实际问题与一元一次方程(常见题型)

实际问题与一元一次方程（一）基础

【学习目标】

1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；

2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路．

【要点梳理】

知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

列方程解应用题的基本思路为：问题−−−

→分析抽象方程−−−→求解检验

解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、找、设、列、解、检、答．

要点诠释：

（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系。

（2）“找”寻找等量关系；

（3）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数；

（4）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；

（5）“解”就是解方程，求出未知数的值．

（6）“检”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；

（7）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 知识点二、常见列方程解应用题的几种类型

1．和、差、倍、分问题

（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，

现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．

（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．

2．行程问题

（1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间

（2）基本类型有：

①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间

Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间

Ⅱ．寻找相等关系：

第一， 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；

第二， 同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．

③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，

逆流速度=静水速度－水流速度，

顺水速度－逆水速度＝2×水流速度；

Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来

考虑．

3．工程问题

如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：

（1）总工作量=工作效率×工作时间；

（2）总工作量=各单位工作量之和．

4．调配问题

寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．

【典型例题】

类型一、和差倍分问题

1．2011年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米?

【答案与解析】设生产运营用水x 亿立方米，则居民家庭用水(5.8-x )亿立方米．

依题意，得5.8-x ＝3x+0.6

解得x ＝1.3

5.8-x ＝5.8-1.3＝4.5（亿立方米）

答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米．

【总结升华】本题要求两个未知数，不妨设其中一个未知数为x ，另外一个用含x 的式子表示．本题的相等关系是生产运营用水量+居民家庭用水总量＝5.8亿立方米．

举一反三：

【变式】(麻城期末考试)麻商集团三个季度共销售冰箱2800台，第一个季度销售量是第二个季度的2倍．第三个季度销售量是第一个季度的2倍，试问麻商集团第二个季度销售冰箱多少台?

【答案】解：设第二个季度麻商集团销售冰箱x 台，则第一季度销售量为2x 台，第三季度销售量为4x 台，依题意可得：x+2x+4x ＝2800，

解得：x ＝400

答：麻商集团第二个季度销售冰箱400台．

类型二、行程问题

1.一般问题

2．小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走4千米，那么走完预订时间离县城还有0.5千米，如果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城．试问学校到县城的距离是多少千米?

【答案与解析】

解：设小山娃预订的时间为x 小时，由题意得：

4x+0.5＝5(x -0.5)，解得x ＝3．

所以4x+0.5＝4×3+0.5＝12.5(千米)．

答：学校到县城的距离是12.5千米．

【总结升华】当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法．即所设的不是最后所求的，而是通过求其它的数量间接地求最后的未知量．

举一反三：

【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶，上坡的速度为10千米/时，下坡的速度为20千米/时，求汽车的平均速度．

【答案】

解：设这段坡路长为a 千米，汽车的平均速度为x 千米/时，则上坡行驶的时间为10

a 小时，下坡行驶的时间为20a 小时．依题意，得：21020a a x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭

， 化简得： 340ax a =．

显然a ≠0，解得1

133

x =

答：汽车的平均速度为1133千米/时． 2.相遇问题（相向问题）

【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一) 388410 相遇问题】

3． A 、B 两地相距100km ，甲、乙两人骑自行车分别从A 、B 两地出发相向而行，甲的速度是23km/h ，乙的速度是21km/h ，甲骑了1h 后，乙从B 地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？

【答案与解析】

解:设甲经过x 小时与乙相遇.

由题意得：()2312321(1)100x ⨯++-= 解得，x=2.75

答：甲经过2.75小时与乙相遇．

【总结升华】等量关系：甲走的路程+乙走的路程=100km

举一反三：

【变式】甲、乙两人骑自行车，同时从相距45km 的两地相向而行，2小时相遇，每小时甲比乙多走

2.5km ，求甲、乙每小时各行驶多少千米?

【答案】

解：设乙每小时行驶x 千米，则甲每小时行驶(x +2.5)千米，根据题意，得：

2( 2.5)245x x ++=

解得：10x =

2.510 2.512.5x +=+=（千米）

答：甲每小时行驶12.5千米，乙每小时行驶10千米

3.追及问题（同向问题）

4．一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟时，学校要将一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追上学生队伍?

【答案与解析】

解：设通讯员x 小时可以追上学生队伍，则根据题意，

得18145560x x =⨯

+， 得：16

x =， 16小时=10分钟． 答：通讯员用10分钟可以追上学生队伍．

【总结升华】追及问题：路程差=速度差×时间，此外注意：方程中x 表示小时，18表示分钟，两边单位不一致，应先统一单位．

4.航行问题（顺逆风问题）

5．一艘船航行于A 、B 两个码头之间，轮船顺水航行需3小时，逆水航行需5小时，已知水流速度是4千米/时，求这两个码头之间的距离．

【答案与解析】

解法1：设船在静水中速度为x 千米/时，则船顺水航行的速度为(x+4)千米/时，逆水航行的速度为(x -4)千米/时，由两码头的距离不变得方程：3(x+4)＝5(x -4)，解得：x=16，

（16+4）×3=60（千米）