数学建模——灰色系统理论及其应用

2 r 1 r 1 r
x
r
k x k , k 1,2,, n
r x r k r 1 x r k r 1 x r k 1







四、灰色预测的步骤
1.数据的检验与处理
首先，为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据列做必要的检验处理。 设参考数据为 x(0) ( x(0) (1), x(0) (2),...,x(0) (n))，计算数列的级比
2 n 1 2 n2
(0)
y (0) (k ) x(0) (k ) c, k 1,2,...,n
五、灰色预测计算实例
例4 北方某城市1986～1992 年道路交通噪声平均声级数据见表6 表6 市近年来交通噪声数据[dB(A)]
第一步: 级比检验 建立交通噪声平均声级数据时间序列如下：
（三）、主要内容
灰色系统理论经过 10 多年的发展，已基本 建立起了一门新兴学科的结构体系，其主 要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理 论体系、以晦涩关联空间为依托的分析体 系、以晦涩序列生成为基础的方法体系， 以灰色模型（ G，M）为核心的模型体系。 以系统分析、评估、建模、预测、决策、 控制、优化为主体的技术体系。
x i
1
0 与 x i 之间满足下述关系，即


x 1 k x 0 m
为数列 i x x i 则称数列
1
0
m 1
k
的一次累加生成数列。
显然，
r
次累加生成数列有下述关系：
x r k x r k 1 x r 1 k
（四）、应用范畴
灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面： （1）灰色关联分析。 （2）灰色预测：人口预测；初霜预测； 灾变预测….等等。 （3）灰色决策。 （4）灰色预测控制。
三、灰色预测模型
灰色预测是一种对含有不确定因素的系统 进行预测的方法。灰色预测通过对原始数 据进行生成处理来寻找系统变动的规律， 生成有较强规律性的数据序列，然后建立 相应的微分方程模型，从而预测事物未来 发展趋势的状况。
设 x r k
为
r
次累加生成数列，若对 x r k
r
作累减生成，其基本关系式为

0
x k x k x k 1
1 x r k 0 x r k 0 x r k 1
灰色系统理论及其应用
主要内容
一、灰色系统理论的产生和发展动态. 二、灰色系统的基本原理. 三、灰色预测模型
一、 灰色系统理论的产生和发展
1982 我国学者邓聚龙教授发表第一篇中文 论文《灰色控制系统》标志着灰色系统这 一学科诞生。 1985 灰色系统研究会成立，灰色系统相关 研究迅速发展。
0 例1 设原数列 x 3,5,1,2,7
解：根据 x
1
求
x 0 的一次累加数列 x 1
k x 0 m
m 1
k
可得
x 1 3,8,9,11,18
累加生成可以使本来没有什么规律的序列变成有明显规律的序列
累减生成数列（IAGO）
将原始数据列前后两个数据相减而得到的新的数据列。
（一）、灰色序列数据处理
由于系统中各因素的物理意义不同，或计量单位不同，从而导致数据 的量纲不同，为了便于分析就需要在各因素进行比较之前对原始数据 进行处理。常用的数据处理方法有：初值化、均值化、中值化、区间 化、归一化等。下面对初值化和均值化处理方法进行介绍。 （1）初值化处理 设有原始数据列 x 0 x (0) (i ) , x (0) (i ) 0, i 1, 2 n
x ( 0) (k 1) (k ) ( 0 ) , k 2,3,...,n x (k )
如果所有的级比 (k ) 都落在可容覆盖 (e , e )内，则数列 x 可以作为模 型GM(1,1)的数据进行灰色预测。否则，需要对数列 x ( 0 ) 做必要的变换处理， 使其落入可容覆盖内。即取适当的常数c,作平移变换
作业
某地油菜发病率的部分数据如下： （35，21，14，18，15.5，17，15） 试建立GM(1,1)模型。
1
x
0
1 n 0 x k n k 1
（二）、灰色序列生成方式
灰色系统理论认为由于环境对系统的干扰，使系统行为特 征值的离散函数数据出现紊乱，但是系统总是有整理功能 的，因对原始数据的处理，可得 到随机性弱化和规律性强化了的序列。 下面介绍灰色系统建模的几个有关概念。 生成：将原始数据列中的数据按某种要求作数据处理或数据 变换。
二、灰色系统的基本原理
（一）、基本概念
我们将信息完全明确的系统称为白色系统，信息 未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分 信息不明确的系统称为灰色系统。 系统信息不完全的情况有以下四种： （1）元素信息不完全。 （2）结构信息不完全。 （3）边界信息不完全。 （4）运行行为信息不完全。
经验证，该模型的精度较高，可进行预测和预报。 计算的 MATLAB 程序如下： clc,clear%清空命令窗口的所有输入和输出，类似于清屏；清除工作空间中的所有变量 x0=[71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6]; n=length(x0); lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n); range=minmax(lamda); x1=cumsum(x0); for i=2:n z(i)=0.5*(x1(i)+x1(i-1)); end B=[-z(2:n)',ones(n-1,1)]; Y=x0(2:n)'; u=B\Y; x=dsolve('Dx+a*x=b','x(0)=x0'); x=subs(x,{'a','b','x0'},{u(1),u(2),x1(1)});%P=subs(P,'t',x)把P表达式中所有't',都用具体的x值代替; yuce1=subs(x,'t',[0:n-1]); digits(6),y=vpa(x) %为提高预测精度，先计算预测值，再显示微分方程的解 yuce=[x0(1),diff(yuce1)] epsilon=x0-yuce %计算残差 delta=abs(epsilon./x0) %计算相对误差 rho=1-(1-0.5*u(1))/(1+0.5*u(1))*lamda %计算级比偏差值
对 x 0 作初值化处理后得 x 1 ，则
x 0 i x i 0 , i 1,2,, n x 1
1
（2）均值化处理 对原始数据列作均值化处理后得，则
其中
x 0 i x i 0 , i 1,2,, n x
生成数：用“生成”的方法，求得随机性弱化和规律性强化了的 新数列，此数列的数据称为生成数。 灰色系统中常用的生成方式有三类：累加生成、累减生成 和均值生成。
累加生成数列（AGO）
原始数据列中的第一个数据维持不变，作为新数据列 的第一个数据，新数据列的第二个数据是原始数据列的第一 个数据与第二个数据之和，新数据列的第三个数据是原始数 据列中第一个、第二个与第三个数据之和，依次类推。 0 0 设有原始数据列 x i ，且 x i 0, i 1,2,, n ，如果
1989 海洋出版社出版英文版《灰色系统论 文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》 杂志正式创刊。目前，国际、国内200多种 期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰 色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索 我国学者的灰色系统论著500多次。灰色系 统理论应用范围已拓展到工业、农业、社会、 经济、能源、地质、石油等众多科学领域， 成功地解决了生产、生活和科学研究中的大 量实际问题，取得了显著成果。
（二）、主要公理
公理1：差异信息原理。“差异”是信息， 凡信息必有差异。 公理2：解的非唯一性原理。信息不完全， 不明确地解是非唯一的。 公理3：最少信息原理。灰色系统理论的特 点是充分开发利用已有的“最少信息”。
公理4：认知根据原理。信息是认知的根 据。 公理5：新信息优先原理。新信息对认知 的作用大于老信息。 公理6：灰性不灭原理。“信息不完全” 是绝对的。