高中数学选修1_1第二章圆锥曲线与方程_单元测试_与答案

x 2 y 2 1 相交于 A 、B 两点 .若 T 是线段 AB 的中点，求直线 l 的方程 .
x2 12．（ 10 分）已知椭圆 a 2
y2 b2 （ a＞ b＞ 0）的离心率 e
6 ，过点 A(0, b) 和 B(a,0) 的
3
直线与原点的距离为
3． 2
（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点 E ( 1,0) ，若直线 y kx 2 (k 0) 与椭圆交于 C、 D 两点．问：是否存
于是 S AOB
1
| OM 2
|| y1
1 y2 | 2
( y1
y2 )2
1 4 y1 y2 =
m2
4 ≥1，
2
∴ 当 m 0 时， AOB 的面积取最小值 1.
2 20．解析：（ 1）∵ 斜率 k 存在，不妨设 k＞ 0，求出 M （ ， 2）．直线 MA 方程为
2
y 2 k ( x 2 ) ，直线 AB 方程为 y 2 2
（ C） ( y 1) 2 2 x （ D） ( y 1)2 x 2
12 ． 若 直 线 mx ny 4 和 ⊙ O ∶ x2 y2 4 没 有 交 点 ， 则 过 (m, n) 的 直 线 与 椭 圆
x2 y 2 1 的交点个数（ ）
94
A ．至多一个
B．2 个
C． 1 个
二、填空题（每小题 4 分，共 16 分）
20．（本小题 12 分）已知椭圆方程为 x2 y 2 1，射线 y 2 2x （ x≥ 0）与椭圆的交点 8
为 M ，过 M 作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于 （ 1）求证直线 AB 的斜率为定值；
A、 B 两点（异于 M ）．
（ 2）求△ AMB 面积的最大值．
三、解答题（ 20 分）
11．（本小题满分 10 分）已知直线 l 与圆 x 2 y 2 2x 0 相切于点 T ，且与双曲线
则 | AB |等于（ ）
A ． 10
B．8
C． 6
D．4
2
2
3．若直线 y＝ kx＋ 2 与双曲线 x y 6 的右支交于不同的两点，则
k 的取值围是（
）
A． (
15 15
，)
3
3
B． (0 ， 15 ) 3
15
C． (
， 0)
3
D． (
15 ， 1)
3
4．（理）已知抛物线 y2 4 x上两个动点 B、C 和点 A（ 1，2）且∠ BAC ＝ 90°，则动直线
（D）②③④
x2 6．已知双曲线 a 2
y2 b2
1 （ a＞ 0， b＞0）的两个焦点为 F1 、 F2 ，点 A 在双曲线第一象限
的图象上，若△ AF1 F2 的面积为 1，且 tan AF1F2
程为（ ）
1 ， tan AF2F1
2
2 ，则双曲线方
12 x 2
A．
3y2
1
5
5x2 y2
B．
1
12 3
15．长为 l ( 0＜ l＜ 1 ) 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y x2 上滑动， 则线段 AB 中点 M 到 x
轴距离的最小值是 ________． 16．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心
F 为焦点的椭圆， 测得近地点 A 距离地面 m( km) ，
远地点 B 距离地面 n( km ) ，地球半径为 R(km ) ，关于这个椭圆有以下四种说法：
MN 中点横坐标为
2
, 则此双曲线的方程是 ( )
3
x2
(A)
3
y2 1 (B)
4
x2 y2 1 (C)
43
x2 y2 1 (D)
52
x2 y 2 1
25
11. 将抛物线 y x 2 4x 3 绕其顶点顺时针旋转 90 0 ，则抛物线方程为（
）
（ A ） ( y 1) 2
2ห้องสมุดไป่ตู้
x （B） (y
2
1)
x2
高中数学选修 1-1 第二章圆锥曲线与方程 单元测试
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1．椭圆 x2 my2 1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则
m 的值为（ ）
A． 1 4
B． 1 2
C．2
D ．4
2．过抛物线 y 2 4 x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 中点的横坐标为 3，
a2 （ a＞0）与 A（ 2， 1）， B（ 4，3）为端点的线段没有公
32 A．0 a
2
32
82
B． 0 a
或a
2
2
32
82
C． a
或a
2
2
32
82
D．
a
2
2
（文）抛物线 ( x 2) 2 2( y m 2) 的焦点在 x 轴上，则实数 m 的值为（
）
A．0
3
B．
2
C．2
D．3
10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F ( 7,0) , 直线 y x 1 与其相交于 M , N 两点 ,
4
8．双曲线的虚轴长为 4，离心率 e
6 ， F1、 F2 分别是它的左、右焦点，若过
2
F1 的直线
与双曲线的右支交于 A、 B 两点，且 | AB | 是 | AF2 |的等差中项，则 | AB | 等于（
）
A．8 2
B． 4 2
C． 2 2
D． 8．
9．（理）已知椭圆 x2 1 y2 2
共点，则 a 的取值围是（ ）
D．0 个
x2
y2
1
13．椭圆
1的离心率为 ，则 a＝ ________．
log a 8 9
2
14．已知直线 y x 1 与椭圆 mx2 ny2 1 (m n 0) 相交于 A，B 两点，若弦 AB 的中
点的横坐标等于
1
x2
，则双曲线
3
m2
y2 n2
1 的两条渐近线的夹角的正切值等于
________ ．
k(x 2 ) ． 2
分别与椭圆方程联立，可解出 xA
2k 2 4k k2 8
2 ， xB 2
2k 2 4k k2 8
∴ y A yB k ( xA xB ) 2 2 ． ∴ k AB 2 2 （定值）．
xA xB
xA xB
2． 2
（ 2）设直线 AB 方程为 y 2 2x m ，与 x2 y2 1联立， 消去 y 得 16x2 4 2mx 8
C． 3x 2 12 y2 1 5
x2 5y2
D．
1
3 12
7．圆心在抛物线 y2 2x( y 0) 上， 并且与抛物线的准线及 x 轴都相切的圆的方程是 （ ）
A ． x2
y2
1 x 2y
0
4
C． x2 y2 x 2 y 1 0
B． x2 y2 x 2 y 1 0 D． x2 y2 x 2y 1 0
y 2 my x0 0
①
y1 , y2 是此方程的两根 ,
∴ x0
y1y 2 1 ，即 M 点的坐标为（ 1, 0 ） .
(2 ) ∵ y1 y2 1
∴ x1 x 2
y1 y 2
22
y1 y 2 y1 y2
y1 y 2 ( y1y 2 1) 0
∴ OA OB .
（ 3）由方程①， y1 y2 m , y1 y 2 1 , 且 | OM | x0 1 ,
x y 2 2 0 的距离为 3.
（1）求椭圆的方程 ;
（2）设椭圆与直线 y kx m (k 0) 相交于不同的两点 M 、 N.当 AM
AN 时，求 m
的取值围 .
x2 18．（本小题 10 分）双曲线 a 2
y2 b2
1 (a
0,b 0) 的右支上存在与右焦点和左准线等
距离的点，求离心率 e 的取值围 .
( m2 8) 0．
由
0得 4
m
4 ，且 m
0 ，点 M 到 AB 的距离为 d
|m|
．
3
设 AMB 的面积为 S ．
∴ S 2 1 | AB |2 d 2 1 m 2 (16 m 2) 1 (16 ) 2 2 ．
4
32
32 2
当 m 2 2 时，得 Smax
2．
11．解：直线 l 与 x 轴不平行，设 l 的方程为 x ky a 代入双曲线方程 整理得 ( k 2 1) y2 2kay a 2 1 0 …………………… 3 分 而 k 2 1 0 ，于是
19.（本小题 12 分）如图， 直线 l 与抛物线 y 2 相交于点 M ，且 y1y 2 1 .
（1）求证： M 点的坐标为 (1,0) ； （2）求证： OA OB ； （3）求 AOB 的面积的最小值 .
x 交于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 两点， 与 x 轴
y
x
∴ 椭圆方程为
x2 y2 1 ． 3
（ 2）假若存在这样的
k 值，由
y kx 2， x2 3y2 3
得 (1 3k 2) x2 12 kx 0
9
0．
∴
(12k )2 36(1 3k 2 ) 0 ．
①
12k
x1 x2 设 C (x1 ， y1 ) 、 D ( x2 ， y2) ，则
1 3k 2 ，
②
9
x2 a2
y 2 1 ，则右焦点 F（ a2 1,0 ）由题设
a2 1 2 2
3 2
解得 a 2 3
故所求椭圆的方程为 x2 y 2 1 . 3
x 2 y 2 1 ……………………………………………… 3
4 分.
（ 2）设 P 为弦 MN的中点，由 由于直线与椭圆有两个交点，
y kx m
x2 y2 1 3
MF 1 e
MN
MF 1 MF 2
e …… 5 分
由焦点半径公式得 ex0 a e ex0 a
a(1 e)
x0
e2
…………………………
e
7分
而 x0 a
a(1 e) a e2 e
即 e2 2e 1 0 解 得 1 2 e 2 1 但
e1
1 e 2 1 …………………………………… 10 分
19. (1 ) 设 M 点的坐标为 ( x0 ,0) , 直线 l 方程为 x my x0 , 代入 y 2 x 得
得 (3k 2
1) x 2
0, 即 m2 3k 2 1
6mkx 3(m 2 1) 0
①……………… 6 分
xp
xM
xN
2
yp 1 k Ap
xp
3mk 3k 2 1
从而 y p
kx p
m
m 3k 2 1
m 3k 2 1 3mk
又 AM AN , AP MN ，则
m 3k 2 1 1
3mk
k
即 2m 3k 2 1
C． 6p
D． 8p
5
5
5. 已知两点 M (1, ), N ( 4, ) ,给出下列曲线方程：①
4
4
4x 2y 1 0 ; ② x2 y2 3 ;
x2
③
y2 1; ④ x2
y 2 1 . 在曲线上存在点 P 满足 |MP|=|NP| 的所有曲线方程是（
）
2
2
（ A）①③ （ B）②④
（ C）①②③
BC 必过定点（ ） A ．（ 2， 5） B ．（ -2， 5）
C．（ 5， -2） D ．（ 5， 2）
（文）过抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点作直线交抛物线于 P (x1， y1) 、 Q (x2 ， y2 ) 两点，
若 x1 x2 3 p ，则 | PQ |等于（ ）
A ． 4p
B ．5p
x1 x2 1 3k 2
而 y1 y 2 (kx1 2)( kx2 2) k 2x1x2 2 k( x1 x 2) 4 ．
要使以 CD 为直径的圆过点 E（ -1，0），当且仅当 CE⊥DE 时，则 y1
y2
1，
x1 1 x2 1
yT
yA yB
2
ak k2 1
从而 xT
kyT
a
a k2
1
即
ak
T( 1
k2
, 1
a ) …… 5 k2
分
点 T 在圆上
(
1
ak k
2
)
2
( 1
a k
2
)
2
2a 1 k2
由圆心 O ( 1,0) . O T l 得 kO T kl 1
0 即k2 a 2 则 k 0 或 k2
①
2a 1
当 k 0 时，由①得 a 2,
②………………………… 8 分
把②代入①得
2m
2
m 解得
0
m
2
由②得
2 2m 1
k
0 解得
3
m 1 . 故所求 m的取围是（ 1 ,2 ）……………………………………
2
2
10 分
18．设 M( x0, y 0 ) 是双曲线右支上满足条件的点，且它到右焦点
F2 的距离等于它到左准线的
距离 MN 2 ，即 MF2 MN ，由双曲线定义可知
在 k 的值，使以 CD 为直径的圆过 E 点 ?请说明理由．
1. A 2.B 3 D 4
圆锥曲线单元检测答案 理 C 文 A 5 D 6 A 7 D 8A 9 理 B 文 B 10 D 11 B 12 B
4 13． 4 2 或 9 6 14．
3
15． l 2 4
16．①③④
17. （ 1）依题意可设椭圆方程为
l 的方程为 x 2 ；
当 k 2 2a 1 时，由①得 a 1 K
3, l 的方程为 x
程为 x 2 或 x
3 y 1 ………………………… 10 分
3 y 1 . 故所求直线 l 的方
12．解：（ 1）直线 AB 方程为： bx ay ab 0 ．
依题意
c 6， a3
ab
解得
3
a2 b2 2
a 3， b1
①焦距长为 n m ；②短轴长为 (m R)(n R) ；③离心率 e
方向为 x 轴正方向， F 为坐标原点，则与 F 对应的准线方程为
nm
；④若以 AB
m n 2R
(m R)( n R)
x
，
( n m)
其中正确的序号为 ________．
三、解答题（共 44 分）
17．（本小题 10 分）已知椭圆的一个顶点为 A （ 0， -1），焦点在 x 轴上 .若右焦点到直线