高中数学学案：三角函数的图象与性质(2)

高中数学学案:三角函数的图象与性质(2)1. 会利用“五点法”熟练画出y ＝A sin (ωx ＋φ)(A>0,ω>0)的简图．2. 能由y ＝sin x 的图象通过平移、伸缩等变换得到y ＝A sin (ωx ＋φ)(A>0,ω>0)的图象．3. 能用y ＝sin x 的图象与性质来研究y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象与性质.1. 阅读:必修4第34～39页．2. 解悟:①函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象与y ＝sin x 的图象有什么关系？②怎样画出y ＝A sin (ωx ＋φ)(A>0,ω>0)的简图？③你能用y ＝sin x 的图象与性质来研究y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象与性质吗？④你能领会必修4第35～37页的三个思考的意图吗？例1的作用是什么？3. 践习:在教材空白处,完成必修4第39～40页练习第 2、3、5、7题.基础诊断1. 将函数y ＝sin x 图象上的所有点向右平行移动π10个单位长度,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数的解析式为__y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10__．解析:将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度,得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10的图象,再把所得图象中各点的横坐标变为原来的2倍,得到函数y ＝sin (x 2－π10)的图象．2. 要得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象,可以将函数y ＝2sin 3x 的图象向__左__平移__π12__个单位长度．解析:因为函数y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12,所以将函数y ＝2sin 3x 的图象向左平移π12个单位长度可得函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象．3. 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π6，0,k ∈Z__,对称轴为__x ＝k π2＋π12,k ∈Z__．解析:因为2x ＋π3＝k π,k ∈Z,所以x ＝k π2－π6,k ∈Z,所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π6，0,k ∈Z.因为2x ＋π3＝k π＋π2,k ∈Z,所以x ＝k π2＋π12,k ∈Z,所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π12,k ∈Z.4. 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为．解析:因为0≤x ≤9,所以πx 6－π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，7π6,所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3∈[－3,2],所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为2－ 3.范例导航考向❶ “五点法”与“变换法”作图例1 某同学用“五点法”画函数y ＝A sin (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据如下表:(1) 请将上表数据补充完整,并直接写出函数y ＝f(x)的解析式； (2) 说明函数f(x)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 解析:(1) 根据表中已有数据,解得A ＝5,ω＝2,φ＝－π6,数据补全如下表:函数f(x)的表达式为f(x)＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2) 由(1)知f(x)＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6,写出y ＝sin x 的图象到y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象的变换过程．变换过程中有两种:A . 先平移,后伸缩；B . 先伸缩,后平移． A . 先平移,后伸缩【注】 “五点法”作图看似简单,却蕴含着三角函数中的整体到个别,再由个别反射到整体的“运算”．已知f(x)＝cos (ωx ＋φ)(ω>0,－π2<φ<0)的最小正周期为π,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1) 求ω和φ的值；(2) 在坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图象； (3) 若f(x)>22,求x 的取值范围．解析:(1) 周期T ＝2πω＝π,所以ω＝2. 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32.又－π2<φ<0,所以φ＝－π3.(2) 由(1)得f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3,列表如下:图象如图:(3) cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3>22,所以2k π－π4<2x －π3<2k π＋π4,k ∈Z,所以2k π＋π12<2x <2k π＋7π12,k ∈Z,所以k π＋π24<x <k π＋7π24,k ∈Z,所以x 的取值范围是{x |k π＋π24<x <k π＋7π24,k ∈Z}． 【变式题】如图,它是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)的图象,由图中条件,写出该函数的解析式．【点评】 由三角函数图象确定解析式是前几年命题的一个热点,此类型题要充分挖掘给出图象的信息进行求解,首先根据图象可知A ＝5,函数的周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－π＝3π,所以ω＝2πT ＝23.方法一(单调性法):因为由图象可知点(π,0)在单调递减的那段曲线上, 所以2π3＋φ＝2k π＋π(k ∈Z),所以φ＝2k π＋π3(k ∈Z)．因为|φ|<π,所以φ＝π3.故所求函数的解析式为y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3.方法二(最值点法):将最高点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5代入y ＝5sin 23x ＋φ得5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝5,所以π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z),所以φ＝2k π＋π3(k ∈Z),取k ＝0时得满足|φ|<π的φ＝π3,故所求函数的解析式为y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3.方法三(零点法):函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象一般由“五点法”作出,一个周期内至少两个零点．根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可知(π,0)是一个周期内的第二个零点,而⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2，0是下一个周期的第一个零点,于是有2π3＋φ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫或23×5π2＋φ＝2π,解得φ＝π3,故所求函数的解析式为y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3.方法四(平移法):由图象可知,起始点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0,则将y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度,就得到本题图象,故所求函数的解析式为y ＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2, 即y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3.【反思】 以上各种方法各有所长,方法三可以推广为关键点法,用此法解题要深刻理解五点作图法的本质,即五点之间的对应关系要明确. 进行三角函数图象变换若把函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式平移变换、伸缩变换的次序不同,则平移单位就不同,需要特别注意．【总结】 已知三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象,欲求其解析式,必须搞清A ,ω,φ与图象的哪些因素有关,在利用图象与x 轴的交点时,要考虑这个点是在增区间上还是在减区间上,否则很容易出错．数形结合的思想方法必须时刻牢记在心,并随时加以运用． 考向❷ 根据图象和性质确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 设函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2,x ∈R)的部分图象如图所示．(1) 求函数y ＝f (x )的解析式；(2) 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时,求f (x )的取值范围．解析:(1) 由图象知A ＝2.又T 4＝5π6－π3＝π2,ω>0,所以T ＝2π＝2πω,得ω＝1,所以f (x )＝2sin(x ＋φ)．将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2代入,得π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z),即φ＝π6＋2k π(k ∈Z)．又－π2<φ<π2,所以φ＝π6,所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(2) 当x ∈[－π2,π2]时,x ＋π6∈[－π3,2π3],所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1,即f (x )∈[－3,2]．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数y ＝f (x )图象的两条相邻对称轴间的距离为π2.(1) 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值；(2) 将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍,纵坐标不变,得到y ＝g (x )的图象,求函数g (x )的单调减区间．解析:(1) 由题可得,f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6.因为f (x )为偶函数,所以φ－π6＝k π＋π2,k ∈Z,解得φ＝k π＋2π3,k ∈Z. 因为0<φ<π,所以φ＝2π3.由题意得2πω＝2×π2,解得ω＝2.故f (x )＝2cos2x ,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos π4＝ 2.(2) 将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后,得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6的图象,所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝2cos[2(x 4－π6)]＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3,当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π,k ∈Z,即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3,k ∈Z 时,函数g (x )单调递减．故函数g (x )的单调减区间为[4k π＋2π3,4k π＋8π3](k ∈Z). 考向❸ 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0,ω>0)性质的综合应用 例3 已知函数f(x)＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1,x ∈R.(1) 求函数f (x )的最小正周期；(2) 若h (x )＝f (x ＋t )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称,且t ∈(0,π),求t 的值；(3) 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时,不等式||f （x ）－m <3恒成立,求实数m 的取值范围．解析:(1) 函数可化为f (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos2x ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.故函数f (x )的最小正周期为π.(2) h (x )＝f (x ＋t )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π3. 令2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2t －π3＝k π,k ∈Z,得t ＝k π2＋π3,k ∈Z.又t ∈(0,π),故t ＝π3或5π6.(3) 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时,2x －π3∈[π6,2π3], 所以f (x )∈[1,2]．|f (x )－m |<3,即f (x )－3<m <f (x )＋3,所以2－3<m <1＋3,即－1<m <4. 故实数m 的取值范围为(－1,4)．【注】 本题主要是考察三角变换,以及y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期性、对称性及最值,涉及恒成立问题的解决．自测反馈1. 已知函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π,且它的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，－2,则φ的值为__－π12__．解析:由题意得,2πω＝π,则ω＝2.又因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，－2,所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝－2,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝－22,因为|φ|<π2,所以φ＝－π12. 2. 函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，π2≤φ≤π的部分图象如图所示. 若A,B 两点之间的距离AB ＝5,则ω的值为__π3__.解析:设AB 之间的水平距离为d,则由题意可得d 2＋[2－(－2)]2＝52,解得d ＝3,故函数的周期为T ＝2πω＝6,解得ω＝π3.3. 已知函数f(x)＝sin (2x ＋φ),其中φ为实数,若f(x)≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立,且函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π),则函数f (x )的单调减区间是[k π－π3,k π＋π6](k ∈Z)．解析:若f (x )≤|f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6|对x ∈R 恒成立,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6为函数的最大值或最小值,即2×π6＋φ＝k π＋π2,k ∈Z,则φ＝k π＋π6,k ∈Z.又因为f⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π),即－sin φ>sin φ,sin φ<0,令k ＝－1,此时φ＝－5π6,满足条件sin φ<0,令2x －5π6∈[2k π－3π2,2k π－π2](k ∈Z),解得x ∈[k π－π3,k π＋π6](k ∈Z),所以函数f (x )的单调减区间是[k π－π3,k π＋π6](k ∈Z)．4. 已知函数y ＝cos x 与函数y ＝sin (2x ＋φ)(0≤φ<π)图象有一个横坐标为π3的交点,则φ的值为__π6__.解析:由题意得,sin⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝cosπ3＝12.因为0≤φ<π,所以2π3≤2π3＋φ<5π3,所以2π3＋φ＝5π6,解得φ＝π6.1. 三种题型:①已知三角函数的图象,求函数的解析式；②已知三角函数的解析式,求函数的性质(周期、对称性、单调性、最值)；③三角函数的变换(注意变换的顺序)．2. 两种思想:化归思想,数形结合思想．3. 你还有哪些体悟,写下来:。