曲线积分与曲面积分试题及解答

曲线积分与曲面积分 测试题B

一、选择（每题6分，共24分）

1、曲线弧上的曲线积分和上的曲线积分有关系( )

2、C 为沿以)3,1(),2,2(),1,1(C B A 为顶点的三角形逆时针方向绕一周，则 I=⎰=⋅+++c

dy y x dx y x 222)()(2( )

（A ）⎰⎰--x x

dy y x dx 421

)( （B ）⎰⎰--x

x

dy y x dx 421

)(2

（C ）[]

⎰⎰⎰++-+++1

.

321

2

2221

22)1()4(2)2()2(2dy y dx x x dx x dx x

（D ）{}[]⎰⎰

⎰+++-+-++1

.

321

2222

1

2)1()4()4(28dy y dx x x x x dx x

3、C 为沿222R y x =+逆时针方向一周，则I=⎰+⋅-σ

dy xy dx y x 22用格林公式计算得( )

（A ）⎰⎰R dr r d 0320πθ （B ）⎰⎰

R

dr r d 0

220πθ

（C ）

⎰⎰

-R dr r d 0

320

cos sin 4θθπ （D ）⎰⎰R

dr r d 0

320

cos sin 4θθπ

4、 ∑为)(222y x z +-=在xoy 平面上方部分的曲面，则⎰⎰∑dS = ( )

(A)rdr r d r ⎰⎰

+πθ2002

41 (B)rdr r d ⎰

⎰+πθ2020241 (C)rdr r r d ⎰

⎰+-πθ20

2

2241)2( (D)rdr r d ⎰

⎰

+πθ20

20

241

二、填空（每题6分，共24分）

1、设 是M (1，3)沿圆(x －2)2+(y －2)2=2到点N (3，1)的半圆，则积分 .

2、设f (x )有连续导数，L 是单连通域上任意简单闭曲线，且 则f (x )= .

3、由物质沿曲线10,3

,2,:3

2≤≤===t t z t y t x C 分布，其密度为y 2=γ，则它的质量=M

. (化为定积分形式即可不必积出)

4、=++⎰⎰S

dxdy z dzdx y dydz x 333 ，S 为球面2222a z y x =++的外侧.

三、（18分）计算曲线积分 ，式中L 为由点O (0，0)沿直线y =x 到点A (1，1)再由点A 沿曲线 到点B (0，2)的路径. 四、（18分）设C 为由抛物线y =x 2的从(0，0)到(1，1)的一段弧和从(1，1)到(0，0)的直线段组成.试求曲线积分 . 五、（16分）求向量yz i +xz j +xy k 穿过圆柱体x 2+y 2≤R 2,0≤z ≤H 的全表面∑的外侧的通量.

参考答案及评分标准(B)

一、1、B

2、B 解：利用格林公式

)(24,21:y x y

P

x

Q

x

y x x D xy -=∂∂-

∂∂-≤≤≤≤.

3、A 解：22222,

:y x y P

x Q R y x D xy +=∂∂-∂∂≤+利用极坐标化二重积分⎰⎰+xy

D dxdy y x )(22 为累次积分⎰⎰R dr r d 0

320

π

θ.

4、D 解：dxdy y x ds y x D xy 2222441,2:++=≤+.

二、1、0 解：由x Q y P ==,知x

Q y P ∂∂=∂∂，故03113)1,3()3,1(=+=+=+⎰⎰⎰⎰⋂dx dy xdy ydx xdy ydx MN .

2、c x +2 解：由题意知

y y xe y

P

x f e x Q 222)(=∂∂='=∂∂，即x x f 2)(='，故c x x f +=2)(. 3、⎰++1

0421dt t t t 解：⎰⎰

++==1

4212dt t t t ds y M C

.

4、

5

512a π 解：由高斯公式得原式⎰⎰⎰Ω

++=dxdydz z y x )(3222 5

40

220

5

1212sin 3a dr r rdr r d d a

a ππθϕϕπ

π=

=⋅=⎰⎰⎰

⎰. 三、解：x

Q y y P xy Q y x P ∂∂=-=∂∂-=-=2,

2,22，故积分与路径无关……………………………6分 取OB 为从O 到B 的直线段，则⎰--L

xydy dx y x 2)(22……………………………12分 02)(22=--=⎰OB

xydy dx y x …………………………………………………………18分

四、解：由于y x P 2+=，y x Q 2-=，故由格林公式 …………………………………………6分

()⎰⎰⎰⎰⎰⎰

-=-=⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂-∂∂=

D

D

D

y x y x y x y P x

Q I d d d d 21d d ⎰⎰

⎰-=

-=1

2

10

d )(d d 2

x x x

y x x

x

…………12分

1

2323⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=x x 61

2131-=-= …………………………………………………………18分 五、证明：⎰⎰∑

++=Φxydxdy xzdzdx yzdydz ……………………………………………………6分

由∑围成立体Ω，用高斯公式得…………………………………………………10分

⎰⎰⎰Ω

=++=Φ0)000(dv ……………………………………………………………16分