数学建模——灰色系统理论及其应用

0 例1 设原数列 x 3,5,1,2,7
解：根据 x
1
求
x 0 的一次累加数列 x 1
k x 0 m
m 1
k
可得
x 1 3,8,9,11,18
累加生成可以使本来没有什么规律的序列变成有明显规律的序列
累减生成数列（IAGO）
将原始数据列前后两个数据相减而得到的新的数据列。
（一）、灰色序列数据处理
由于系统中各因素的物理意义不同，或计量单位不同，从而导致数据 的量纲不同，为了便于分析就需要在各因素进行比较之前对原始数据 进行处理。常用的数据处理方法有：初值化、均值化、中值化、区间 化、归一化等。下面对初值化和均值化处理方法进行介绍。 （1）初值化处理 设有原始数据列 x 0 x (0) (i ) , x (0) (i ) 0, i 1, 2 n
1
x
0
1 n 0 x k n k 1
（二）、灰色序列生成方式
灰色系统理论认为由于环境对系统的干扰，使系统行为特 征值的离散函数数据出现紊乱，但是系统总是有整理功能 的，因此必然蕴涵着某种内在规律，通过对原始数据的整理 来寻求其变化规律和灰色过程生成对原始数据的处理，可得 到随机性弱化和规律性强化了的序列。 下面介绍灰色系统建模的几个有关概念。 生成：将原始数据列中的数据按某种要求作数据处理或数据 变换。
1989 海洋出版社出版英文版《灰色系统论 文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》 杂志正式创刊。目前，国际、国内200多种 期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰 色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索 我国学者的灰色系统论著500多次。灰色系 统理论应用范围已拓展到工业、农业、社会、 经济、能源、地质、石油等众多科学领域， 成功地解决了生产、生活和科学研究中的大 量实际问题，取得了显著成果。
2 n 1 2 n2
(0)
y (0) (k ) x(0) (k ) c, k 1,2,...,n
五、灰色预测计算实例
例4 北方某城市1986～1992 年道路交通噪声平均声级数据见表6 表6 市近年来交通噪声数据[dB(A)]
第一步: 级比检验 建立交通噪声平均声级数据时间序列如下：
经验证，该模型的精度较高，可进行预测和预报。 计算的 MATLAB 程序如下： clc,clear%清空命令窗口的所有输入和输出，类似于清屏；清除工作空间中的所有变量 x0=[71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6]; n=length(x0); lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n); range=minmax(lamda); x1=cumsum(x0); for i=2:n z(i)=0.5*(x1(i)+x1(i-1)); end B=[-z(2:n)',ones(n-1,1)]; Y=x0(2:n)'; u=B\Y; x=dsolve('Dx+a*x=b','x(0)=x0'); x=subs(x,{'a','b','x0'},{u(1),u(2),x1(1)});%P=subs(P,'t',x)把P表达式中所有't',都用具体的x值代替; yuce1=subs(x,'t',[0:n-1]); digits(6),y=vpa(x) %为提高预测精度，先计算预测值，再显示微分方程的解 yuce=[x0(1),diff(yuce1)] epsilon=x0-yuce %计算残差 delta=abs(epsilon./x0) %计算相对误差 rho=1-(1-0.5*u(1))/(1+0.5*u(1))*lamda %计算级比偏差值
设 x r k
为
r
次累加生成数列，若对 x r k
r
作累减生成，其基本关系式为

0
x k x k x k 1
1 x r k 0 x r k 0 x r k 1
（三）、主要内容
灰色系统理论经过 10 多年的发展，已基本 建立起了一门新兴学科的结构体系，其主 要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理 论体系、以晦涩关联空间为依托的分析体 系、以晦涩序列生成为基础的方法体系， 以灰色模型（ G，M）为核心的模型体系。 以系统分析、评估、建模、预测、决策、 控制、优化为主体的技术体系。
2 r 1 r 1 r
x
r
k x k , k 1,2,, n
r x r k r 1 x r k r 1 x r k 1







四、灰色预测的步骤
1.数据的检验与处理
首先，为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据列做必要的检验处理。 设参考数据为 x(0) ( x(0) (1), x(0) (2),..百度文库,x(0) (n))，计算数列的级比
x i
1
0 与 x i 之间满足下述关系，即


x 1 k x 0 m
为数列 i x x i 则称数列
1
0
m 1
k
的一次累加生成数列。
显然，
r
次累加生成数列有下述关系：
x r k x r k 1 x r 1 k
生成数：用“生成”的方法，求得随机性弱化和规律性强化了的 新数列，此数列的数据称为生成数。 灰色系统中常用的生成方式有三类：累加生成、累减生成 和均值生成。
累加生成数列（AGO）
原始数据列中的第一个数据维持不变，作为新数据列 的第一个数据，新数据列的第二个数据是原始数据列的第一 个数据与第二个数据之和，新数据列的第三个数据是原始数 据列中第一个、第二个与第三个数据之和，依次类推。 0 0 设有原始数据列 x i ，且 x i 0, i 1,2,, n ，如果
作业
某地油菜发病率的部分数据如下： （35，21，14，18，15.5，17，15） 试建立GM(1,1)模型。
（四）、应用范畴
灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面： （1）灰色关联分析。 （2）灰色预测：人口预测；初霜预测； 灾变预测….等等。 （3）灰色决策。 （4）灰色预测控制。
三、灰色预测模型
灰色预测是一种对含有不确定因素的系统 进行预测的方法。灰色预测通过对原始数 据进行生成处理来寻找系统变动的规律， 生成有较强规律性的数据序列，然后建立 相应的微分方程模型，从而预测事物未来 发展趋势的状况。
（二）、主要公理
公理1：差异信息原理。“差异”是信息， 凡信息必有差异。 公理2：解的非唯一性原理。信息不完全， 不明确地解是非唯一的。 公理3：最少信息原理。灰色系统理论的特 点是充分开发利用已有的“最少信息”。
公理4：认知根据原理。信息是认知的根 据。 公理5：新信息优先原理。新信息对认知 的作用大于老信息。 公理6：灰性不灭原理。“信息不完全” 是绝对的。
二、灰色系统的基本原理
（一）、基本概念
我们将信息完全明确的系统称为白色系统，信息 未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分 信息不明确的系统称为灰色系统。 系统信息不完全的情况有以下四种： （1）元素信息不完全。 （2）结构信息不完全。 （3）边界信息不完全。 （4）运行行为信息不完全。
灰色系统理论及其应用
主要内容
一、灰色系统理论的产生和发展动态. 二、灰色系统的基本原理. 三、灰色预测模型
一、 灰色系统理论的产生和发展
1982 我国学者邓聚龙教授发表第一篇中文 论文《灰色控制系统》标志着灰色系统这 一学科诞生。 1985 灰色系统研究会成立，灰色系统相关 研究迅速发展。
x ( 0) (k 1) (k ) ( 0 ) , k 2,3,...,n x (k )
如果所有的级比 (k ) 都落在可容覆盖 (e , e )内，则数列 x 可以作为模 型GM(1,1)的数据进行灰色预测。否则，需要对数列 x ( 0 ) 做必要的变换处理， 使其落入可容覆盖内。即取适当的常数c,作平移变换
对 x 0 作初值化处理后得 x 1 ，则
x 0 i x i 0 , i 1,2,, n x 1
1
（2）均值化处理 对原始数据列作均值化处理后得，则
其中
x 0 i x i 0 , i 1,2,, n x