植物生长模型

dWs rR1Ws f (C s , N s ) dt s dWr rR1Wr f (C r , N r ) dt r
叶部和根部的碳方程 部分碳从叶部输送到根部， 叶部和根部碳方程为：
d (Ws C s ) s R3Ws s R2 (C s C r ) Ws f (C s , N s ) dt d (Wr C r ) r R2 (C s C r ) Wr f (C r , N r ) dt
t+∆t碳= t碳+光合作用形成的碳-转化能消耗的碳。 光合作用形成的碳与植物表面积成正比。
V(t+∆t)C(t+∆t) = V(t)C(t) + R3W(t)∆t – Vf(C,N)∆t
C(t)和N(t）的方程
V (t t )C (t t ) V (t )C (t ) R3W (t ) Vf (C , N ) t
一阶非线性常微分方程组。
根叶模型求解
对于初值，
Ws (0) 0.5,Wr (0) 0.1, Cs (0) 0.2 Cr (0) 0.15, N s (0) 0.22, N r (0) 0.24
matlab来求解
（1）碳和氮供应充足
实线表示叶，虚线表示根。叶和根生长均衡。
1.12
1.1
1.08
质量
1.06
1.04
1.02
1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
时间
（2）碳摄入不足
根生长影响较大，生长基本均衡。
1.025
R3 =
R2 =0。
ห้องสมุดไป่ตู้
1.02
1.015
1.01
1.005
1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
（3）氮摄入不足
叶生长影响大，生长基本均衡。
1.15
R5 0 或很小
1.1
1.05
1
0
50
100
150
植物生长模型的结论
实验一致 没有分形
植物生长的能量转换
（1）工作能—根部吸收氮和植物输送碳氮 （2）转化能—氮转化为蛋白质和糖转化脂肪 （3）结合能—分子结合成为组织 （4）维持能—维持蛋白质结构稳定
植物生长模型简化
（1）假设碳和氮比例大固定。 （2）植物的根、茎、叶简化为 根部和叶部二部分
初等模型
根部和叶部合并，碳和氮合并。 植物的质量为W， 体积为V。 植物吸收的养料和体积成正比：
200
250
300
（2）氮的摄入水平较低
R5 =0。
日照充分，氮肥不足的情况。 R5很小或
0.9 0.85
0.8
0.75 0.7 0.65 0.6 0.55
质量
0
50
100
150
200
250
300
时间
（3）碳摄入水平较低
R3很小或
0.64 0.635 0.63 0.625
R3=0。植物生长很快停止
α 、β 表示碳和氮的消耗速率。 （1）碳和氮十分丰富是，f(C,N)→ ,有：
3
R1 dW r W dt
解得： W0 e W
r
t R1
m

W0 e
0.15
t
植物生长计算结果
matlab数值解
1.1 1 0.9
质量
0.8 0.7 0.6
0.5
0
50
100
时间
150
W (t ) v(t) =
，令∆t→0，则
d (WC ) R3W Wf (C , N ) dt
氮的质量守恒方程
V(t+∆t)N(t+∆t)= V(t)N(t)+ R5 W(t)∆t-λ Vf(C,N)∆t 第三项是根吸收的氮， 第四项是转变能消耗的氮。 消耗碳系数为λ 。
d (WN ) R5W Wf (C , N ) dt
依赖碳氮生长模型
C(t)植物中碳浓度。N(t)植物中氮浓度。 植物消耗碳的速率是Vf(C,N)，V植物的体积。 植物消耗氮的速率为λ Vf(C,N) 碳和氮的比例 1：λ R1 为结合能在总能量中所占比例。 r 植物组织中碳转化为质量的转化系数：
= r
R1
dW dt
f(C(t),N(t)) W (t )
质量
0.62 0.615 0.61 0.605 0.6
0
50
100
150
200
250
300
时间
模型的改进3-根叶模型
模型扩充为将植物分为叶和根两部分，叶摄取碳，根摄取氮。 叶和根之间的碳和氮互相输送。 碳
叶部 叶部
氮库
碳库

根部 氮库 根部 碳库
氮
根叶模型的建立
六个变量：叶重 Ws，根重Wr ； 叶部和根部碳的浓度为 C s , Cr ； 叶部和根部氮的浓度为 N s , N r 。 叶部和根部分别建立三个方程，函数f(C,N)与上相同。 叶重和根重 两个生长方程：
叶部和根部的氮方程
氮从根部流向叶部， 根部和叶部氮的方程为
d (Wr N r ) r R5Wr r R4 ( N r N s ) Wr f (C r , N r ) dt d (Ws N s ) s R4 ( N r N s ) Ws f (C s , N s ) dt
模型
dW W k dt
W0 为初始时植物的质量
W W0 e
k
t

模型的结果和改进-1
模型解是个指数函数，随时间增长无限增长。 模型改进，k取为随植物的长大而变小。 取k=a-bW，a,b为正数。
dW W (a bW ) dt
得到
a k k , Wm b
dW W k (1 )W dt Wm
初值为 W0 解为
Wm W (t ) Wm kt 1 (1 )e W0
W(t)是t的单调增加函数
当t→∞时，W(t)→ Wm
Wm 是植物的极大质量
模型的结果和改进-2 考虑碳氮需求比例
假设： （1）植物根和叶视作整体。 （2）植物生长依赖碳和氮。 （3）植物生长消耗的碳依赖碳和氮。 （4）部分总能量用于产生新组织。

f(C,N)的形式和质量守恒
函数f(C,N) 满足两个条件： （1）碳和氮之一供给量减少时，消耗速 度随之下降。 （2）碳和氮供给十分充足时，植物消耗 碳的速率确定。 CN f (C , N ) 1 CN
f 恒等于常数得到初等模型。 一般情形包含碳和氮的浓度影响。
C(t)和N(t）的模型建立
植物生长模型-常微分方程组
R1W dW r f (C , N ) dt
d (WC ) R3W Wf (C , N ) dt d (WN ) R5W Wf (C , N ) dt
r,λ,ρ, R1 , R3 ,.R5 均为正数
植物生长模型求解
R1 =0.5， R3 =0.0002, ,r=30。 R5=0.00002.ρ =100kg/
植物生长模型
问题的提出
植物生长的因素：碳元素和氮元素 植物生长过程的要素 （1）碳由叶吸收，氮由根吸收； （2）植物生长对碳、氮元素的需求有固定比例； （3）碳可由叶送到根部，氮可又根送到叶部； （4）碳元素需求量和叶系的大小有关， 氮元素需求量和根系的尺寸有关。
单枝植物生长的数学模型
（1）叶部的光合作用 （2）根部的土壤吸收