22 三 39 21 四
40
20
②W 利润=1000x+1500(60-x)
=1000x+90000-1500x =-500x+90000
37≤x ≤40 且为整
∵-500＜0∴ W 随 x 的增大而减小∴ x=40 W=70000
24. 解①∵∠D= ∠B
又∠D=∠CAE ∴ ∠B=∠CAE
又∵AB 为⊙O 直径
∵∠B+∠BAC=90o
∴∠BAC+ ∠CAE=90o ∴∠AE 为⊙O 的切线 ②过 B 作 BH ⊥CD 于 H BC=6 AB=10 AC=8
C
∵∠BCD=∠ACD=45o BC=6 ∴∠BH=CH= 2 2 D
O H 又∠BCD=∠ACD ∴ BD AD
∵BD=AD 又 AB=10 ∵BD=AD= 5 2 E
∴∠DH= 4 2 A
∵CD= 7 2
③当∠D=60o 时，∠COA=120o
又 AB=10
B
o
r=5 ∠OAC=30
∴S 阴影=S 扇 AOC -S △AOC C
120 25 5 3 5
25 25 3 =
360
4
3
4
25.①x 2
-4x-5=0 (x-5)(x+1=0
∴x=5 x=-1
E
∴A(-1,0) B(5,0) C(0,5)
A
∴y=a(x+1)(x-5)
-5=a ×(-5) y
∴a=1 ∵y=x -4x-5
A H
M
B
O
x
N C
2 2
B E
B
D
O
2
2
OC OB 5
CBO
45
o MN // BC NMA 设M (x,0)
45o
△ ANM ∽△ ACB NH x 1 5
6
NH 5 ( x 1)
6
② S △ CMN
S △ CAM S △ NAM 1 ( x 1) 5 1 ( x 1) 5 (x 1) 2 2 6
5 (x 1) 5 ( x 1)2
2 12
5 ( x 2 2 x 1) 5 x 5 12 2 2
5
x 2
5 x 5 5 x 5 12
6 12 2 2 5 x 2 10 x 25 12 6 6 5 (x 2 8x) 25 12 6 5 (x 4)2
25 5 16 12 6 12 5
( x 4)2 65 12 6
当x=4时S 最大= 65
6
③ F 1(-5,0)
F 2(3,0) y=5=x 2
-4x-5 ∴x -4x-10=0 X-4x+4=10+4
2
y=5
y
∵(x-2) +=14
x=2± 14
F 3(7－ 14 ,0)
F 4(7+ 14 ,0)
F 1
A
O
y=-5
C
F 3 B
F 4
F 2
D
x。