3.3 线性方程组的消元解法

R( A) = 3, R( A, b) = 4,
故方程组无解.
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x1 + x2 + x3 = a 例4．a取何值时，线性方程组 ax1 + x2 + x3 = 1 有解？ x1 + x2 + ax3 = 5 并求其解。
解： 1 1 1 a (A，b) = a 1 1 1 1 1 a 5
1 解： (A b)= 1 1 1
5 6 3 1
-1 -2 1 3
R( A) = R( A, b) = 2 4,
故方程组有无穷多解.
x1 = 9 - 4x3 - 9x4 方程组的一般解为 x2 =- 2 + x3 + 2x4 ( x3 , x4任意) x1 =- 9 - 4c1 - 9c2 则方程组的通解为： x2 =- 2 + c1 + 2c2 (c1 , c2 R) x3 = c1 c1 x4 = c2
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x1=- 7 x2=- 1。 x3= 2
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求解过程与矩阵的初等行变换： 用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组 的增广矩阵施以初等行变换的过程。 3x1-5x2+14x3=12 + 3 -5 14 12 解： + x1-2x2+ 4x3= 3 (A b)= 1 -2 4 3 -1 4 1 5 - x1+4x2+ x3= 5
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一、线性方程组的矩阵表示：
n元线性方程组 a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 + + - = am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm

r2 - ar1 r3 - r1
1 1 1 a 0 1-a 1-a 1-a2 ， 0 0 a-1 1-a
此时 (1)当a=1时，R(A)=R(A,b)=1<3，方程组有无穷多个解， (A b) 1 1 1 1 其一般解为 x1 = 1 - x2 - x3 ( x 2 , x3任意) 0 0 0 0 ， 0 0 0 0 x1 = 1-c1-c2 x2 = c1 ( c1，c2为任意常数) 。 x3 = c2
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x1 -2x2+4x3 = 3 x2+2x3 = 3 2x2+5x3 = 8
x1 -2x2+4x3 = 3 x2+2x3 = 3 ， x3 = 2
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r1 + 2 r2
1 0 8 9 r 1 -8 r3 0 1 2 3 0 0 1 2 r -2 r 3 2
r1r2 —— r2-3r1 r 3 +r 1 —— r3-2r2 ——
x1 -2x2+ 4x3 = 3 3x1 -5x2+14x3 =12 -x1 +4x2+ x3 = 5
r1r2 —— r2-3r1 r 3 +r 1 —— r3-2r2 ——
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1 -2 4 3 3 -5 14 12 -1 4 1 5 1 -2 0 1 0 2 1 -2 0 1 0 0 4 2 5 4 2 1 3 3 8 3 3 2
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x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1 x2 + x3 - 4x4 = 1 。 例3．解线性方程组 x1 + 2x2 + 3x3 - x4 = 4 2x1 + 2x2 - x3 - x4 =- 6 1 1 2 3 1 1 1 2 3 1 解： (A b)= 0 1 1 -4 1 0 1 1 -4 1 1 2 3 -1 4 0 1 1 -4 3 2 2 -1 -1 -6 0 0 -5 -7 -8 1 1 2 3 1 1 1 2 3 1 0 1 1 -4 1 0 1 1 -4 1 ， 0 0 0 0 2 0 0 5 7 8 0 0 -5 -7 -8 0 0 0 0 2

1 0 0 -7 0 1 0 -1 0 0 1 2
x1 = -7 故方程组的解为 x2 = -1. x =2 3
1 -2 0 1 0 0
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4 2 1
3 3 2
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线性方程组解的判定定理：
n元线性方程组Ax=b 定理3：
§3.3 线性方程组的解
一、线性方程组的矩阵表示 二、线性方程组解的情况判定
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Байду номын сангаас
一、线性方程组的矩阵表示： n元线性方程组 a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 + + - = am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
x1 -2x2+ 4x3 = 3 3x1 -5x2+14x3 =12 -x1 +4x2+ x3 = 5
于是得到 x3=2， x2 =3-2x3 =-1， x1=3+2x2-4x3=-7。 方程组的解为
x1 -2x2+4x3 = 3 x2+2x3 = 3 2x2+5x3 = 8
x1 -2x2+4x3 = 3 x2+2x3 = 3 ， x3 = 2
1 解： (A b)= 1 1 1
1 0 0 0
5 6 3 1
5 1 0 0
-1 -2 1 3 -1 -1 0 0

4 9 -1 -2 0 0 0 0
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例2．解线性方程组
x1 + 5x2 - 5x3 - x4 =- 1 x1 + 6x2 - 2x3 - 3x4 =- 3 。 x1 + 3x2 + x3 + 3x4 = 3 x1 + x2 + 3x3 + 7x4 = 7 -1 -3 3 7 -1 -3 3 7 1 0 0 0 0 1 0 0 4 -1 0 0 9 -2 0 0 9 -2 0 0 ，
问答练习
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若A是行阶梯形矩阵，并且还满足：（1）非零 定义： 行的首非零元为1； （2）首非零元所在列的其它元全为0。 则称A为行最简形矩阵。 （见教材P47） 例如：
1 0 0 0
0 1 0 0
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0 0 0 0
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0 7 0 4 1 -2 0 0
方程组无解；
(3) 当 λ = -3 时， R(A) = R(A,b) = 2 3,
1 1 - 2 -3 1+ 1 1 = 0 -3 3 6 0 3 0 0 - (3 + ) (1 - )(3 + ) 0 0 0 0
第三步，如果方程组有解，则对上述行阶梯 形矩阵继续施以初等行变换，化成行最简形矩阵；
第四步，写出方程组的解。
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例2．解线性方程组
x1 + 5x2 - 5x3 - x4 =- 1 x1 + 6x2 - 2x3 - 3x4 =- 3 。 x1 + 3x2 + x3 + 3x4 = 3 x1 + x2 + 3x3 + 7x4 = 7 -1 -3 3 7 -1 -2 0 0 -1 -3 3 7 -1 -2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 5 1 -2 -4 0 1 0 0 -1 -1 2 4 -1 -2 4 8 -1 -2 4 8 9 -2 0 0 ，
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解：
对增广矩阵 B = (A , b) 作初等行变换把它变为 行阶梯形矩阵，有

(1 + ) x1 + x2 + x3 = 0 , 1 1 + r1 r3 1 1 + (13 + ) x2 + x3 = 3 , x1 1 + 1 1 + (1 + ) x = , x + x + 1 1 0 1 2 3
可以用矩阵形式表示为 Ax=b，其中 a11 a12 a1n x1 b1 a21 a22 a2n x2 b2 A= ， x= ， b= 。 am1 am2 amn xn bm A、x、b分别称为方程组的系数矩阵、n元未知列向量、 常数项列向量。
（1）无解

R( A) R( A, b);
（2）有唯一解 R( A) = R( A, b) = n; （3）有无穷多解
R( A) = R( A, b) n.
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解线性方程组的一般步骤： 第一步，对增广矩阵施以初等行变换，化成 行阶梯形矩阵；
第二步，根据定理3判断方程组是否有解；
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3x1-5x2+14x3=12 + 例1．解线性方程组 + x1-2x2+ 4x3= 3 。 - x1+4x2+ x3= 5 3x1-5x2+14x3=12 + 解： + x1-2x2+ 4x3= 3 - x1+4x2+ x3= 5
r1r2 —— r2-3r1 r 3 +r 1 —— r3-2r2 ——
1+


1 1 r3 + r2 0 0 0
- 3- - (3 + ) (1 - )(3 + )
1 1+ 1 1 1 + 1 1 + 1 1
1+


3 0
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由此可得：
(1) 当 λ 0 且 λ -3 时， R(A) = R(A,b) = 3， 方程组有唯一解； (2) 当 λ = 0 时， R(A) = 1，R(A，b) = 2，
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例 4 设有线性方程组
(1 + ) x1 + x2 + x3 = 0 , x1 + (1 + ) x2 + x3 = 3 , x + x + (1 + ) x = , 1 2 3
问 λ 取何值时，此方程组 (1) 有唯一解；(2) 无解; (3) 有无限多个解？并在有无限多解时求其通解.
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方程组的全部解为
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x1 + x2 + x3 = a 例4．a取何值时，线性方程组 ax1 + x2 + x3 = 1 有解? x1 + x2 + ax3 = 5 并求其解。 1 1 1 a r2 - ar1 1 1 1 a 解： 2 3 - r1 1 a 1 a 0 1a ， (A，b) = a 1 1 1 r 0 0 a-1 1-a 1 1 a 5 此时 (2)当a1时，R(A)=R(A，b)=3，方程组有唯一解， 1 1 1 a r1 - r2 1 0 0 -1 r2 (1- a ) r2 - r3 r3 ( a -1) 0 1 0 2 + a A, b 0 1 1 1 + a 0 0 1 -1 0 0 1 -1 x1 = -1 方程组的唯一解为 x2 = 2 + a x = -1 3
可以用矩阵形式表示为 Ax=b，其中 矩阵 a11 a21 (A b)= a m1
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a12 a22 a m2
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a1n a2n amn
b1 b2 bm
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称为线性方程组的增广矩阵。
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一、线性方程组的矩阵表示： n元线性方程组 a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 + + - = am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm 可以用矩阵形式表示为 Ax=b，其中 方程组Ax=o 称为n元齐次线性方程组，Ax=b(bo)称为n 元非齐次线性方程组。
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1 1 1 + ( A, b) = 1 1+ 1 1 1 1+
0 3
1 1 0 r3 -(1+ ) r 1 0 -

r2 -r1
- 3- - (2 + ) - (1 + )