第二章矩阵及其运算

第二章矩阵及其运算

第一节矩阵及其运算

一．数学概念

定义1.1由个数排成m行n列的数表

称为m行n列的矩阵，简称矩阵，记作

二．原理，公式和法则

1．矩阵的加法

(1) 公式

(2) 运算律

2．数乘矩阵

(1) 公式

(2) 运算律

3．矩阵与矩阵相乘

(1) 设,

则其中，且

。

(2)运算符(假设运算都是可行的)：

(3)方阵的运算

注意：①矩阵乘法一般不满足交换律。

②一般

4.矩阵的转置

(1)公式

这里为A的转置矩阵。

(2)运算律

5.方阵的行列式

(1)公式

设A为n阶方阵，为A的行列式。

(2)运算律

6.共轭矩阵

(1)公式设为复矩阵，表示为的共轭复数，则为方阵的共轭矩阵。

(2)运算律(设A,B为复矩阵，为复数，且运算都是可行的)：

第二节逆矩阵

一.数学概念

定义2.1设A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B使，则称矩阵A

是可逆的，并把矩阵称为A的逆矩阵。

1.可逆矩阵又称为非奇异矩阵。

2.不可逆矩阵又称为奇异矩阵。

二.原理，公式和法则

1. 定理

2.1方阵A可逆的充分必要条件是,且，其中

为A的伴随矩阵。

推论若AB＝E(或BA=E)则B＝A-1。

性质逆矩阵是唯一的。

2.运算律

①若A可逆，则A-1亦可逆，且。

②若A可逆，数,则λA可逆，且。

③若A,B为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，且

④若A可逆，则A T亦可逆，且

第三节分块矩阵

一.数学概念

分块矩阵：用若干条横线和竖线将矩阵A分成若干小块，每一小块称为矩阵的子块，以子块为元素的矩阵为分块矩阵。

1.一般分块

2.按行分块

3.按列分块

二.原理，公式，法则

1. 分块矩阵的加法

设A，B为同型矩阵，分法相同，对应子块相加，即将矩阵A，B分块为

2. 分块矩阵的数乘

设A为分块矩阵，为数，

3. 分块矩阵的乘法

设，分块为

其中的列数分别等于的行数，那末

其中

4. 分块矩阵的转置

设

5. 分块对角矩阵

都是方阵。

注 1. 以上分块矩阵运算律与矩阵的相应的运算律相同。

2. 对分块对角矩阵有