假设检验例题
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
小时。现从一批这种元件中随机抽取25 件，测其 寿命，算得其平均寿命950小时，设该元件的寿命 X~N(μ,1002)，在显著性水平0.05下,确定这批元件 是否合格？
解: x 950 1000
原假设 H 0 : μ 1000 ， 备择假设 H 1 : μ 1000 由σ2 =1002知，检验统计量为 拒绝域：
} α n1 n2 2） 拒绝域： W { T t（
2
n1 7 ， n2 6， α=0.10
（11） 1.7959 t（ t0.05 α n1 n2 2）
2
W {| T | t（ } {| T | 1.7959} α n1 n2 2）
2
2 x 140.7143， s 6.5714， y 138.5 , s 2 7.1
W { F F1 α (n1 1，n2 1)，F Fα (n1 1，n2 1)}
2 2
{ F 0.4545，F 2.33}
s 80 , s 70
2 1 2 2 2
2
s f s
2 1 2 2
80 2 70
2
1.3061
因为
f W
所以接受H0，
650 800 5.9582 1.3062 0.3318 75.8758
因为
t W
所以拒绝H0，
认为第二家银行储户的平均年存款余额显著高 于第一家银行储户的平均年存款余额
解: x 0.088 0.095
原假设H 0 : μ 0.095 ， 备择假设H 1 : μ 0.095 由σ2 =0.022知，检验统计量为 U X 0.095 0.02 / n 拒绝域： W {U z α }
n=20，α=0.05， zα z0.05 1.645
拒绝域：
W {T t（ } α n1 n2 2）
n1 21，n2 16， α=0.10
t（ t0.10 （35） 1.3062 α n1 n2 2）
W {T t（ } {T 1.3062} α n1 n2 2）
2 x 650, s 80 ，y 800, s 2 70 2
2 1
1 1 1 1 7 6 n1 n2
0.5563
6 6.5714 5 7.1 2.6099 11
2 ( n1 1) s12 ( n2 1) s 2 n1 n2 2
t
x y
2 1 1 ( n1 1) s12 ( n2 1) s 2 n1 n2 n1 n2 2
经常参加体育锻炼的男生是否比不经常参加体育锻
炼的男生平均身高要高些？ （α=0.05 ）
解: x 174 . 34，y 172 . 42， x y，
原假设 H 0 : μ1 μ2 ， 备择假设 H 1 : μ1 μ2 ，
2 6.112 ， σ 12 5.35 2 ， σ 2
2 2 8 0.007 ( n 1) S χ2 15.68 15.507 2 2 0.005 0.005
因为
χ 2 W
所以拒绝H0，
即在显著性水平α=0.05下，认为这批导线的标准差显 著地偏大.
例6.测得两批小学生的身高（单位：厘米）为：
第一批：140，138，143，142，144，137，141
2 2
α=0.10
n1 21, n2 16
Fα (n1 1，n2 1) F0.05 ( 20， 15) 2.33
2
1 F1 α (n1 1，n2 1) F α ( n2 1，n1 1) 2
2
1 1 0.4545 F0.05 (15， 20) 2.20
2 1
2
1 1 n1 n2
1 1 0.3318 21 16
2 ( n1 1) s12 ( n2 1) s 2 n1 n2 2
20 802 15 702 75.8758 35
t
x y
2 1 1 ( n1 1) s12 ( n2 1) s 2 n1 n2 n1 n2 2
W {U z α } {U 1.645}
u
x 0.095 0.02 / n
0.088 0.095 0.02 / 20
1.5652 1.645
因为 u W ， 所以接受H0， 在显著性水平0.05下，认为调整后机床加工轴 的椭圆度的均值无显著降低.
例3.某种电子元件，要求使用寿命不得低于1000
第二批：135，140，142，136，138，140.
设这两个相互独立的总体都服从正态分布，且方差相同，
试判断这两批学生的平均身高是否相等（α=0.10 ）。
解: 原假设 H 0 : μ1 μ2 ， 备择假设 H1 : μ1 μ2 ，
检验统计量：
T X Y 1 1 ( n1 1) S 12 ( n2 1) S 22 n1 n2 n1 n2 2
能否认为第二家银行储户的平均年存款余额显著高于
第一家银行储户的平均年存款余额。 （ α=0.10 ）
解:
（1）先检验两家银行储户的年存款余额的方差
有无显著性差异。
2 2 原假设 H 0：σ1 σ2
2 2 σ2 备择假设 H 1：σ1
检验统计量： 拒绝域：
S 12 F 2 S2
W { F F1 α (n1 1，n2 1)，F Fα (n1 1，n2 1)}
2 2
2
原假设 H 0 : σ 2 0.0052，备择假设 H 1 : σ 2 0.0052 检验统计量： 拒绝域：
2 ( n 1) S χ2 0.0052
2 W { χ 2 χα (n 1) }
n=9 ，α=0.05，
W { χ 2 15.507}
2 2 χα ( n 1) χ 0.05 (8) 15.507
140.7143 138.5 1.5251 1.7959 0.5563 2.6099
因为
t W
所以接受H0，
认为这两批学生的平均身高是相等的.
例7.某校从经常参加体育锻炼的男生中随机地选出
50名，测得平均身高174.34cm，从不经常参加体育 锻炼的男生中随机地选出50名，测得平均身高 172.42cm，统计资料表明两种男生的身高都服从正 态分布，其标准差分别为5.35cm和6.11cm，问该校
1.4 2.0301
t W
所以接受H0，
在显著性水平0.05下，可以认为在这次考试 中全体考生的平均成绩为70分。
例2.一台机床加工轴的椭圆度 X 服从正态分布
N(0.095,0.022）（单位：mm)。机床经调整后随机取 20根测量其椭圆度，算得 x 0.088 mm 。已知总 体方差不变，问调整后机床加工轴的椭圆度的均值 有无显著降低？ (α 0.05)
检验统计量：
U
X Y
2 σ 12 σ 2 n1 n2
拒绝域：
W {U z α }
α 0.05，
z α z 0.05 1.645
W {U z α } {U 1.645}
u x y σ σ n1 n2
2 1 2 2
174.34 172.42 5.35 6.11 50 50
S n
拒绝域：
W { T t（ } α n 1）
2
n=36， α=0.05，
tα / 2 (n 1) t0.025 (35) 2.0301
W { T tα / 2 (n 1)} {| T | 2.0301}
t
因为
x 70 s n
66.5 70 15 / 36
U
X 1000 100 / n
W {U z α }
n=25 ， Βιβλιοθήκη Baidu=0.05，
zα z0.05 1.645
W {U z α } {U 1.645}
x 1000 950 1000 2.5 1.645 u 100 / n 100 / 25
认为两家银行储户的年存款余额的方差无显著性差异 .
（2）再检验第二家银行储户的平均年存款余额是否
显著高于第一家银行储户的平均年存款余额。
x 650， y 800，
原假设 H 0 : μ1 μ2 ， 检验统计量： T
x y，
备择假设 H 1 : μ1 μ2 ，
X Y
1 1 ( n1 1) S 12 ( n2 1) S 22 n1 n2 n1 n2 2
因为 u W 所以拒绝H0，
在显著性水平0.05下，认为这批元件不合格.
例4. 在生产线上随机地取10只电阻测得电阻值
（单位：欧姆）如下：114.2，91.9，107.5，89.1，
87.2，87.6，95.8 ，98.4，94.6，85.4
设电阻的电阻值总体服从正态分布，问在显著性
水平α=0.1下方差与60是否有显著差异？
2 χ ( n 1) 0.95 (9) 3.325
2 2 χα ( n 1) χ 0.05 (9) 16.919
2
W { χ 2 3.325，χ 2 16.919}
s 87.6823
2
2 因为 χ W
2 9 87.6823 ( n 1) S 2 13.15235 χ 60 60
解: 原假设 H 0 : σ 2 60，
备择假设 H 1 : σ 2 60
2 ( n 1) S 检验统计量： χ 2 60 2 2 2 2 W { χ χ ( n 1 ) ， χ χ α ( n 1) } 拒绝域： 1 α
2 2
n=10 ，α=0.1， χ
2 1 α 2
2 2
1.6717 1.645
因为
u W
所以拒绝H0，
认为该校经常参加体育锻炼的男生比不经常参 加体育锻炼的男生平均身高要高些.
例8.设两家银行储户的年存款余额均服从正态分布，
经市场调查，分别抽取容量为21和16的样本，得样本 均值分别为650元和800元，样本方差分别为802和702，
所以接受H0，
即在显著性水平α=0.1下，认为方差与60无显著差异.
例5. 某种导线，要求其电阻的标准差不得超过
0.005欧姆，今在生产的一批导线中取样本9根，
测得s=0.007欧姆.设总体服从正态分布，参数均未
知，问在显著性水平α=0.05下，能否认为这批导
线的标准差显著地偏大？
解: s 0.007 0.005
例1. 设某次考试的考生的成绩服从正态分布，从中随
机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分， 标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认 为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分？
解： 原假设 H 0 : μ 70， 备择假设 H 1 : μ 70
检验统计量： T X 70
解: x 950 1000
原假设 H 0 : μ 1000 ， 备择假设 H 1 : μ 1000 由σ2 =1002知，检验统计量为 拒绝域：
} α n1 n2 2） 拒绝域： W { T t（
2
n1 7 ， n2 6， α=0.10
（11） 1.7959 t（ t0.05 α n1 n2 2）
2
W {| T | t（ } {| T | 1.7959} α n1 n2 2）
2
2 x 140.7143， s 6.5714， y 138.5 , s 2 7.1
W { F F1 α (n1 1，n2 1)，F Fα (n1 1，n2 1)}
2 2
{ F 0.4545，F 2.33}
s 80 , s 70
2 1 2 2 2
2
s f s
2 1 2 2
80 2 70
2
1.3061
因为
f W
所以接受H0，
650 800 5.9582 1.3062 0.3318 75.8758
因为
t W
所以拒绝H0，
认为第二家银行储户的平均年存款余额显著高 于第一家银行储户的平均年存款余额
解: x 0.088 0.095
原假设H 0 : μ 0.095 ， 备择假设H 1 : μ 0.095 由σ2 =0.022知，检验统计量为 U X 0.095 0.02 / n 拒绝域： W {U z α }
n=20，α=0.05， zα z0.05 1.645
拒绝域：
W {T t（ } α n1 n2 2）
n1 21，n2 16， α=0.10
t（ t0.10 （35） 1.3062 α n1 n2 2）
W {T t（ } {T 1.3062} α n1 n2 2）
2 x 650, s 80 ，y 800, s 2 70 2
2 1
1 1 1 1 7 6 n1 n2
0.5563
6 6.5714 5 7.1 2.6099 11
2 ( n1 1) s12 ( n2 1) s 2 n1 n2 2
t
x y
2 1 1 ( n1 1) s12 ( n2 1) s 2 n1 n2 n1 n2 2
经常参加体育锻炼的男生是否比不经常参加体育锻
炼的男生平均身高要高些？ （α=0.05 ）
解: x 174 . 34，y 172 . 42， x y，
原假设 H 0 : μ1 μ2 ， 备择假设 H 1 : μ1 μ2 ，
2 6.112 ， σ 12 5.35 2 ， σ 2
2 2 8 0.007 ( n 1) S χ2 15.68 15.507 2 2 0.005 0.005
因为
χ 2 W
所以拒绝H0，
即在显著性水平α=0.05下，认为这批导线的标准差显 著地偏大.
例6.测得两批小学生的身高（单位：厘米）为：
第一批：140，138，143，142，144，137，141
2 2
α=0.10
n1 21, n2 16
Fα (n1 1，n2 1) F0.05 ( 20， 15) 2.33
2
1 F1 α (n1 1，n2 1) F α ( n2 1，n1 1) 2
2
1 1 0.4545 F0.05 (15， 20) 2.20
2 1
2
1 1 n1 n2
1 1 0.3318 21 16
2 ( n1 1) s12 ( n2 1) s 2 n1 n2 2
20 802 15 702 75.8758 35
t
x y
2 1 1 ( n1 1) s12 ( n2 1) s 2 n1 n2 n1 n2 2
W {U z α } {U 1.645}
u
x 0.095 0.02 / n
0.088 0.095 0.02 / 20
1.5652 1.645
因为 u W ， 所以接受H0， 在显著性水平0.05下，认为调整后机床加工轴 的椭圆度的均值无显著降低.
例3.某种电子元件，要求使用寿命不得低于1000
第二批：135，140，142，136，138，140.
设这两个相互独立的总体都服从正态分布，且方差相同，
试判断这两批学生的平均身高是否相等（α=0.10 ）。
解: 原假设 H 0 : μ1 μ2 ， 备择假设 H1 : μ1 μ2 ，
检验统计量：
T X Y 1 1 ( n1 1) S 12 ( n2 1) S 22 n1 n2 n1 n2 2
能否认为第二家银行储户的平均年存款余额显著高于
第一家银行储户的平均年存款余额。 （ α=0.10 ）
解:
（1）先检验两家银行储户的年存款余额的方差
有无显著性差异。
2 2 原假设 H 0：σ1 σ2
2 2 σ2 备择假设 H 1：σ1
检验统计量： 拒绝域：
S 12 F 2 S2
W { F F1 α (n1 1，n2 1)，F Fα (n1 1，n2 1)}
2 2
2
原假设 H 0 : σ 2 0.0052，备择假设 H 1 : σ 2 0.0052 检验统计量： 拒绝域：
2 ( n 1) S χ2 0.0052
2 W { χ 2 χα (n 1) }
n=9 ，α=0.05，
W { χ 2 15.507}
2 2 χα ( n 1) χ 0.05 (8) 15.507
140.7143 138.5 1.5251 1.7959 0.5563 2.6099
因为
t W
所以接受H0，
认为这两批学生的平均身高是相等的.
例7.某校从经常参加体育锻炼的男生中随机地选出
50名，测得平均身高174.34cm，从不经常参加体育 锻炼的男生中随机地选出50名，测得平均身高 172.42cm，统计资料表明两种男生的身高都服从正 态分布，其标准差分别为5.35cm和6.11cm，问该校
1.4 2.0301
t W
所以接受H0，
在显著性水平0.05下，可以认为在这次考试 中全体考生的平均成绩为70分。
例2.一台机床加工轴的椭圆度 X 服从正态分布
N(0.095,0.022）（单位：mm)。机床经调整后随机取 20根测量其椭圆度，算得 x 0.088 mm 。已知总 体方差不变，问调整后机床加工轴的椭圆度的均值 有无显著降低？ (α 0.05)
检验统计量：
U
X Y
2 σ 12 σ 2 n1 n2
拒绝域：
W {U z α }
α 0.05，
z α z 0.05 1.645
W {U z α } {U 1.645}
u x y σ σ n1 n2
2 1 2 2
174.34 172.42 5.35 6.11 50 50
S n
拒绝域：
W { T t（ } α n 1）
2
n=36， α=0.05，
tα / 2 (n 1) t0.025 (35) 2.0301
W { T tα / 2 (n 1)} {| T | 2.0301}
t
因为
x 70 s n
66.5 70 15 / 36
U
X 1000 100 / n
W {U z α }
n=25 ， Βιβλιοθήκη Baidu=0.05，
zα z0.05 1.645
W {U z α } {U 1.645}
x 1000 950 1000 2.5 1.645 u 100 / n 100 / 25
认为两家银行储户的年存款余额的方差无显著性差异 .
（2）再检验第二家银行储户的平均年存款余额是否
显著高于第一家银行储户的平均年存款余额。
x 650， y 800，
原假设 H 0 : μ1 μ2 ， 检验统计量： T
x y，
备择假设 H 1 : μ1 μ2 ，
X Y
1 1 ( n1 1) S 12 ( n2 1) S 22 n1 n2 n1 n2 2
因为 u W 所以拒绝H0，
在显著性水平0.05下，认为这批元件不合格.
例4. 在生产线上随机地取10只电阻测得电阻值
（单位：欧姆）如下：114.2，91.9，107.5，89.1，
87.2，87.6，95.8 ，98.4，94.6，85.4
设电阻的电阻值总体服从正态分布，问在显著性
水平α=0.1下方差与60是否有显著差异？
2 χ ( n 1) 0.95 (9) 3.325
2 2 χα ( n 1) χ 0.05 (9) 16.919
2
W { χ 2 3.325，χ 2 16.919}
s 87.6823
2
2 因为 χ W
2 9 87.6823 ( n 1) S 2 13.15235 χ 60 60
解: 原假设 H 0 : σ 2 60，
备择假设 H 1 : σ 2 60
2 ( n 1) S 检验统计量： χ 2 60 2 2 2 2 W { χ χ ( n 1 ) ， χ χ α ( n 1) } 拒绝域： 1 α
2 2
n=10 ，α=0.1， χ
2 1 α 2
2 2
1.6717 1.645
因为
u W
所以拒绝H0，
认为该校经常参加体育锻炼的男生比不经常参 加体育锻炼的男生平均身高要高些.
例8.设两家银行储户的年存款余额均服从正态分布，
经市场调查，分别抽取容量为21和16的样本，得样本 均值分别为650元和800元，样本方差分别为802和702，
所以接受H0，
即在显著性水平α=0.1下，认为方差与60无显著差异.
例5. 某种导线，要求其电阻的标准差不得超过
0.005欧姆，今在生产的一批导线中取样本9根，
测得s=0.007欧姆.设总体服从正态分布，参数均未
知，问在显著性水平α=0.05下，能否认为这批导
线的标准差显著地偏大？
解: s 0.007 0.005
例1. 设某次考试的考生的成绩服从正态分布，从中随
机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分， 标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认 为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分？
解： 原假设 H 0 : μ 70， 备择假设 H 1 : μ 70
检验统计量： T X 70