数学分析第四章函数的连续性.doc
华东师大数学分析答案
第四章函数的连续性第一节 连续性概念1．按定义证明下列函数在其定义域内连续：1x x f 1)(=； 2x x f =)(; 证：1xx f 1)(=的定义域为 ),0()0,(+∞-∞=D ,当D x x ∈0,时,有0011x x x x x x -=- 由三角不等式可得：00x x x x --≥ , 故当00x x x <-时,有02011x x x x x x x x ---≤-对任意给的正数ε,取,01020>+=x x εεδ则0x <δ,当 D x ∈ 且δ<-0x x 时,有 ε<-=-0011)()(x x x f x f 可见)(x f 在0x 连续,由0x 的任意性知：)(x f 在其定义域内连续;2 x x f =)(的定义域为),,(+∞-∞对任何的),(0+∞-∞∈x ,由于 00x x x x -≤-,从而对任给正数ε,取εδ=,当δ<-0x x 时, 有 =-)()(0x f x f 00x x x x -≤-ε< 故)(x f 在0x 连续,由0x 的任意性知,)(x f 在),(+∞-∞连续;2．指出函数的间断点及类型： 1=)(x f xx 1+； 2=)(x f x x sin ； 3=)(x f ]cos [x ；4=)(x f x sgn ； 5=)(x f )sgn(cos x ；6=)(x f ⎩⎨⎧-为无理数为有理数x x x x ,,；7=)(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<--≤≤--<<∞-+x x x x x x x 1,11sin )1(17,7,71解： 1)(x f 在0=x 间断,由于)1(lim xx x +∞→不存在,故0=x 是)(x f 的第二类间断点;2)(x f 在0=x 间断,由于 1sin lim )(lim 0==++→→xxx f x x , 1sin lim )(lim 0-=-=--→→xxx f x x 故0=x 是)(x f 的跳跃间断点; 3)(x f 在πn x =间断,),2,1,0( ±±=n 由于0]cos [lim )(lim ==++→→x x f n x n x ππ, 0]cos [lim )(lim ==--→→x x f n x n x ππ故 πn x = 是)(x f 的可去间断点),2,1,0( ±±=n ; 4)(x f 在0=x 间断,由于 1sgn lim )(lim 0==++→→x x f x x ,1sgn lim )(lim 00==--→→x x f x x ,故0=x 是)(x f 的可去间断点;5)(x f 在22ππ±=k x ),2,1,0( ±±=k 间断,由于1)(lim 214-=++→x f k x π,1)(lim214=-+→x f k x π,1)(lim 214-=+-→x f k x π,1)(lim 214=+-→x f k x π故 22ππ±=k x ),2,1,0( ±±=k 是)(x f 的跳跃间断点;6)(x f 在0≠x 的点间断且若00≠x ,则)(lim 0x f x x → 不存在,故0≠x 是)(x f 的第二类间断点;7)(x f 在7-=x 及1=x 间断,且7)(lim 7-=+-→x f x ,)(lim 7x f x --→不存在,故7-=x 是)(x f 的第二类间断点;又因 011sin )1(lim )(lim 11=--=++→→x x x f x x ,1)(lim 1=-→x f x ,故1=x 是)(x f 的跳跃间断点;3．延拓下列函数,使在 ),(+∞-∞上连续：1=)(x f 283--x x ； 2=)(x f 2cos 3x x-；3=)(x f xx 1cos ;解：1当2-=x 时,)(x f 没有定义,而2lim →x 283--x x =2lim →x )42(2++x x =12于是函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=2,122,28)(3x x x x x F 是)(x f 的延拓,且在 ),(+∞-∞上连续;2当0=x 时,)(x f 没有定义,而0lim →x )(x f =0lim→x 21cos 12=-xx ,于是 函数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠-=0,210,cos 1)(2x x x xx F 是)(x f 的延拓,且在 ),(+∞-∞上连续;3当0=x 时,)(x f 没有定义,而0lim →x )(x f =0lim →x 01cos=xx ,于是 函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1cos )(x x xx x F 是)(x f 的延拓,且在 ),(+∞-∞上连续; 4．若f 在0x 点连续,则f ,2f 是否也在0x 连续 又若f 或2f 在I 上连续,那么f 在I 上是否连续解：1若f 在0x 点连续,则f 与2f 在0x 连续;i f 在0x 点连续;事实上,由于f 在0x 点连续,从而对任给正数ε,存在正数δ,当δ<-0x x 时,有ε<-)()(0x f x f ,而≤-)()(0x f x f ε<-)()(0x f x f故当 δ<-0x x 时,有 ε<-)()(0x f x f ,因此f 在0x 点连续;ii 2f 在0x 点连续;事实上,由于f 在0x 点连续,从而由局部有界性知：存在0>M 及01>δ使当10δ<-x x 时, 有 2)(Mx f <, 1 有连续性定义知：对任给正数ε,存在正数2δ,当20δ<-x x 有 Mx f x f ε<-)()(0 2先取},m in{21δδδ= ,则当δ<-0x x ,上1与2式同时成立,因此=-)()(022x f x f )()(0x f x f -)()(0x f x f +⋅≤)()(0x f x f -))()((0x f x f +ε<故 2f 在0x 点连续;2逆命题不成立;例如设 ⎩⎨⎧-=为无理数为有理数x x x f ,1,1)( ,则f ,2f 均为常数,故是连续函数,但)(x f 在),(+∞-∞任一点都不连续;5．设当0≠x 时,)()(x g x f ≡,而)0()0(g f ≠,试证f 与g 这两个函数中至多有一个在0=x 连续;证明：反证假设)(x f 与)(x g 均在0=x 连续,则)0()(lim 0f x f x =→,)0()(lim 0g x g x =→,又因0≠x 时,)()(x g x f ≡,于是=→)(lim 0x f x )(lim 0x g x →,从而 )0()0(g f = 这与 )0()0(g f ≠相矛盾; 故f 与g 这两个函数中至多有一个在0=x 连续;6．证明：设f 为区间I 上的单调函数,且I x ∈0为f 的间断点,则0x 必是f 的第一类间断点; 证： 不妨设f 为区间I 上的递增函数,于是当I x ∈,且0x x <时,)()(0x f x f <, 从而由函数极限的单调有界定理可知：)0(0-x f 存在 ,且)0(0-x f =)(lim 0x f x x -→)(0x f ≤同理可证 )0(0+x f 存在,且)0(0+x f =)(lim 0x f x x +→)(0x f ≥因此 , 0x 是f 的第一类间断点;7．设函数f 只有可去间断点,定义)(lim )(y f x g xy →=,证明g 为连续函数;证：设 f 的定义域为区间I ,则)(x g 在I 上处处有定义因f 只有可去间断点,从而极限处处存在,任取I x ∈0,下证)(x g 在0x 连续;由于)(lim )(00y f x g x y →=且)(lim )(y f x g xy →=I x ∈,从而对任给正数ε,存在正数δ,当δ<-<00x y 时有2)()(2)(00εε+<<-x g y f x g ,任取),(00δx U x ∈,则必存在),(),(00δηx U x U ⊂;于是当 ),(ηx U y ∈时,由不等式性质知 2)()(lim )(2)(00εε+≤=≤-→x g y f x g x g xy因此当 ),(00δx U x ∈时,有 ε<-)()(0x g x g ,故)(x g 在0x 处连续;8．设f 为R 上的单调函数,定义)0()(+=x f x g ,证明函数g 在R 上每点都连续;证：由于f 为),(+∞-∞上的单调函数,故f 只有第一类间断点,故右极限处处存在;于是)(x g 处处有定义,任取0x ∈),(+∞-∞,下证g 在0x 右连续;由于)0()(00+=x f x g =)(lim 0y f x y +→且)(x g =)(lim y f xy +→,+∞<<∞-x 从而对任给正数ε,存在正数δ,当δ<-<00x y 时,有2)()(2)(00εε+<<-x g y f x g ,任取),(00δx U x +∈,则必存在),(),(00δηx U x U ++⊂; 于是当),(0ηx U y +∈时,上不等式成立;由极限不等式性质知 2)()(lim )(2)(00εε+≤=≤-+→x g y f x g x g xy因此当),(00δx U x +∈时,有 ε<-)()(0x g x g ,故)(x g 在0x 处右连续; 9．举出定义在]1,0[上符合下列要求的函数：1在31,21和41三点连续的函数；2只在31,21和41三点连续的函数；3只在),2,1(1=n n上间断的函数；4仅在0=x 右连续,其它点均不连续的函数;解：1141131121)(-+-+-=x x x x f ； 2⎪⎩⎪⎨⎧---=是无理数。
《函数的连续》课件
闭区间上连续函数的零点定理
如果闭区间上的连续函数在区间两端取值异号，则函数在该区间内至少有一个零点。
03
函数连续性的应用
利用连续性求极限
总结词
利用连续性求极限是函数连续性应用的重要方面之一。
详细描述
在数学分析中，许多函数的极限可以通过利用函数的连续性来求解。例如，利用函数在某点的连续性 ，可以推导出该点的极限值。此外，连续函数的极限定理也是利用连续性求极限的重要工具。
二次函数
二次函数在定义域内也是连续的 。例如，函数$f(x) = x^2$在全 体实数域$mathbf{R}$上是连续 的。
分段函数的连续性
• 分段函数：分段函数在各段定义域的交界处可能不连 续，但在整个定义域内是连续的。例如，函数$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \ x, & x < 0 \end{cases}$在全体实数域$\mathbf{R}$上是连续的 ，但在$x=0$处不连续。
函数连续性的性质
Байду номын сангаас
如果内层函数和外层函数都在 某点连续，则复合函数在该点
也连续。
02
反函数的连续性
01
复合函数的连续性
反函数存在的前提下，如果原函 数在某点连续，则反函数在该点
也连续。
02
函数连续性的判定
函数在某点连续的判定
函数在某点连续的定义
如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则函数在该点连续。
无穷函数的连续性
• 无穷函数：无穷函数在无穷处的值可能不定义，因此不连续。 例如，函数$f(x) = \frac{1}{x}$在$x=0$处不连续。
第4章-函数的连续性-4-3 初等函数的连续性
§3 初等函数的连续性
指数函数的连续性
初等函数的连续性
定理4.10
设 a 0, a 1, 、 为任意实数, 则有 a a a ， (a ) a .
证 当 , 是有理数时, 这是我们熟知的结果. 先设 a 1, 由定义，
a x sup{a r | r 为有理数}.
定理4.11
x y a (a 0 , a 1) 在 R上是连续的. 指数函数
证 我们仍旧先假设 a 1 . 首先证明指数函数在
x lim a 1 f (0). x 0 处连续, 即 x 0
这是因为对于任意的正数 (0 1) , 取
min{loga (1 ), | log a (1 ) |},
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解 因为 ln(1 x ) 是初等函数, 所以在 x 0处连续, cos x 从而 ln(1 x ) ln(1 0) lim 0. x 0 cos x cos0
数学分析 第四章 函数的连续性
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§3 初等函数的连续性
指数函数的连续性
初等函数的连续性
例4 据理说明
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§3 初等函数的连续性
指数函数的连续性
初等函数的连续性
推论1
对数函数 y loga x (a 0, a 1) 在定义域 (0, ) 上是连续的.
ln x 在定义域 (0, )上 幂函数 y x e 也是连续的. 例1 设 lim u( x ) a 0 , lim v ( x ) b. 证明
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§3 初等函数的连续性
指数函数的连续性
初等函数的连续性
数学分析4.2连续函数的性质(讲义)
第四章函数的连续性2 连续函数的性质一、连续函数的局部性质定理4.2（局部有界性）：若函数f在x0连续，则f在某U(x0)内有界.定理4.3（局部保号性）：若函数f在x0连续，且f(x0)>0(或<0)，则任何正数r<f(x0)(或r<-f(x0))，存在某U(x0)，使得对一切x∈U(x0)，有f(x)>r(或f(x)<-r).注：在应用保号性时，常取r=f(x0).定理4.4（四则运算）：若函数f和g在x0连续，则f±g，f·g，f/g(g(x0)≠0)也在点x0连续.定理4.5：若函数f在x0连续，g在u0连续，u0=f(x0)，则复合函数g(f(x))在点x0连续.证1：∵g在u0连续，∴对∀ε>0，有δ1>0，使当|u-u0|<δ1时有|g(u)-g(u0)|<ε；又u0=f(x0)，及u=f(x)在点x0连续，∴对δ1，有δ>0，使当|x-x0|<δ时有|u-u0|=|f(x)-f(x0)|<δ1；∴对∀ε>0，有δ>0，当|x-x0|<δ时有|g(f(x))-g(f(x0))| <ε；∴复合函数g(f(x))在点x0连续.证2：∵u=f(x)在点x0连续，∴=x0；又u0=f(x0)，∴u→u0 (x→x0)；又g在u0连续，∴===g(f(x0))；∴复合函数g(f(x))在点x0连续.复合函数极限公式：==g(f(x0)).例1：求sin(1-).解：sin(1-)=sin ((1-))=sin 0=0.注：若内函数f当x→x0时极限为a，而a≠f(x0)或f在x0无定义(即x0为f的可去间断点)，又外函数g在u=a连续，则仍可应用上述复合函数的极限公式。
.例2：求极限：(1)；(2).解：(1)==1.(2)==.二、闭区间上连续函数的基本性质定义1：设f为定义在数集D上的函数。
函数连续性判定方法例题和知识点总结
函数连续性判定方法例题和知识点总结在数学分析中，函数的连续性是一个重要的概念。
它不仅在理论研究中具有重要地位，而且在实际问题的解决中也有着广泛的应用。
本文将通过一些例题来详细讲解函数连续性的判定方法，并对相关知识点进行总结。
一、函数连续性的定义设函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 的某个邻域内有定义，如果当自变量的增量＄＼Delta x$ 趋近于零时，函数的增量＄＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＄也趋近于零，那么就称函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 处连续。
用数学语言表示为：＄＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼Delta y ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0}f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0) ＝ 0$或者＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＄如果函数在区间内的每一点都连续，就称函数在该区间上连续。
二、函数连续性的判定方法1、利用定义判定直接根据连续性的定义，计算函数在某点的极限是否等于该点的函数值。
例 1：判断函数＄f(x) ＝ x^2$ 在＄x ＝ 1$ 处的连续性。
解：＄＼lim_{x ＼to 1} f(x) ＝＼lim_{x ＼to 1} x^2 ＝ 1^2 ＝ 1$，而＄f(1) ＝ 1^2 ＝ 1$，因为＄＼lim_{x ＼to 1} f(x) ＝ f(1)＄，所以函数＄f(x) ＝ x^2$ 在＄x ＝ 1$ 处连续。
2、左右极限相等且等于该点函数值如果函数在某点的左极限和右极限都存在且相等，并且等于该点的函数值，则函数在该点连续。
例 2：判断函数＄f(x) ＝＼begin{cases} x ＋ 1, ＆ x ＜ 1 ＼＼ 3, ＆x ＝ 1 ＼＼ x 1, ＆ x ＞ 1 ＼end{cases}＄在＄x ＝ 1$ 处的连续性。
解：左极限＄＼lim_{x ＼to 1^｝ f(x) ＝＼lim_{x ＼to 1^｝（x ＋1) ＝ 2$，右极限＄＼lim_{x ＼to 1^＋｝ f(x) ＝＼lim_{x ＼to 1^＋｝（x 1) ＝ 0$，因为左极限和右极限不相等，所以函数＄f(x)＄在＄x＝ 1$ 处不连续。
函数的连续性
函数的连续性
函数的连续性是指函数在定义域上的变化情况，其主要内容是有限性、连续性和可导性。
有限性的概念是指函数的解析可以是有限的，它可以用有限的表示法来描述。
例如，函数y = x^2 + 2x - 4的解析表示式就是一个有限的表达式。
有限性是理解函数特征的基础，而连续性是更进一步理解函数特征的手段。
连续性定义为：存在任意位置x0处，它的函数值y0（即
y=f(x0)=y0）与其附近的函数值的差别不会超过一定的正定值，当此附近的自变量值在x0处的改变量趋近于零时，此函数值
的改变量也趋近于零，我们就称该函数在x0处是连续的，写
成数学形式就是：lim (x→x0) f(x) = y0
可导性是连续性的强化，也就是说它综合考虑了函数的变化和变化量之间的关系，它是指函数在定义域上任意一点x处，只要自变量x存在可导的微分，就说明函数y有可导的前提。
可导性的表述方式就是不等式：|f(x1)-f(x2)| ≤ M|x1-x2|，即自变
量x1和x2之间的变化量应小于某个正常数M，函数值在x1
和x2之间的变化量应小于M |x1-x2|。
函数的连续性是数学分析中的基本概念，它与微积分的应用紧密相连。
它的概念很容易理解，但在实际应用中却要求解答者拥有较强的抽象意识和概括能力，因此学习和研究它的概念是非常重要的。
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第4章 函数的连续性
一、函数在一点的连续性 二、间断点的分类 三、区间上的连续函数
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一、函数在一点的连续性
定义1 设函数 f ( x)在点 x0 的某邻域内有定义 , 且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ),
(1)
则称 f ( x)在点 x0 连续.
由定义1知，我们是通过函数的极限来定义连续
对任意的e 0, 存在 0,当 x x0 , 时 f ( x) f ( x0 ) e ,
则称 f ( x) 在点 x0 连续. 为了更好地刻划函数在点x0的连续性, 下面引出 连续性的另外一种表达形式. 设 x x x0,
y y y0 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ).
又如：函数
x,
f
(
x
)
a,
x0 (a 0)
x0
在 x 0 处不连续, 这是因为 lim f ( x) 0 f (0). x0 y
a
O
x
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函数 f ( x) sgn x 在点 x 0 处不连续, 这是因为
极限 limsgn x 不存在. x0
由极限的定义,定义1可以叙述为:对于任意正数e ,
x0
1
所以 x 0 是 f ( x) 的
一个可去间断点 .
O
x
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注 1. 对于任意函数 g( x) ,若它在 x x0 处连续 ， 那么函数
g( x),
F(x)
一个可去间断点.
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2. 跳跃间断点：若
lim f ( x) A,
x x0
lim f ( x) B
函数的连续性
数学分析（上）第四章函数的连续性第四章 函数的连续性 （ 1 2时 ）§ 1函数的连续性 ( 2时 )一． 函数在一点的连续性：1． 连续的直观图解： 由图解引出解析定义.2. 函数在一点连续的定义: 设函数)(x f 在点0x 某邻域有定义.定义 (用)).()(lim 00x f x f x x =→ 例如 [1]P 87例1和例2, P 88 例3.定义 (用 )).()0()0(000x f x f x f =+=-定义(用 ).0lim 0=∆→∆y x 先定义x ∆和.y ∆定义 (连续的Heine 定义.)定义 ( “δε-”定义.)其他定义参阅[3]P 39 Th.例1 用“δε-”定义验证函数132)(2-+=x x x f 在点10=x 连续.例2 试证明: 若∀∍∈∃ ,R A ,0 ,0>∃>δε⇒<-∀ , ,0δx x x, )( ε<-A x f 则)(x f 在点0x 连续.3. 单侧连续: 定义单侧连续, 并图解.Th ( 单、双侧连续的关系 )例3 ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>+=.0 ,2,0,,0 ,2)(x x x A x x x f 讨论函数)(x f 在点00=x 的连续或单侧连续性.二. 间断点及其分类: 图解介绍间断点的分类.跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点, 其他情况(即)0(0+x f 或)0(0-x f 中至少有一个不存在)称为第二类间断点.例4 讨论函数)1( )1( )(2--=x x x x x f 的间断点类型.例5 延拓函数,3sin )(xxx f = 使在点00=x 连续. 例6 举出定义在[0,1]上且仅在点41,31 ,21=x 三点间断的函数的例.例7 讨论Dirichlet 函数)(x D 和Riemann 函数)(x R 的连续性.( 参阅Ch 3 习题课例3 )三． 区间上的连续函数：开区间上连续， 闭区间上连续, 按段连续.Ex [1]P 92—93 1 ⑴，2 ⑹ ⑺， 3—6；[4]P 83 123. ( 改0≠x 等为2≠x .)§ 2 连续函数的性质一. 连续函数的局部性质: 叙述为Th 1—4.1. 局部有界性：2. 局部保号性：3. 四则运算性质：4. 复合函数连续性：Th 4 若函数f 在点0x 连续，函数g 在点0u 连续, 且)(00x f u =, 则复合函数f g 在点0x 连续. ( 证 )註 Th 4 可简写为()().)()lim ()(lim )(lim 0000x f g x f g x f g x f g x x x x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=→→→例1 求极限 ).1sin(lim 21x x -→例2 求极限:⑴ ;s i n 2l i m 0x x x -→ ⑵ .s i n 2l i m xxx -∞→例3 求极限 .)1ln(lim 0xx x +→(x ln 的连续性见后).二. 闭区间上连续函数的基本性质:1. 最值性: 先定义最值.Th 5 ( 最值性 )系 ( 有界性 )2. 介值性: 定义介值.Th 6 ( 介值性 )连续函数的值域, 连续的单调函数的值域.系 ( 零点定理 )例4 证明: 方程 x x x cos sin 2=- 在0到2π之间有实根. 例5 设p 是正数, n 为正整数. 证明方程 p x n=有唯一正实根.(唯一性的证明用nx 在) , 0 (∞+内的严格递增性.)三. 反函数的连续性:Th 7 若函数f 在],[b a 上严格递增( 或减 )且连续, 则其反函数1-f 在相应的定义域[])(),(b f a f (或[])(),(a f b f )上连续. ( 证 )关于函数αx x x y , , arcsin =等的连续性 ( [1]P 99 E5,6.)Ex [1]P 101—102 1—7，11，13；[4]P 83 125—127.四． 函数的整体连续性 —— 一致连续：1． 连续定义中δ对0x 的依赖性 ： 例6 考查函数xx f 1)(=在区间] 1 , 0 (上的连续性. 对], 1 , 0 (0∈∀x 作限制,120≤<x x 就有 . 2211 200000000x x x x x x x xx x x x x -=-≤-=- 对0>∀ε , 取 }. 2, 2 min{020xx εδ=这里δ与0x 有关, 有时特记为),(0x εδ. 本例中不存在可在区间] 1 , 0 (上通用的δ, 即不存在最小的( 正数 )δ.例7 考查函数xx f 1)(=在区间) , [∞+c )0(>c 上的连续性.本例中可取得最小的, 也就是可通用的 }. 2, 2 min{2cc εδ= 该δ却与0x 无关, 可记为)(εδ.2. 一致连续性:定义 ( 一致连续 ) 顺便介绍一致连续与连续的关系.用定义验证一致连续的方法: 对0>∀ε, 确证)0(>δ存在. 为此, 从不失真地放大式 )()( x f x f ''-'入手, 使在放大后的式子中, 除因子 x x ''-'之外, 其余部分中不含有x '和x '', 然后使所得式子ε<, 从中解出.x x ''-'例8 验证函数 )0( )(≠+=a b ax x f 在) , (∞+∞-内一致连续.例9 验证函xx f 1sin )(=在区间 )10( ) 1 , (<<c c 内一致连续.证 ,c o s 2s i n 2 1s i n 1s i n22121212121212121cx x x x x x x x x x x x x x x x -≤-≤+-=-例10 若函数)(x f 在有限区间),(b a 内一致连续, 则)(x f 在),(b a 内有界.3. 一致连续的否定:否定定义.例11 证明函数xx f 1)(=在区间) 1 , 0( 内非一致连续. 证法一 ( 用一致连续的否定定义验证 ) 取),1( ,10<∀=δε 取}, 21, min{δ='x 与,2x x '='' 便有 .22δδ<≤'=''-'x x x 但.12121 11 0ε=>≥'=''-'=''-'x x x x x证法二 ( 用例10的结果 ).4. Lipschitz 连续与一致连续:定义Lipschitz 连续.例12 函数)(x f 在区间I 上-L 连续, )( x f ⇒在I 上一致连续. ( 证 )但函数)(x f 在区间I 上一致连续时, 未必有)(x f 在I 上-L 连续. 例如: 函数x x f =)(在区间) 1 , 0 (内一致连续.(为证明x 在区间) 1 , 0 (内一致连续, 先证明不等式: ,0, 21≥∀x x 有不等式 . 2212121x x x x x x -≤-+ 事实上,21x x ≥时, ,222122212121x x x x x x x x x x -=-+≤-+同理, 21x x ≤时, 有.221211212121x x x x x x x x x x -=-+≤-+利用该不等式, 为使 =-221)()( x f x f ,222121ε<-+x x x x 只要 . 221ε<-x x)却不是-L 连续. 事实上, 倘存在L >0, 使对 ), 1 , 0 (, 21∈∀x x 有, )()( 212121x x L x x x f x f -≤-=-则当21x x ≠时，应成立.121L x x ≤+但若取,4 ,12221n x n x == 就有 ). ( ,3121∞→∞→=+n nx x 矛盾.5. 一致连续的判定:Th 8 ( Cantor ) 若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续, )( x f ⇒在],[b a 上一致连续.Ex [1]P 102 8，9，10.§ 3 初等函数的连续性回顾基本初等函数中, 已证明了连续性的几个函数.指数函数和对数函数的连续性. ( 证 )一. 初等函数的连续性:Th1 一切基本初等函数都在其定义域上连续.Th2 任何初等函数在其有定义的区间上是连续的.註: 初等函数的连续区间和间断点: 初等函数的间断点是其连续区间的开端点. 闭端点是其单侧连续点.例1 求函数2ln 1)(-+=x x x f 的连续区间和间断点.解 ). , 3 () 3 , 2 () 2 , 1 () 1 , 1[∞+⋃⋃⋃-=f D∴ )(x f 的连续区间为: ) 1 , 1[-、) 2 , 1 (、) 3 , 2 (和) , 3 (∞+.间断点为: 2 , 1=x 和3. ()( x f 在点1-=x 右连续 ).二. 利用函数的连续性求极限:例2 .cos )1ln(lim20x x x +→ 例3 .1111lim 0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++→x x x x x (作倒代换) .1x t = 例4 ().1lim sec 0xctgxx tgx +→ 解 I = ()().)1(lim )1(lim 1sec lim 0sec 0e e tgx tgx xctgxx xctgx x x ==+=+→→→例5 ().sin 1sinlim x x x -++∞→解 =-+x x sin 1sin .21cos 21sin 2xx x x ++-+,021lim sin 21sin lim ,121cos=-+=-+≤++∞→+∞→xx x x x x x x∴I = .0Ex [1]P 107—108 1，2； [4]P 81—83 78—81，120.习 题 课例1 设函数)(x f 在区间)0( ]2 , 0[>a a 上连续, 且).2()0(a f f = 证明:在区间] , 0[a 上至少存在某个,c 使 ).()(a c f c f +=证 若)2()(a f a f =, 取0=c 或a c =即可;若),2()(a f a f ≠ 不妨设).2()(a f a f > 设)()()(a x f x f x F +-=, 应用零点定理即得所证.例2 设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，.21b x x x a n <<<<< 试证明：],,[1n x x ∈∃ξ 使.)()()()(21nx f x f x f f n +++= ξ例3 设.)( ,)( ],,[b b f a a f b a C f <>∈ 试证明：方程 x x f =)(在区间),(b a 内有实根.例4 设函数)(x f 在R 内连续且 .)(lim +∞=∞→x f x 则)(x f 在R 内有最小值.(与)0(f 比较.)例5 设函数)(x f 和)(x g 在区间I 上连续, 且在I 的有理点r ,有).()(r g r f =证明: 在I 上)()(x g x f ≡.例6 设函数)(x f 和)(x g 在区间I 上一致连续. 证明函数)()(x g x f +在区间I 上一致连续.例7 设函数)(x f 在有限开区间),(b a 内连续. 则)(x f 在有限开区间),(b a 内一致连续, )0( +⇔a f 和)0(-b f 存在( 有限 ).例8 设函数)(x f 在有限开区间),(b a 内连续. 则)(x f 在),(b a 内一致连续,⇔ )(x f 在),(b a 内一致连续.Ex [1]P 102—103 15； P 108—109 3，4，6，8，12，14.。
第四章 函数连续性
第四章函数的连续性引言在数学分析中,要研究种种不同性质的函数,其中有一类重要的函数,就是连续函数.从今天开始,我们就来看看这类函数的特点.主要讲以下几个问题：1．什么是“函数的连续性”2．“间断”或“不连续”有哪些情形?3．连续函数有哪些性质?4．初等函数的连续性有何特点?§1 连续性概念教学目标：使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念.教学要求：1、使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义,并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述；2、应使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发,理解函数在一点间断以及函数间断点的概念,从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能熟练准确地识别不同类型的间断点；3、明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的,使学生清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵.教学重点：函数连续性概念.教学难点：函数连续性概念.教学过程：引言“连续”与“间断”（不连续）照字面上来讲,是不难理解的.如图：从图中可看出,⑵、⑶、⑷在0=x 点出现了间断,⑴是一条连在一起的、连续不断的曲线；⑵)(lim 0x f x →存在但不等于)0(f ；⑶0=x 点无定义；⑷)(lim 0x f x →不存在.图形只能帮助我们理解概念,下面给出连续的严格定义. 一、函数在一点的连续性 (一) 函数f 在点0x 连续的定义定义1（f 在点0x 连续） 设函数f 在某0()U x 内有定义,若00lim ()()x x f x f x →=,则称f 在点0x 连续.注 00lim ()()(lim )x x x x f x f x f x →→==,即“f 在点0x 连续”意味着“极限运算与对应法则f 可交换. (二) 例子例1 0,sin ,cos x R x x ∀∈在0x 处连续. 例2 2lim(21)5(2)x x f →+==.例3 讨论函数1sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点x=0处连续性. (三) 函数f 在点0x 连续的等价定义1、记号：0x x x ∆=-——自变量x 在点的增量或改变量.设00()y f x =,0000()()()()y f x f x f x x f x y y ∆=-=+∆-=-——函数y 在点0x 的增量.注 自变量的增量x ∆或函数的增量y ∆可正、可负、也可为零.（区别于“增加”）. 2、价定义1：函数f 在点0x 连续⇔0lim 0x y ∆→∆=.3、价定义2：函数f 在点0x 连续⇔0,0εδ∀>∃>,当0||x x δ-<时,0|()()|f x f x ε-<. 注 一个定义是等价的,根据具体的问题选用不同的表述方式.如用三种定义,可以证明以下命题：例4 证明函数()()f x xD x =在点0x =连续,其中()D x 为Dirichlet 函数. (四) 函数f 在点0x 有极限与函数f 在点0x 连续之间的关系1、对邻域的要求看：在讨论极限时,假定f 在00()U x 内不定义（f 在点0x 可以没有定义）.而f 在点0x 连续则要求f 在某0()U x 内有定义（包括0x ）.2、极限中,要求00||x x δ<-<,而当“f 在点0x 连续”时,由于x=0x 时,0|()()|f x f x ε-<恒成立.所以换为：0||x x δ-<.3、从对极限的要求看：“f 在点0x 连续”不仅要求“f 在点0x 有极限”,而且0lim ()()x x f x f x →=；而在讨论0lim ()x x f x →时,不要求它等于0()f x ,甚至于0()f x 可以不存在.总的来讲,函数在点0x 连续的要求是：①()f x 在点0x 有定义；②0lim ()x x f x →存在；③0lim ()()x x f x f x →=. 任何一条不满足,f 在点0x 就不连续.同时,由定义可知,函数在某点是可连续,是函数在这点的局部性质. (五) f 在点0x 左（右）连续定义1、定义定义2：设函数f 在点0()U x +（0()U x -内有定义）,若00lim ()()x x f x f x +→=（00lim ()()x x f x f x -→=）,则称f 在点0x 右（左）连续.2、f 在点0x 连续的等价刻划定理4.1 函数f 在点0x 连续⇔f 在点0x 既是右连续,又是左连续.如上例4：0lim ()lim 0(0)x x xD x x f ++→→===（右连续）,0lim ()lim 0(0)x x xD x x f --→→===（左连续）.例5 讨论函数2,0()2,0x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩在点0x =的连续性.例6 设sin ,0(),01sin ,0xx x f x a x x b x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪+>⎩,其中a 、b 为常数.问：⑴ a 、b 为何值时,)(lim 0x f x →存在? ⑵ a 、b 为何值时,)(x f 在0=x 点连续?解 1)(lim 0=-→x f x ,b x f x =+→)(lim 0,故⑴ 1=b ,a 为任意常数时,)(lim 0x f x →存在；⑵ 欲使)(x f 在0=x 点连续,应有b a ==1 二、区间上的连续函数 (一) 定义若函数f 在区间Ｉ上每一点都连续,则称f 为Ｉ上的连续函数.对于闭区间或半开半闭区间的端点,函数在这些点上连续是指左连续或右连续.若函数f 在区间[,]a b 上仅有有限个第一类间断点,则称f 在[,]a b 上分段连续. (二) 例子1、函数,,sin ,cos y C y x y x y x ====是Ｒ上的连续函数；2、函数y =(1,1)-内每一点都连续.在1x =处为左连续,在1x =-处为右连续,因而它在[1,1]-上连续.命题 初等函数在其定义区间上为连续函数.函数[]y x =,sgn y x =在[1,1]-上是分段连续的[]y x =在Ｒ上是分段连续吗? sgn x 在Ｒ上是分段连续吗? 三、间断点及其分类(一) 不连续点（间断点）定义定义3 设函数f 在某00()U x 内有定义,若f 在点0x 无定义,或f 在点0x 有定义而不2,不则称点0x 为函数f 的间断点或不连续点.注 这个定义不好；还不如说：设f 在00()U x 内不定义,如果()f x 在0x 不连续,则称0x 是()f x 的不连续点（或间断点）.由上述分析可见,若0x 为函数f 的间断点,则必出现下列情形之一：①()f x 在点0x 无定义；②0lim ()x x f x →不存在；③00lim ()()x x f x f x →≠.据此,对函数的间断点作如下分类： (二) 间断点分类1、去间断点 若0lim ()x x f x A →=,而f 在点0x 无定义,或有定义但0()f x A ≠,则称0x 为f 的可去间断点.例如：0x =是函数sin ()|sgn |,()xf x xg x x==的可去间断点. “可去间断点”名称何来?通过一定的手段,可以“去掉”.设0x 是()f x 的可去间断点,且0lim ()x x f x A →=.00(),(),f x x x f x A x x =⎧⎨≠⎩@则0x 是()f x 的连续点. 例如,对sin ()x g x x =,定义sin ,0()1,0xx g x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,则()g x 在0x =连续.2、 跃间断点 若0lim (),lim ()x x x x f x f x +-→→存在,但00(0),(0)f x f x +-,则称点0x 为函数f 的跳跃间断点.例如,对[]y x =,0lim[]0,lim[]1x x x x +-→→==-故0x =是它的跳跃间断点. 再如0x =是sgn x 的跳跃间断点.可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点,其特点的函数在该点处的左、右极限都存在. 3、 二类间断点 函数的所有其它形式的间断点（即使称函数至少有一侧极限不存在的点）称为函数的第二类间断点. 例如,0x =是函数1x ,1sin x的第二类间断点. 定理 )(x f 在),(b a 上单调,若点0x 为函数f 的间断点,则点0x 必是f 的第一类间断点.证明 无妨设)(x f 在),(b a 单调上升,),(0b a x ∈∀,当00-→x x 时,函数值)(x f 单调上升,有上界)(0x f ,所以极限存在,且)()0()(lim 0000x f x f x f x x ≤-=-→. 同理)()0()(lim 0000x f x f x f x x ≥+=+→.若)0()0(00+=-x f x f ,0x 为)(x f 连续点,若)0()0(00+<-x f x f ,0x 为第一类间断点. 例7 讨论函数)1( )1( )(2--=x x x x x f 的间断点类型.例8 延拓函数,3sin )(xxx f =使在点00=x 连续. 例9 举出定义在[0,1]上且仅在点41,31 ,21=x 三点间断的函数的例子. 例10 讨论Dirichlet 函数)(x D 和Riemann 函数)(x R 的连续性. 作业 教材P73—74 1 (1),2 (6)(7), 3—6；§4.2 连续函数的性质教学章节：第四章 连续函数——§4.2 连续函数的性质 教学目标：熟悉连续函数的性质并能灵活应用.教学要求：（1）掌握连续的局部性质（有界性、保号性）,连续函数的有理运算性质,并能加以证明；熟知复合函数的连续和反函数的连续性.能够在各种问题的讨论中正确运用连续函数的这些重要性质；（2）掌握闭区间上连续函数的主要性质 ,理解其几何意义,并能在各种有关的具体问题中加以运用；（3）理解函数在某区间上一致连续的概念,并能清楚地认识到函数在一区间上连续与在这一区间上一致连续这二者之间的联系与原则区别.教学重点：闭区间上连续函数的性质； 教学难点：一致连续的概念. 教学过程： 引言函数的连续性是通过极限来定义的,因而有关函数极限的诸多性质,都可以移到连续函数中来.一、 连续函数的局部性质性质1（局部有界性）若f 在0x 连续.则f 在某0()U x 有界. 证明 据f 在0x 连续的定义,,);(U ,0,00时当δ∈>δ∃>ε∀x x 满足ε<-)()(0x f x f ．现取1=ε,相应存在时当);(U ,0000δ∈>δx x ,就有M x f x f x f x f x f x f =+≤⇒<-≤-1)()(,1)()()()(000．注 类似可证连续函数的其余局部性质,例如四则连续性质、局部保号性质等等． 性质2（局部保号性）若f 在0x 连续,且0()0(0)f x or ><则对任何正数0(0,())r f x ∈0(((),0))r f x ∈,存在某0()U x 有()0(()0)f x r f x r >><<.注 ①在具体应用局部保号性时,r 取一些特殊值,如当0()0f x >时,可取0()2f x r =,则存在0()U x ,使得当0()x U x ∈有0()()2f x f x >；②与极限相应的性质做比较可见,这里只是把“极限存在”,改为“连续”,把0()U x 改为00()U x 其余一致.性质3 （四则运算）若f 和g 在0x 点连续,则0,,(()0)ff g f g g x g±⋅≠也都在点0x 连续.问题 两个不连续函数或者一个连续而另一个不连续的函数的和、积、商是否仍旧连续？性质４（复合函数的连续性） 若函数)(x f 在点0x 连续,)(u g 在点0u连续,且)(00x f u =,则复合函数)]([x f g 在点x 连续.证明 0>∀ε,01>∃δ,当10||δ<-u u 时 ε<-|)()(|0u g u g , 对上述01>δ,0>∃δ,当δ<-||0x x 时 001|||()()|u u f x f x δ-=-<0>∀⇒ε,0>∃δ,只要δ<-||0x x 便有ε<-|))(())((|0x f g x f g .即)]([x f g 在点x 连续.注 1) 据连续性定义,上述定理可表为：00lim [()][()][lim ()]x x x x g f x g f x g f x →→==.（即函数运算与极限可以交换次序,条件是函数连续利用它可来求一些函数的极限.）推论 若),()(b a C x g ∈,值域包含于),(βα,),()(βαC t f ∈,则)]([x g f ),(b a C ∈例1 求21limsin(1)x x →-.2) 若复合函数g f o 的内函数f 当0x x →时极限为a,又外函数g 在u a =连续,上面的等式仍成立.（因此时若00lim ()()x x f x a f x →==的话是显然的；若00lim ()()x x f x a f x →=≠,或()f x 在0x x =无定义,即0x 是f 的可去间断点时,只需对性质４的证明做修改：“0||x x δ-<”为“00||x x δ<-<”即可）.故可用来求一些函数的极限.例2 求极限（1）0x →;（2）x 性质5（反函数的连续性） 若函数f 在[,]a b 上严格单调并连续,则反函数1f -在其定义域[(),()]f a f b 或[(),()]f b f a 上连续.二、 区间上连续函数的基本性质闭区间上的连续函数具有一些重要的性质.现将将基本的列举如下.从几何上看,这些性质都是十分明显的.但要严格证明它们,还需其它知识,将在第七章§2给出.先给出下面的关于“最大大值”的定义：定义 1 设f 为定义在数集Ｄ上的函数,若存在0x D ∈,使得对一切x D ∈都有0()()f x f x ≥（0()()f x f x ≤）,则称f 在Ｄ上有最大（小）值,并称0()f x 为f 在Ｄ上的最大（小）值.例如,sin ,[0,]y x π=.max 1y =、min 0y =.一般而言, f 在其定义域上不一定有最大（小）值,即使()f x 在Ｄ上有界. 例如：(),(0,1)f x x x =∈无最大（小）值；1,(0,1)()2,0,1x f x xx ⎧∈⎪=⎨⎪=⎩在［０,1］上也无最大（小）值. (一) 性质性质1（最大、最小值定理）若f 在闭区间[,]a b 上连续,则f 在[,]a b 上有最大值与最小值. 性质2（有界性定理）若f 在[,]a b 上连续,则f 在[,]a b 上有界.思考 ①考虑函数(),(0,1)f x x x =∈,1,(0,1)()2,0,1x g x x x ⎧∈⎪=⎨⎪=⎩上述结论成立否？说明理由；②f 要存在最大（小）值或有界是否一定要f 连续？是否一定要闭区间呢？ 结论 上述性质成立的条件是充分的,而非必要的.性质3（介值定理）设f 在[,]a b 上连续,且()()f a f b ≠.若μ是介于()f a 和()f b 之间的任何实数,则至少存在一点0(,)x a b ∈,使得0()f x μ=.注 表明若f 在[,]a b 上连续,又()()f a f b <的话,则f 在[,]a b 上可以取得()f a 和()f b 之间的一切值.性质4（根存在定理） 若f 在[,]a b 上连续,且()f a 和()f b 异号（()()0f a f b ⋅<）,则至少存在一点0[,]x a b ∈,使得0()0f x =.几何意义 若点(,())A a f a 和(,())B b f b 分别在x 轴两侧,则连接Ａ、Ｂ的曲线()y f x =与x 轴至少有一个交点.(二) 闭区间上连续函数性质应用举例关健 构造适当的f ；构造适当的闭区间.例3 证明方程0cos =-x x 在)2,0(π内至少有一实根 证明：令x x x f cos )(-=,则])2,0([)(πC x f ∈；而 01)0(<-=f ,2)2(>=ππf由零点存在定理即可得证.例4 证明方程013423=--+x x x 有三个实根.证明 =)(x f 013423=--+x x x ,则5)1(,1)1(,1)0(=-=-=f f f , -∞=-∞→)(lim x f x ,故10-<∃x 使得0()0f x <（也可算得011)5(<-=-f ）由零点存在定理即得证.例5 证明若p 是正数,n 是正整数,则存在唯一正数0x 使得p x n=0.（通常地,x 称为p 的n 次正根（算术根）,写作np x =0）证明 ①存在性：令nx x f =)(（结论是说存在00>x 使p x f =)(0,这类问题一般用介值定理）,则),()(+∞-∞∈C x f ；p f <=0)0(,如0>∃b 使p b n >则由介值定理结论成立.而+∞=+∞→n x x lim ,故0>∃b 使p b n>.②唯一性px x nn ==10,0(10>x x 0))((11101010=++-=-⇒--n n nnx x x x x x Λ10=-⇒x x 即10x x =.例 6 设]1,0[)(C x f ∈,且1)(0≤≤x f ,证明至少存在]1,0[∈c 使c c f =)(（著名的Brouwer 不动点定理）.证明 结论提示我们作x x f x F -=)()(,求)(x F 的零点如0)0(=f 或1)1(=f 则结论成立.现设1)1(,0)0(<>f f , 则0)1()0(<F F ,]1,0[)(C x F ∈)1,0(0∈∃⇒x 使)(0=x F 即0)(x x f =.象这类有关不动点问题及)()(x g x f =的根的存在性问题常常是作辅助函数想法化为零点存在问题研究.作辅助函数的方法是从结论中得到启示.例7 证明：),(sin +∞-∞∈=C x y证明 ),(0+∞-∞∈∀x ,00sin )sin(x x x y -∆+=∆02sin 22cos 20→∆∆+=xx x （0→∆x ）,故x sin 在x 连续.由x 的任意性即可推出结论.同理,),(cos +∞-∞∈=C x y ⇒sin tan cos x x x =、cos cot sin x x x =、x x cos 1sec =、x x sin 1csc =均在其定义域内连续.定理 区间上严格单调函数,如果值域为一区间,则函数连续.本定理可看成介质定理之逆：连续函数可以取到一切中间值,反之不对,看例子⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤-<≤=.32,213,10)(x x x xx xx f它可取一切中间值,却不连续. 但如加上严格单调条件,就成立了.定理的证明 不妨设)(x f 在区间),(b a I =严格上升,若)(x f 在I x ∈0不连续,则)0()()0(000+≤≤-x f x f x f 中必有一严格不等号成立,比如)()0(00x f x f <-,则值域包含在))0(),([)]0(),0((00-⋃-+b f x f x f a f 中,就不是一个区间了.下面定理给出反函数的连续性. 三、 反函数的连续性:定理 设),()(b a C x f y ∈=,严格上升,记βα==<<<<)(sup ,)(inf x f x f bx a b x a ,（βα,可能为+∞∞-,）则（1） 在),(βα上存在反函数)(1y f x -=；（2） )(1y f x -=在),(βα上严格上升；（3） ),()(1βαC y f∈-.实际上)(x f y =和)(1y f x -=表示是同一条曲线,单调性和连续性都是这条曲线的固有性质,这定理结果是再也自然不过的事实.证明 （1）因)(x f y =严格上升,反函数一定存在,需要证)(1y f-的定义域恰为),(βα.),(0βα∈∀y ,由上、下确界定义,),(,b a x x ∈'''∃, 使得)()(0x f y x f ''<<'.在],[x x '''或],[x x '''上应用介质定理,),(0x x x '''∈∃或),(x x ''',使得00)(y x f =,由0y 的任意性,得到),(βα为f 的值域,即),(βα为)(1y fx -=的定义域.（2） 设),(2,1βα∈y y , 21y y <, 要证221111)()(x y fy fx =<=--,若21x x ≥,由反函数定义及)(x f 的严格上升,得2211)()(y x f x f y =≥=, 矛盾,所以)(1y f -严格上升.（3）)(1y f-在),(βα严格上升,值域为),(b a ,由上段定理知),()(1βαC y f ∈-.注 若],[)(b a C x f ∈严格上升,令βα==)(,)(b f a f , 则结论中),(βα改为],[βα仍成立,对严格下降函数也有同样结论.由此可得 ,]1,1[arcsin -∈=C x y ,]1,1[arccos -∈=C x y ),(∞+-∞∈=C x arctg y .定理 4.8 若函数f 在],[b a 上严格递增( 或减 )且连续, 则其反函数1-f在相应的定义域[])(),(b f a f (或[])(),(a f b f )上连续.证明 )(x f 严格递增,故1-f存在且在其定义域上严格递增.由介质性定理知,)](),([]),([b f a f b a f =.故1-f的定义域为)](),([b f a f ,值域为],[b a 现证)])(),(([1b f a f C f∈-.设)](),([0b f a f y ∈,要证1-f在y 连续,即证：0>∀ε,0>∃δ,当δ<-||0y y 时 ε<---|)()(|011y fy f(1)记x y f=-)(1,001)(x y f=-,则y x f =)(,00)(y x f =,(1)式即为ε<-||0x x 或,由1-f的严格递增性,要使上式成立,只要)()()(00εε+<<-x f x f x f ,只要)()()()()()(00000x f x f x f x f x f x f -+<-<--εε,即)()()()()]()([00000x f x f x f x f x f x f -+<-<---εε (2)记)}()(),()(m in{0000x f x f x f x f -+--=εεδ,则当δ<-||0y y 时必有⑵成立,从而⑴式成立.对区间端点应用左右连续定义同样可证. 四、一致连续性在连续函数的讨论和应用中,有一个极为重要的概念,叫做一致连续.我们先叙述何谓一致连续.(一) 设()f x 在某一区间Ｉ连续,按照定义,也就是()f x 在区间Ｉ内每一点都连续.即对00,0,(;)x I x U x εδ∀∈∀>∀∈时,就有0|()()|f x f x ε-<.连续定义中δ对0x 的依赖性 ：一般说来,对同一个ε,当0x 不同时,δ一般是不同的.例如图左中1y x=的曲线,考查函数xx f 1)(=在区间] 1 , 0 (上的连续性. 对], 1 , 0 (0∈∀x 作限制,12≤<x x 就有 . 2211 20000000x x x x x x x xx x x x x -=-≤-=- 对0>∀ε , 取 }. 2, 2 min{020xx εδ=这里δ与0x 有关, 有时特记为),(0x εδ.本例中不存在可在区间] 1 , 0 (上通用的δ, 即不存在最小的( 正数 )δ.对接近于原点的0x ,δ就应取小一些.而当0x 离原点较远时,δ取大一些.（对后者的δ值就不一定可用于前者.）但在以后的讨论中,有时要求能取到一个时区间Ｉ内所有的点都适用的δ,如考查函数xx f 1)(=在区间) , [∞+c )0(>c 上的连续性.本例中可取得最小的, 也就是可通用的}. 2, 2 min{2cc εδ= 该δ却与0x 无关, 可记为)(εδ.这就需要引进一个新概念——一致连续.(二) 一致连续的定义定义（一致连续） 设f 为定义在区间Ｉ上的函数.若对任给的0ε>,存在一个()0δδε=>,使得对任何,x x I '''∈,只要||x x δ'''-<,就有()()||f x f x ε'''-<,则称函数f 在区间Ｉ上一致连续.(三) 数在区间上连续与一致连续的比较1、区别若f 在Ｉ上一致连续,则f 在Ｉ上连续；反之不成立（即若f 在Ｉ上连续,f 不一定在Ｉ上一致连续.问题 如何判断一个函数是否一致连续呢？有下面的定理：定理（Cantor 1845-1918） ],[)(b a C x f ∈, 则)(x f 在],[b a 上一致连续.（证明见第七章） 证明 如果不然,)(x f 在],[b a 上不一致连续,00>∃ε,0>∀δ,],[,b a x x ∈'''∃,δ<''-'||x x ,而0|)()(|ε≥''-'x f x f .取n 1=δ,],[,b a x x n n∈'''∃,n x x n n 1||<''-',而0|)()(|ε≥''-'n n x f x f ,由波尔察诺定理,存在子序列],[0b a x x k n∈→',而由k n nn x x k k 1||<''-',也有0x x k n→''. 再由)(x f 在0x 连续,在0|)()(|ε≥''-'k k n nx f x f 中令∞→k ,得000|)()(|lim |)()(|0ε≥''-'=-=∞→k k n nk x f x f x f x f ,矛盾.所以)(x f 在],[b a 上一致连续.例 设)(x f 在 )0(),[>+∞a a 上满足Lipschitz 条件：y x k y f x f -≤-)()(, 证明x x f )(在 ),[+∞a 上一致连续.证 分析.)()()()()(21212121212211ε<-≤-+-≤-x x B x x x x x f x x f x f x x f x x f因为 a x k a f x f -≤-)()(, )()(22a f a k x k x f ++≤,Bx x f ≤22)(,取B εδ=,当δ<-21x x 时,ε<-2211)()(x x f x x f .3、一致连续的例子例1 证明)0()(≠+=a b ax x f 在),(+∞-∞上一致连续.证明 0>∀ε,由于 |||||)()(|2121x x a x f x f -=-,故取||/a εδ=,不论21,x x 为R 上怎样两点,只要δ<-||21x x 就有ε<-|)()(|21x f x f ，即：)0()(≠+=a b ax x f 在),(+∞-∞上一致连续.例2 2)(x x f =在],[b a 上一致连续,但在),(+∞-∞上不一致连续.证明 0>∀ε,当],[,21b a x x ∈时,要使ε<-||2221x x 只要 |||)||(|||||21212121x x x x x x x x -+≤-⋅+ε<-≤||221x x M ，取M 2εδ=（|}||,max{|b a M =）,则当δ<-||21x x 就有ε<-|)()(|21x f x f ，（不一致连续：00>∃ε,0>∀δ,Ix x ∈'''∃,,虽δ<''-'||x x 但ε≥''-'|)()(|x f x f .）取10=ε,0>∀δ,取δ11=x ,212δ+=x x ；则虽然δδ<=-2||21x x ,但是22221141||εδ=>+=-x x .例3 证明x x f 1)(=在)1,0(内不一致连续（虽然它在)1,0(内每一点都连续）.证明 取10=ε,0>∀δ,取}21,min{δ='x ,2/x x '='',则δδ<≤'=''-'22||x x x但 011|21||11|ε=>'='-'=''-'x x x x x )(x f ⇒在)1,0(内不一致连续. )(x f 在I 上一致连续⇒ )(x f 在I 上连续.从上例看,其逆不真.例4 证明 1sinx在(,1)c (0)c >内是一致连续的,而在(0,1)内连续但非一致连续. 证明 ΛΛ,cos 2sin 2 1sin 1sin 22121212121212121c x x x x x x x x x x x x x x x x -≤-≤+-=-.例 5 设区间1I 的右端点为1c I ∈,区间2I 的左端点也为2c I ∈（12,I I 可分别为有限或无限区间）.试按一致连续性定义证明：若f 分别在1I 和2I 上的一致连续,则f 在12I I I =⋃上也一致连续.例6 证明),()(b a x f 在上一致连续的充要条件是：),()(b a x f 在上连续,且存在)(lim )(lim 0x f x f b x a x -→+→与．证明 先证充分性：令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∈=-→+→.,)(lim ,,)(lim ,),(,)()(0b x x f a x x f b a x x f x g b x a x由条件可知 ],[)(b a x g 在上连续,从而 ],[)(b a x g 在上一致连续（由连续函数在闭区间上的整体性质）．再由一致连续的定义,又知),()(b a x g 在上也一致连续．而在)()(),(x f x g b a =上,所以证得),()(b a x f 在上一致连续．再证必要性：由),()(b a x f 在上一致连续的定义,0,0>δ∃>ε∀,当δ<''-'∈'''x x b a x x 且),(, 时,有ε<''-')()(x f x f ．因此,特别当时或),(),(,b b a a x x δ-δ+∈''',同样有ε<''-')()(x f x f ．这表示)(00x f b x a x 时或-→+→存在极限的柯西条件得到满足,所以证得)(lim 0x f a x +→与)(lim 0x f b x -→都存在．注 由例5结论,易证：若),()(b a x f 在上一致连续,则),()(b a x f 在上必定有界．这是因为上面证明中已知],[)(b a x g 在上连续,从而],[)(b a x g 在上有界,故),()(b a x g 在上也有界；而在)()(),(x f x g b a =上,所以知道),()(b a x f 在上有界．对于一般在),(b a 上的连续函数)(x f ,它在),(b a 上不一定有界．例如)1,0(,)1,0(1)(但它在上处处连续在x x f =上是无界的．由此又可说明)1,0(1)(在x x f =上必定不一致连续．4、一致连续的否定: 例11 证明函数xx f 1)(=在区间) 1 , 0( 内非一致连续. 证法一 ( 用一致连续的否定定义验证 ) 取),1( ,10<∀=δε 取}, 21, min{δ='x与,2x x '='' 便有 .22δδ<≤'=''-'x x x 但 ΛΛ .12121 110ε=>≥'=''-'=''-'x x x x x 证法二 ( 用例10的结果 ). 5、Lipschitz 连续与一致连续: 定义Lipschitz 连续.例12 函数)(x f 在区间I 上-L 连续, )( x f ⇒在I 上一致连续. ( 证略 ) 但函数)(x f 在区间I 上一致连续时, 未必有)(x f 在I 上-L 连续. 例如: 函数x x f =)(在区间) 1 , 0 (内一致连续.（为证明x 在区间) 1 , 0 (内一致连续, 先证明不等式: ,0, 21≥∀x x 有不等式 . 2212121x x x x x x -≤-+ 事实上,21x x ≥时, ,222122212121x x x x x x x x x x -=-+≤-+同理, 21x x ≤时, 有.221211212121x x x x x x x x x x -=-+≤-+ 利用该不等式, 为使=-221 )()( x f x f ,222121ε<-+x x x x 只要 . 221ε<-x x ）却不是-L 连续. 事实上, 倘存在L >0, 使对 ), 1 , 0 (, 21∈∀x x 有 , )()( 212121x x L x x x f x f -≤-=-则当21x x ≠时,应成立.121L x x ≤+但若取,4 ,12221n x n x ==就有 ). ( ,3121∞→∞→=+n nx x 矛盾. 作业 教材P81—82 1—7,11,13； 8,9,10.§3 初等函数的连续性教学章节：第四章 连续函数——§3初等函数的连续性.教学目标：知道所有初等函数都是在其有定义的区间上连续的函数,并能够加以证明. 教学要求：深刻理解初等函数在其定义的区间上都是连续的,并能应用连续性概念以及连续函数的性质加以证明,能熟练运用这一结论求初等函数的极限.教学重点：初等函数的连续性的阐明. 教学难点：初等函数连续性命题的证明. 教学方法：学导式教学. 教学过程：一、 复习（关于初等函数）(一) 初等函数: 由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数. (二) 基本初等函数： 常量函数y C =； 幂函数y x α=；指数函数(0,1)x y a a a =>≠； 对数函数log (0,1)a y x a a =>≠； 三角函数sin ,cos ,,y x x tgx ctgx =；反三角函数arcsin ,arccos ,,y x x arctgx arcctgx =.二、初等函数的连续(一) 指数函数x a 、对数函数x a log 和幂函数αx 连续性引理 设1,1>>n a 为正整数,则!1b ∃>, 使nb a =.由此我们可以定义n a b =. 证 在区间 ],1[a 上考虑函数],1[)(a C x x f n ∈=, 且)(1)1(a f a a f n=<<=. Bolzano-Cauchy 第二定理给出],1[a b ∈,使nb a =.如果n a b =',即a b n =',n n b b =',由函数n x x f =)(严格单调,推出b b =',即唯一性.定义 若n m q =（n m ,正整数,互素）为正有理数,m nq a a )(=. 若q 为负有理数,q q a a -=1,定义10=a . 若λ为无理数,定义为有理数q a a q q ,sup λλ<=.这里需说明sup 存在：当q 为有理数时,qa 是单调上升的,即 21q q <时,11212>=-q q q q a a a ,12q q a a >,所以sup 存在.最后无论x 为有理数还是无理数,都有为有理数q a a q xq x ,sup ≤=.命题 xa x f =)(严格上升,在),(+∞-∞上连续.证明 设21x x <,∃有理数21,q q ,使得2211x q q x ≤<≤, 由此222111sup sup x q x q q q q x q x a a a a a a =≤<≤=≤≤.),(0+∞-∞∈∀x , 0>∀ε, N ∃, 使得N a )1(ε+<,取21,q q 有理数,使得201q x q <<,N q q 112=-, 则 2)0()(00q a x f x f ≤+≤, 1)0()(00q a x f x f ≥-≥,ε+<==≤-+≤-1)0()0(11001212N q q q q a a a a x f x f ,所以0)()0()0(000x a x f x f x f ==-=+.指数函数还有性质 2121xx x x a a a +=.命题 对数函数),0(log ∞+∈=C x y a .证明 ya x =在),(+∞-∞上严格上升,连续,其值域为),0(∞+,所以其反函数x y a log =在),0(∞+也严格上升,连续.命题 幂函数),0(ln ∞+∈==C e x y xαα. 证明 它是指数函数ze 和对数函数x z ln α=的复合函数,每个函数都连续,它们的复合也连续. (二) 结论定理4.12 一切基本初等函数都是其定义域上连续函数. 定理4.13 任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数.注 初等函数的连续区间和间断点: 初等函数的间断点是其连续区间的开端点. 闭端点是其单侧连续点.例1 求函数2ln 1)(-+=x x x f 的连续区间和间断点.解 ). , 3 () 3 , 2 () 2 , 1 () 1 , 1[∞+⋃⋃⋃-=f D∴ )(x f 的连续区间为: ) 1 , 1[-、) 2 , 1 (、) 3 , 2 (和) , 3 (∞+. 间断点为: 2 , 1=x 和3. ()( x f 在点1-=x 右连续 ).三、利用初等函数的连续性可计算极限求极限的指数法则 若0)(lim 0>=→a x u x x ,b x v x x =→)(lim 0,则0)(lim )(0>=→b x v x x a x u . 证明 如果)(),(x v x u 在0x 点连续,且0)(0>x u ,则)(ln )()()(x u x v x v e x u =在0x 点连续,补充定义a x u =)(0,b x v =)(0,则bx v x x a x u =→)()(lim 0.上述极限过程当∞-+∞=,0x 时仍成立,只要利用变换t x 1=就行了,例如：xx x )1sin 1(lim ++∞→中我们注意到x xx x x x 11sin 1sin1)1sin 1()1sin 1(⋅+=+,很容易得到它趋向于e ,当+∞→x 时.f 连续f ⇔与0lim x x →可交换： )lim ()()(lim 000x f x f x f x x x x →→==；))(())(lim ())((lim 00x f x f x f x x x x ϕϕϕ==→→.例2 求0ln(1)limx x x→+.例3 求20ln(1)lim cos x x x→+.例4 .1111lim 0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++→x x x x x (作倒代换) .1x t = 例5 ().1lim sec 0xctgxx tgx +→解 I = ()().)1(lim )1(lim 1sec lim 0sec 0e e tgx tgx xctgxx xctgx x x ==+=+→→→例6 ().sin 1sin lim x x x -++∞→解 =-+x x sin 1sin .21cos 21sin2xx x x ++-+ ,021lim sin 21sin lim ,121cos=-+=-+≤++∞→+∞→xx x x x x x x Θ∴I = .0作业 教材P84 1,2.第四章 连续函数习题课一、基本概念与主要结果 (一) 函数连续性定义函数f 在0x点连续,等价定义有：1、)()(lim 00x f x f x x =→；2、0>∀ε,0>∃δ,x ∀：δ<-||0x x ⇒ε<-|)()(|0x f x f ；3、0lim 0x y ∆→∆=；4、=+→)(lim 0x f x x )()(lim 00x f x f x x =-→；5、0>∀ε,0>∃δ⇒)),(()],([00εδx f U x U f ⊂；6、对任意数列}{n x ,)(0∞→→n x x n ,x x n ≠,有)()(lim 0x f x f n n =∞→.(二) 左、右连续：)()(lim 00x f x f x x =+→、)()(lim 00x f x f x x =-→.(三) 间断点类型：间断点（不连续点）00000lim ()()()()()x x f x f x f x f x f x →+-+-⎧⎪⎪∃⎨⎪⎪⎩存在----可去间断点、但不等----第一类间断点、中至少一个不存在----第二类间断点(四) 一致连续概念： I x x f ∈),(,0>∀ε,0)(>=∃εδδ,使得I x x ∈∀21,,εδ<-⇒<-|)()(|||2121x f x f x x1、)(x f 在闭区间],[b a 上一致连续⇔[,]f a b ∈£；2、)(x f 在开区间(,)a b 上一致连续⇔(,)f a b ∈£且()f a +、()f b -存在； 3、不一致连续⇔00>∃ε,0>∀δ,I x x ∈∃21,,虽δ<-||21x x 但021|)()(|ε≥-x f x f(五) 初等函数在其定义域上连续 二、连续函数的性质(一) 局部性质：局部有界性、局部保号性、四则运算法则、复合函数的连续性. (二) 整体性质：1、闭区间上连续函数必有界；（有界性）2、闭区间上连续函数必取到最大值、最小值；（最值性）3、介值性、零点存在定理；4、反函数的连续性定理；5、[,]f a b ∈⇔£f 在],[b a 上一致连续.三、例题和讨论例1 若f 在点0x 连续,则||f 、2f 也在点0x 连续,反之如何？证明 ||f 在点0x 连续易证.现证2f 在点0x 连续,|)()(||)()(||)()(|00022x f x f x f x f x f x f -⋅+=-,f 在点0x 连续01>∃⇒δ,0>M ,当01(,)x U x δ∈时M x f <|)(|；0>∀ε,02>∃δ,当20||δ<-x x 时,M x f x f ε<-|)()(|0,取},m in{21δδδ=,则当δ<-||0x x 时,εε=⋅<-MM x f x f |)()(|022.反之不成立,如,(),x x f x x x ⎧=⎨-⎩为有理数为无理数.例2 若对0>∀ε,f 在],[εε-+b a 上连续,是否能由此推出f 在),(b a 内连续？解 能.),(0b a x ∈∀,0>∃ε使00εε-≤≤+b x a 即],[],[000b a b a x ⊂-+∈εε.（如取}2,2min{000x b a x --=ε）由已知得,)(x f 在0x 连续,再由0x的任意性即可得结论.注意以下不严格的做法：lim()a a εε→+=,lim()b bεε→-=⇒),(],[lim 0b a b a =-+→εεε,故……例3 ()f ∈！,0>c ,证明,()()(),|()|,()c f x c F x f x f x cc f x c -<-⎧⎪=≤⎨⎪>⎩在R 上连续.证一2|)(||)(|)(c x f c x f x F --+=证二0x ∀∈¡i ）如cx f -<)(0,则0>∃δ,当),(0δx U x ∈时cx f -<)(,),(0δx U x ∈⇒时c x F -=)(,故)()(lim 00x F c x F x x =-=→.ii ）如cx f >)(0,同上可证)()(lim 00x F c x F x x ==→；iii ）如cx f <|)(|0,同上可证)()()(lim 000x F x f x F x x ==→.iv ）如c x f =)(0,0>∀ε,0>∃δ当),(0δx U x ∈时ε<-|)()(|0x f x f 且2)(cx f >,于是当),(0δx U x ∈时ε+<<c x f c)(2,从而c x F =)(或)()(x f x F =,因而⎩⎨⎧<-<=-=-εε|)()(|0|||)()(|00x f x f c c x F x F)(x F ⇒在0x 连续v ）若cx f -=)(0,同iv ）可证.注意典型错误：设cx f -<)(0,则cx F -=)(0.因此,)()(lim 00x F c x F x x =-=→.例4 讨论下列函数的连续性（指出间断点及其类型）⑴21,0,1()(1)0,0x x f x x x x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩⑵1121,0()211,0x xx f x x ⎧-⎪⎪≠=⎨+⎪=⎪⎩⑶sin ,()0,x x f x x π⎧=⎨⎩为有理数为无理数⑷||ln 1)(x x f =解 ⑴由初等函数连续性知,f 在1,0≠x 连续,因为)1(21lim)(lim 11f x x x f x x ≠=+=→→（无定义）,故1=x 为可去间断点；因∞=+=→→x x x f x x 1lim)(lim 0,故0=x 为第二类间断点.⑵ 1)(lim 0=+→x f x ,1)(lim 0-=-→x f x ,1)0(=f ,故f 在0=x 右连续非左连续,为第一类间断点.⑶0()x m m ≠∈¢时,在x 的右侧取有理数列}{n p 及无理数列}{n q ,使0lim x p n n =∞→nn q ∞→=lim ,于是有sin sin )(0≠→=x p p f n n ππ而0)(=n q f )(lim 0x f x x +→⇒不存在,故0()x m m ≠∈¢为f 的第二类间断点；0()x m m =∈¡时,|sin ||)(||)()(|0x x f x f x f π≤=-x x →时,sin sin 0=→x x ππ.故⇒=-→0|)()(|lim 00x f x f x x )()(lim 00x f x f x x =→（或：|||)(2sin )(2cos |2|sin sin ||sin |0000x x x x x x x x x -≤-+=-=ππππππ）此例可看出,它有无数多个孤立的连续点,而在被这些连续点隔开的每个开区间内,函 数是处处不连续的.实际上,)(sin )(x D x x f ⋅=.推广 ϕ：→ 连续,)()()(x D x x f ⋅=ϕ（x ∈¡）,则ϕ的零点是f 的连续点,其余的点是f 的第二类间断点.此例也说明：一个函数在一点x 连续,并不意味着它在x 的某个领域内也连续.例5 证明：设f 为区间I 上的单调函数,若Ix ∈0为f 的间断点,则必是f 的第一类间断点. 证明 设)(x f 单调递增,则0x x <∀,)()(0x f x f ≤,从而)(x f 在0x 的左领域上单调递增有上界,因而)(lim 0x f x x -→存在；同理,)(0+x f 也存在,再由单调性)()()(000+-≤≤x f x f x fx 为间断点)()(00+-≠⇒x f x f 0)()(00>-⇒-+x f x f 0x ⇒为第一类间断点. 例6 设)(x f 为],[b a 上递增函数,其值域为)](),([b f a f ,证明],[)(b a C x f ∈.证明 若)(x f 有间断点],[0b a x ∈,由上题,)()(00x f x f ≠-或)()(00+≠x f x f不妨设为前者,)(x f 递增,故有：)()0()()(00x f x f x f a f ≤-≤≤,),[0x a x ∈； )()0()()(00x f x f x f b f ≥+≥≥,],(0b x x ∈,这说明对一切],[b a x ∈,不能取到))0(),0((00+-x f x f 内的值.这与已知矛盾,故)(x f 在],[b a 上不可能有间断点,即连续.例7 证明：若[,]f a b ∈£,b x x x a n <<<<<Λ21,则],[1n x x ∈∃ξ使n x f x f x f f n )()()()(21+++=Λξ.证明 设1()min ()l i i n f x f x ≤≤=,1()max ()m i i nf x f x ≤≤=,},,,{,21n m l x x x x x Λ∈,则)()()(1m ni il x f nx f x f ≤≤∑=.如nx f x f ni il ∑==1)()(或nx f x f ni im ∑==1)()(,则lx 或mx 即为所求.如上二式皆不相等,则)()()(1m ni il x f nx f x f <<∑=,由介值定理即得证.例8 ()[0,2]f x a ∈£且)2()0(a f f =.证明：],0[a ∈∃ξ使)()(a f f +=ξξ. 证明 令)()()(a x f x f x F +-=,],0[a x ∈.若⇒=0)()0(a F F 0或a 即为所求；否则0))()0(()()0(2<--=a f f a F F 由介值定理即得证.例9 [,]f a b ∈£,],[b a x ∈∀,0)(≠x f ,则f 在],[b a 上恒正或恒负（此结论非常有用）. 证明：反证,用零点存在定理即得.例10 [0,1]f ∈£,)1()0(f f =,证明,对任何正整数n ,]1,0[∈∃ξ使)()1(ξξf n f =+. 证明 1=n 时,取0=ξ即可； 1>n 时,令)()1()(x f n x f x F -+=证一1()[0,1]F x n ∈-£,如]11,0[n x -∈∀,0)(≠x F ,则)(x F 恒正或恒负 设0)(>x F ,]11,0[n x -∈即)()1(x f n x f >+)1()()1()0(f n nf n f f =<<<⇒Λ,矛盾.证二 0)0()1()1()1()0(=-=-+++f f n n F n F F Λ, 由例7,]1,0[∈∃ξ使0)(1)(1==∑=n i n iF n F ξ.例11 x 在),0(+∞上一致连续. 证一[0,1]⇒£x 在]1,0[上一致连续；x 在),1(+∞上也一致连续,证明如下：0>∀ε,2||||||21212121x x x x x x x x -<+-=-,故只要取εδ2=,但从上述结果还不能马上推出x 在),0[+∞上一致连续.（0>∀ε,0>∃δ,当δ<-||21x x 时12|()()|f x f x ε-<；如1[0,1]x ∈, 2(1,)x ∈+∞怎么办？）0>∀ε,10δ∃>,当[]12,0,1x x ∈,121||x x δ-<时|ε<；220δε∃=>,当12,(1,)x x ∈+∞,122||x x δ-<时ε<.()f x 在1x =连续,故30δ∃>,当3|1|x δ-<时|1|/2ε<.从而当123,(1,)x x U δ∈且123||x x δ-<时|1|1|/2/2εεε≤+<+=取123min{,,}δδδδ=,则当12,[0,)x x ∈+∞且12||x x δ-<时有12|()()|f x f x ε-< .证二 0>∀ε,取120δε=>,则当12,[1,)x x ∈+∞且121||x x δ-<时|ε<[0,2]f ∈£f ⇒在[0,2]上一致连续.20δ∃>,当12,[0,2]x x ∈,122||x x δ-<时ε<取12min{,,1}δδδ=,则当12,[0,)x x ∈+∞且12||x x δ-<时ε<. #同法可证：f 在[,]a c 、[,]c b 上一致连续⇒f 在[,]a b 上一致连续.例12 [,]f a b ∈£,证明：⑴若对一切有理数[,]r a b ∈有()0f r =,则()0,[,]f x x a b ≡∈⑵对任意两个有理数12,[,]r r a b ∈,12r r <有12()()f r f r <,则()f x 为[,]a b 上严格递增函数.证明 ⑴0[,]x a b ∀∈,取有理数列0n r x →,[,]n r a b ∈,00lim ()()n n f r f x →∞==.⑵12,[,]x x a b ∀∈,12x x <.取1n r x '→、2n r x ''→,n r '、n r ''为有理数,1n r x '<、2n r x ''>,由连续性及()()n n f r f r '''<得12()()f x f x ≤,1x a =或2x b =时取极限如存在12x x <使12()()f x f x =,则由f 单调递增性12x x x ⇒∀<<有1()()f x f x =但在12[,]x x 之间有无数有理数,矛盾.故可知()f x 在[,]a b 上严格单调递增例13 ()f x 在0x =连续,且对,(,)x y ∀∈-∞+∞有()()()f x y f x f y +=+ 证明 ⑴ (,)f ∈-∞+∞£；⑵()(1)f x f x =.证明 ⑴0x ∀,000000lim ()lim ()()(0)()()x x x x f x f x x f x f f x f x →→=-+=+=.⑵ 正有理数(0)mr m n n =>、,()()((1))()f mx f x f m x mf x =+-==L ,1()()()()()x x x f x f n nf f f x n n n n =⋅=⇒=,()()()m x mf x mf f x n n n ==即()()()(1)f rx rf x f r rf =⇒=()()(0)0f x f x f -+==()()f x f x ⇒-=-（(0)()(0)(0)0f x f x f f +=+⇒=）,()()(1)m m m f f f n n n -=-=- .所以,对任意有理数r ,()(1)f r rf = 0x ∀,取0n r x →即可得证.例14 如何把闭区间连续函数的性质推广到开区间？⑴()f I ∈£,左端点a （可以为-∞）,右端点b （可以为+∞）；()f a A +=,()f b B -=。
《数学分析》第四章 函数的连续性教案
定理 4.3（局部保号性）若函数 f (x) 在 x0 点连续，且 f (x0 ) 0 ，
则对任意 0 存在 x0 某邻域 U (x0 ) , x U (x0 ) 时， f (x) 0
. 5.
定理 4.4（四则运算性质）若函数则 f (x) , g(x) 在区间 I 上有定义，
则称 f (x) 在点 x0 连续。
它包含着三个方面的内容：
1） f (x) 在点 x0 处有定义，即 f (x0 ) 存在。 2）极限存在即 lim f (x) A
x x0
3）极限值为函数值即 A f (x0 )
例如，函数
f
(x)
x
sin
1 x
0
x0 x0
为引入另一表述，记 x x x0 为 自变量 x （在点 x0 ）的增量或改变
. 1.
§1 连续性的概念
内容： 1 、 函数在点 x0 处连续性 2 、间断点 x0 及其的分类 3 、区间上的连续函数
重点：
函数在点 x0 的连续性；间断点的分类。
难点： 连续性的证明 要求： 1、理解连续的定义，间断点的分类，会用定义证明函数的连续性。
2、能够区分出间断点所属的类别。
3、会判断函数在区间上的连续性。
四、教学难点：连续函数的保号性；一致连续性
五、授课内容：
1、连续函数的局部性质
根据函数的在
x0
点连续性，即
lim
x x0
f (x)
f (x0 ) 可推断出函数
f (x) 在 x0
点的某邻域U (x0 ) 内的性态。
定理 4.2（局部连续性）若函数 f (x) 在 x0 点连续，则 f (x) 在 x0 点的某 邻域内有界。
数学分析函数的极限与连续性
数学分析函数的极限与连续性数学分析：函数的极限与连续性在高等数学中，函数的极限与连续性是非常基本且重要的概念。
本文将从函数极限和函数连续性两个方面，简要介绍相关定义和判定方法。
一、函数的极限1. 定义设 $f(x)$ 是定义在某一区间内的函数，$x_0$ 为该区间的某一点，如果对于任何给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $\delta$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$ 时，就有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ 成立，那么就称$f(x)$ 当 $x$ 趋近于 $x_0$ 时的极限为 $A$，记为$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$。
这个定义可以简单理解为：在 $f(x)$ 函数中，当 $x$ 趋近于$x_0$ 时，$f(x)$ 的取值越来越接近于 $A$。
2. 极限的性质(1) 极限唯一性：如果 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$ 存在，则极限唯一。
(2) 有界性：如果 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$ 存在，则$f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有界。
(3) 夹逼定理：设 $f(x),g(x),h(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义，并且当 $x$ 趋近于 $x_0$ 时，有 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ 成立，则当 $x$ 趋近于 $x_0$ 时，这三个函数的极限都存在，且有$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)\leq \lim\limits_{x\rightarrowx_0}f(x)\leq \lim\limits_{x\rightarrow x_0}h(x)$。
二、函数的连续性1. 定义设 $f(x)$ 是定义在某一区间内的函数，$x_0$ 为该区间的某一点，如果 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$ 存在且等于 $f(x_0)$，那么就称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。
数学分析4.3初等函数的连续性
第四章函数的连续性3 初等函数的连续性一、指数函数的连续性定理4.10：设a>0，m,n为任意实数，则有a m·a n=a m+n，(a m)n=a mn. 证：1、先证明a m·a n=a m+n.(1)当a=1时，有a m·a n=a m+n=1.{a r|r为有理数}，(2)当a>1时，∵a x=supr<x∴∀ε>0，设r,s为有理数，且r<m, s<n，使得a m-ε<a r，a n-ε<a s. 由a x的严格增性得a r+s<a m+n. 又a r·a s =a r+s，∴(a m-ε)(a n-ε)<a m+n，由ε的任意性推出a m·a n≤a m+n.又取有理数p<m+n，使得a m+n -ε<a p.再取有理数r,s使r<m, s<n，且p<r+s，则有a p<a r+s=a r·a s<a m·a n，故得a m+n -ε< a m·a n. 由ε的任意性推出a m+n≤a m·a n.∴a m·a n=a m+n.{a r|r为有理数}，(3)当0<a<1时，∵a x=infr<x∴∀ε>0，设r,s为有理数，且r<m, s<n，使得a m+ε>a r，a n+ε>a s. 由a x的严格减性得a r+s>a m+n. 又a r·a s =a r+s，∴(a m+ε)(a n+ε)>a m+n，由ε的任意性推出a m·a n≥a m+n.又取有理数p<m+n，使得a m+n +ε>a p.再取有理数r,s使r<m, s<n，且p<r+s，则有a p>a r+s=a r·a s>a m·a n，故得a m+n +ε>a m·a n. 由ε的任意性推出a m+n≥a m·a n.∴a m·a n=a m+n.2、再证明(a m)n=a mn. 不妨设m>0，n>0.(1)当a=1时，有(a m)n=a mn =1.{a r|r为有理数}，(2)当a>1时，∵a x=supr<x∴∀ε>0，设r,s为有理数，且m>r>0, n>s>0，使得a m-ε<a r.由a x的严格增性得，a rs<a mn. 又(a r)s =a rs，∴(a m-ε)n<(a r)s =a rs<a mn，由ε的任意性推出(a m)n≤a mn.又取有理数p<mn，使得a mn -ε<a p.再取有理数r,s使r<m, s<n，且p<rs，则有a p<a rs=(a r)s<(a m)n，故得a mn -ε<(a m)n. 由ε的任意性推出(a m)n≥a mn.∴(a m)n=a mn.(3)当0<a<1时，∵a x=infr<x{a r|r为有理数}，∴∀ε>0，设r,s为有理数，且r<m, s<n，使得a m+ε>a r.由a x的严格减性得a rs>a mn. 又(a r)s =a rs，∴(a m+ε)n>(a r)s =a rs>a mn，由ε的任意性推出(a m)n≥a mn.又取有理数p<mn，使得a mn +ε>a p.再取有理数r,s使r<m, s<n，且p<rs，则有a p>a rs=(a r)s>(a m)n，故得a mn+ε>(a m)n. 由ε的任意性推出a mn≥(a m)n.∴(a m)n=a mn.若m<0或n<0，可设M= -m>0或N= -n>0，则有(a m)n=[(a M)n]-1=(a Mn)-1=a mn，或(a m)n=[(a m)N]-1=(a mN)-1=a mn，或(a m)n=(a M)N=a MN=a mn.定理4.11：指数函数a x(a>0)在R上是连续的.证：令f(x)=a x. 当a=1时，f(x)=1在R上连续.当a>1时，limx→0a x=1=a0，∴a x(a>1)在x=0连续.任取x0∈R，则a x=a x0+(x−x0)=a x0·a x−x0.令t=x-x0，则当x→x0时，有t→0，从而有limx→x0a x=limx→x0a x0·a x−x0=a x0limt→0a t=a x0.∴a x(a>0)在任一点x0连续，即a x(a>1)在R上是连续的.当0<a<1时，令b=1a >1，而a x=1bx=b-x.∵u=-x与b u(b>1)在R上都连续，∴b-x(b>1)在R上连续，即a x(0<a<1)在R上连续. ∴指数函数a x(a>0)在R上是连续的.例1：设limx→x0u(x)=a>0，limx→x0v(x)=b. 证明：limx→x0u(x)v(x)=a b.证：若u(x0)≠a或v(x0)≠b，补充定义u(x0)=a，v(x0)=b. 则u(x), v(x)在x0都连续.从而v(x)ln u(x)在x0也连续，即有limx→x0v(x)ln u(x)=v(x0)ln u(x0)，又limx→x0v(x)ln u(x)=limx→x0ln u(x)v(x)=ln limx→x0u(x)v(x)；v(x0)ln u(x0)=ln u(x0)v(x0)=ln a b；∴ln limx→x0u(x)v(x)= ln a b；∴limx→x0u(x)v(x)=a b.二、初等函数的连续性定理4.12：一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数.定理4.13：任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数.例2：求limx→0ln(1+x)x.解：原式=limx→0ln(1+x)1x=ln limx→0(1+x)1x=ln e=1.例3：求limx→0ln(1+x2) cos x.解：∵f(x)=ln(1+x 2)cos x在x=0连续，∴原式=f(0)=0.习题1、求下列极限：(1)limx→0e x cosx +51+x+ln (1−x)；(2)limx→+∞x+x+x−x；(3)limx→+∞x+x+xx+1；(4)limx→0+1x+1x+1x−1x−1x+1x；(5)limx→01+sinx cotx.解：(1)∵该函数在x=0处连续，∴limx→0e x cosx +51+x2+ln (1−x)=e0cos0 +51+02+ln (1−0)=6.(2)limx→+∞x+x+x−x=limx→+∞x+xx+x+x+xlimx→+∞1+1x1+1x+1x x+1=12.(3)limx→+∞x+x+xx+1=limx→+∞1+1+1x x1+1x=1.(4)limx→0+1x+1x+1x−1x−1x+1x=limx→021+11+1+1+1−1+1=lim x→0+1+x1+x+x x+1−x+x x=1.(5)ln limx→01+sinx cotx=limx→0ln1+sinx1sinxcos x=limx→0cos xln1+sinx1sinx=lim x→0cos x·limx→0ln1+sinx1=ln limsinx→01+sinx1=ln e.∴limx→01+sinx cotx=e.2、设limn→∞a n=a>0，limn→∞b n=b. 证明：limn→∞a nb n=a b.证：∵limn→∞a n=a>0，∴存在N，当n>N时，有a n>0.当n>N时，令A n=a n b n，则ln A n=b n ln a n. ∴limn→∞lnA n= b ln a.从而有limn→∞a n b n=limn→∞e b n lna n=limn→∞e lnA n=e blna=a b.。
数学分析第四章函数的连续性总结
数学分析第四章函数的连续性总结第四章《函数的连续性》是数学分析课程中的重要章节，主要介绍了函数的连续性概念、连续函数的性质和连续函数运算的有关定理。
在学习这一章节时，我们掌握了连续性的定义和性质，以及学会了判断函数的连续性和运用连续函数的性质进行数学推导和问题求解。
下面是对这一章节的总结。
1.连续性的定义：连续性是函数分析的基本概念之一、对于实数集上的函数f(x)，当x 趋于其中一点c时，如果f(x)也趋于其中一点f(c)，则称函数f(x)在点c处连续。
常用的连续性定义有：-ε-δ定义：对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当，x-c，<δ时，有，f(x)-f(c)，<ε；-极限定义：f(x)在c点连续的充要条件是当x→c时，有f(x)→f(c)。
2.连续函数的性质：(1)连续函数在其定义域上具有以下性质：-连续函数的和、差、积仍然是连续函数；-连续函数的复合仍然是连续函数；-有界闭区间上的连续函数取得最大值和最小值。
(2)零点定理和介值定理：-零点定理：如果函数在区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)分别为正数和负数，那么在开区间(a,b)内至少存在一点c，使得f(c)=0；-介值定理：如果函数在区间[a,b]上连续，并且k介于f(a)和f(b)之间，那么在开区间(a,b)内至少存在一点c，使得f(c)=k。
(3)连续函数的保号性和单调性：-保号性：如果函数在区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)不等于0，则在开区间(a,b)内，函数f(x)的符号不变；-单调性：如果函数在区间[a,b]上连续，且在该区间上严格单调增加或减少，那么函数的值域也是一个区间。
3.连续函数运算的有关定理：(1)介值定理：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则它在该区间上取得介于f(a)和f(b)之间的任意值。
(2)零点定理：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)异号，则它在该区间内至少有一个零点。
分析方法 第四章 函数的连续性
定理4.3局部保号性 若函数f ( x)在点x0连续, 且f ( x0 ) 0 0, 则存在x0的某
若函数f ( x), g ( x)在点连续, 则f ( x) g ( x), f ( x) g ( x), 定理4.4四则运算法则
即 lim f ( x) g ( x) f ( x0 ) g ( x0 ), lim f ( x) g ( x) f ( x0 ) g ( x0 ),
例如, 函数sin x在0,2 上的最大值为 1, 最小之为1.
y
1
1
而函数f ( x) x在0,1上没有最大值与最小值 .
0
y
2
x
y 1 x
1 x 0,1, 函数g ( x) x 在0,1上也没有最大与最小值 . 2 x 0与1. 若函数f ( x)在闭区间 定理4.6最大、与最小值定理
注 若f (u )在u0连续 , u g ( x), u0 lim g ( x), 则 lim f g ( x) f lim g ( x). x x0 x x0 x x0
例1 求 lim sin 1 x 2 .
x 1
解 sin 1 x 2 为连续函数sin u与u 1 x 2的复合函数 , 于是
x 0 x 0
x x0 例2 讨论f ( x) x 0 x 0 , 在点x 0的连续性. x x 0
于是f ( x)在x 0既左连续 , 又右连续 , 从而连续
x 2 x 0 例3 讨论函数f ( x) , 在点x 0的连续性. x 2 x 0
f (u) f (u0 )
再由g( x)在x0的连续性 , 及u0 g( x0 ),对以上 0, 0, x x0 时, 有
数学分析第四章函数的连续性
数学分析第四章函数的连续性函数的连续性是数学分析中一个重要的概念，它描述了函数在其中一点附近的行为。
在本章中，我们将讨论函数的连续性及其性质，并介绍一些与连续性相关的重要定理。
在数学分析中，函数的连续性可以用一种直观的方式来理解。
如果在一个区间内，函数的图像是连续的、没有断点的，那么我们就可以说这个函数在这个区间内是连续的。
如果函数在其中一点处发生突变或跳跃，那么我们就认为函数在该点处不连续。
首先，我们来定义函数在其中一点处的连续性。
设函数f(x)在点a 处有定义，则我们说f(x)在点a处连续，如果满足以下三个条件：1.f(a)存在，即函数在点a处有定义；2. lim(x→a) f(x)存在，即函数在点a处的极限存在；3. lim(x→a) f(x) = f(a)，即函数在点a处的极限等于函数在点a 处的取值。
根据这个定义，我们可以得出一些常见函数的连续性。
例如，多项式函数、三角函数、指数函数和对数函数都是连续函数。
此外，利用连续函数的相加、相乘、相除和复合运算，我们可以得到更多的连续函数。
接下来，我们来讨论一些与连续性相关的重要定理。
首先是介值定理。
该定理指出，如果一个函数在一个闭区间内连续，并且函数在这个区间两个端点处的值有一正一负，那么在这个区间之内，函数必然存在一个零点。
该定理的应用非常广泛，例如在实际问题中解方程、求极值等情况下都可以通过介值定理来找到解。
其次是零点定理。
该定理指出，如果一个函数在一个闭区间内连续，并且函数在这个区间两个端点处的值异号，那么在这个区间之内，函数必然存在一个零点。
零点定理是介值定理的特殊情况，它对于函数的零点存在性给出了一个更加明确的条件。
另一个重要的定理是最值定理。
该定理指出，如果一个函数在一个闭区间内连续，那么在这个区间之内，函数必然存在最大值和最小值。
最值定理告诉我们，在一定范围内，连续函数的值是有上下界的。
最后，我们介绍一个重要的定理，即连续函数的保号性定理。
《数学分析》第四章函数的连续性
《数学分析》第四章函数的连续性《数学分析》第四章主要讨论函数的连续性。
连续性是一个基本概念，它是描述函数在其中一点附近的性质的重要工具。
本章内容将从函数的连续性定义开始，通过研究连续函数的运算性质，以及间断点的分类和性质，深入探讨函数的连续性的各种特点和性质。
首先，我们来回顾函数的定义。
设有函数f(x)，如果对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当，x-x0，<δ时，有，f(x)-f(x0)，<ε，那么我们称函数f在点x0处连续。
这个定义非常重要，它不仅是刻画函数连续性的数学工具，也是我们研究函数性质的基础。
其次，我们探讨连续函数的运算性质。
常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等一些基本函数都是连续函数。
利用这些基本函数的连续性，可以通过运算和复合等方法构造出更多的连续函数。
比如，两个连续函数之和、差、积和商仍然是连续函数，连续函数的复合函数也是连续函数。
这些运算性质是我们运用函数的连续性进行问题求解的重要工具。
然后，我们研究连续函数的间断点。
函数的间断点可以分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点三种情况。
对于可去间断点，函数在该点的极限存在且有限，可以通过改变函数在该点的定义来使函数在该点连续。
跳跃间断点指的是函数在该点的左右极限存在但不相等，这种间断可以看作是函数的一个突变点。
无穷间断点则是函数在该点的极限为正无穷大或负无穷大，函数在该点附近发散。
研究间断点有助于我们了解函数的局部性质，并在问题求解中进行函数的优化和极限的计算。
最后，我们来讨论函数连续性的性质。
将函数的定义和运算性质与间断点的分类和性质综合起来，我们可以得到一些重要的性质。
首先是介值性定理，它指出连续函数在区间上将取到任意两个值之间的所有值。
然后是最值定理，它指出连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值，并且能够取到这些值。
最后是连续函数的保号性质，它指出如果连续函数在其中一点取正（或负）值，那么在该点附近的函数值也将一直保持正（或负）值。
数学分析第四章：函数的连续型
连续函数的局部性质
所谓连续函数局部性质就是指: 若函数 f 在点 x0 连续(左连续或右连续), 则可推知 f 在点 x0 的某 个局部邻域(左邻域或右邻域)内具有有界性、保 号性、四则运算等性质.
数学分析
定理4.1.2（局部有界性）
若函数 f 在点 x0 连续，则f 在某邻域U (x0 )上有界.
定义1
设函数 f ( x)在 x0 的某邻域内有定义, 且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ),
(1)
则称 f ( x)在点 x0 连续.
由定义1知，我们是通过函数的极限来定义连续
性的，换句话说连续就是指 f ( x) 在点 x0的极限不 仅存在,而且其值恰为 f ( x)在点 x0的函数值 f (x0) .
a
O
x
数学分析
函数 f ( x) sgn x 在点 x 0 处不连续, 这是因为
极限 lim sgn x 不存在. x0
lim f (x) f (x ),
x x0
0
由极限的定义,定义1可以叙述为: 对于任意正数 ,
存在d > 0, 当 0 | x x0 | d 时, 有
第四单元 函数的连续性 4.1.1 函数在一点的连续性
数学分析
连续函数的概念
回顾函数极限 lim f ( x) A 的定义, x x0
只假设函数 f (x) 在点 x0 的某空心邻域内有定义.
即使
f
(x)
在点
x0
有定义，lim x x0
f ( x)也未必等于f
(x0 )，
例如
函数 f y
(x)
f (x)
函数的一致连续性
1 引言 1.1 函数连续性定义 设函数()f x 在点0x 的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量趋于零时，对应的函数的增量()()00y f x x f x ∆=+∆-也趋于零，那么就称函数()f x 在点0x 连续。
设0x x x=+∆则x ∆→就是x x →，()()()()000y f x x f x f x f x ∆=+∆-=-即 ()()0f x f x y =+∆可见0y ∆→就是()()0f x f x →因此（1）式与lim x x →()f x =()0f x 相当。
所以，函数()f x 在点0x 连续的定义又可叙述如下设函数()f x 在点0x 的某一邻域内有定义，如果函数()f x 当0x x →时的极限存在，且等于它在点0x 处的函数值()0f x 即那么就称函数()f x 在点0x 连续。
由函数()f x 当0x x →时的极限的定义可知，上述定义也可用“ε-δ”语言表达如下：设函数()y f x =在0x 的某一邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在着正数δ，使得对于适合不等式0x x δ-<的一切x 对应的函数值()f x 都满足不等式()()0f x f x -<ε那么就称函数()f x 在点0x 连续。
1.2 函数一致连续性定义定义 设函数()f x 在区间I 有定义,若∃ε> 0 , ∀ δ> 0 ,∃1x ,2x ∈I| 1x -2x | <δ,有|()()12f x f x - | <ε, 称函数()f x 在I 一致连续。
[１]对函数的一致连续性概念的掌握,应注意以下三个方面的问题: (1) 要注意函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系。
比较函数在区间的连续性和一致连续性定义可知:前者的δ不仅与ε有关,而且还与点0x 有关,即对于不同的0x 一般来说δ是不同的,这表明只要函数在区间内每一点都连续,函数就在区间连续;后者的δ仅与ε有关,与0x 无关,即对不同的0x ,δ是相同的。
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第四章函数的连续性教学目的：1.使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念；2.熟练连续函数的性质并能加以应用；3.知道所有初等函数都是在其定义域上的连续函数，并能加以证明；4.理解函数在某区间上一致连续的概念，并能清楚地认识到函数在一区间上连续与这一区间上一致连续的联系与区别。
教学重点、难点：本章重点是函数连续性的概念和闭区间上连续函数的性质；难点是一致连续性的概念与有关证明。
教学时数：14学时§ 1 函数的连续性（4学时）教学目的：使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念。
教学要求：1. 使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述；2. 应使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函数在一点间断以及函数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能熟练准确地识别不同类型的间断点；3. 明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的，使学生清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵。
教学重点：函数连续性概念。
教学难点：函数连续性概念。
一、引入新课：通过生活和科学研究中的实例说明学习连续函数的必要性。
二、讲授新课：（一）函数在一点的连续性：1．连续的直观图解：由图解引出解析定义.2.函数在一点连续的定义: 设函数在点某邻域有定义.定义用例如 [1]P87例1和例2, P88 例3.定义用定义用先定义和定义连续的Heine定义.定义( “”定义.)（注：强调函数在点连续必须满足的三个条件。
）例1 用“”定义验证函数在点连续.例2 试证明: 若则在点连续.3.单侧连续: 定义单侧连续, 并图解.Th ( 单、双侧连续的关系 )例3讨论函数在点的连续或单侧连续性.（二）间断点及其分类: 图解介绍间断点的分类.跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点, 其他情况即或中至少有一个不存在称为第二类间断点.例4讨论函数的间断点类型.例5延拓函数使在点连续.例6举出定义在[0,1]上且仅在点三点间断的函数的例.例7讨论Dirichlet函数和Riemann函数的连续性.（三）区间上的连续函数：开区间上连续，闭区间上连续, 按段连续.§ 2 连续函数的性质（6学时）教学目的：熟悉连续函数的性质并能灵活应用。
教学要求：1. 掌握连续的局部性质（有界性、保号性），连续函数的有理运算性质，并能加以证明；熟知复合函数的连续和反函数的连续性。
能够在各种问题的讨论中正确运用连续函数的这些重要性质；2. 掌握闭区间上连续函数的主要性质，理解其几何意义，并能在各种有关的具体问题中加以运用；3. 理解函数在某区间上一致连续的概念，并能清楚地认识到函数在一区间上连续与在这一区间上一致连续这二者之间的联系与原则区别。
教学重点：闭区间上连续函数的性质；教学难点：一致连续的概念。
一、复习：连续、间断的含义.二、讲授新课：（一）连续函数的局部性质: 叙述为Th 1—4.1.局部有界性：2.局部保号性：3.四则运算性质：4.复合函数连续性：Th 4 若函数在点连续，函数在点连续, 且, 则复合函数在点连续. ( 证 )註Th 4 可简写为（即在条件满足的前提下，极限运算与函数运算可以交换顺序。
）例1 求极限例2 求极限:⑴⑵例3求极限的连续性见后.（二）闭区间上连续函数的基本性质:1.最值性: 先定义最值.Th 5 ( 最值性 )推论( 有界性 )2. 介值性: 定义介值.Th 6 ( 介值性 )连续函数的值域, 连续的单调函数的值域.推论( 零点定理 )例4证明: 方程在到之间有实根.例5设是正数, 为正整数. 证明方程有唯一正实根. 唯一性的证明用在内的严格递增性.（三）反函数的连续性:Th 7 若函数在上严格递增( 或减 )且连续, 则其反函数在相应的定义域或上连续. ( 证 )关于函数等的连续性 ( [1]P99 E5,6.)（四）函数的整体连续性——一致连续：1．连续定义中对的依赖性：例6考查函数在区间上的连续性.对作限制就有对,取这里与有关,有时特记为.本例中不存在可在区间上通用的, 即不存在最小的( 正数 ).例7考查函数在区间上的连续性.本例中可取得最小的, 也就是可通用的该却与无关, 可记为.2.一致连续性:定义 ( 一致连续 ) 顺便介绍一致连续与连续的关系.用定义验证一致连续的方法: 对, 确证存在. 为此,从不失真地放大式入手, 使在放大后的式子中, 除因子之外, 其余部分中不含有和, 然后使所得式子, 从中解出例8验证函数在内一致连续.例9 验证函在区间内一致连续.证例10若函数在有限区间内一致连续,则在内有界.3.一致连续的否定:否定定义.例11证明函数在区间内非一致连续.证法一 ( 用一致连续的否定定义验证 ) 取取与便有但证法二 ( 用例10的结果 ).4.一致连续的判定:Th8 (Cantor)若函数在闭区间上连续,在上一致连续.§ 3 初等函数的连续性（2学时）教学目的：知道所有初等函数都是在其有定义的区间上连续的函数，并能够加以证明。
教学要求：深刻理解初等函数在其定义的区间上都是连续的，并能应用连续性概念以及连续函数的性质加以证明，能熟练运用这一结论求初等函数的极限。
教学重点：初等函数的连续性的阐明。
教学难点：初等函数连续性命题的证明。
教学方法：学导式教学。
回顾基本初等函数中, 已证明了连续性的几个函数.指数函数和对数函数的连续性. ( 证 )一.初等函数的连续性:Th1 一切基本初等函数都在其定义域上连续.Th2任何初等函数在其有定义的区间上是连续的.註:初等函数的连续区间和间断点: 初等函数的间断点是其连续区间的开端点. 闭端点是其单侧连续点.例1求函数的连续区间和间断点.解的连续区间为: 、、和. 间断点为: 和. 在点右连续 .二.利用函数的连续性求极限:例2例3作倒代换例4解I =例5解I =习题课（2学时）一、理论概述：二、范例讲析：例1设函数在区间上连续, 且证明: 在区间上至少存在某个使证若, 取或即可; 若不妨设设, 应用零点定理即得所证.例2设函数在区间上连续，试证明：使例3设试证明：方程在区间内有实根.例4设函数在内连续且则在内有最小值. 与比较.例5设函数和在区间I上连续, 且在I的有理点,有证明: 在I上.例6设函数和在区间I上一致连续. 证明函数在区间I上一致连续.例7设函数在有限开区间内连续. 则在有限开区间内一致连续, 和存在( 有限 ).例8设函数在有限开区间内连续. 则在内一致连续,在内一致连续.第四章函数的连续性引言在数学分析中，要研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数，就是连续函数。
从今天开始，我们就来看看这类函数的特点。
主要讲以下几个问题：１．什么是“函数的连续性”？２．“间断”或“不连续”有哪些情形？３．连续函数有哪些性质？４．初等函数的连续性有何特点？§１连续性概念教学目的：使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念。
教学要求：（１）使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述；（２）应使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函数在一点间断以及函数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能熟练准确地识别不同类型的间断点；（３）明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的，使学生清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵。
教学重点：函数连续性概念。
教学难点：函数连续性概念。
教学程序：引言“连续”与“间断”（不连续）照字面上来讲，是不难理解的。
例如下图１中的函数x处是间断的。
()，我们说它是连续的，而图２中的函数在y f x由此可见，所谓“连续函数”，从几何上表现为它的图象是坐标平面上一条连绵不断的曲线。
而所谓“不连续函数”从几何上表现为它的图象在某些点处“断开”了。
当然，我们不能满足于这种直观的认识，因为单从图形上看是不行的，图形只能帮助我们更形象地理解概念，而不能揭示概念的本质属性。
例如，可以举出这样的例子，它在(0,1)内的任意无理数点都连续但却无法用图形表示出来（如Rieman函数）。
因此，为了给出“连续”的定义，需要对此作进一步分析和研究。
从图２看出，在0x 处，函数值有一个跳跃，当自变量从1x 左侧的近傍变到1x 右侧的近旁时，对应的函数值发生了显著的变化。
而在其它点处（如1x 处），情况则完全相反。
：当自变量从1x 向左侧或向右侧作微小改变时，对应的函数值也只作微小的改变；这就是说，当自变量x 靠近1x 时，函数值就靠近1()f x ，而当1x x →时，1()()f x f x →。
换句话说，当1x x →时，()f x 以1()f x 为极限，即11lim ()()x x f x f x →=。
根据这一分析，引入下面的定义：一 函数在一点的连续性１． 函数f 在点0x 连续的定义定义１（f 在点0x 连续）设函数f 在某0()U x 内有定义，若00lim ()()x x f x f x →=，则称f 在点0x 连续。
注 000lim ()()(lim )x x x x f x f x f x →→==，即“f 在点0x 连续”意味着“极限运算与对应法则f 可交换。
２．例子例１．0,sin ,cos x R x x ∀∈在0x 处连续。
例２．2lim(21)5(2)x x f →+==。
例３．讨论函数1sin ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点x=0处连续性。
３．函数f 在点0x 连续的等价定义１） 记号：0x x x ∆=-——自变量x 在点的增量或改变量。
设00()y f x =，0000()()()()y f x f x f x x f x y y ∆=-=+∆-=-——函数y 在点0x 的增量。
注：自变量的增量x ∆或函数的增量y ∆可正、可负、也可为零。
（区别于“增加”）。
２） 等价定义１：函数f 在点0x 连续⇔0lim 0x y ∆→∆=。
３） 等价定义２：函数f 在点0x 连续⇔0,0εδ∀>∃>，当0||x x δ-<时，0|()()|f x f x ε-<。
注：一个定义是等价的，根据具体的问题选用不同的表述方式。
如用三种定义，可以证明以下命题：例４．证明函数()()f x xD x =在点0x =连续，其中()D x 为Dirichlet 函数。
４．函数f 在点0x 有极限与函数f 在点0x 连续之间的关系１） 从对邻域的要求看：在讨论极限时，假定f 在00()U x 内不定义（f 在点0x 可以没有定义）。