《椭圆的几何性质》教学设计教学内容

«椭圆的几何性质»

教学设计

《椭圆的几何性质》教学设计

黄小洁【教材分析】

教材的地位和作用地位：本节课是在椭圆的概念的基础上，介绍椭圆简单几何性质及简单应用•本节课内容的掌握程度直接影响学习双曲线和抛物线几何性质。作用：提高学生的数学素质，培养学生的数形结合思想，及分析问题和解决问题的能力。因此，内容在解析几何中占有非常重要的地位。

【教学目标】

1. 知识目标：

(1) .使学生掌握椭圆的性质，能根据性质正确地做出椭圆草图；掌握椭圆

中

a、b、c的几何意义及相互关系；

(2) 通过对椭圆标准方程的讨论，使学生知道在解析几何中是怎样用代数方法研究曲线性质的，逐步领会解析法(坐标法)的思想。

(3) 能利用椭圆的性质解决实际问题。

2. 能力目标：

培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解

决

实际问题的能力。

3. 情感目标：

通过对问题的探究活动，亲历知识的建构过程，使学生领悟其中所蕴涵的数学思想和数学方法，体验探索中的成功和快乐，使学生在探索中喜欢数学、欣赏数学。

【教学重点】椭圆性质的探索过程及性质的运用。

【教学难点】利用曲线方程研究椭圆性质的方法及离心率的概念。

【教学方法】发现探究式

【教学组织方式】学生独立思考、合作交流、师生共同探究相结合。

【教学工具】多媒体课件、实物投影仪。

【教学过程】

一、创设情境

教师：2008.9.25，是我国航天史上一个非常重要的日子，“神舟七号”载人飞船成功发射，实现了几代中国人遨游太空的梦想，这是我们中华民族的骄傲。

我们知道，飞船绕地运行了十四圈，在变轨前的四圈中，是沿着以地球中心为一个焦点的椭圆轨道运行的。如果告诉你飞船飞离地球表面最近和最远的

距

离，即近地点距地面的距离和远地点距地面的距离，如何确定飞船运行的轨道方

程？要想解决这一实际问题，就有必要对椭圆做深入的研究，这节课我们就一起

探求椭圆的性质。（引出课题）

教师：前面我们学习了椭圆的定义和标准方程，谁能说说椭圆的标准方程（学生回

答）。

二、探索研究

同学们展示预习导图:

1. 范围

教师：同学们观察椭圆，如果分别过A、A作y轴的平行线，过B、B2作x 轴的平行线(课件展示)，同学们能发现什么？

学生能答出：椭圆围在一个矩形内。

教师补充完整：椭圆位于四条直线x=±a, y= ±b所围成的矩形里，说明椭圆是有范围的。

2 2

教师：下面我们想办法再用方程笃+占=1(a>b>0)来证明这一结论的正确

a b

性。启发学生，用方程讨论图形的范围就是确定方程中x、y的取值范围。

从方程的结构特点出发，师生共同分析，给出证明过程。

2 2

由笃+書=1，利用两个实数的平方和为1，结合不等式知识得，

a b

x2< a2且y2< b2,则有I x | < a, | y | < b,所以-a < x< a,-b < y< b。

2. 对称性的发现

教师：椭圆的图形给人们以视觉上的美感（课件展示椭圆），如果我们沿隹八、、点所在的直线上下对折，沿两焦点连线的垂直平分线左右对折，大家猜想椭圆可能有什么性质？（学生动手折纸，课前教师要求学生把上节学习椭圆定义时画的椭圆拿来。）学生们基本上能发现椭圆的轴对称性。

教师：除了轴对称性外，还可能有什么对称性呢？

稍作提示容易发现中心对称性。

3. 顶点的发现与确定

教师：我们研究曲线，常常需要根据曲线上特殊点的位置来确定曲线的位置。

教师提问：你认为椭圆上哪几个点比较特殊？

由学生观察容易发现，椭圆上存在着四个特殊点，这四个点就是椭圆与坐标

轴的交点，同时也是椭圆与它的对称轴的交点。

教师启发学生与一元二次函数的图像（抛物线）的顶点作类比，并给出椭

圆的顶点定义。

教师：能根据方程确定这四个顶点的坐标吗？

由学生自主探究,求出四个顶点坐标。即令x=0,得y= ±b，因此B i（O,-b）,

B2（0,b），令y=0,得x=±a，因此A （-a,0）, A 2（a,0）。

结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长、长半轴长、短半轴长，半焦距，点明方程中a、b和c的几何意义和数量关系。

由学生探究得出椭圆的一个焦点F2到长轴两端点A l , A 2的距离分别为a+c 和a-c。

教师指出，这在解决天体运行中的有关实际问题时经常用到。

4. 离心率

教师：我们在学习椭圆定义时，用同样长的一条细绳画出的椭圆形状都一

样

吗？

小组合作探究：讲全班多个小组分为两部分，分别为理论组和实践组，理论组利用计算的方法论证e对椭圆的影响，实践组利用画图的方法作图说明。

师生共同总结：e对椭圆的影响

三、巩固与创新应用

例1求椭圆16x225y2400的长轴长、短轴长、离心率和顶点。

例2写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）a=4,焦点为F i（-3,0）,F2（3,0）；

（2）b=6,焦点为F i（0,5）,F2（0,-5）.

解题思路指引：四、课堂小结

1. 知识总结：本节课我们讨论了椭圆的四个简单性质，掌握这些性质是解决有关问题的基础。

2. 数学思想:本节主要用到数形结合、猜想、类比的思想方法，平时学习中

3. 数学方法:掌握利用曲线方程研究曲线性质的重要方法一一解析法（坐标法），这种方法不仅适用于椭圆也适用于后续课程中的其它曲线。

椭圆性质的思维导图：

【教学后记】

通过利用思维导图设计教学，学生的思路更加清晰，对学习内容的把握更加容易，利用导图进行总结和复习是数学复习的一大优势，学生可以进行思维拓展，有利于理解和记忆，快速形成知识网，教学效果较好。