第6章 时变电磁场

第6章 时变电磁场

当电荷分布、电流分布随时间变化时，所产生的电场、磁场也是随时间变化的。随时间变化的电场要在空间产生磁场，随时间变化的磁场也要在空间产生电场，电场和磁场构成了统一的电磁场。

本章在电磁感应定律和位移电流假设的基础上，建立了麦克斯韦方程；由麦克斯韦方程出发，给出了时变电磁场的边界条件；讨论了电磁场的能量守恒定律；并由麦克斯韦方程导出了波动方程；介绍了时变电磁场的动态矢量位和标量位的概念。

§6.1 法拉弟电磁感定律

一、电磁感定律

电磁感现象：当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中出现感电流的现象。

电磁感应定律：当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中的感应电动势与穿过该回路的磁通量的变化率成正比。

负号表示回路中感应电动势的作用总是要阻止回路中磁通量的改变。

二、电磁感定律的数学表达式

磁通量变化→感应电动势→感应电场

积分形式：

微分形式：

【证明】

空间的总电场为静止电荷产生的库仑场和变化的磁场产生的感应电场之和：

根据电动势的定义：

而

所以

又

所以

此即电感应定律的积分形式。

如果回路是静止的，则穿过回路的磁通量的变化只能是磁场随时间的变化引起的，所以

由斯托克斯定理得

此即电磁感应定律的微分形式。

三、电磁感定律的意义

（1）变化的电场是非保守场。

（2）时变电场的旋涡源是变化的磁场，即变化的磁场产生电场。

（3）时变电场源有两个，即变化的电荷（通量源）和变化的磁场（旋涡源）。

§6.2 位移电流

一、问题的提出

如果在时变情况下，环路定理成立，则

而

所以

这与电荷守恒定律矛盾。

结论：在时变情况下，环路定理不成立。

二、解决方法——位移电流假设

电荷守恒定律是大量实验总结出的普遍规律，对静态场和时变场都应成立，应对安培环路定理进行修正。

麦克斯韦认为在时变情况下，仍然成立，代入电荷守恒定律得：

即

1、位移电流密度

定义：位移电流密度是电位移矢量随时间的变化率。

通过曲面的位移电流为

2、时变场中的安培环路定律

积分形式：

微分形式：

3、物理意义

变化的电流和变化的磁场都是时变磁场的旋涡源，即变化的电场也要产生磁场。

【例6-1】海水的电导率为4S/m，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位移电流与传导电流的比值。

【解】：设电场随时间作正弦变化，表示为

则位移电流密度为

其幅值为

传导电流的幅值为

故

§6.3 麦克斯韦方程

麦克斯韦在电磁感应定律和位移电流假设的基础上，推广静态电场和磁场的基本方程，得到了时变电磁场的基本方程——麦克斯韦方程。

静态电场和磁场的基本方程

积分形式 微分形式

一、麦克斯韦方程组

1、积分形式

2、微分形式

3、讨论

◇麦克斯韦第一方程 ——推广的全电流定律，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场。

◇麦克斯韦第二方程 ——推广的电磁感应定律, 表明变化的磁场能产生电场。

◇ 麦克斯韦第三方程 ——磁通连续性原理，表明磁场是无源场,磁力线总是闭合曲线。

◇ 麦克斯韦第四方程 ——高斯定律，表明电荷以发散的方式产生电场。

◇ 静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。

◇ 电流连续性方程可由麦氏方程导出。

【例题1】试由麦克斯韦方程导出电流连续性方程。

【解】方程两边取散度得

把代入上式得

二、麦氏方程的限定形式和非限定形式

1、介质本构关系

对各向同性线性介质

2、麦氏方程的非限定形式

用四个场量写出的方程称为麦氏方程的非限定形式。

3、麦氏方程的限定形式

用二个场量写出的方程称为麦氏方程的非限定形式。

积分形式： 微分形式

§6.4 时变电磁场的边界条件设Ⅰ区媒质的参数为，Ⅱ区媒质的参数为。为由Ⅱ区媒质指向Ⅰ区媒质的单位矢量。

一、时变电磁场的边界条件

1、的边界条件

如图6.4.1所示，设面电流密度方向垂直于纸面向内，由

对小闭合路径得

因为是有限量，所以，故

若分界面上不存在传导面电流，则

结论：在两种介质分界面上存在传导面电流时，的切向分量是不连续的。若分界面上没有面电流，则的切向分量是连续的。

2、的边界条件

如图6.4.2所示，由

对小闭合路径得

因为是有限量，所以，故

结论：在两种介质分界面上，的切向分量是连续的。

3、的边界条件

结论：在两种介质分界面上，的法向分量是连续的。

4、的边界条件

若分界面上不存在面电荷，则

结论：在两种介质分界面上存在面电荷时，的法向分量是不连续的。若分界面上没有面电荷，则的法向分量是连续的。

二、两种特殊情况

1、两种无损耗媒质的分界面

媒质的电导率为零，分界面上不存在面电荷和面电流分布。

2、理想介质和理想导体的分界面

设Ⅰ区媒质为理想介质，Ⅱ区媒质为理想导体。为由理想导体指向理想介质的单位矢量。

例 6.4.1 在两导体平板（z=0和z=d）之间的空气中传播的电磁

波，已知其电场强度为,试求：（1）磁场强度H；（2）两导体表面上的面电流密度Js。

解： （1）取如图所示的坐标。由

得

故

（2）导体表面电流存在于两导体相向的面